第 4 章 连续系统的振动(II)汇总
第4章 振动系统的运动微分方程
(d)
分析杆 AB ，列写 AB 的运动微分方程，如图（c）
m2 &x&C = − X A
(e)
m2 &y&C = −YA − m2 g
(f)
1 12
m2l 2ϕ&&
=
X
A
l 2
cosϕ
+ YA
l 2
sin ϕ
(g)
运动学方程
xC
=
xA
+
l 2
sin
ϕ
,
x&C
=
x& A
+
l ϕ& cosϕ 2
yC
=
−
l cosϕ , 2
y& C
=
l ϕ& sinϕ 2
&x&C
=
&x&A
−
l ϕ& 2 2
sin ϕ
+
l ϕ&& cosϕ 2
(h)
&y&C
=
l ϕ&& sin ϕ 2
+
l ϕ& 2 2
cos ϕ
(i)
上述 9 个方程包含 &x&A ,ε , &x&C , &y&C ,ϕ&&, X A ,YA , F, N 等 9 个未知量，由上述 9 个方程消去
解：系统具有两个自由度，选图示 AB 与铅垂线的夹角ϕ 及圆轮中心 A 的位移 xA 为广
义坐标。
分析圆轮 A ，受力图如图（b）所示。列写圆轮 A 的运动微分方程：
第四章(无限自由度系统的振动)ppt课件
( a c o s x b s i n x ) q () t 2 2 2 2 2 c c
x
2
dU1(x1) EA 0 1 dx1 x 0
1
b1 0
u
2
E ,A ,L 2, 2
d Ux (1 ) d Ux (2 ) 1 2 E A E A 1 2 d x d x 1 x 2 x L 0
2 2
（直杆纵向受迫振动微分方程）
2 2 u (,) x t u (,) x t 1 2 c f(,) x t 2 2 A t x
c E
(均匀材料等截面直杆的纵向受迫振动方程)
(二) 杆的纵向固有振动
1.固有振动
uxt ( , ) 2 uxt (,) c 2 2 t x
0
0
自由端： M Ip t G
0 x
0
(二) 课堂练习
【课堂练习1】：求如图所示的上端固定，下端有一附加质量 M的等 直杆作纵向振动的频率方程。 O
u (,) x t U ()( x q t ) ( a c o s xa s i nx ) ( b c o s t b s i n) t 1 2 1 2 c c
(二) 固有振动
U ( x) ( )2U ( x) 0 c q(t ) 2 q(t ) 0
U (x) a o s xa 1c 2 sin x c c qt ( ) b o s t b t 1c 2 sin
u (,) x t U ()( x q t )
神六设计时便改动了氧气输送管道的
一个参数。结果虽然还存在耦合振动，但 航天员的痛苦大大减轻。 图 神州五号飞船
第十二次课第四章连续体的振动
第四章连续体的振动§4.2 杆的纵向振动例：有一根 x =0 端为自由、x =l 端处为固定的杆，固定端承受支撑运动 td t u g ωsin )(=d 为振动的幅值试求杆的稳态响应。
l x 0)(t u g §4.2 杆的纵向振动解： l x 0t d t u g ωsin )(=方程建立 dx u dx x u u u g ∂-∂+)(22xu Sdx ∂∂ρdx x F F ∂∂+F 微段分析应变： xu u dx u dx x u u u g g ∂-∂=-∂-∂+=)(])([ε内力： xu u ES ES F g ∂-∂==)(ε达朗贝尔原理： F dx F F u Sdx -∂+=∂)(2ρ),(t x u 杆上距原点 x 处截面在时刻 t 的纵向位移 22)(u u ES u S g -∂=∂ρl x 0td t u g ωsin )(=令： 代入方程： 2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*g u u u +=*即： **''g Su ESu Su ρρ-=-2sin Sd tρωω=-设解为： ∑∞==1*)()(i i i t q x u φ)(x i φ为归一化的正则模态 ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφ代入方程，得： tSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞=l x0t d t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρgu u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x l i l x i πφtSd ESq q S i i i i i ωωρφφρsin )(2,...5,3,1''=-∑∞= )(x j φ用 乘上式，并沿杆长积分：⎰∑⎰⎰=-∞=lj i l j i i l j i idx t