固体物理振动量子化

1 i ( n i ) i 2 系统的总能量为
N N
h 2π ni 0,1,2,3...
1 E i ( n i ) i 2 i 1 i 1 也是量子化的。
三维晶格能量量子化
等效于独立的谐振子，振动频率为 j (k )
3naNL种简正模式数等效成3naNL个谐振子，原子振
i ( t qna )
A e e
it
iqna
Aq e
iqna
1 1 2 n ( xn 1 xn )2 E T U m x 2 n 2 n
简谐近似下，只考虑最 近邻一对原子间的势能 ： 1 1 2 u (r ) ( xn 1 xn ) 2 2 2
ωNqN
εN ε3 ε2 ε1
N-2 n-1 n n+1 n+2
ω3q3 ω2q2 ω1 q1
x n x n ( q ) Aq e
q q
iqna

q
1 Nm Aq e iqna Nm
1 iqna Q e 正则变换，么正变换 q Nm q 位置空间转变 Qq：简正坐标，正则坐标，行波坐标 到状态空间。 2 1 1 2 T m x Qq n 2 n 2 q 经过运算后有 2 1 1 2 2 U ( x n 1 x n ) q Qq 2 n 2 q 1 H T U Q q 2 q
晶体中倒易点阵的 FBZ中任何一个波矢k对应的谐振频 。 率 j (k ，就对应于第（ j,k）种声子，标记为 n jk )
声子能量： j (k ) 动量： p k (k K h ) 因此称为准动量
声子和光子一样都是玻色子（波函数对称的粒子，如 光子、氢原子），数量不守恒。（费米子：波函数反 对称的粒子，如电子、质子等） 光子静止质量为0，光速恒定。 声子质量无定义，对应振动模式有两个横波和一个纵 波。
2
q Qq
2 2
ˆ ：算符，哈密顿量 H ˆ E H
， 则晶格振动的总哈密顿量为 若令广义动量Pq Q q
2 1 2 2 H T U Qq q Qq 2 q 2 1 2 Pq q Qq 2 q

2
H
1 i (ni )i 2
来自百度文库
声子属于玻色子系统，当系统处于热平衡时， 频率为i的格波的平均声子数由玻色统计给出：
频率为 i的格波所含的平均声子 数： e i / k BT 1 i 1 格波的平均能量为： i i i / k BT 2 e 1 1 x 当T 0时， i i 当 x 0 时， e 1 x 2 当k BT i时： i 忽 略 零 点 能 1 i ＋ i k BT i i 2 k BT ni 1
q
q
2 2 1 2 每个单项 Pq q Qq ， 也就是每个H q代表一个 2 简谐振子的能量。 由于q可取N个分立的值，所以H为N个独立简谐振子 的能量之和。


这样可将式子改写为
N 1 2 2 2 ˆ H H i Pi i Qi 2 i 1 i 1 根据量子力学，频率为i的格波能量是量子化的 N
简正模式
( R (l , m), t ) u jk 0
动的总哈密顿量H为：
3 an N L
Pj2 1 k 2 x H K jk jk 2 M 2 j 1 k jk
1 其量子化能量形式 E j ( k )(n ) jk 2 j 1 k
* 3.3 晶格振动量子化和声子
3.3.1 格波的量子理论
晶格每个原子的振动是一些独立振动模式的叠加。
一维单原子链中第n个原子在波矢q下的振动方程为： 全部q值下：xn xn ( q) Aq e iqna 每个格点的独立 状态总数是N。 q q 一维单原子链的总哈密顿量(动能 势能)： xn ( q) Ae
在上式中，系统的总能量即总哈密顿量包含诸原子 的速度和坐标，和两个原子的交叉项。带来了理论计 算的困难，需要进行坐标变换。 根据量子力学，独立振子的能量是量子化的，因此 可以用独立简谐振子的坐标代替晶格原子的位置坐标， 即从个别原子的运动描述过渡到原子集体运动的描述， 系统晶体振动的总能量即可表述为独立简谐振子的能 量之和，系统的哈密顿量就变为平方和的形式。 这相当于一个坐标变换。为此，引进简正坐标Q q， 对xn进行坐标变换。
费米子：电子、质子、中子等 服从泡利不相容原理 遵循费米－狄喇克统计分布 波函数反对称 1 3 5 自旋磁量子数为半整数 ( , , ) 2 2 2 玻色子：光子、声子、 氘核、 氢原子、 粒子等 不服从泡利不相容原理 遵循玻色－爱因斯坦统计分布 2001年，美国科学家 波函数对称 埃里克· 康奈尔、卡 尔· 维曼和德国科学家 自旋磁量子数为0或正整数
3 an N L
3.3.2 声子*
晶格振动是晶体中原子集体的振动，其结果表现为 晶格中的格波。一般格波不一定是简谐的，但可以展 开成简谐平面波的线性叠加。振动微弱时，格波可以 认为是简谐波，互相独立，分别对应于一个振动态 （q），晶格的周期性已给予了格波以一定的边界条件 （玻恩卡门条件），使独立的振动模式分立。因此， 可以用独立的简谐振子的振动来描述格波的独立模式， 这就是声子的由来。 晶格振动的每一个格波，都可以看作是由数目为ni 能量为ħi的理想声子组成的，整个系统则是由众多声 子组成的声子气体。