01一笔画问题讲义
六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：-第八讲-一笔画问题
第八讲一笔画问题一、一笔画问题问题1 你能一笔画出一个“田”字吗？所谓一笔画出的意思就是在一张纸上（不允许折叠）笔不离纸,而且每一笔划（或称线段）只能画一次,不准重复.对于“串”字或“品”字呢？结果会怎样？（参看图 8－1）通过各种尝试发现,“田”字总也不能一笔画成,而“串”字却可以一笔画成.由于“品”字中的三个“口”字不连在一起,显然也不能一笔画成.我们把那些能一笔画成的图形叫一笔画.一笔画问题主要讨论什么样的图形可以一笔画成.例 1 下列图形哪些能一笔画成？哪些不能一笔画成？经过尝试,你会发现,图 8－2（a）、（c）、（e）是可以一笔画成的.而且图（c）、（e）可从任意一点出发,一笔画成回到出发点,而图（a）只能从A （或D）点出发,一笔画成到 D（或A）点结束.如果图形非常复杂,用这种逐一尝试的方法,则所花的时间较多,且有时还无法下结论.有没有一种简便的判断方法呢？下面就来研究这个问题.上面研究的图形都是由点和线段（或弧）组成的,在数学中叫做图.图形中的点叫图的结点,线段（或弧）叫做图的边.作为一个图,其图形还必须满足以下条件：（1）每条边都有两个端点（可以重合）作为结点；（2）各条边之间互不相交.一个图完全由它的结点和边的个数以及它们相互连结的情况来确定,而与边的曲直长短无关.图中与一个结点相连结的边的条数称为这个结点的度数.度数为偶数的结点叫做偶结点.例如,图 8－3 中结点 C、D、E 都是偶结点.度数为奇数的结点叫做奇结点.例如,图 8－3 中结点A、B、F、G 都是奇结点.任何两点间都有线连接的图称作连通图.（如图8－3 中D 与G 可通过DB、BA、AG 连接）观察例 1 中的五个图,其结点的奇偶性可列成下表：从表中可以发现,一个图能否一笔画成,与图的奇结点的个数有密切联系, 人们总结出如下规律：一个图若是一笔画必定是个连通图.一个连通图,若没有奇结点（即全是偶结点）,那么这个图一定可以一笔画成,而且可以从任一偶结点出发,一笔画成回到出发点.一个连通图,若只有两个奇结点,那么这个图也可以一笔画成.而且只能从某一奇结点出发一笔画成,到另一奇结点结束.一个图,若奇结点个数多于两个,那么这个图就不能一笔画成. 例 2判断下列各图是否能一笔画出来.解：其中（b）、（d）、（e）三个图无奇结点,所以可从任一点出发,一笔画成, 并且回到出发点；（a）、（f）两图各有两个奇结点,所以可从其中一个奇结点出发,一笔画成,到另一个奇结点结束；而图（C）的八个结点都是奇结点,所以不能一笔画出来.当作练习,请把例 2 中能够一笔画的图一笔画出来.二、七桥问题和欧拉定理问题 2 七桥问题.关于一笔画,曾有一个颇为著名的哥尼斯堡七桥问题.事情发生在 18 世纪的哥尼斯堡,有一条河流从这个城市穿过,河中有两个小岛 A、B,河上有七座桥连结两个小岛及河的两岸（参看图 8－5）,那里的居民在星期日有散步的习惯.有的人想,能不能一次走遍七座桥,每座桥只走过一次,最后回到出发点？这个问题似乎不难,谁都想试一试,但谁也没有找到答案.后来有人写信请教著名的瑞士数学家欧拉.欧拉的头脑比较冷静,千百人的失败使他猜想：也许那样的走法根本就不存在.1936 年他证明了自己的猜想.欧拉解决七桥问题的方法独特,思想新颖,非常富有启发性.他用点表示小岛和两岸,用连结两点的线段表示连结相应两地的桥,得到由七条线段连结四个点而成的图形（参看图8－5（b））.这样七桥问题就变成了一个一笔画问题：能不能一笔画出这个图形,并且最后返回起点？前面我们虽然通过对例 1 的分析归纳出了一个连通图是否能一笔画出来的三条结论,但并没有证明,没有说明这是为什么.下面我们简要说明其中的道理.一个连通图能否一笔画成主要是与结点的边数（也称度数）有关.假定某个图能一笔画成,如果结点 P 不是起点或终点,而是中间点,那么 P 一定是个偶结点.因为无论何时通过一条边进入 P,由于不能重复,必须从另一条边离开 P,因此与 P 连结的边一定成对出现,所以 P 是偶结点.如果一个结点 Q 是奇结点,那么在一笔画中只能是起点或终点.由此可以看出,在一个一笔画中,奇结点个数至多只能有两个.由于哥尼斯堡七桥问题相应的图中有四个奇结点,所以不能一笔画成.也就是说,七桥问题无解,证实了欧拉的猜想.欧拉通过对七桥问题的研究,不仅圆满地回答了哥尼斯堡居民提出的问题, 而且得到并证明了更为广泛的上述有关一笔画的三条结论,人们通常称之为欧拉定理.1736 年,欧拉在圣彼得堡科学院作了一次报告,公布了他关于七桥问题的研究成果.欧拉在研究中提出了一种新颖的数学问题及思想方法,它标志着一门崭新的数学学科——图论的诞生.对于一个连通图,通常把从某结点出发一笔画成所经过的路线叫做欧拉路.例如,图 8－6（a）中的图无奇结点,可以从 A 点出发,一笔画成回到 A 点, 其路线为A→D→E→H→D→G→H→I→F→E→B→F→C→B→A.图8－6（b）中的图有两个奇结点 C 和E,可以从E 出发一笔画成,到 C 结束.