Sd dx ES q dx S q 0210''0sin )(φωωρφφφφρ 利用正交性： t d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*∑∞==1*)()(i i i t q x u φ,...5,3,1,2cos 2)(==i x li l x i πφt d i l l q q i i i i ωωπωsin )1(2222/)1(2--=+ 模态稳态解： t d i l l q i i i i ωπηωωsin )1(222/)1(22--=2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=l x 0td t u g ωsin )(=2222)(x u u ES t u S g ∂-∂=∂∂ρg u u u -=*2)/(11i i ωωη-=t lx i d i E l u i i i ωπηπωρsin 2cos )1(16,...5,3,132/)1(322*∑∞=--=t d l x i i E l u u u i i i gωπηπωρsin 2cos )1(161 ,...5,3,12/)1(3322*⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=+=∑∞=-小结1. 建立动力学方程2. 根据边界条件求解固有频率和模态3. 变量分离4. 代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5. 物理空间初始条件转到模态空间6. 模态空间方程求解7. 返回物理空间，得解)()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=)(2t Q q q j j j j =+ω )(,x i i φω)0(),0(j j q q )(t q j )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=物理空间问题 模态空间问题 )()(),(1t q x t x u i i i φ∞=∑=模态叠加法§4.3圆轴的扭转振动取圆轴的轴心线作为x 轴，图示轴任一 x 截面处的转角表示为θ(x ,t ) 。
第四章(第2,3节) 两自由度系统的振动
1 cos 3
k t 2 cos m3
5k t 2m
x2
1 3
cos1t
1 3
cos2t
1 cos 3
k t 1cos m3
5k t 2m
▲若初始条件符合第一阶固有振型，则运动是按固有频
率▲若1的初简始谐条振件动符，合不第出二现阶频固率有振2的型振，动则；运动是按固有频
▲率若2的给简出谐的振任动意，初不始出条现件，1的则振运动动；将为两种固有振型的
1) 1)
C2 sin(2t 2 ) C2r2 sin(2t
2
)
x1 x2
C11 cos(1t C1r11 cos(1t
1) 1)
C22 cos(2t 2 ) C2r22 cos(2t
2
)
式中四个常数C1, C2和1, 2，由上面的四个(4方.3程-1)
0 C11 cos1 C22 cos2
0 C11 cos1 0.5C22 cos2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解初始条件的响应（例4.3-1）
求得
C1=1/3，C2=2/3，1=2= 90
代入方程(4.1-17)，得
x1
1 3
cos1t
2 3
cos2t
于是得到两个固有频率为
1
g, l
2
g l
2
k m
a2 l2
4.3 任意初始条件的自由振动
例题：求解固有频率、固有振型和初始条件的响应（例4.3-2）
系统的固有振型可以由下面方程求出
i2
ml 2
连续系统的振动课件
连续系统振动仿真实例
弦振动仿真
建立弦的有限元模型，通过求解特征值和特征向量，得到弦的自振频率和振型，分析弦的振动特性。
梁弯曲振动仿真
建立梁的有限元模型，考虑剪切变形和转动惯量的影响，计算梁的自振频率和振型，揭示梁的弯曲振动规律。
拓扑优化
通过改变结构拓扑形态来优化振动特性，如减少 质量、提高刚度等。
形状优化
优化结构件的形状以降低振动幅度，例如改变梁 截面形状、板厚度分布等。
参数优化
针对特定连续系统，通过调整参数（如阻尼系数、 刚度分布等）实现振动性能的优化。
06
实验与测量技术
振动测量原理及设备
01
振动测量原理
02
振动测量设备
基于牛顿第二定律与连续系统的振 动特性，推导连续系统的偏微分方 程。
偏微分方程的形式
详细解释偏微分方程中各项的物理 意义，如惯性项、阻尼项和弹性项。
波动方程的推导与解析
01
02
03
波动方程的推导
从偏微分方程出发，通过 引入波动假设，推导连续 系统的波动方程。
波动方程的解析解
