(完整word版)五年级奥数题：约数与倍数(A).docx

四 约数与倍数 (A)
年级
班 姓名 得分
一、填空题
1 ．28 的所有约数之和是 _____. 2. 用 105 个大小相同的正方形拼成一个长方形
, 有 _____种不同的拼法 .
3. 一个两位数 , 十位数字减个位数字的差是 28 的约数 , 十位数字与个位数字的积是 2
4. 这个两位数是 _____.
4. 李老师带领一班学生去种树 , 学生恰好被平均分成四个小组 , 总共种树 667 棵, 如果师生每人种的棵数一样多 , 那么这个班共有学生 _____人 .
5. 两个自然数的和是 50, 它们的最大公约数是 5, 则这两个数的差是 _____.
6. 现有梨 36 个, 桔 108 个 , 分给若干个小朋友 , 要求每人所得的梨数 , 桔数相 等 , 最多可分给 _____个小朋友 , 每个小朋友得梨 _____个 , 桔 _____个.
7. 一块长 48 厘米、宽 42 厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片 _____块 .
8. 长 180 厘米 , 宽 45 厘米 , 高 18 厘米的木料 , 能锯成尽可能大的正方体木块 ( 不余料 )_____ 块.
9. 张师傅以 1 元钱 3 个苹果的价格买苹果若干个 , 又以 2 元钱 5 个苹果的价格将这些苹果卖出 , 如果他要赚得 10 元钱利润 , 那么他必须卖出苹果 _____个 .
10. 含有 6 个约数的两位数有 _____个 . 11．写出小于 20 的三个自然数，使它们的最大公约数是 1，但两两均不互
质，请问有多少组这种解？
12．和为 1111 的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？
13．狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳 4 1 米，黄鼠狼每次跳
2 3 米，
2
4 它们每秒钟都只跳一次 . 比赛途中 , 从起点开始每隔 12 3
米设有一个陷井 , 当它们 8
之中有一个掉进陷井时 , 另一个跳了多少米 ?
14. 已知 a 与 b 的最大公约数是 12, a 与 c 的最小公倍数是 300, b 与 c 的最 小公倍数也是 300, 那么满足上述条件的自然数 a, b, c 共有多少组 ?
( 例如 : a=12、b=300、c=300，与 a=300、b=12、c=300 是不同的两个自然数
组 )
———————————————答 案——————————————————————
答 案:
1． 56
28 的约数有 1,2,4,7,14,28,
它们的和为
1+2+4+7+14+28=56.
2. 4
因 105 的数有105 和 1,35 和 3,21 与
1,3,5,7,15,21,35,105
5,15 与 7. 所以能拼成
能拼成的方形的与分是
4 种不同的方形 .
3. 64
因 28=2 2 7, 所以 28 的数有 6 个:1,2,4,7,14,28.在数字
中，只有 6 与 4 之，或者 8 与 3 之是 24，又 6-4=2，8-3=5.
故符合目要求的两位数有64.
0,1,2,⋯，9
4. 28
因667=23 29, 所以班生每人种的棵数只能是667 的数:1,23,29,667. 然 , 每人种 667 棵是不可能的 .
当每人种 29 棵 , 全班人数是 23-1=22, 但 22 不能被 4 整除 , 不可能 .
当每人种 23 棵 , 全班人数是29-1=28, 且 28 恰好是 4 的倍数 , 符合目要求 .
当每人种 1 棵 , 全班人数是 667-1=666, 但 666 不能被 4 整除 , 不可能 .
所以 , 一班共有 28 名学生 .
5. 40或20
两个自然数的和是50, 最大公数是35, 它的差分 (45-5=)40,(35-15=)20,5, 两个自然数可能是
所以填 40 或 20.
5 和45,15和
[ 注 ] 这里的关键是依最大公约数是 5 的条件, 将50 分拆为两数之和:50=5+45=15+35.
6. 36,1,3.
要把梨 36 个、桔子 108 个分若干个小朋友，要求每人所得的梨数、桔子相等，小朋友的人数一定是36 的数，又要是 108 的数，即一定是 36 和 108
的公数 . 因要求最多可分多少个小朋友, 可知小朋友的人数是36 和 108 的
最大公数 .36 和 108 的最大公数是36, 也就是可分 36 个小朋友 .
每个小朋友可分得梨 : 3636=1( 只)
每个小朋友可分得桔子 : 10836=3( 只)
所以 , 最多可分得 36 个小朋友 , 每个小朋友可分得梨 1 只, 桔子 3 只.