其路线为E→D→C→B→A→C.这两条路线都是欧拉路.应当注意：一个图如果存在欧拉路,那么不一定是唯一的.人们又通常把一笔画成回到出发点的欧拉路叫做欧拉回路.具有欧拉回路的图叫做欧拉图.例如,图 8－6（a）所表示的路线就是一条欧拉回路,因此相应的图就是一个欧拉图.例3 图8－7 是一公园的平面图,线段表示路径,要使游客走遍每条路且不重复, 问出入口应设在哪里？分析与解：这个问题实质上是一个一笔画问题.图中只有两个奇结点 C 和E,因此,只要把出入口分别设在这两个奇结点处,游客就能由入口进入公园,不重复地走遍每条路,然后从出口处离开公园.例4 能否一笔画出一条曲线,使它和图 8－8 中的八条线段都只相交一次（不准在端点处相交）？分析与解：尝试几次后,会感到很难下结论.事实上,直接寻找答案并不容易.我们可从七桥问题得到启示.原图形把平面分成了五个部分,分别用 A、B、C、D、E 五个点表示.两个点之间的连线正好用来表示与相应的线段相交一次,如图 8 －8（b）.于是,问题就变成了图 8－8（b）中所表示的图能否一笔画成.因为图中A、B、C、D 都是奇结点,因此,它不能一笔画成,即不存在符合题目要求的曲线.例 5 图 8－9 表示一个展览馆的平面图,其中共有五个展览室,每个展览室都有一个门通向室外.能否设计一条参观路线,一次不重复地穿过每一个门并能回到原地.分析与解：如果用 A、B、C、D、E 表示展览室,用F 表示室外,用连线表示相应的门,那么图 8－9（a）就变成了图 8－9（b）于是问题就转化为判断图 8－9（b）是否为欧拉图.由图中可以看出,点 C、D、E、F 都是奇给点,因而图 8－9（b）不具有欧拉回路.所以不是欧拉图.也就是说,不存在题中所要求的那种参观路线.可以进一步考虑,关闭了哪两个门之后,就能设计出符合题中要求的参观路线了？为此,只要使图 8－9（b）变为欧拉图,即使它的奇结点个数为 O 即可.例如抹去线段CD 和EF 后的图就没有奇结点了.也就是说,如果关闭 C、D 之间和E、F 之间的两个门,就能设计出一条参观路线,一次不重复的穿过每一个门,并能回到原地.请你试一试,同时想一想,是否还存在其它的答案,一共有几种？习题八1．判断下列各图是否能一笔画成.2．一个花园的小径如图 8－11 所示,散步者能否不重复地一次走遍全部小径？3．图8－12 中A、B、C、D 是四个防空洞,相邻防空洞之间有地道相通,且每个防空洞各有一条地道与地面相通,能否找到一条路线不重复地走遍所有地道？4．用剪刀能否一次连续剪下图 8－13 所示的纸上的 3 个正方形和2 个三角形？5．一只蚂蚁,从图 8－14 右上角长方形中 P 点出发爬行,它要越过这图中16 条线段.每条线段只能通过一次,且不能通过线段的端点,你认为存在这样的路线吗？806．图8－15 表示一个有九个展室的展览馆平面图,每相邻的展室之间都有一道门相通,能否设计一条参观路线,从入口进去,每道门只通过一次,再由出口出去？如果能,则标出参观路线；如果不能,则考虑至少要增开几道门就可设计出符合要求的路线,并标出“新门”的位置.。
不重复的路-一笔画问题
在一笔画过程中，如果起点和终点是同一点，则称该路径为欧拉回路。如果一个 图存在一个遍历其所有边且每条边只遍历一次的路径，则称该路径为欧拉路径。
一笔画问题的数学描述
图论
一笔画问题属于图论的范畴，图论是研究图 的结构、性质和应用的数学分支。在一笔画 问题中，主要关注的是图的连通性和遍历性 。
在计算机图形学中的应用
图形渲染
一笔画问题在计算机图形学中常用于绘制复杂的图形，如地 图、电路图等。通过解决一笔画问题，可以确定从一个点到 另一个点的最短路径，从而高效地渲染图形。
游戏开发
在游戏开发中，一笔画问题也具有广泛应用。例如，在角色 移动、地图导航等方面，可以利用一笔画算法找到不重复的 路径，提高游戏的流畅性和用户体验。
人才培养
为了推动一笔画问题的研究和发展，需要加强人才培养。未来可以加强图论学科的建设， 提高教师的学术水平和教学能力，培养更多具有创新能力和实践精神的人才，为解决一笔 画问题提供人才保障。Leabharlann HANKS感谢观看05
结论
一笔画问题的研究意义
理论意义
一笔画问题作为图论中的经典问题，对于推动图论学科的发展具有重要意义。通过对一笔画问题的研 究，可以深入探讨图论中的连通性、遍历性和最优化等核心问题，为图论学科的理论研究提供支持。
应用价值
一笔画问题在现实生活中具有广泛的应用价值。例如，在地图导航中，如何规划一条不重复的路径； 在电路设计中，如何避免线路交叉；在物流配送中，如何规划最优的送货路线等。因此，一笔画问题 的研究成果可以为这些领域提供理论指导和技术支持。
问题背景
起源
一笔画问题起源于文艺复兴时期 的数学游戏，后来被欧拉等人系 统化并深入研究。
小学数学一笔画课件
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03
一笔画问题的解题方法
逐步推理法
总结词
通过逐步推理，按照一定的逻辑顺序，确定笔画的路径。
详细描述