利用数学方法求解波动方 程，得到通解，并分析通 解的物理意义。
03
连续系统振动的应用实例
弦的振动与音乐乐器
振动弦上的波传播
当弦受到激励振动时，振动以波 的形式在弦上传播，形成驻波或 行波。这种波传播的现象是音乐
乐器发音的基础。
乐器中的弦振动
许多乐器如吉他、小提琴、钢琴 等都利用弦的振动发声。不同乐 器的音色和音调可以通过调整弦 的张力、长度、直径等参数来实
第四章(第1节) 两自由度系统的振动
(4.1-1)
方程 (4.1-1)就是图4.1-1所示的两自由度系统自由振动的 微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。 方程(4.1-1)可以使用矩阵形式来表示，写成
x1 k1 k2 m1 0 0 m 2 x2 k2
取加速度的正方向与坐标轴的正方向一致，根据牛 顿运动定律有
m1 x 1 k1x1 k2 ( x2 x1 ) m2 x 2 k2 ( x2 x1 ) k3 x2
4.1 自由振动
两自由度系统的微分方 程 移项得
m1 x 1 (k1 k2 ) x1 k2 x2 0 m2 x （k2 k3 ) x2 0 2 k2 x1
4.1 自由振动
有趣的“同步化” 现象
最早观察到同步化现象的科学家
是荷兰的物理学家克里斯蒂安 · 惠更斯 (Christian Huygens 1629-1695) 。根据 伽利略 (Galileo Galilei 1564-1642)发现 的钟摆的等时性原理，他于 1656 年把 单摆引入了机械钟，研制成第一个摆 钟。 1665 年 2 月的一天，因为身体不适，他躺在家里休 养。闲来无事只得盯着墙壁发呆。然而却意外地在他自 己发明的摆钟上，发现了一个有趣的现象。
方程(4.1-12)称为特征方程或频率方程， 它是2的二次方程，其根为 12 1 m1k22 m2 k11 2 m1m2 2 2
2 1 m1k22 m2 k11 k11k22 k12 4 2 m1m2 m1m2 2
(4.1-12)
(4.1-13)
式中1和2唯一地决定于振动系统的质量和弹簧刚度， 称为系统的固有频率。1为第一阶固有频率，简称为基 频；2为第二阶固有频率。
连续系统
2
(4.3.9)
( y ) C1 sin t C2 cos y a a
(4.3.10)
其中， C1 与 C2 是待定系数，它们由轴的边界条件决定。常见的扭转振动时轴的边界条件 为： 自由端：
y 0 时，GJ (0, t ) GJ (0)T (t ) 0 ，即 (0) 0 y l 时，GJ (l , t ) GJ (l )T (t ) 0 ， 即 (l ) 0
3
但是在工程中有实际意义的，只有有限个低阶频率。
X i ( x) Ai sin
前三阶主振型如图 4.2-3(a)所示。
(2i 1) x 2l
(i 1, 2,3,)
(1) (2) (3)
f (1) f (2) f (3)
(a)
图 4.2-3
(b)
如果 k ，该边界相当于固定边界，频率方程为
(4.3.8)
关于（4.3.6）式，只有某些典型的轴，如 I ( y ) / GJ ( y ) 可按某种函数形式表达时，才可 假定 1/ a I ( y ) / GJ ( y ) ， 则 （4.3.6） 能找到精确解答。 对于均匀轴，I ( y ) 与 GJ ( y ) 是常数，
2
式可改写成：
( y ) ( y ) 0 a
( y, t ) ( y, t ) I ( y )
（4.3.2）
( y, t ) 代表扭转角加速度。 其中， I ( y ) 代表单位长度的梁对扭转轴的转动惯量；
将（4.3.2）式代入（4.3. 1b ）式中，并引用扭角与力矩 M 的关系式，得到扭转自由振 动的微分方程：
2 [GJ ( y ) ] I ( y ) 2 0 y y t
连续系统振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
0x
f
(
x)
0
(
l 2
x)
0 (l x)
0x l
4
l x 3l
4
4
3l x l
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 梁的弯曲振动
连续系统的振动/ 假设模态法
连续系统的振动/ 一维波动方程
一维波动方程 动力学方程 固有频率和模态函数 主振型的正交性 杆的纵向强迫振动
连续系统的振动/ 一维波动方程
• 动力学方程
（1）杆的纵向振动
讨论等截面细直杆的纵向振动
杆参数: 杆长l ,截面积S 材料密度ρ 弹性模量E
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
p(x,t) ：单位长度杆上分布的外力偶矩
假定振动过程中各横截面仍保持为平面
θ (x,t) 为杆上距离原点x 处的截面在时 刻t 的角位移
截面处的扭矩为T
：微段绕轴线的转动惯量
