大学物理

8、一车技演员在半径为R的圆形轨道内进行车技表演， 其速率与时间的关系为 v ct 2 （式c中为常量），求： (1) 他运动的路程与时间的关系；
(2) t 时刻他的切向加速度和法向加速度。 (习题一 , 8 )
解
(1)
1 3 s ct dt ct 两边积分,得 3 0 dv at 2ct (2) 切向加速度： at dt
速度 v __________,加速度a ________。 (复习题 ,二.2)


解：
dv 速度 v 4t i 3 j m s dt dv 加速度 a 4 i m s2 dt
2 2、已知一质点的运动方程为 r 2t i 2 t j (SI ) ，则
t 2 s t 1s 时速度： v (1s) 2i 2 j , 速率：v(1s) 2 2 速度增量： v v (2s) v (1s) 2 j
速率增量：
v 2 5 2 2 2( 5 2 )
3、一质点在xy 平面内运动，其运动方程分为 x 3 cos 4t , y 3 sin 4t ，试求： (1) 质点任一时刻的速度和加速度的表示式； (2) 质点的切向加速度和法向加速度的大小。
间的关系式。
(复习题 ,三.3)
解：
利用变量变换关系
dv dv dx vdv a dt dt dx dx
v x x
vdv adx
两边积分,
vdv adx 1 x dx
1
1 2 1 2 v 1 x 2 2
0
0
∴ 速度与位置的关系为： v x 1
2
ds v dt
ds vdt ct 2 dt
t
法向加速度：
v2 an R
c 2t 4 an R
(1)
位矢： r t 2 s 4 i 11 j (2) t =2秒时 v t 2 s 2 i 8 j 速度：v vx i v y j a t 2 s 4 j 加速度： a ax i a y j
｛ y 19 2t
2
利用变量变换关系
vdv a kv x dx
2
dv dv dx vdv a dt dt dx dx dv xdx kv
x
两边积分,
Baidu Nhomakorabea
1 2 dv 1 v 2 ( x x0 ) ln 2 kv k v0 x0
∴
v v0e
k 2 (x0 x 2 ) 2
解：
(复习题 ,三.1)
dx dy j 12 sin 4ti 12 cos 4tj ( SI ) (1) 速度： v i dt dt dvx dvy 加速度： a 48con4ti 48 sin 4tj ( SI ) dt dt 2 2 (2) 速度大小： v (vx v y )1 2 12
解
（1）速度方程
(复习题 ,三.4)
dv a kv2 t dt v t dv 两边积分, 2 k tdt v v0 0
得：
dv ktdt 2 v 1 1 1 2 kt v0 v 2
2v0 v 2 k t2 v0
（2）当加速度为 a kv x 时
x 2t
消去 t
2
x2 y 19 2
(3) 位置矢量与速度矢量垂直,即有： r v 0
解上述点积方程，得： t 0 s,
t3s
还可以求解切向加速度和法向加速度吗？
速度： 加速度：
v 2i 4tj a 4 j
(上面已求得)
可得速率表达式：