逐步推理法是一种常用的解题方法，它通过逐步分析图形的特点和规律，推断出 笔画的路径。这种方法需要有一定的逻辑推理能力，对于一些较为复杂的图形， 需要仔细分析其结构，找出正确的笔画路径。
奇偶点分析法
拉回路是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的闭合路径。
02
奇点与偶点
在图形中，如果一个节点发出的线条数是奇数，则该节点称为奇点；如
果一个节点发出的线条数是偶数，则该节点称为偶点。
03
哈密顿路径和哈密顿回路
哈密顿路径是指一条通过图形的每条边且每条边只通过一次的路径，但
不一定是闭合路径；哈密顿回路是指一条通过图形的每条边且每条边只
计算机科学
一笔画问题在计算机科学 中也有广泛应用，例如在 计算机图形学、算法设计 等领域。
实际应用
一笔画问题在现实生活中 也有很多应用，如地图的 绘制、电路设计、交通规 划等。
02
一笔画问题的数学原理
欧拉公式
欧拉公式
对于一个连通图，其边数和顶点数的关系可以用公式(V - E + F = 2)来表示，其中(V)表示顶点数，(E)表示边数，(F)表示面 数。这个公式是解决一笔画问题的重要依据。
问题的能力。
创新的一笔画问题
总结词
创意问题，挑战性
VS
详细描述
创新的一笔画问题通常涉及更为复杂和创 意的图形，如不规则多边形、立体图形等 ，这类问题旨在激发学生的创造力和挑战 精神。同时，这类问题也可能涉及到数学 中的其他知识点，如平面几何、立体几何 等。
小学三年级奥数一笔画课件
画时以一个单数点为 起点，另一个单数点 为终点
判断下列图形能否一笔画
图1
图3
图5
图2
图4
图6
例1：下面的图能不能一笔画成？如果能， 应怎样画？
1 3 5 7 2 4 6
分析：1、2、3、4、5、6六个点都是两条线的交点，是偶点，7是四条线的交 点，，也是偶点，没有奇点，能一笔画成。
（1）凡是图形中没有单数点的（全是双数点）一定可 以一笔画成。从任意一点出发。 （2）凡是图形中只有一个或者两个单数点（单数点为1个 或者单数点为2个），一定可以一笔画成。画时必须从一 个单数点为起点，以另一单数点为终点。 （3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是 不能一笔画成。
根据今天学习知识，先判断下列图 形能不能一笔画成？再想一想该从 哪里开始画？最后再动手画画看。
邮 局
乙
甲
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走 遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发， 最后都回到邮局（C）。如果要选择最短的线路， 谁先回到邮局？
邮 局
乙
甲
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走 遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发， 最后都回到邮局（C）。如果要选择最短的线路， 谁先回到邮局？
邮 局
乙
甲
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走 遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发， 最后都回到邮局（C）。如果要选择最短的线路， 谁先回到邮局？
能走通（快）
邮 局
乙
甲
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速度走 遍所有的街道，甲从A点出发，乙从B点出发， 最后都回到邮局（C）。如果要选择最短的线路， 谁先回到邮局？（A先到达邮局）
一笔画说课稿
一笔画说课稿第一篇：一笔画说课稿《一笔画问题》说课稿教学目标: 知识技能1、让学生体会用数学知识解决问题的方法。
2、通过其中抽象出点、线的过程，使学生对点、线有进一步的认识。
数学思想生活中的许多问题，可以用数学方法解决，但首先要通过抽象化和理想化建立数学模型。
解决问题通过“一笔画”的数学问题，解决实际问题。
情感态度1、通过探究“一笔画”的规律的活动，锻炼学生克服困难的意志及勇于发表见解的好习惯。
2、通过“一笔画”问题及其结论的了解，扩大学生知识视野，激发学生学习兴趣。
重点运用“一笔画”的规律正确地解决问题。
难点探究“一笔画”的规律。
教学流程安排：活动流程图活动内容和目的活动1 多媒体展示问题多媒体展示问题，引发学生的兴趣，从而乐于接触生活中的数学信息。
活动2 展示名数学家欧拉对七桥问题的建模欧拉利用几何的抽象化和理想化来观察生活，建立了准确的数学模型。
问题3 介绍三个新概念介绍奇点、偶点、一笔画，充分理解概念，为下面探究规律做准备。
活动4 活动探究得出“一笔画”的规律。
活动5 知识的拓宽与深化用“一笔画”规律将七桥问题拓宽与深化。
活动6 课堂练习用“一笔画”规律解决生活中的实际问题活动7 小结体会将实际问题建模成数学问题，再由数学问题解决实际问题的数学思想。
活动8 布置作业把知识巩固、发展、提高课前准备教具：电脑、课件、投影仪学具：铅笔探究的图形。