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 一维波动方程
连续系统的振动/ 杆的纵向振动
•固有频率和模态函数
连续系统的振动 振动力学课件
(l )q(t )
C1
sin
l
a
2 q(t )
q(t) A cos(t )
q(t) A2 sin(t ) 2q(t)
2u t 2
(l)q(t)
C1 sin
l
a
2 q(t )
代入
EA u(l,t) W x g
2u(l, t 2
t
)
ku(l
,
t
)
0
2
EA cos l q t W 2 sin l q t k sin l q t 0
u(x, 0) u(x) u(x, 0) u(x) 确定
2.两端自由
特征：两自由端轴向力为零
即 FN (0,t) 0 FN (l,t) 0
EA u(0,t) 0, x
EA u(l,t) 0, x
'(0)qt 0
'(l)qt 0
' (0) 0
' (l) 0
2.两端自由
' (x)
W gkl 2
Eg
EA kl
W
lA
tan
a
l
EA
a
W 2 k
g
EA ( l)
lk a
Wa2 gkl 2
a
l
2
1
l
a
( l)2
a
1
讨论：（1）
W 0 右端只有弹簧k，
频率方程
tan l (l )
a
a
tanu u作图法得出
（2） W 0 k 0 即自由端情形
频率方程 cos l 0
2. 弹性弦横向振动
微段分析
以变形前弦的方向为 x轴，
机械振动第4章连续系统2-2.ppt
以梁的横向振动为例，对两个不同特征值问题的解为：
d2 dx2
EI
(x)
d
2 Yi dx
(
2
x)
i2 m
(
x)
Y
i
(x)
0 x L
d2 dx2
EI
(x)
d
2
Yj
(x)
d x 2
2j m ( x) Y
j
(x)
0 x L
对第一个式子两边分别乘以Yj(x)
L
0
Yj
(x)
d2 dx2
EI
W2 (M n w Qn w M n s w d s
n
s
第4章 连续系统 4. 6 薄板的横向振动 振动微分方程
利用哈密尔顿原理
t（2 V t1
U）d t
t2 t1
W
d
t
0
得
：
t2 t1
h 2
w t
2
d
x
d
y
1 2
D
2 w x 2
2
2 w y 2
第4章 连续系统 4. 6 薄板的横向振动 圆板振动
方程的通解为
Rn (r) An J n ( r) Bn Yn ( r) C n I n ( r) Dn K n ( r)
由r = 0处的位移和转角为有限值，得B = 0， D= 0, 则有：
Rn (r) An J n ( r) C n I n ( r)
u T M u I
当质量矩阵为对角矩阵时，可写成：
n
u s i m su s j 0
i j
s 1
其中，m s为x= x s 处的质量，而u s i和u s j 分别为第i阶和第j阶主振型中 质量m s的位移。
哈工程振动噪声--第4章连续体振动
page 16
page 9
i a i i l l
授课人——柳贡民
E
2016年9月7日星期三
(i 1, 2, )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
第四章 连续体振动
§4.2 杆的纵振
由于U（x）幅值的任意性，对应于ωi的振型可取 i x U i cos l 令i=1、2、3，分别代入前两式，求得前3个非零阶固 有频率和相应的主振型，即
应力为零
左端边界条件
u u0, t 0 x u 0 x
u ku EA x 2u u m 2 EA t x
2016年9月7日星期三
右Байду номын сангаас边界条件
ul , t 0
F AE
u 0 x
u ku EA x
2u u m 2 EA t x
a
x D cos
a
x) sin(t )
动力与能源工程学院 College of Power and Energy Engineering
2016年9月7日星期三
第四章 连续体振动
§4.2 杆的纵振
在实际应用中，边界条件一般很难确定。杆的几种 典型边界条件是： 杆端条件 固定端 自由端
第四章 连续体振动
§4.2 杆的纵振
利用分离变量法，设 ux, t U x Gt 代入上述一维波的方程，得到 即
第4章：连续体的振动
因为
C1 0
( i 1, 2, ) ( i 1, 2, )
2i 1 x 模态函数 i ( x ) Ci sin 2 l
亦可令这个常数为1,有
2i 1 x i ( x ) sin l 2
( i 0,1, 2,
)
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
Dynamics of Structures
• Prof. Lanhe Wu • Shijiazhuang Tiedao Univ.
