第二讲、代数式—整式与因式分解复习讲义

一、知识点归纳 ★整式部分 （1）代数式的分类
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨
⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式
分式多项式单项式
整式有理式代数式 （2）概念：①代数式： 用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________．注：单独一个_____或一个_____也是代数式．
②代数式的值： 用_____代替代数式的字母计算后所得的_____，叫代数式的________． ③整式： 分母中不含有________的_______式叫整式． ④同类项：条件是 _______________，_____________________.
⑤单项式：是数与字母的______．注：★不含_____运算，★★单独的一个_____或____也是单项式．
⑥多项式：是几个单项式的______． （3）运算：
整式的加减：（实质是去括号，合并同类项）
①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变； ②去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里面各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号．
③添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号． 整式的乘除：
①单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
②单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，在把所得的积相加．mc mb ma c b a m ++=++)
(．
③多项式与多项式相乘：方法★
bn bm an am n m b a +++=++))((
方法★★乘法公式（用于多项式乘法的简便运算） 平方差公式：__________)
)((=-+b a b a ；
完全平方公式：___________)
(2
=+b a ；___________)(2=-b a ．
④单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的因式．
⑤多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． ⑥幂的运算性质（m 、n 为正整数）
____=⋅n m a a ； ____=÷n m a a （0≠a ）； _____
)(=n m a ；
____)(=n ab ．10=a )0(≠a ，)0(1
≠=
-a a
a n n ． ★分解因式部分：
（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解． （2）常用分解因式方法： ①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．
其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最
低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22
=-b a ；__________222=+±b ab a ．
注意：
★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★
公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．
（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字． 注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． （4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形 ．
多项式
整式的积
因式分解方法 1. 提取公因式法：
例：将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解：原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法：
a 2-
b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)
例：64x 6-y 12
解：原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法：
例：(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2
解：原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法：
例：12x 2+10xy -12x +5y -9 解：原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 1
6x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:
例：将
x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。

解： 原式=(x 4+2x 2y 2+y 4)-2(x 2+y 2)z 2+z 4-4x 2y 2=[(x 2+y 2)2-2(x 2+y 2)z 2+z 4]-4x 2y 2=(x 2+y 2-z 2)2-(2xy )2 =(x 2+y 2-z 2+2xy )(x 2+y 2-z 2-2xy )=[(x 2+y 2)2-z 2][(x 2-y 2)2-z 2]=( x 2+y 2+z )( x 2+y 2-z )( x 2-y 2+z )( x 2-y 2-z ) 例题讲解
考点1.解释代数式的意义及代数式的有关概念（选择题、填空题） 1、单项式z y x
32
的系数是 ，次数是 。

2、若
1)1(3+--x m x n 为三次二项式，则2n m +-＝ 。

3、已知
3
y
x m 与
4
x
y n -是同类项，则m ＝ ，n ＝ 。

4、如果2=x
a
，3=y a ，则y x a 32+＝ 。

考点2．列代数式（包括用代数式表示规律）（选择题、填空题）．
1、（09·沈阳·14）有一组单项式：a2，－ a3 2， a4 3，－ a5
4，…．观察它们构成规律，
用你发现的规律写出第10个单项式为 ． 2、某校学生给“希望小学”邮寄每册a 元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费 元。

3、如图：在△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，且∠C ＝900，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。

考点3．求代数式的值（选择题、填空题，计算题）． 1．（09·北京·16）已知2
514x
x -=，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．
考点4．整式的有关概念及其运算（选择题、填空题，计算题）． 1．（09·云南·1）下列计算正确的是（ ）
A ．2
2
2
()a b a b -=- B ．（-2）3 = 8 C ．1
1(
)33-= D ．632a a a ÷=
考点5．幂的意义和四条运算法则（填空题）．
1．（09·江苏·2）计算
23
()a 的结果是（ ）A ．5a B ．6a C ．8a
D ．2
3a
考点6．分解因式（选择题、填空题）． （09·黄冈·9）分解因式：3
654a
a -=________
一、选择题
1．下列计算中，运算正确的有几个（ ）
(1) a5+a5=a10 (2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个
2．计算
的结果是（ ）A 、—2 B 、2 C 、4 D 、—4
3．若，则的值为 （ ） A ． B ．5 C ．D ．2
4．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（ ）
例3第3题图
a
C
A 、
B 、
C 、
D 、
5．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。

A2 B-2 C±2 D±4
6．如图，在长为a的正方形中挖掉
一个边长为b的小正方形（a>b）把余
下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两
个图形（阴影部分）的面积，验证了一
个等式，则这个等式是（）
A.a2-b2=(a+b)(a-b)
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.( a-b)2=a2-2ab+b2
D.（a+2b)(a-b)=a2+ab-2b2
7．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷
水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）A 、
B 、
C 、D、不能确定
8．已知：有理数满足，则的
值为（） A.±1 B.1 C. ±2 D.2
9．如果一个单项式与的积为,则这个单项式为（）
A. B. C. D.
10．的值是（）
A. B. C. D.
11．规定一种运算：a*b=ab+a+b,则a*（-b）+ a*b计算结果为（）
A. 0
B. 2a
C. 2b
D.
12．已知,,则与的值分别是（）
A. 4,1
B. 2,
C.5,1
D. 10,二、
填空题1．若
，则，
2．已知a－ =3，则a2+2的值等于 ·
3．如果x2－kx＋9y2是一个完全平方式，则常数k＝________________；
4．若，则a2－b2＝；
5．已知2m＝x，43m＝y，用含有字母x 的代数式表示y，则y＝________________；三、解答题1．因式分解:
①②③
2．计算：①②③
④（a+2b－3c）（a－2b+3c）3．化简与求值：（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2－a(2a＋b)，其中a=，b ＝－１。

4．已知x(x －1)－(x2－y)＝－2．求的值．
5．观察下列各式：
……
观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来： .
6．阅读下列材料：让我们来规定一种运算：=，例如：
=，再如：=4x-2按照这种运算的规定：请解答下列各
个问题：①= (只填最后结果)②当x= 时, =0 ③求x,y
的值，使== —7（写出解题过程）
7．如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如下图所示，则打包带
的长至少要____________（单位：mm）。

（用含x、y、z的代数式表示）
8.某玩具厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a＞0）个成品，且每个车
间每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名质检员星期一、星期二检查其中两个车间
原有和这两天生产的所有成品，然后星期三至星期五检查另两个车间原有的和本周生产的所有成
品。

假定每个检验员每天检查的成品数相同。

（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a、b的代数式表示）
（2）试求用b表示a的关系式；
（3）若1名质检员1天能检验b
5
4
个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？。