搜集运用一笔画规律解决的一些实际问题编成练习题。
教学过程一、展示问题引入新课18世纪时风景秀丽的小城哥尼斯堡中有一条河，河的中间有两个小岛，河的两岸与两岛之间共建有七座桥（如图），当时小城的居民中流传着一道难题：一个人怎样才能不重复地走过所有七座桥，再回到出发点？这就是数学史上著名的七桥问题，你愿意试一试吗？二、分析：数学家欧拉知道了七桥问题他用四个点A、B、C、D 分别表示小岛和岸，用七条线段表示七座桥,于是问题就成为如何“一笔画”出图中的图形？通过故事的形式把问题引出来，一方面激发学生的学习兴趣，另一方面也可以让学生感受到他们今天探讨的课题就是当年困扰千百人的问题，这样可以增进学生的求知欲。
01一笔画问题讲义
01⼀笔画问题讲义《我们⼀起玩数学》第⼀讲⼀笔画问题【⽬的】1.通过⼀笔画游戏培养⼩朋友数学与图形结合、转化的思维⽅式，拓展⼩朋友形象及抽象思维的综合使⽤能⼒；2.激发⼩朋友认知⽣活中的数学问题，使⼩朋友具有⼀定的图论基础。
【热⾝游戏】1.不⾛回头路，⼤家把这两个字分别⼀笔画完，期间笔不能离开纸也不能离开线。
⼩朋友⾃⼰分析规律。
⽇⽥2.怎么添⼀笔，让“⽥”字可以⼀笔画？讲解奇数点、偶数点。
3.房间可以重复进，怎么可以不重复的⾛过这个房间所有的门？讲解⾯到点的抽象及怎么化为⼀笔画问题。
【知识梳理】1.怎么分清奇数点、偶数点？从⼀个点引出的线段数量来判定点的奇偶性，为让⼩朋友易理解，从单、双数导⼊奇数、偶数的概念。
释疑：“⼗”字的⼀笔画2.什么情况下可以⼀笔画，从哪个点画起？如果⼀个图形的奇数点数量不⼤于2，则该图形可以⼀笔画。
可以⼀笔画的图形，有奇数点应从奇数点开始画起，没有奇数点的则可从任⼀点画起。
【知识应⽤】1.请⼀笔画出五⾓星，如图。
考虑⼀下有⼏种画法。
2.怎么可以不重复的⾛过这个房间所有的门？如果⾛不通的话，请说明原因；那让你再建⼀个门，你可以提出⼏种建法以保证不重复⾛过所有门？3.下图是厦门市中⼭公园的湖⼼岛和岛间的桥。
你能不重复的把所有桥⼀次性⾛完吗？【知识回顾】1.什么是奇数点、偶数点？2.判断能否⼀笔画的条件，⼀笔画的起点判定。
【知识延伸】18世纪，在东普鲁⼠哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如下图）。
城中的居民经常沿河过桥散步。
城中有位青年很聪明，爱思考，有⼀天，这位青年给⼤家提出了这样⼀个问题：能否⼀次⾛遍7座桥，⽽每座桥只许通过⼀次，最后仍回到起始地点。
这就是举世闻名的七桥问题，当时的⼈们始终没有能找到答案。
⼤数学家欧拉从朋友那⾥听到这个问题，很快便证明了这样的⾛法不存在，并开创了图论与拓扑学的学科体系。
⼩朋友，你试试⽤有这节课讲的⽅法分析⼀下为什么⾛不通呢？下次课我们再来讲解。
最新《一笔画》课件教学讲义ppt课件
问题：
1.本病案应诊断为何病？应用何方？ 2.发病机理是什么？ 3.如何区分虚实证？ 4.治疗原则是什么？
第二章 其他病症 第七节 缺乳
学习目的
掌握缺乳的概念、辨证要点。 熟悉缺乳各证型的临床表现及各证型的病理
机制 了解缺乳各证型的治法与方药加减。
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第二章 其他病症 第七节 缺乳
甲乙两个邮递员去送信，两人以同样的速 度走遍所有的街道，甲从A点出发，乙从 B点出发，最后都回到邮局（C）。如果 要选择最短的线路，谁先回到邮局？
邮局
乙
甲
主页
病案
张某，女，25岁，产后15天，乳汁量少3 天，质稠，乳房胀硬，疼痛，胸胁胀闷， 情志抑郁，叹息则气郁稍缓而胸闷稍舒， 食欲不振，舌质正常，苔薄黄，脉弦。
滞
产后为情志所伤
乳汁排泄
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第二章 其他病症 第七节 缺乳
辨证论治
证型
临床表现
产后乳少或全无，乳 汁清稀，乳房柔软， 气血虚弱 无胀感，神倦食少， 舌淡，苔少，脉细 弱。
产后乳少或全无，乳 房胀硬疼痛，乳汁浓 肝郁气滞 稠，胸胁胀痛，纳 差，舌红，苔薄黄， 脉弦数。
治 法 方剂 补气养血 通乳 通乳。 丹
连通 的图形 有可能 能一笔画
奇点个数超过两个的连通图形不 能一笔画
全都是偶点的连通 图可以一笔画
画时以任一点为起 点，最后仍回到该点
有两个奇点的连通 图可以一笔画
画时以 一个奇点为起 点，另一个奇
点为终点
你能笔尖不离纸，一笔画出图中 的每个图形吗？
下图是一个公园的平面图，要使游人 走遍每一条路不重复，出口和入口应 设在哪儿？
《一笔画》课件
二年级春季数学奥数班第1讲 一笔画
一笔画月日姓名【知识要点】1．概念：一笔画是指笔不离开纸，而且每条线都只画一次不准重复而画成的图形。
2．分类：图中的点可分两大类：（1）双数点：从这点出发的线的数目是双数的，叫双数点。
（2）单数点：从这点出发的线的数目是单数的，叫单数点。
3．规律：一个图形能否一笔画成，关键在于图中单数点的多少。
（1）凡是图形中没有单数点的一定可以一笔画成。