STDU
DYNAMICS OF STRUCTURES
第四章 连续系统的振动
具有连续分布的质量和弹簧系统称作连续系统或分布 质量系统。连续系统具有无限多个自由度，其动力学 方程为偏微分方程，只对一些简单情形才能求得精确 解。对于复杂的连续系统则必须利用各种近似方法简 化为离散系统求解。
EIy Sy 0
仍采用分离变量法，令 代入动力学方程,整理得到
y( x , t ) ( x ) q(t )
EI ( x ) ( x ) q q S ( x ) ( x )
DYNAMICS OF STRUCTURES
a 因为数学模型相同，以上在各种边界条件下导出的固有 频率和模态函数也完全适用于弦的横向振动、杆的扭转 振动和梁的剪切振动。关于这类系统的受迫振动本节不 作讨论，因为与下节梁的弯曲受迫振动的分析和计算方 法基本相同
相应的模态函数为 i ( x ) sin
将边界条件代入 ( x ) C1 sin a C 2 cos a 得到 C2 0 及频率方程
l
a
x
化作
tan
l
9连续系统的振动之集中质量法、假设模态法、模态综合法和有限元法
l 0
p(x,
t)i
(
x)dx
qi
n
按照广义力的定义:
W (t) Qiqi
i 1
比较，得：
l
Qi (t) 0 p(x,t)i (x)dx
矩阵形式: Q(t) [Q1(t), Q2 (t), , Qn (t)]T Rn1
L T V
连续系统的振动 / 假设模态法
T 1 qT Mq 2
V 1 qT Kq 2
强迫振动方程: Mq Kq Q(t)
l
Qi (t) 0 p(x,t)i (x)dx
连续系统的振动 / 假设模态法
梁的稳态响应:
3
ix
y(x, t) qi (t) sin
i 1
l
离散化强迫振动方程: Mq Kq Q(t)
3 0 2
M
Sl
2
0
1
0
2 0 3
1 5.6825
EI
解:
y
P0 sin t
若对第三阶固有频率的精 0
Ma
度要求不高, 取 n＝3
x
l/2
l/2
模态函数阵:
Φ [1(x),
2 (x),
3
(
x)]
[s
in
x
l
,
sin 2x ,
l
sin 3x ]
l
质量阵:
3 0 2
M
Sl
2
0
1
0
2 0 3
刚度阵:
K
4EI
2l 3
1 0
0 16
0
0
0 0 81
d dt
L qi
L qi
机械振动第4章连续系统2-1.ppt
T i T
L2
(i 1, 2, )
第4章 连续系统 4.3 杆的纵向振动 振动微分方程 从连续系统直接导出
设长度为L 、两端固定的杆上受均布轴向力 f (x, t) ，杆上x处的轴向刚度与单位长度质量分 别为E A (x) 和m (x) 。
取杆的微段dx，隔离体受力分析图
根据材料力学，任一瞬时作用在杆微段两端 的轴向内力与轴的应变成正比
x x
x2
t2
或
T
(x)
y
(x, t)
f
(x, t)
(x)
2
y
(x, t)
x
x
t2
0 x L
0 x
第4章 连续系统 4.2 弦振动 自由振动 特征值问题
方程
T
(x)
y
(x,
t)
(x)
2y
(x,
t)
x
x
t2
0 x L
边界条件 y ( 0, t ) y ( L, t ) 0
i
(t )
w
2
i
i
(t)
0
(i 1, 2 ,)
解为 i (t) C i cos ( w i t i ) (i 1, 2 ,)
常数C i 和 i 由初始条件得到。
自由振动
第4章 连续系统 4.2 弦振动
例 4.1 图示均匀弦两端固定，弦中的张力为 常数，求解系统的特征值问题，画出系统前 四个特征函数，并验证正交性。
连续系统与离散系统的关系
连续系统与离散系统是同一物理系统的两个数学模型。
简化、离散化
连续系统
离散系统
自由度n 趋向于无穷
连续系统与离散系统的区别
连续系统振动-杆的纵向振动PPT课件
达朗贝尔原理：
2019年10月15日
Sdx
2u t 2
(F
F x
dx) F
p(x,t)dx
7
p( x, t )
0 x dx l
连续系统的振动 / 一维波动方程
x
u(x,t)
杆上距原点 x 处截面
在时刻 t 的纵向位移
横截面上的内力： F ES ES u
x
达朗贝尔原理：
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
（2）弦的横向振动 （3）轴的扭转振动
2y t 2
a02
2y x 2
1
p(x,t)
2
t 2
a02
2
x2
1
Ip
p( x, t )
虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微 分方程是类同的，都属于一维波动方程
2019年10月15日 12
连续系统的振动 / 杆的纵向振动
• 固有频率和模态函数
p( x, t ) x
0
以等直杆的纵向振动为对象
l
2u t 2
a02
2u x 2
1
S
p(x,t)
a0 E /
2u t 2
a02
2u x 2
自由振动
假设杆的各点作同步运动： u(x,t) (x)q(t)
圆截面杆的扭转振动强迫振动方程 等直杆，抗扭转刚度 GIp 为常数
I
p
dx
2
t 2
2019年2t210月 1a5日02
2
x2
振动理论习题答案汇总
《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。
试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。
