第 4 章 连续系统的振动(II)汇总

202200年年1100月月44日日 5
《振动力学》
连续系统的振动
4.4.1 瑞雷法 瑞雷法主要用来估算系统的基频。 由机械能守恒定律， Tmax Umax 对任一连续系统，如能近似地给出一阶振型函数（需满足
端点条件）。通过计算系统的动能和势能，即可估算出系统 的基频。
以欧拉-伯努利梁横向振动为例。设振型函数为Y(x), 称为
U 1 2
l 0
EI
n i 1
d
2dYxi (2x)qi
(t
)
n j 1
d
2Yj dx
(
2
x) q
j
(t
)
、梁除了个别简单情况外往往不易找到精确解。 在工程实际问题中，常会遇到大量质量和刚度不均匀分布
的连续系统。 工程上用近似方法来解决这些问题。 介绍瑞雷法、李兹法、传递矩阵法和伽辽金法。
4 《振动力学》
连续系统的振动
教学内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
22 《 中国振力动学力学会》学术大会‘2005’
连续系统的振动
教学内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
2020年10月4日 3
《振动力学》
连续系统的振动
4.4连续系统故有特性的近似解法 前几节皆未涉及变截面杆和梁的问题，这是由于变截面杆
试算函数
2020年10月4日 6
《振动力学》
连续系统的振动
它必须满足 端点条件，则
y(x,t) Y (x)sin(t )
y(x,t) Y (x) cos(t )
动能
T 1 l Ay2dx 20
势能
U 1
2
l 0
EI
(
2 y x2
)
2
dx
在静平衡位置，系统具有最大动能
2020年10月4日 《振动力学》
【解】设θ(x,t) =φ(x)sin(ωt+φ) 为轴的角位移，试算函数 为φ(x)=sin(πx/2l)
轴的最大动能
Tmax
2
2
l 0
J
p
x
x
2
dx
2
2
l 0
6 5
I
1
1 2
x l
2
sin 2
x
2l
dx
轴的最大势能
由
U max
1 2
l 0
GJ
p
x
[
d x
dx
]2
dx
Tmax Umax
动能
n
n
y(x,t) Yi (x)qi (t), y(x,t) Yi (x)qi (t)
i 1
i 1
T 1
2
l 0
A
n i 1
Yi (x)qi (t)
n
Yj (x)q j (t) dx
j 1
1 2
n i 1
n
mijqiq j
j 1
l
其中， mij 0 AYiYjdx
弹性势能
【例4.9】x=0处固定，x=l处自由的锥形轴,如图4.31，在
外界干扰去掉后，轴发生了扭振，其单位长度转动惯量为
J
p
x
6 5
I
1
1 2
x l
2
扭转刚度为
GJ
p
x
6 5
GI
1
1 2
x l
2
Leabharlann Baidu
试瑞雷法估算其固有频率。
图 4.31
2020年10月4日 12
《振动力学》
连续系统的振动
2
1 2
EI
144 5
l
5
1
kl 3 3EI
a
2
系统最大动能
Tmax
2
2
l AY 2dx 2 Aa2 l
0
2
0
x4 4lx3 6l 2 x2
2
dx
1 2
2
A
104 45
l9
a
2
由
Tmax Umax
得
2
1 2
EI
144 5
l
5
1
kl 3 3EI
1 2
A
104 45
得
《振动力学》
2
3.150
GJ p Il 2
13
连续系统的振动
教学内容
连续系统故有特性的近似解法
Rayleigh法
Ritz法
传递矩阵法
Galerkin法
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《振动力学》
连续系统的振动
4.4.2 李兹法 瑞雷法是求系统基频的有效方法，缺点是不能估算高阶固
可计算出该阶固有频率ω的精确解。
要知道各阶振型函数是不可能的，而常仅能给出一阶近似
振型函数。
2020年10月4日 8
《振动力学》
连续系统的振动
为使试算函数Y(x)更接近真实一阶振型函数,最好除满足位移
（位移）边界条件外，还需满足力边界条件,才能使估算出的 固有频率有比较好的近似值。
【例4.8】图4.30为一端固定，一端有刚度为k的弹性支撑的
有频率及振型。 李兹法对瑞雷法作了改进，除能求出更精确的基频外，还
能求出高阶固有频率及振型。 李兹法思路：把连续系统离散化为有限自由度系统，由机
械能守恒定律计算。
以欧拉-伯努利梁为例。取n个广义坐标qi(t)，设n个
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《振动力学》
连续系统的振动
振型函数yi(x) 皆满足位移边界条件，则
等直梁，求该梁 的基频。
【解】设试算函数为
Y x a x4 4lx3 6l2x2
Y x 12a l x2
图 4.30
它只满足位移边界条件，不能满足力边界条件
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《振动力学》
连续系统的振动
系统最大势能
Umax
1 2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
1 2
k
3al 4
2
Tmax 2
l AY 2dx
0
7
连续系统的振动
在偏离静平衡位置最远处，系统具有最大弹性势能
U max
1 2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
由
Tmax Umax
得
2
l 0
EI
(
d 2Y dx2
)2
dx
l AY 2dx
0
(4.139)
(4.139)表明：如试算函数恰为某一真是振型函数时，则
l
9
a
2
a
2
162 13l 4
EI
A
1
kl 3 3EI
2020年10月4日
3.53 j2
EI
kl 3
1
A 3EI
10
《振动力学》
连续系统的振动
可见，系统固有频率比悬臂梁固有频率高。 式中,k=l3/3EI为弹性支撑刚度和梁刚度的比值。
2020年10月4日 11
《振动力学》
连续系统的振动
第4章 连续系统的振动（II)
李映辉
西南交通大学
2015.09
声明
• 本课件可供教师教学和学生学习中免费使用。 • 不可用于任何商业目的。 • 本课件的部分内容参阅了上海交通大学陈国平教授和
太原科技大学杨建伟教授的课件，作者在此向二位教 授表示衷心感谢。如该课件无意中损害了二位教授利 益，作者在此致歉。 • 本课件以高淑英、沈火明编著的《振动力学》（中国 铁道出版社，2011年）的前四章为基础编写。 2•02200年年感1100谢月月44日研日 究生蒋宝坤、王金梅在文字录入方面的工作