（2）凡是图形中只有两个单数点，一定可以一笔画成，画时必须从一个单数点为起点，最后以另一单数点为终点。
（3）凡是图形中单数点的个数多于两个时，此图肯定是不能一笔画成。
【典型例题】例1．判断下面图形中哪些点是单数点，哪些点是双数点。
例2．下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？（1）（2）（3）（4）例3．如图，能不能一笔画成？如果能，应该怎样画？例4．将下图去掉最少的线改成一笔画图形。
随堂小测姓名成绩1.判断下面图形哪些是单数点，哪些是双数点。
2. 下列图形中各有几个单数点？能一笔画成吗？3. 一个邮递员投递信件要走的街道如下左图，为节约时间，他想自己设计一条线路，可以不重复的走遍每一条街道，你能帮帮他吗？4. 一只蚂蚁要想不重复的爬遍每一条线路，应从哪里出发，到哪里结束？（3）AC E（1）（2）（3）（4）5. 将下图加上最少的线改成一笔画的图形。
【知识拓展】1．为迎接2008年奥运会在北京召开，你能一笔画出奥运会的五环图案吗？2．你能用一笔画成4条线段把下图的9朵小花都连起来吗？课后作业姓名成绩1．判断下面图形中哪些点是单数点哪些点是双数点。
2．判断下面图形能不能一笔画成。
（1）（2）B3．下图能否一笔画成？如果能，应怎样画？4．如图，是一个公园的平面图，请你设计好入口、出口，并给出一种游玩路线，要求走遍每一条路且不重复。
5．如图，是一个名画展厅的平面图，要使参观者不重复地走遍每一条画廊，问：出口、入口应设在哪里？家长签名：【课外知识链接】七桥问题著名古典数学问题之一。
关于一笔画问题的经典探讨PPT培训课件
一笔画定理及其证明
一笔画定理
一个连通图形可以一笔画成当且仅当该图形中奇数个顶点的度数之和为2。
证明过程
首先，根据连通性规则，图形必须是连通的。然后，根据奇偶性规则，如果图 形中奇数个顶点的度数之和为2，则该图形可以一笔画成；如果图形中奇数个顶 点的度数之和不为2，则该图形不能一笔画成。
一笔画定理的应用实例
应用
一笔画问题在计算机科学、电子工 程、运筹学等领域都有广泛的应用。
一笔画问题的重要性和应用领域
理论价值
一笔画问题在数学理论中具有重 要的价值，是图论、组合数学等 领域的重要研究课题之一。
应用价值
一笔画问题在计算机图形学、电 路设计、物流规划等领域都有广 泛的应用，可以帮助人们解决一 系列实际问题。
06
一笔画问题的实际应用案例
地图着色问题
算法设计
解决地图着色问题需要设计一种有效的算法，能够判断给定的地图是否可以一笔画成，并找出最少所需的颜色数 量。常用的算法包括贪心算法、回溯算法等。
实例分析
地图着色问题可以通过实例来分析，例如给定一个包含多个国家的地图，如何使用最少的颜色对各个国家进行着 色，使得相邻的国家颜色不同。
判断一笔画图形
通过计算图形中奇数个顶点的度数之 和，可以判断该图形是否可以一笔画 成。
设计一笔画图案
解决实际问题
一笔画定理在计算机科学、电子工程、 机械工程等领域都有广泛的应用，例 如在电路设计和布线、机器人路径规 划等方面。
利用一笔画定理，可以设计出具有特 定形状和结构的一笔画图案。
03
一笔画问题的经典问题解析
THANKS
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一个顶点的度数为奇数，意味着该顶点是起点或 终点。
第九讲-一笔画问题PPT课件
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9
• 【例题3】 图中是一个公园的道路平面图， 要使游客走遍每条路且不重复，问出、入 口应设在哪里？
分析与解 依据题意可知，此题实际是一笔画问题。由于要设出 口和入口，所以首先应确定有没有奇点，若有，有几个。
因为图中只有E、I两个奇点，所以该道路图可以一笔画， 只要将出、入口分别设在这两个点，游客就可以从入口处进入 公园，不重复地走遍所有道路，而且从出口处离开公园。
重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连
通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢？下面，我
们就来探求解决这个问题的方法。
•
为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做
奇点，把与偶数条边相连的点称为偶点.如上图（a）中的
八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点，G为偶点。
•
容易知道，上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发，
通过观察不难发现，绘画和面塑两个教室所处的位置是奇点，其它均为偶点， 所以可以从这两个教室出发穿过每一扇门并最终到达另一教室。 解答：可以不重复地穿过每扇门，若从绘画教室出发，到面塑教室结束，若从面 塑教室出发，到绘画教室结束，路线有很多种，仅举一例，如右图：
.
