第3讲 实内积空间

第3讲 实内积空间

内容：1. 实内积空间

2. 正交基及正交补与正交投影

3. 内积空间的同构

4. 正交变换与对称变换

在线性空间中，元素（向量）之间的运算仅限于元素（向量）的线性运算．但是，如果以向量作为线性空间的一个模型，则会发现向量的度量(即长度)与向量间的位置关系在线性空间的理论中没有得到反映，而这些性质在许多实际问题中却是很关键的．因此，将在抽象的线性空间中引进内积运算，导出内积空间，并讨论正交变换与正交矩阵及对称变换与对称矩阵．

§1 内积空间

在解析几何中，向量的长度与夹角等度量性质都可以通过向量的数量积来表示，而向量的数量积具有以下的代数性质：对称性),(),(αββα=；可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+；齐次性R k k k ∈∀=),,(),(βαβα；非负性0),(≥αα，当且仅当0=α时,0),(=αα．以数量积为基础,向量的长度与夹角可表示为： ),(ααα=，β

αβαβα⋅>=<),(,cos ．可见数量积的概念蕴涵着长度与夹角的概念，将该概念推广至抽象的线性空间．

定义1.1 设V 是实线性空间，若对于V 中任意两个元素（向量）α和β，总能对应唯一的实数，记作),(βα，且满足以下的性质：

(1) 对称性 ),(),(αββα=

(2) 可加性 ),(),(),(γβγαγβα+=+

(3) 齐次性 R k k k ∈∀=),,(),(βαβα

(4) 非负性 0),(≥αα，当且仅当0=α时，0),(=αα． 则称该实数是V 中向量α和β的内积．

称内积为实数的实线性空间V 为欧几里得(Euclid)空间，简称为欧氏空间．称定义了内积的线性空间为内积空间．

例 1.1 在n 维向量空间n R 中,任意两个向量：T n x x x ),,,(21 =α，T n y y y ),,,(21 =β，若规定：

βαβαT n

k k k n n y x y x y x y x ==+++=∑=12211),( ，

则容易验证,这符合内积的定义，是n R 中向量α和β的内积．另外，若规定:∑==n

k k k y kx 1),(βα，0>k ，同样可验证，这也

是n R 中向量α和β的内积．

由此可见，在同一个实线性空间的元素之间，可以定义不同的内积，即内积不是唯一的．从而，同一个实线性空间在不同内积下构成不同的欧氏空间．

例 1.2 在[]b a ,上连续的实函数的实线性空间[]b a C ,中，

对任意函数[]b a C x g x f ,)(),(∈，定义：⎰=b

a dx x g x f g f )()(),(，则可以

证明这是[]b a C ,上)(x f 与)(x g 的一种内积．

欧氏空间V 中的内积具有如下的性质：

(1) V o o ∈∀==ααα,0),(),(

(2) R k V k k ∈∀∈∀=,,),,(),(βαβαβα

(3) V ∈∀+=+γβαγαβαγβα,,),,(),(),(

(4) ),(),(1111∑∑∑∑=====n j n

i j i j i n i n j j j i i y x l k y l x k

事实上，由定义1.1有：0),(0),0(),(===αβαβαo ；

),(),(),(),(βααβαββαk k k k ===；

),(),(),(),(),(),(γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+；

因此,性质(1)至(3)成立，再结合数学归纳法容易验证性质

(4)也成立．

定义1.2 设α是欧氏空间V 中的任一元素（向量），则非负实数),(αα称为元素（向量）α的长度或模，记作α．称长度为1的元素（向量）称为单位元素（向量），零元素（向量）的长度为0．

由定义1.2易知，元素（向量）的长度具有下列性质： (1) V R k k k ∈∀∈∀⋅=ααα,,

(2) 当o ≠α时,,11=αα即αα1

是一个单位元素

（向量）．通常称此为把非零元素（向量）α单位化．

定理1.1 (Cauchy-Schwarz 不等式)． 设βα,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则不等式βαβα⋅≤),(，对V ∈∀βα,均成立，并且当且仅当α与β线性相关时，等号成立．

证明：当α与β至少有一个是零元素（向量）时，结论显然成立．现在设βα,均为非零元素（向量），则

)),(),(,),(),((ββββααββββαα--[]0),(),(),(2

≥-=βββααα， 因此有

[]),(),(),(2ββααβα≤， 即βαβα⋅≤),(．而且当且仅当ββββαα)

,(),(=，即α与β线性相关时，等号成立．

定义1.3 设x 与y 是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），则称y

x y x ),(arccos =θ为x 与y 的夹角，记作,,><≤=>=

x y x y x ． 例 1.3 试证明欧氏空间V 中成立三角不等式V y x y x y x ∈∀+≤+,,．

证明 因)

,(2y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++=，

由Schwarz Cauchy -不等式，有 22

2222)(2),(2y x y y x x y y x x y x +=++≤++=+， 即有 y x y x +≤

+ ．

§2 正交基及正交补与正交投影

1 正交基

定义 2.1 设y x ,是欧氏空间V 中的任意两个元素（向量），如果0),(=y x ，则称元素（向量）x 与y 正交，记作.y x ⊥．

由定义2.1易知，零元素（向量）与任何元素（向量）均正交．若,o x ≠由于,0),(>x x 所以非零元素（向量）不会与自身正交，即只有零元素（向量）才与自己正交．

例 2.1 在2R 中,对于任意两个向量x 与y 的内积，定义：(1)y x y x T =1),(；(2) Ay x y x T =),(，其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2111A ．由此所得的两个欧氏空间分别记为21R 与22R ，试判断向量T x )1,1(0=与T y )1,1(0-=在21R 与22R 中是否正交？

解 由于 011)1,1(),(100=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=y x ；01112111)1,1(),(200≠=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x ． 故向量x 与y 在21R 中正交,在22R 中不正交．

说明：两元素（向量）正交与否由所在空间的内积确定． 此外，在欧氏空间V 中也有勾股定理，即当y x ⊥时,有 222y x y x +=+.可将其推广至多个元素（向量），即当m ααα,,,21 两两正交时，有22221221m m αααααα+++=+++ ．

定义2.2 欧氏空间V 中一组非零元素（向量），若两两正交，则称其为一个正交元素（向量）组．

定理 2.1 若m ααα,,,21 是欧氏空间V 中一个正交元素（向量）组，则m ααα,,,21 线性无关．