高等数学II第十章-曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分

计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程

若()()

:x x t L

a t

b y y t =⎧⎪

≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(,,b L a

f x y ds f x t y t

=⎰⎰ 若()()()

:x x t L y y t a t b z z

t =⎧⎪

=≤≤⎨⎪

=⎩，则

()()()()(

,,,,b L

a

f x y z ds f x t y t z t =

⎰

⎰ 注意：上限一定要大于下限

计算下列对弧长的曲线积分

（

1）ds

y x L ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：

222()L

x y ds

+=⎰Ñ2

2()L a

ds ⎰Ñ4

L

a ds =⎰

Ñ45(2)2a a a ππ== 法二：

cos :02sin x a L y a θ

θπθ

=⎧≤≤⎨

=⎩，

2

22

()L

x y ds +⎰Ñ()()2

22

[cos sin ]a a π

θθθ=+⎰25

502a d a π

θπ==⎰

（2）ds

e

y x ⎰+2

2，其中L 为圆周2

22a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；

解：

»()L

OA

AB

BO

=++⎰⎰⎰⎰Ñ，其中

:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩，»cos :,0sin 4x a AB y a θπθθ=⎧

≤≤⎨=⎩

，:0x x BO x y x =⎧≤⎨

=⎩0

a

oA

=⎰⎰0

1a

x a e dx e ==-⎰

»»a AB

AB

e ds =⎰

⎰»4

a

a AB

ae

e ds π==

⎰

（或

»AB

⎰

40

π

θ=⎰40

4

a

a

ae e ad π

πθ==

⎰

）

BO

=⎰

1a e ==- 故(2)24

a L

e a π

=+

-⎰Ñ

（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧；

解：由2:0121

x x L x y x =⎧≤≤⎨=-⎩，得10L xds =⎰⎰321

2

2(116)1

33248

x +==

（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x ； 解：

[]

22

(1cos )L

y ds a t π

=-⎰

⎰

523

2

(1cos )t dt π

=-⎰

5

2

322

(2sin)

2

t

dt

π

=⎰235

8sin

2

t

a dt

π

=⎰令2tθ=）35

16sin

a d

π

θθ

=⎰3533

2

42256

32sin32

5315

a d a a

π

θθ

==⨯⨯=

⎰

（5）ds

xy

L

⎰，其中L为圆周2

2

2a

y

x=

+；

解：利用对称性

1

4

L L

xy ds xy ds

=

⎰⎰

Ñ，其中1cos

:0

sin2

x a

L

y a

θπ

θ

θ

=

⎧

≤≤

⎨

=

⎩

11

44

L L L

xy ds xy ds xyds

==

⎰⎰⎰

Ñ2

4(cos)(sin

a a

π

θθθ

=⎰

3323

22

4cos sin2sin2

a d a a

ππ

θθθθ

===

⎰

（6）ds

z

y

x

⎰Γ

+

+2

2

2

1

，其中Γ为曲线t

e

x t cos

=，t

e

y t sin

=，t e

z=上相应于t从0变到2的弧段；

解：

222

1

ds

x y z

Γ++

⎰

=

⎰

22

)

t

e dt e

--

==-

⎰

（7）ds

y

⎰Γ，其中Γ为空间圆周：

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

+

+

Γ

x

y

z

y

x2

:

2

2

2

.

解：由

2222

x y z

y x

⎧++=

⎨

=

⎩

，得22

22

x z

+=，令

cos

02

x

z

θ

θπ

θ

=

⎧⎪

≤≤

⎨

=

⎪⎩

故

cos

:cos02

x

y

z

θ

θθπ

θ

⎧=

⎪

Γ=≤≤

⎨

⎪

=

⎩

。故

y ds

Γ

⎰Ñ20cos

π

θ

=⎰

2

cos d

π

θθ

=

3

2

22

3

2

2

cos cos cos]

d d d

ππ

π

π

π

θθθθθθ

=-+=

⎰⎰⎰

1．螺旋形弹簧一圈的方程为：)

2

0(

sin

cos

π

≤

≤

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

=

t

kt

z

t

a

y

t

a

x

，设它的线密度为2

2

2

)

,

,

(z

y

x

z

y

x+

+

=

ρ，求：

（1）它关于z轴的转动惯量z I；（2）它的重心坐标.

（1）()

22

z L

I x y ds

ρ

=+

⎰()()

22222

L

x y x

y z ds

=+++

⎰

(

22222

a a k t

π

=+

⎰()

2222

a

a k t dt

π

=+222

2

4)

3

a a k

ππ

=+