平方可积函数

平方可积函数的认识
1、平方可积函数的来源与定义
平方可积函数是连续物理过程，而连续是由离散情况变化而来，因此这里将首先引入离散情况。

现在考虑一个问题：要测量某个物理量在不同条件下的值，设有N 个温度值，第一次测量结果是：
(1)(1)(1)
12,,,N a a a
第二次测量结果是：
(2)(2)(2)12,,,N a a a
评估两次测量的偏差，最直接的设想是计算每个温度下测量偏差之和：
(1)(2)1
1()N
k k k a
a N
=-∑
其实就是平均值，但是这并不能反映真实情况，因为各项有正有负可能抵消，在
极端的情况下，平均值可以为0，而实际上两次测量可以存在很大误差。

于是，采用：
(1)(2)
11N
k k
k a
a N
=-∑ 这虽然避免了正负相消，但是绝对值是很不方便运算的，因此考虑更常见的
(1)(2)21
1
()N
k k k a
a N
=∆=
-∑
但是∆的量纲很明显的不对，于是对上式进行开方得到：
1
(1)(2)221
1
[
()]N
k
k
k a
a N
δ==-∑
δ的量纲显然与测量值(1)k a 、(2)k a 一致，因此它是合理的。

∆称为方差，δ称为标准差。

上述考虑的是离散情况下，如果观测的物理量对温度的变化是连续进行的，则相应的会有两个函数(1)()f x 和(2)()f x 。

类似于上式，存在函数平方的积分(1)(2)2[()()]b
a f x f x dx -⎰。

总之，经过发现可以得出把一
个函数平方再积分，用这个量来刻画函数性质在种种物理过程中是十分有效的。

由于已知黎曼积分本质上是适用于连续函数的积分，但是由于统计思想的深入，不得不考虑连续函数或不光滑函数。

因此，这里的积分考虑的是勒贝格积分理论。

定义1设()f x 是E R ⊂上的可测函数，而且2
()f x 在E 上可积，这种函数的集合称为平方可积函数空间，记作2()L E （或简单记作2L ）。

2、平方可积函数的长度与角度
定义2L 空间的基本思想就是希望它尽可能的与欧式空间在几何上接近。

已知欧式空间的几何学有两个基本的量，一个是长度，一个是角度。

然而离散情况下的长度是1
2(1)21()N
k
k a
=∑，现在就引出两个2L 函数()f x 和()g x 下的长度。

定义2设()f x 、2()()g x L E ∈，定义()f x 的模（或称范数，就是长度）为
2
2
12()
(())L E
f x f x dx =⎰
定义实2L 空间中()f x 和()g x 内积为
2,()()L E
f g f x g x dx <>=⎰
复2L 空间中()f x 和()g x 内积为
2(,)()()L E
f g f x g x dx =⎰
上述给出的都是2L 空间中函数长度的计算方法，下面将角度引入到2L 空间中。

根据N R 空间中两个向量,a b ，余弦定律是cos a b a b θ⋅=⋅，则一定有
a b a b ⋅≥⋅。

即存在一个θ角使定律成立，所以把角度引入2L 中，就应该亦存
在与余弦定理相应的不等式。

定理3（Schwarz 不等式）若()f x 、2()()g x L E ∈为实值或者是复值函数，则下式成立：
22
12()()(()())E
E
E
f x
g x dx f x dx g x dx ≤⋅⎰
⎰⎰
而且等号当且仅当()f x 与()g x 几乎处处相差一个常数因子时成立。

3、2L 空间中规范正交系
定义3若两个2()L E 函数之内积为0，则说它们相互正交，若一个2()L E 函数范数为1，就称为归一的，规范的（归一函数自然不会几乎处处为0），若一个2()L E 函数序列{()}k f x 适用(),()i j ij f x f x δ<>，则称{()}k f x 为一个归一或规范正交系
（简记..o n 系）。

若2()()f x L E ∈而{()}k f x 为2()L E 中..o n 系，则有贝塞尔不等式成立：
2
2
1k
k f
a ∞
=≥∑ 定义4若{()}k f x 是2()L E 中..o n 系，若再没有一个非（即不处处为0）的2()L E 函数与一切()k f x 正交，就说{()}k f x 是完全的..o n 系。

定理5..o n 系{()}k f x 为完全的必要充分条件是对任意的2()()f x L E ∈有等号成立：
2
2
1(,)k
k k k f
a a f f ∞
===∑
被称为封闭式方程或帕塞瓦尔等式。

定理6 设{()}k f x 是2()L E 中一个柯西序列，即对任一0ε>，均有()N ε存在，使当,()n m N ε>时n m f f ε-<，则必存在唯一的2()()f x L E ∈，使0n f f -→而
且n f f →。

在2()L E 中可以找到完全的..o n 系{()}k f x 后，任意的2()()f x L E ∈就可以展开为一下形状的级数
1()(),,(,)k k k k k k k f x a f x a f f a f f ∞
===<>=∑或（）
称它为()f x 之关于..o n 系{()}n f x 的傅里叶级数，已知此级数在2L 意义下收敛于
()f x ，拍斯维尔等式指出
212
1()
(,)k k k k f a a f f ∞
===∑
由于2()L E 函数()f x 与一个序列对应：
12()~(,,,,)k f x ααα
可以很容易得到，双方是一对一的，而且保持线性空间结构，2()()f x L E ∈，因
此有内积和范数，如若还有另一个2()()g x L E ∈对应于12(,,,,)k βββ ，则
1
()()k k k f x f x α∞
==∑，1
()()k k k g x f x β∞
==∑，可以证明
2
2
22
1
1
1
,k k
k
k k k k f g f
g
αβα
β∞
∞
∞
===<>===∑∑∑
因此，在集合12{,,,,}k ααα 中也可以引入内积和范数
11
,(,)k k
k k
k k αβαβαβαβ∞
∞
==<>==∑∑
2
2
2
21
1
()k
k k k α
α
α
α∞∞
====∑∑或
这里12(,,,,)k αααα= ，12(,,,,)k ββββ= 。

在这个集合中引入线性结构有上述定义的内积与范数后，可以得到一个空间，记作2l 。

2l 和2()L E 是线性同构的，这个同构是由2()L E 中的一个完全的..o n 系来实现的，选择不同的..o n 系得到不同的同构，但总是同构的，这个同构还是等距的。

2()L E 与2l 同构，而2l 是一个含有无穷多个线性无关向量的基底，例如
{(1,0,,0,);(0,1,,0,);(0,0,,0,1,0)} ，所以2l 是无穷维向量。

所以与其
同构的2()L E 也是无穷维的，而上述2l 的基底就对应于2()L E 的一个完全
..o n 系12{(),(),(),}k f x f x f x 。

综上，2()L E 空间是具有无穷维的欧式空间的结构，且性质简单而丰富，仅次于N R 空间。