第二讲、代数式—整式与因式分解复习讲义

一、知识点归纳 ★整式部分 （1）代数式的分类⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧无理式分式多项式单项式整式有理式代数式 （2）概念：①代数式： 用______把数与表示数的字母连接而成的式子叫___________．注：单独一个_____或一个_____也是代数式．②代数式的值： 用_____代替代数式的字母计算后所得的_____，叫代数式的________． ③整式： 分母中不含有________的_______式叫整式． ④同类项：条件是 _______________，_____________________.⑤单项式：是数与字母的______．注：★不含_____运算，★★单独的一个_____或____也是单项式．⑥多项式：是几个单项式的______． （3）运算：整式的加减：（实质是去括号，合并同类项）①合并同类项：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母及字母的指数不变； ②去括号法则：括号前面是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉，括号里面各项都不变；括号前面是“－”号，把括号和它前面的“－”号去掉，括号里各项都变号．③添括号法则：括号前面是“＋”号，括到括号里的各项都不变；括号前面是“－”号，括到括号里的各项都变号． 整式的乘除：①单项式相乘：把它们的系数、相同字母分别相乘；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．②单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式乘以多项式的每一项，在把所得的积相加．mc mb ma c b a m ++=++)(．③多项式与多项式相乘：方法★bn bm an am n m b a +++=++))((方法★★乘法公式（用于多项式乘法的简便运算） 平方差公式：__________))((=-+b a b a ；完全平方公式：___________)(2=+b a ；___________)(2=-b a ．④单项式相除：把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的因式．⑤多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． ⑥幂的运算性质（m 、n 为正整数）____=⋅n m a a ； ____=÷n m a a （0≠a ）； _____)(=n m a ；____)(=n ab ．10=a )0(≠a ，)0(1≠=-a aa n n ． ★分解因式部分：（1）概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做把这个多项式因式分解． （2）常用分解因式方法： ①提取公因式法：_____________=++mc mb ma ．其分解步骤为：★确定多项式的公因式：公因式＝各项系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积；★★将多项式除以它的公因式从而得到多项式的另一个因式． ②运用公式法：__________22=-b a ；__________222=+±b ab a ．注意：★如果多项式中各项含有公因式，应该先提取公因式，再考虑运用公式法；★★公式中的字母，即可以表示一个数，也可以表示一个单项式或者一个多项式． ③分组分解法．多项式四项及以上的考虑用这种方法．（3）分解因式的一般步骤：一提二套三分组，二次三项想十字． 注：必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止． （4）整式乘法与分解因式的区别和联系：互为逆变形 ．多项式整式的积因式分解方法 1. 提取公因式法：例：将2x 3n -20x 2n y 3+50x n y 6分解因式. 解：原式=2x n (x 2n -10x n y 3+25y 6) =2x n (x n -5y 3)2 2. 公式法：a 2-b 2=(a -b )(a +b ) a 2±2ab +b 2=(a ±b )2 a 3+b 3=(a +b )(a 2-ab +b )2 a 3-b 3=(a -b )(a 2+ab +b 2)例：64x 6-y 12解：原式=(8x 3+y 6)(8x 3-y 6)=(2x +y 2)(4x 2-2xy 2+y 4)(2x -y 2)(4x 2+2xy 2+y 4) 3. 分组分解法：例：(am +bn )2+(an -bm )2+c 2m 2+c 2n 2解：原式=a 2m 2+b 2n 2+2abmn +a 2n 2+b 2m 2-2abmn +c 2m 2+c 2n 2=a 2m 2+b 2n 2+a 2n 2+b 2m 2+c 2(m 2+n 2) =(m 2+n 2)(a 2+b 2+c 2) 4.十字相乘法：例：12x 2+10xy -12x +5y -9 解：原式=12x 2+(10y -12)x +5y -9 2x 16x 5y -9∴ 原式=(2x +1)(6x +5y -9) 5.配方法:例：将x 4+y 4+z 4-2x 2y 2-2x 2z 2-2y 2z 2分解因式。

解： 原式=(x 4+2x 2y 2+y 4)-2(x 2+y 2)z 2+z 4-4x 2y 2=[(x 2+y 2)2-2(x 2+y 2)z 2+z 4]-4x 2y 2=(x 2+y 2-z 2)2-(2xy )2 =(x 2+y 2-z 2+2xy )(x 2+y 2-z 2-2xy )=[(x 2+y 2)2-z 2][(x 2-y 2)2-z 2]=( x 2+y 2+z )( x 2+y 2-z )( x 2-y 2+z )( x 2-y 2-z ) 例题讲解考点1.解释代数式的意义及代数式的有关概念（选择题、填空题） 1、单项式z y x32的系数是 ，次数是 。