15
• 总结：一笔画的问题，给出了下面的欧拉定理：
•
①凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成；画
时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完
此图。
•
②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一
定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点，另一个奇
点为终点。
•
③其他情况的图，都不能一笔画出。
•
下面我们就来研究一笔画问题的具体应用：
.
6
第一讲-一笔画问题
例1．判断下列各图是否 能一笔画出来。
例1．判断下列各图是否 能一笔画出来。
●
1 一对奇点 可以一笔画！
4●
●
1
1. 下面这些图形，哪个 能一笔画出？哪个不能一 笔画出？
例2．下图是一公园的平面图， 线段表示路径，要使游客走遍 每条路且不重复，问出入口应 设在哪里？
2. 填空：
图(1)中有( 图(2)中有( 图(3)中有(
)个奇点，有( )个奇点，有( )个奇点，有(
)个偶点； )个偶点； )个偶点.
3. 下面各图形中，哪个图形能 一笔画出？哪个不能一笔画出？ 能一笔画出的，请把它们画出来？
课 后 练 习
1 请一笔画成下面图形。
2. 在下面各图中，加一条 线或减去一条线后，一笔 画出每个图形.
4. 在下面各图形中，加一 条线或减去一条线后，一笔 画出每个图形，你行吗？
例3．哥尼斯堡七桥问题 18世纪的哥尼斯堡，有一条河流从这个城 市穿过，河中有两个小岛A、B，河上有七 座桥连结两个小岛及河的两岸（如下图 a），那里的居民在星期日有散步的习 惯．那么能不能一次走遍七座桥，每座桥 只走过一次，最后回到出发点呢？
第一讲 一笔画问题
2012秋季二年级
一笔画
指的就是：从图的一点出 发，笔不离纸，遍历每条边恰 好一次，即每条边都只画一次， 不准重复。
我们把一个图形中连着双数 条线的点叫做偶点；相应的把 连着单数条线的点叫做奇点．
一笔画问题：
(1)必须是连通的图形； (2)只由偶点组成的。画时可以由任一 偶点作为起点．最后仍回到这点； (3)只有两个奇点的。画时必须以一个 奇点为起点，以另一个奇点为终点； (4)奇点个数超过两个的图形，一定 不能一笔画．
最佳路线-一笔画问题ppt课件
资金是运动的价值，资金的价值是随 时间变 化而变 化的， 是时间 的函数 ，随时 间的推 移而增 值，其 增值的 这部分 资金就 是原有 资金的 时间价 值
由于那里风景优美，游人众多，在这美丽 的地方，人们议论着一个有趣的问题：能不能 设计一条游览线路，使一个游人不重复的一次 走遍七座桥呢？
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下面就让我们利用欧拉定理来解决一些问题吧！ 下面哪些图形可以一笔画出？
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心得体会
1、通过学习欧拉对七桥问题的思路，把实际 问题转化成“一笔画”的数学问题，从中体会到转 化的数学思想以及从具体到抽象的思想。
2、通过运用“一笔画”的规律解决生活中的 实际问题，把数学问题又转化并应用到实际生活中， 真正体现数学来源于生活并应用于生活这一特点。
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加里宁格勒，旧称哥尼斯堡，是俄罗斯的 海港城市和著名的历史名城，位于波罗的海海 岸，始建于1255年，在那里曾经诞生和培育过 许多伟大的人物。
一笔画问题ppt课件
例题3 数出下图完中整版所ppt课件有三角形的个 数。
16
分析 和三角形AFG一样形状的三角形有5个； 和三角形ABF一样形状的三角形有10个；和三 角形ABG一样形状的三角形有5个；和三角形 ABE一样形的三角形有5个；和三角形AMD一 样形状的三角形有5个，共35个三角形。
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第三节 错中求解
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错中求，往往要采用倒推的方法，从错误 的结果入手分析错误的原因，最后利用和差的 变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的 变化求出因数或被除数、除数。
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例题1 小马虎在做一道加法题时，把一个加数 十位的5错看成2，另一个加数个位上的4错看 成1，结果计算的和为241。正确的和是多少？