解：222221v gW h W =，gh v 22=动量守恒：122122v gW W v g W +=，gh W W W v 221212+=平衡位置：11kx W =，kW x 11=1221kx W W =+，kW W x 2112+=故：kW x x x 21120=-= ()2121W W kgg W W k n +=+=ω故：tv t x txt x x n nn n nn ωωωωωωsin cos sin cos 12000+-=+-=xx 0x 1x 12平衡位置2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。
试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。
解：给杆一个微转角θ2aθ＝h α2F ＝mg由动量矩定理：ah a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12122-=-≈⋅-====αθαθ其中12cossin ≈≈θααh l ga p ha mg ml n 22222304121==⋅+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π222===2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。
试求其摆动的固有频率。
图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率：（1）振动过程中杆被约束保持水平位置；（2）杆可以在铅垂平面内微幅转动；（3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。
图T 2-9 答案图T 2-9解：（1）保持水平位置：m kk n 21+=ω（2）微幅转动：mglllF2112+=mgl1l2xx2xx'mglll2121+=k2k1ml1l2()()()()()()()()()mgk k l l k l k l mgk k l l k l l k l l l k l mg k k l l k l k l l l l k l l mg l mgk l l l k l l l l l l k l l mg l l l l x x k F x x x 2122122212121221221121212221212211211121212122211211121221112111 ++=+-++=+-⋅+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++=+-+='+=故：()22212121221k l k l k k l l k e++=mk en =ω 2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。
第十一次课第四章连续体的振动
2
m x ) 并从 0到l对x进行积分， 将上式两边同乘以 sin( l l 得： l j m ( j m)
sin(
0
l
x) sin(
整理后得到：
x)dx 2 l 0( j m)
d 2 H m (t ) 2 m H m (t ) Qm (t ) 2 dt
'' (t ) q ( x) 2 a0 q(t ) ( x)
记：
2
q (t ) 2 q (t ) 0 2 ( x ) ( ) ( x) 0 a0
通解：
q(t ) a sin(t )
( x) c1 sin
得 得
B0
A sin
n
l 0 A0 则 c
sin
n
c
l 0
n
c
l j
( j 1, 2
j
cj j ) j l l
T A
j y( x, t ) Aj sin x sin( j t j ) l j 1
j y j ( x, t ) Aj sin x sin( j j ) l
u( x, t ) ( x)q(t )
( x) c1 sin
一一对应
q(t ) a sin(t )
x
a0
c2 cos
x
a0
i
第 i 阶主振动：
i ( x)
u (i ) ( x, t ) aφ it i ), i i ( x) sin(
系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：
§4.2 杆的纵向振动
p( x, t )
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【例4.9】x=0处固定，x=l处自由的锥形轴,如图4.31，在
外界干扰去掉后，轴发生了扭振，其单位长度转动惯量为
J
p
x
6 5
I
1
1 2
x l
2
扭转刚度为
GJ
p
x
6 5
GI
1
1 2
x l
2
试瑞雷法估算其固有频率。
图 4.31
2020年10月4日 12
《振动力学》
连续系统的振动
22 《 中国振力动学力学会》学术大会‘2005’
连续系统的振动
教学内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
2020年10月4日 3
《振动力学》
连续系统的振动
4.4连续系统故有特性的近似解法 前几节皆未涉及变截面杆和梁的问题，这是由于变截面杆
动能
n
n
y(x,t) Yi (x)qi (t), y(x,t) Yi (x)qi (t)
i 1
i 1
T 1
2
l 0
A
n i 1
Yi (x)qi (t)
n