2、若1)1(3+--x m x n 为三次二项式，则2n m +-＝ 。

3、已知3yx m 与4xy n -是同类项，则m ＝ ，n ＝ 。

4、如果2=xa，3=y a ，则y x a 32+＝ 。

考点2．列代数式（包括用代数式表示规律）（选择题、填空题）．1、（09·沈阳·14）有一组单项式：a2，－ a3 2， a4 3，－ a54，…．观察它们构成规律，用你发现的规律写出第10个单项式为 ． 2、某校学生给“希望小学”邮寄每册a 元的图书240册，若每册图书的邮费为书价的5％，则共需邮费 元。

3、如图：在△ABC 中，∠A 、∠B 的对边分别为a 、b ，且∠C ＝900，分别以AC 、BC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 。

考点3．求代数式的值（选择题、填空题，计算题）． 1．（09·北京·16）已知2514xx -=，求2(1)(21)(1)1x x x ---++的值．考点4．整式的有关概念及其运算（选择题、填空题，计算题）． 1．（09·云南·1）下列计算正确的是（ ）A ．222()a b a b -=- B ．（-2）3 = 8 C ．11()33-= D ．632a a a ÷=考点5．幂的意义和四条运算法则（填空题）．1．（09·江苏·2）计算23()a 的结果是（ ）A ．5a B ．6a C ．8aD ．23a考点6．分解因式（选择题、填空题）． （09·黄冈·9）分解因式：3654aa -=________一、选择题1．下列计算中，运算正确的有几个（ ）(1) a5+a5=a10 (2) (a+b)3=a3+b3 (3) (-a+b)(-a-b)=a2-b2 (4) (a-b)3= -(b-a)3 A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个2．计算的结果是（ ）A 、—2 B 、2 C 、4 D 、—43．若，则的值为 （ ） A ． B ．5 C ．D ．24．已知(a+b)2=m ，(a —b)2=n ，则ab 等于（ ）例3第3题图aCA 、B 、C 、D 、5．若x2+mx+1是完全平方式，则m=（）。

A2 B-2 C±2 D±46．如图，在长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a>b）把余下的部分剪拼成一个矩形，通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A.a2-b2=(a+b)(a-b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2C.( a-b)2=a2-2ab+b2D.（a+2b)(a-b)=a2+ab-2b27．如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（）A 、B 、C 、D、不能确定8．已知：有理数满足，则的值为（） A.±1 B.1 C. ±2 D.29．如果一个单项式与的积为,则这个单项式为（）A. B. C. D.10．的值是（）A. B. C. D.11．规定一种运算：a*b=ab+a+b,则a*（-b）+ a*b计算结果为（）A. 0B. 2aC. 2bD.12．已知,,则与的值分别是（）A. 4,1B. 2,C.5,1D. 10,二、填空题1．若，则，2．已知a－ =3，则a2+2的值等于 ·3．如果x2－kx＋9y2是一个完全平方式，则常数k＝________________；4．若，则a2－b2＝；5．已知2m＝x，43m＝y，用含有字母x 的代数式表示y，则y＝________________；三、解答题1．因式分解:①②③2．计算：①②③④（a+2b－3c）（a－2b+3c）3．化简与求值：（a＋b）（a－b）＋（a＋b）2－a(2a＋b)，其中a=，b ＝－１。

4．已知x(x －1)－(x2－y)＝－2．求的值．5．观察下列各式：……观察等式左边各项幂的底数与右边幂的底数的关系，猜一猜可以得出什么规律，并把这规律用等式写出来： .6．阅读下列材料：让我们来规定一种运算：=，例如：=，再如：=4x-2按照这种运算的规定：请解答下列各个问题：①= (只填最后结果)②当x= 时, =0 ③求x,y的值，使== —7（写出解题过程）7．如图，要给这个长、宽、高分别为x、y、z的箱子打包，其打包方式如下图所示，则打包带的长至少要____________（单位：mm）。

（用含x、y、z的代数式表示）8.某玩具厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个车间都原有a（a＞0）个成品，且每个车间每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名质检员星期一、星期二检查其中两个车间原有和这两天生产的所有成品，然后星期三至星期五检查另两个车间原有的和本周生产的所有成品。

假定每个检验员每天检查的成品数相同。

（1）这若干名检验员1天检验多少个成品？（用含a、b的代数式表示）（2）试求用b表示a的关系式；（3）若1名质检员1天能检验b54个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？。