历届江苏省高数竞赛题(上册)

历届江苏省高数竞赛题(上册部分)

——爱着你们的双哥 2016.2.18

1.sin sin ()2

y x x x π

=≤

函数其中的反函数为

2.034sin sin cos n x x x x x x n →-+=当时，与为同阶无穷小，则

3.1632x x ==在时有极大值，在时有极小值的最低次幂次多项式的表达式为

4.()(1),,(1)n

m n n d P x x m n P dx

=-=设其中为正整数，则

222

5.(cos )sin x x xdx π

π-+=⎰

2

[0,2]6.()[0,2](1)0,(),max ()3

x M

f x f f x dx M f x ∈''=≤

=⎰已知在上二次连续可微，证明：其中

111

1.lim(

)414242n n n n n

→∞

++⋯+=+++ 2

2

()2.()(32)cos

,(2)16

n

n x f x x x f π=-+=设则

2

3

3.1(cot )dx

x π

=+⎰

4..e e ππ比较与的大小

21

5.,(0)2

.

b a a b xdx a b y x ax y bx =≤≤=+=⎰已知满足，求曲线与直线所围区域面积

的最大值与最小值

1

01

6.()[0,1](0)(1)0,()0()4max ()

x f x f f f x f x dx f x ≤≤==''≥⎰

设在上具有连续的二阶导数，且不恒等于，求证：

2006

11.0,lim lim[sin()tan 3],sin 6x x x a x x a x x ππ

→→

>=-=-⎰若则 2,()(21)(32)(10099),(0)f x x x x x f '=--⋯-=若则

111

3.3cos (),.222

b x ar

c x a x a b π--已知当大于且趋向于时，与为等价无穷小，求

2

14.x xe dx --=⎰

220

sin 5.()(sin )(sin ),.

23sin 4cos x x

f u xf x dx f x dx dx x x

π

π

π

π

=

+⎰⎰⎰

若是连续函数，证明并求

2

1

210

6.(),().t x f t e

dx t f t dt -=⎰⎰设求

7.(0,1).

C x C x C 设曲线经过点，且位于轴上方，就数值而言，上任何两点之间的弧长都等于该弧以及它在轴上的投影为边的曲边梯形的面积，求的方程

2228.()(1)(3),().f x x x x y f x =--=设试问曲线有几个拐点，证明你的结论

x →=

232.()(32)f x

x x x x =++

-函数的不可导点的个数为

310

3.(),(2)0x f x f x dx x ≤=-=>⎰设则

4.ln .x x x ααα≤为正常数，使得不等式对任意正数恒成立，求的最小值

5.()[0,1](0)(1)(0,1),2()(1)()0.

f x f f f f ξξξξ=∃∈'''+-=函数在上二阶可导，，求证：使得

20

6.()[0,2]()0,2

()sin ((2)(0))

f x f x n f x nxdx f f n

π

ππ'≥≤-⎰

设函数在上导数连续，求证：对任意正整数，有

1.()(())f x f f x ==设函数则 1

2.lim ln 1

x x x x

x x →-=-+

1454

3.(1)x dx x =+⎰

11214.,021

x

x

y x -=

=+对于函数点是

.A 连续点 .B 第一类间断点 .C 第二类间断点 .D 可去间断点

5.()()()(1sin )()0f x F x f x x F x x =+=设函数可导，函数，欲使函数在可导，则必有

.(0)0A f '=

.(0)

0B f = .(0)(0)0C f f '+=

.(0)(0)

D f f

'-= 2

2

()6.()(0)0,(0)0,lim

()x x

x f t dt f x f f x

f t dt

→''=≠⎰

⎰

设连续，求

220(1)07.()10y t x t t d y

y y x te y dx =+-=⎧=⎨++=⎩

已知函数由方程组确定，求

8.(),()[,]()0,(,)()()()

()()()

f x

g x a b g x c a b f a f c f c g c g b g c '≠∃∈'-=

'-设函数在上可微，求证：使得

0sin ,029.(),(),()()().0,2

x x x f x x g x F x f t g x t dt x ππ⎧

≤≤⎪⎪===-⎨⎪>⎪⎩⎰设函数求函数

22210.(,)41y x a a a y x x ==-+-过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线所围成的图形面积最小？