7. 56
剪出的正方形布片的能分整除方形的48 厘米及 42 厘米 , 所以它是 48 与 42 的公数 , 目又要求剪出的正方形最大, 故正方形的是48 与
42 的最大公数 .
因 48=222 23,42=2 3 7, 所以 48 与 42 的最大公数是 6., 最大正方形的是 6 厘米 . 由此可按如下方法来剪 : 每排剪 8 , 可剪 7
, 共可剪 (486)(426)=87=56( ) 正方形布片 .
8.200
根据没有余料的条件可知、和高分能被正方体的棱整除, 即正方体的棱是180,45 和 18 的公数 . 了使正方体木尽可能大 , 正方体的棱是180、45 和 18 的
最大公数 .180,45 和 18 的最大公数是 9, 所以正方体的棱是 9 厘米 . , 180 厘米可
公成 20 段, 45 厘米可分成 5 段, 高 18 厘米可分成 2 段. 根木料共分割成 (180 9)
(45 9) (18 9)=200 棱是 9 厘米的正方体 .
9. 150
根据 3 与 5 的最小公倍数是15, 老傅以 5 元15 个苹果 , 又以 6 元
钱卖出 15 个苹果 , 这样 , 他 15 个苹果进与出获利
150 个苹果 . 1 元. 所以他获利
10 元必须卖出
10. 16
含有 6 个约数的数 , 它的质因数有以下两种情况 : 一是有 5 个相同的质因数连
乘；二是有两个不同的质因数其中一个需连乘两次，如果用 M 表示含有 6 个约
数的数，用 a 和 b 表示 M 的质因数，那么
M
a 5 或 M
a 2
b
因为 M 是两位数，所以 M= a 5 只有一种可能 M=25 ，而 M= a 2
b 就有以下
15 种情况：
M 22 3, M 22 5, M 22 7 ， M
22 11, M 22 13, M 2 2 17 ， M 22 19, M 22 23, M
32 2 ，
M 32 5, M
32 7, M 32 11 ，
M
52 2, M 52 3, M 7 2
2 .
所以 , 含有 6 个约数的两位数共有 15+1=16(个)
11. 三个数都不是质数 , 至少是两个质数的乘积 , 两两之间的最大公约数只能分别是 2,3 和 5, 这种自然数有 6,10,15 和 12,10,15 及 18,10,15 三组 .
12. 四个数的最大公约数必须能整除这四个数的和 , 也就是说它们的最大公约数应该是 1111 的约数 . 将 1111 作质因数分解 , 得
1111=11 101
最大公约数不可能是 1111, 其次最大可能数是 101. 若为 101, 则将这四个数分别除
以 101, 所得商的和应为 11. 现有
1+2+3+5=11, 即存在着下面四个数
101,101 2,101 3,101 5,
它们的和恰好是
101 (1+2+3+5)=101 11=1111, 它们的最大公约数为 101. 所以 101 为所求 .
13.
黄鼠狼掉进陷井时已跳的行程应该是 2 3 与 12 3 的“最小公倍数”
99
，
4 8
4
即跳了
99
11
=9 次掉进陷井，狐狸掉进陷井时已跳的行程应该是
4 1 和 12 3
的
4
4
2 8
“最小公倍数”
99
，即跳了
99
9
=11 次掉进陷井 .
2 2 2
经 过 比 较 可 知 , 黄 鼠 狼 先 掉 进 陷 井 , 这 时 狐 狸 已 跳 的 行 程 是
1
49=40.5( 米).
2
14.先将 12、 300 分别进行质因数分解：
3
12=2
2
300=2
352
2
(1)确定 a 的值 . 依题意 a 只能取 12 或 12 5(=60) 或 12 25(=300).
(2)确定 b 的值 .
当 a=12 时, b 可取 12, 或 125, 或 1225；
当a=60,300 时， b 都只能取 12.
所以 , 满足条件的 a、b 共有 5 组：
a=12a=12a=12a=60a=300
b=12,b=60,b=300,b=12,b=12.
(3) 确定 a, b, c 的组数 .
对于上面 a、b 的每种取值，依题意， c 均有 6 个不同的值：
52，52
2，22，522223，即 25，，，，，
523，5 2 3，5250 100 75 150 300.
所以满足条件的自然数 a、b、c 共有 56=30（组）。