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例5：方方和圆圆做一道乘法式题，方方误将 一个因数增加14，计算的积增加了84，圆圆误 将另一个因数增加14，积增加了168。那么， 正确的积应是多少？
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241+33=274
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例题2 小马虎在做一道减法时，把减数十位上 的2看作了5，结果得到的差是342，正确的差 是多少？
把减数十位上的2看成了5说明多减了30，也就 是差少了30. 所以正确结果是342+30=372
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例题3 小马虎在计算一道题目时，把某数乘3 加20，误看成某数除以3减20，得数是72。某 数是多少？正确的得数是多少？
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例题4 小马虎在做两位数乘两位数的题时，把 乘数的个位上的5看作2，乘得的结果是550， 实际应为625。这两个两位数各是多少？
三年级上册数学课件-一笔画问题 全国通用
20.顽强的毅力可以征服世界上任何一座高峰! 2、初三不再有，劝君珍惜之。一年之经历，终身之财富 8、贫不足羞，可羞是贫而无志。 6.在这个并非尽善尽美的世界上，勤奋会得到报偿，而游手好闲则要受到惩罚 5.未曾失败的人恐怕也未曾成功过— 4、书卷多情似故人，晨昏忧乐每相亲。——于谦 8、贫不足羞，可羞是贫而无志。 1.明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 14.要随时牢记在心中：决心取得成功比任何一件事情都重要。 14、读书，这个我们习以为常的平凡过程，实际上是人们心灵和上下古今一切民族的伟大智慧相结合的过程。——高尔基 24.如果我们想要更多的玫瑰花，就必须种植更多的玫瑰树。
让我们什来么看样一的看图，形奇才点偶点 和一笔可画以有一什笔么画关呢系？吧！
然后，我们还要认识两个新朋友，一个叫奇点，一个叫偶 点。
奇点：从我这里出发的线，是单数个噢！ 偶点：从我这里出发的线，是双数个噢！
你能找出奇点和偶点吗？再试试能不能一笔画吧。
你能找出奇点和偶点吗？再试试能不能一Байду номын сангаас画吧。
（） （） （）
（1）有 0 个奇点：可以随意起点随意终点，都能一笔画；
你能什判么断样一的笔图画形了才吗？ 可以一笔画呢？
（2）有 2 个奇点：1号奇点作起点，2号奇点做终点，才能一 笔画；
（3）超过2个奇点，就不能一笔画了。
谁能一次不重复地走遍所有小路？
它想一次不重复地走完每条小路．该从哪个路口出发呢？
我能一次不重复地走遍 所有的小桥吗？
我从哪个入口出发， 才能一次不重复地走遍 所有小路？
这个增如蝴加果蝶一去能条掉一线笔试条画一线出试呢吗？？
哪些图形可以一笔画， 哪些不可以呢？
被我们“否定”的图形 你能把它改成一笔画吗？
第一讲 一笔画问题
中小学课外辅导YAZHI EDUCATION第一讲一笔画问题小朋友们，你们能把下面的图形一笔画出来吗？如果用笔在纸上连续不断又不重复，一笔画成某种图形，这种图形就叫一笔画。
那么是不是所有的图形都能一笔画成呢？这一讲我们就一起来学习一笔画的规律。
典型例题例【1】（1）（2）（3）（4）分析图（1）一笔画出，可以从图中任意一点开始画该图，画到同一点结束。
经过尝试后，可以发现图（2）不能一笔画出。
图（3）不是连通的，显然也不能一笔画出。
图（4）也可以一笔画出，且从任何一点出发都可以。
通过观察，我们可以发现一个几何图形中和一点相连通的线的条数不同。
由一点发出有偶数条线，那么这个点叫做偶点。
相应的，由一点出发有奇数条数，则这个点叫做奇点。
再看图（1）、（4），其中每一点都是偶点，都可以一笔画，且可以从任意一点画起。
而图（2）有4个奇点，2个偶点，不能一笔画成。
这样我们发现，一个图形能否一笔画和这个图形奇点，偶点的个数有某种联系，到底存在什么样的关系呢，我们再看一个例题。
例【2】下面各图能否一笔画成？（1）（2）（3）分析图（1）从任意一点出都可以一笔画成，因为它的每一个点都是与两条线相连的偶点。
关于图（2），经过反复试验，也可找到画法：由A B C AD C。
图中B、D为偶点，A、C为奇点，即图中有两个奇点，两个偶点。
要想一笔画，需从经过尝试，图（3）无法一笔画成，而图中有4个奇点，5个偶点。
中小学课外辅导 YAZHI EDUCATION 解 图（1）、（2）可以一笔画。
