高等数学II第十章-曲线积分与曲面积分
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第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分
计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
若()()
:x x t L
a t
b y y t =⎧⎪
≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(,,b L a
f x y ds f x t y t
=⎰⎰ 若()()()
:x x t L y y t a t b z z
t =⎧⎪
=≤≤⎨⎪
=⎩，则
()()()()(
,,,,b L
a
f x y z ds f x t y t z t =
⎰
⎰ 注意：上限一定要大于下限
计算下列对弧长的曲线积分
（
1）ds
y x L ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：
222()L
x y ds
+=⎰Ñ2
2()L a
ds ⎰Ñ4
L
a ds =⎰
Ñ45(2)2a a a ππ== 法二：
cos :02sin x a L y a θ
θπθ
=⎧≤≤⎨
=⎩，
2
22
()L
x y ds +⎰Ñ()()2
22
[cos sin ]a a π
θθθ=+⎰25
502a d a π
θπ==⎰
（2）ds
e
y x ⎰+2
2，其中L 为圆周2
22a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
解：
»()L
OA
AB
BO
=++⎰⎰⎰⎰Ñ，其中
:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩，»cos :,0sin 4x a AB y a θπθθ=⎧
≤≤⎨=⎩
，:0x x BO x y x =⎧≤⎨
=⎩0
a
oA
=⎰⎰0
1a
x a e dx e ==-⎰
»»a AB
AB
e ds =⎰
⎰»4
a
a AB
ae
e ds π==
⎰
（或
»AB
⎰
40
π
θ=⎰40
4
a
a
ae e ad π
πθ==
⎰
）
BO
=⎰
1a e ==- 故(2)24
a L
e a π
=+
-⎰Ñ
（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧；
解：由2:0121
x x L x y x =⎧≤≤⎨=-⎩，得10L xds =⎰⎰321
2
2(116)1
33248
x +==
（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x ； 解：
[]
22
(1cos )L
y ds a t π
=-⎰
⎰
523
2
(1cos )t dt π
=-⎰
5
2
322
(2sin)
2
t
dt
π
=⎰235
8sin
2
t
a dt
π
=⎰令2tθ=）35
16sin
a d
π
θθ
=⎰3533
2
42256
32sin32
5315
a d a a
π
θθ
==⨯⨯=
⎰
（5）ds
xy
L
⎰，其中L为圆周2
2
2a
y
x=
+；
解：利用对称性
1
4
L L
xy ds xy ds
=
⎰⎰
Ñ，其中1cos
:0
sin2
x a
L
y a
θπ
θ
θ
=
⎧
≤≤
⎨
=
⎩
11
44
L L L
xy ds xy ds xyds
==
⎰⎰⎰
Ñ2
4(cos)(sin
a a
π
θθθ
=⎰
3323
22
4cos sin2sin2
a d a a
ππ
θθθθ
===
⎰
（6）ds
z
y
x
⎰Γ
+
+2
2
2
1
，其中Γ为曲线t
e
x t cos
=，t
e
y t sin
=，t e
z=上相应于t从0变到2的弧段；
解：
222
1
ds
x y z
Γ++
⎰
=
⎰
22
)
t
e dt e
--
==-
⎰
（7）ds
y
⎰Γ，其中Γ为空间圆周：
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
+
+
Γ
x
y
z
y
x2
:
2
2
2
.
解：由
2222
x y z
y x
⎧++=
⎨
=
⎩
，得22
22
x z
+=，令
cos
02
x
z
θ
θπ
θ
=
⎧⎪
≤≤
⎨
=
⎪⎩
故
cos
:cos02
x
y
z
θ
θθπ
θ
⎧=
⎪
Γ=≤≤
⎨
⎪
=
⎩
。故
y ds
Γ
⎰Ñ20cos
π
θ
=⎰
2
cos d
π
θθ
=
3
2
22
3
2
2
cos cos cos]
d d d
ππ
π
π
π
θθθθθθ
=-+=
⎰⎰⎰
1．螺旋形弹簧一圈的方程为：)
2
0(
sin
cos
π
≤
≤
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=
=
t
kt
z
t
a
y
t
a
x
，设它的线密度为2
2
2
)
,
,
(z
y
x
z
y
x+
+
=
ρ，求：
（1）它关于z轴的转动惯量z I；（2）它的重心坐标.
（1）()
22
z L
I x y ds
ρ
=+
⎰()()
22222
L
x y x
y z ds
=+++
⎰
(
22222
a a k t
π
=+
⎰()
2222
a
a k t dt
π
=+222
2
4)
3
a a k
ππ
=+