t 2 秒时质点的位置矢量为________；2秒末的速度为
_______、速率为__________ ； 1 s和 t 2 s 时间内速度的 t 增量_________、速率的增量_______。 (复习题 ,二.3) 解： 位矢： r(2s) 4i 2 j dr t 2s 2i 2tj 速度： v v (2s) 2i 4 j dt 2 2 速率： v(2s) v x v y 2 5
运动方程
v0 x x0 1 e kt k
3、质量为m的质点最初静止在 x 0 处，在力 F (k是常数)的作用下沿 x 轴运动，求质点在 x
k x2 处得速度。
解
质点加速度
F k a 2 m mx
(复习题 ,三.8)
dv dv dx vdv a , dt dt dx dx
5、一质点沿 x 轴运动，其加速度 a 与位置坐标 x 的关 系为： 4 3x 2 SI 。若质点在原点处的速度为零， a 试求其在任意位置处的速度。 (习题一 , 5 )
解
利用变量变换关系
dv a dt
vdv a dx
x x
vdv adx
1 2 v adx 4 3 x 2 dx 4 x x 3 两边积分, 2 0 0
第2章 质点运动学 习题课
质点运动学
质点运动学的两类基本问题
（1）第一类问题：已知运动方程，求质点的速度和加速度
---微分法。
（2）第二类问题：已知速度函数（或加速度函数）及初始条 件，求质点的运动方程—---积分法。
（1）第一类问题：已知运动方程，求质点的速度和加速度 ---微分法。
2 1、已知质点的运动方程为 r 2t i 3t j (SI ) , 则其t 时刻的
解
dv a dt
∴ 速度
2
dv adt
v 2t 5
2
v v0 adt 4tdt
0
t
t
t
0
dx vdt (2t 5)dt
∴ 运动方程
x 5 (2t 2 5)dt
0
2 3 x t 5t 5 3
2、一质点沿x轴运动，已知加速度与速度的关系为 a kv k为常数 ,初始位置 x 0 ,初始速度 v 0 , 则该质点 的 速度方程为____________ ，运动方程为___________。
v x
k vdv adx - 2 dx mx
两边积分,
k vdv x mx 2 dx 0 0
得：
v
2 k k ( ) m x x0
4、一质点作直线运动，在 t 0 时 v v0 , x x0,（1）当加 速度大小为 a kv2 t ( k 为大于零的常量）时，求质点 的速度方程；（2）当加速度大小为 a kv2 x 时呢？
2 2 v v x v y 2 2 ( 4t)2 4 16t 2
∴
切向加速度：
法向加速度：
dv d at 4 16t 2 dt dt
an a 2 at
（2）第二类问题：已知速度函数（或加速度函数）及初始条
件，求质点的运动方程—---积分法。 1、一质点沿 x 轴作直线运动，其加速度 a 4t SI ,t =0时 质点在初位置 x0 5 m ,初速度v0=5m/s,则该质点的速度方 程为________，运动方程为__________。 (复习题 ,二.4)
2
ds v t dt
ds vdt
t
(2)
dv 2ct 切向加速度： at dt v 2 (ct2 )2 c 2t 4 法向加速度： an R R R
7、一物体沿x轴运动，其加速度和位移间的关系式为
a 1 x ,在x=0处的速度 v0 1m s 。求物体速度与位置之
(复习题 ,二.7)
解
v 2 ( 3t 2 4t)2 dv , at 6t 4, 切向加速度 an 切向加速度 R R dt
总加速度
ds 3t 2 4t 速度 v dt
a a t an
2
2
将 t =2s代入上面3个加速度表式中，得：
at t 2 s 16 m s , a n
解
(复习题 ,二.5)
dv dv a kv dt dt v dv t ktdt 速度方程 两边积分 v0 v 0 dx v dx vdt dt
dv kdt v
v v0 e kt
d x vdt
x x0 v0 e dt
kt 0
t
切向加速度： 法向加速度：
an a 48 m / s 2
dv at 0 dt
4、一质点做半径R为25m的圆周运动，所经过的路程与时 间的关系为按规律 s t 3 2t 2 SI ,则t =2s时质点的切向 加速度 a t __________ ，法向加速度 a n ____________, 总加速度的大小 a ___________ 。
2
t 2 s
16 m s ,
2
a 22 .6 m s
2
2 5、已知质点的运动方程为 r 2t i 19 2t j SI ，求： (1)轨道方程；(2)t=2秒时质点的位置、速度以及加速度；
(3) 什么时候位置矢量恰好与速度矢量垂直.
(复习题 ,三.2)


解


∴
v (8 x 2 x )
3
1
2
6、一车技演员在半径为 R 的圆形轨道内进行车技表演，其 速率与时间的关系为 v ct 2（式中为常量），求： (1) 他运动的路程与时间的关系； (2) t 时刻他的切向加速 度和法向加速度。 (习题一.8)
解：
(1) ∴
1 3 s vdt ct dt ct (m) 3 0 0