但必须从奇点出发，由另一点结束。
如果图形的奇点个数超过两个，则图形不能一笔画出。
例【3】分析 图（1）有两个奇点，两个偶点，可以一笔画，须由A 开始或由B 开始到B 结束或到A 结束。
图（2）有10个奇点，大于2，不能一笔画成。
图（3）有4个奇点，1个偶点，因此也不能一笔画成。
解 图（1）的画法见下图。
例【4】 下图中，图（1）至少要画几笔才能画成？分析 图（1）有4个奇点，所以不能一笔画出。
一笔画问题例题加解析
一笔画问题例题加解析一、什么是一笔画问题。
一笔画问题呀，就像是一个超有趣的小谜题呢。
简单来说，就是在一个图形里，能不能一笔就把这个图形画出来，而且笔不能离开纸，也不能重复画已经画过的线。
这就像是在走迷宫，但是这个迷宫是用线条画出来的。
比如说，一个圆形，那肯定能一笔画出来，就顺着圆的边画一圈就好啦，简单得很。
二、一笔画问题的小规则。
这里面可是有小秘密的哦。
有个叫欧拉的超级聪明的人发现了一些规律。
对于一个连通图（就是这个图里的各个部分都是连着的，没有分开的小块），如果这个图里的奇点（就是从这个点出发的线的数量是奇数条的点）个数是0或者2的时候，这个图就能一笔画出来。
要是奇点个数是0呢，就可以从任何一个点开始画，最后还能回到这个点；要是奇点个数是2呢，就得从其中一个奇点开始画，然后到另一个奇点结束。
三、例题来啦。
1. 比如说这个三角形，我们来看看它能不能一笔画出来呢。
三角形的每个顶点，都有两条线连着，那就是说，它的奇点个数是0。
按照我们刚刚说的规则，它肯定能一笔画出来啦。
怎么画呢？就从三角形的一个顶点开始，顺着边画，绕一圈就画好啦，是不是很容易呢？2. 再看这个正方形加上一条对角线的图形。
这个图形的四个顶点本来都是有两条线连着的，但是加上对角线之后呢，对角线的两个端点就变成了奇点，这时候奇点个数是2。
那按照规则，我们从其中一个奇点开始，沿着边画，就能一笔画出来啦。
四、解析例题。
1. 对于三角形那个例子，因为每个顶点都是偶点（从这个点出发的线的数量是偶数条的点），所以我们在画的时候，就可以很顺畅地绕着图形走一圈，不会出现画不下去或者必须重复的情况。
这就像是在一个没有障碍的小路上散步，一路畅通无阻。
2. 在正方形加对角线的例子里，由于有两个奇点，这就像是两个特殊的出入口。
我们从一个奇点这个特殊的入口进去，然后沿着图形的边和线走，最后到达另一个奇点这个出口，就刚好把整个图形一笔画完了。
如果我们不按照这个规则，从别的点开始画，就会发现画到一半就会走不下去，或者必须要重复画某些线了。
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《我们一起玩数学》
第一讲一笔画问题
【目的】
1.通过一笔画游戏培养小朋友数学与图形结合、转化的思维方
式，拓展小朋友形象及抽象思维的综合使用能力；
2.激发小朋友认知生活中的数学问题，使小朋友具有一定的图
论基础。
【热身游戏】
1.不走回头路，大家把这两个字分别一笔画完，期间笔不能离
开纸也不能离开线。
小朋友自己分析规律。
日田
2.怎么添一笔，让“田”字可以一笔画？讲解奇数点、偶数点。
3.房间可以重复进，怎么可以不重复的走过这个房间所有的门？
讲解面到点的抽象及怎么化为一笔画问题。
【知识梳理】
1.怎么分清奇数点、偶数点？从一个点引出的线段数量来判定
点的奇偶性，为让小朋友易理解，从单、双数导入奇数、偶
数的概念。
释疑：“十”字的一笔画
2.什么情况下可以一笔画，从哪个点画起？如果一个图形的奇
数点数量不大于2，则该图形可以一笔画。
可以一笔画的图形，
有奇数点应从奇数点开始画起，没有奇数点的则可从任一点
画起。
【知识应用】
1.请一笔画出五角星，如图。
考虑一下有几种画法。
2.怎么可以不重复的走过这个房间所有的门？如果走不通的话，
请说明原因；那让你再建一个门，你可以提出几种建法以保
证不重复走过所有门？
3.下图是厦门市中山公园的湖心岛和岛间的桥。
你能不重复的
把所有桥一次性走完吗？
【知识回顾】
1.什么是奇数点、偶数点？
2.判断能否一笔画的条件，一笔画的起点判定。
【知识延伸】
18世纪，在东普鲁士哥尼斯堡城风景秀美的普莱格尔河上有7座别致的拱桥，将河中的两个岛和河岸连结（如下图）。
城中的居民经常沿河过桥散步。
城中有位青年很聪明，爱思考，有一天，这位青年给大家提出了这样一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。
这就是举世闻名的七桥问题，当时的人们始终没有能找到答案。
大数学家欧拉从朋友那里听到这个问题，很快便证明了这样的走法不存在，并开创了图论与拓扑学的学科体系。
小朋友，你试试用有这节课讲的方法分析一下为什么走不通呢？下次课我们再来讲解。
【下节预告】
植树与方阵。