一、二维形式的柯西不等式(优秀经典公开课教案及练习解答)

二维形式的柯西不等式

学习目标：1。认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；

2. 通过运用这种不等式分析解决一些问题，体会运用经典不等式的一般方法 重点难点：柯西不等式的证明思路，运用这个不等式证明不等式。

教学过程：

一、引入：

除了前面已经介绍的贝努利不等式外，本节还将讨论柯西不等式、排序不等式、平均不等式等著名不等式。这些不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是进一步学习数学的重要工具。

1、什么是柯西不等式：

定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则

22222)())((bd ac d c b a +≥++，

其中等号当且仅当bc ad =时成立。

证明：略。

推论：

1． ||2222bd ac d c b a +≥+⋅+(当且仅当ad=bc 时，等号成立.)

2．),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当ad=bc 时，等号成立.)

3．||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当|ad|=|bc|时，等号成立） 例1：已知a,b 为实数，求证2

332244)())((b a b a b a +≥++ 说明：在证明不等式时，联系经典不等式，既可以启发证明思路，又可以简化运算。所以，经典不等式是数学研究的有力工具。

例题2：求函数x x y 21015-+-=的最大值。

分析：利用不等式解决最值问题，通常设法在不等式的一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件。这个函数的解析式是两部分的和，若能化为ac+bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值。（2222||d c b a bd ac +⋅+≤+）

解：函数的定义域为【1，5】，且y>0

3

6427)5()1()2(552152222=⨯=-+-⨯+≤-⨯+-⨯=x x x

x y 当且仅当x x -⨯=-⨯5512时，等号成立，即27

127=x 时，函数取最大值36 课堂练习：1. 证明: (x 2+y 4)(a 4+b 2)≥(a 2x+by 2)2

2.求函数x x y -+-=6453的最大值.

例3.设a,b 是正实数，a+b=1，求证411≥+b

a 分析：注意到)11)((11

b a b a b a ++=+，有了)11)((b

a b a ++就可以用柯西不等式了。

课堂练习： 已知x+2y=1, 求x 2+y 2的最小值.

几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A （b a ,），B （d c ,），那么它们的数量积为bd ac +=•βα， 而22||b a +=α，22||d c +=β，

所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα•≥⋅，

其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

2、定理2：（柯西不等式的向量形式）设α，β为平面上的两个向量，则

||||||βαβα•≥⋅，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立。

3、定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：

231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+- 分析：（课件）

思考：三角形不等式中等号成立的条件是什么？

小结：灵活运用类似a+b=1等式子，把问题化成可以应用柯西不等式的结构，是解决问题的关键。

作业：