Yj (x)q j (t) dx
j 1
1 2
n i 1
n
mijqiq j
j 1
l
其中， mij 0 AYiYjdx
弹性势能
【解】设θ(x,t) =φ(x)sin(ωt+φ) 为轴的角位移，试算函数 为φ(x)=sin(πx/2l)
轴的最大动能
Tmax
2
2
l 0
J
p
x
x
2
dx
2
2
l 0
6 5
I
1
1 2
x l
2
sin 2
x
2l
dx
轴的最大势能
由
U max
1 2
l 0
GJ
p
x
[
d x
dx
]2
dx
Tmax Umax
试算函数
2020年10月4日 6
《振动力学》
连续系统的振动
它必须满足 端点条件，则
y(x,t) Y (x)sin(t )
y(x,t) Y (x) cos(t )
动能
T 1 l Ay2dx 20
势能
U 1
2
l 0
EI
(
2 y x2
)
2
dx
在静平衡位置，系统具有最大动能
2020年10月4日 《振动力学》
等直梁，求该梁 的基频。
【解】设试算函数为
Y x a x4 4lx3 6l2x2
Y x 12a l x2
图 4.30
它只满足位移边界条件，不能满足力边界条件
2020年10月4日 9
《振动力学》
连续系统的振动
系统最大势能
Umax
1 2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
1 2
k
3al 4
202200年年1100月月44日日 5
《振动力学》
连续系统的振动
4.4.1 瑞雷法 瑞雷法主要用来估算系统的基频。 由机械能守恒定律， Tmax Umax 对任一连续系统，如能近似地给出一阶振型函数（需满足
端点条件）。通过计算系统的动能和势能，即可估算出系统 的基频。
以欧拉-伯努利梁横向振动为例。设振型函数为Y(x), 称为
可计算出该阶固有频率ω的精确解。
要知道各阶振型函数是不可能的，而常仅能给出一阶近似
振型函数。
2020年10月4日 8
《振动力学》
连续系统的振动
为使试算函数Y(x)更接近真实一阶振型函数,最好除满足位移
（位移）边界条件外，还需满足力边界条件,才能使估算出的 固有频率有比较好的近似值。
【例4.8】图4.30为一端固定，一端有刚度为k的弹性支撑的
得
《振动力学》
2
3.150
GJ p Il 2
13
连续系统的振动
教学内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
202200年年1100月月44日日 14
《振动力学》
连续系统的振动
4.4.2 李兹法 瑞雷法是求系统基频的有效方法，缺点是不能估算高阶固
有频率及振型。 李兹法对瑞雷法作了改进，除能求出更精确的基频外，还
能求出高阶固有频率及振型。 李兹法思路：把连续系统离散化为有限自由度系统，由机
械能守恒定律计算。
以欧拉-伯努利梁为例。取n个广义坐标qi(t)，设n个
2020年10月4日 15
《振动力学》
连续系统的振动
振型函数yi(x) 皆满足位移边界条件，则
第4章 连续系统的振动（II)
李映辉
西南交通大学
2015.09
声明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。 • 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国 铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。 2•02200年年感1100谢月月44日研日 究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作
2
1 2
EI
144 5
l
5
1
kl 3 3EI
a
2
系统最大动能
Tmax
2
2
l AY 2dx 2 Aa2 l
0
2
0
x4 4lx3 6l 2 x2
2
dx
1 2
2
A
104 45
l9
a
2
由
Tmax Umax
得
2
1 2
EI
144 5
l
5
1
kl 3 3EI
1 2
A
104 45
l
9
a
2
a
2
162 13l 4
EI
A
1
kl 3 3EI
2020年10月4日
3.53 j2
EI
kl 3
1
A 3EI
10
《振动力学》
连续系统的振动
可见，系统固有频率比悬臂梁固有频率高。 式中,k=l3/3EI为弹性支撑刚度和梁刚度的比值。
2020年10月4日 11
《振动力学》
连续系统的振动
、梁除了个别简单情况外往往不易找到精确解。 在工程实际问题中，常会遇到大量质量和刚度不均匀分布
的连续系统。 工程上用近似方法来解决这些问题。 介绍瑞雷法、李兹法、传内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
2
Tmax 2
l AY 2dx
0
7
连续系统的振动
在偏离静平衡位置最远处，系统具有最大弹性势能
U max
1 2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
由
Tmax Umax
得
2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
l AY 2dx
0
(4.139)
(4.139)表明：如试算函数恰为某一真是振型函数时，则
U 1 2
l 0
EI
n i 1
d
2dYxi (2x)qi
(t
)
n j 1
d
2Yj dx
(
2
x) q
j
(t
)