双曲线导学案(含答案)
3.2.1双曲线的标准方程导学案高二上学期数学选择性
第3章圆锥曲线与方程 3.2 双曲线3.2.1 双曲线的标准方程【学习目标】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程；2．理解双曲线标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．【温顾·习新】一、双曲线的定义思考取一条拉链，拉开一部分；在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；把笔尖放在M处，随着拉链的拉开或闭拢，画出一条曲线．试观察这是一条什么样的曲线？点M在运动过程中满足什么几何条件？(4)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线吗？(5)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线吗？填空平面内到两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫作双曲线，两个定点F1，F2叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的．做一做(1)已知F1(3，3)，F2(－3，3)，动点P满足PF1－PF2＝4，则P点的轨迹是() A．双曲线B．双曲线的一支C．不存在D．一条射线(2)已知点P(x，y)的坐标满足(x－1)2＋y2－(x＋1)2＋y2＝±2，则动点P的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．两条射线D．双曲线的一支【研讨·拓展】二、双曲线的标准方程思考(1)类比求椭圆标准方程的过程．如何建立适当的坐标系，求出双曲线的标准方程？PF1－PF2(2)设双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且双曲线上的动点P满足||＝2a，其中c>a>0，以F1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时，双曲线的标准方程是什么？填空 焦点位置焦点在x 轴上 焦点在y 轴上图形标准方程焦点焦距F 1F 2＝ a ，b ，c 的关系 c 2＝ 做一做 若椭圆34＋n 2＝1和双曲线n 2－16＝1有相同的焦点，则实数n 的值是( )A ．±5B ．±3C ．5D ．9【例1】(1)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2＝( )A ．11B ．9C ．5D ．3(2)设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 224＝1的左、右焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积等于( ) A ．4 2 B ．8 3 C ．24 D ．48【变式11】在△ABC 中，已知A (－22，0)，B (22，0)，且内角A ，B ，C 满足sin B －sin A ＝12sin C ，求顶点C 的轨迹方程．【例2】根据下列条件，分别求双曲线的标准方程．(1)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，154，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－163，5； (2)c ＝6，经过点(－5，2)，焦点在x 轴上．【变式21】分别求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)，双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8；(2)焦点在x轴上，经过点P(4，－2)和点Q(26，22)；(3)与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)．【变式22】已知F1，F2是双曲线的两个焦点，且|F1F2|＝10，过F2的直线交双曲线的一支于A，B两点，当|AB|＝5，△AF1B的周长等于26时，求此双曲线的标准方程．【例3】给出曲线方程x24＋k＋y21－k＝1．(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围．【变式31】若k∈R，则“k>5”是“方程x2k－5－y2k－2＝1表示双曲线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【变式32】若方程y 24－x 2m ＋1＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围是________；若表示椭圆，则实数m 的取值范围是________．【变式33】(多选)已知曲线C ：mx 2－ny 2＝1，下列说法正确的是( )A ．若mn >0，则C 为双曲线B ．若m >0且m ＋n <0，则C 为焦点在x 轴上的椭圆C ．若m >0，n <0，则C 不可能表示圆D ．若m >0，n >0，则C 为两条直线【例4】如图，已知F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点．若P 是双曲线左支上的点，且PF 1·PF 2＝32，试求△F 1PF 2的面积．【变式41】已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1，F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【变式42】设椭圆x 26＋y 22＝1和双曲线x 23－y 2＝1的公共焦点为F 1，F 2，P 是两曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2＝( )A ．14B ．13C ．19D ．35【变式43】已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 216－y 29＝1的左、右焦点，P 为双曲线C 上的一点．若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积等于________．【例5】已知A (－4,0)，B 是圆(x －1)2＋(y －4)2＝1上的点，点P 在双曲线x 29－y 27＝1的右支上，则|P A |＋|PB |的最小值为( )A ．9B ．25＋6C ．10D ．12【变式51】(多选)双曲线x 225－y 29＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离可能为( )A ．17B ．7C ．22D ．2【变式52】已知定点A (3,1)，F 是双曲线x 24－y 212＝1的右焦点，P 是双曲线右支上的动点，则|P A |＋|PF |的最小值为( )A ． 2B ．52＋4C ．52－4D ．2＋4【例6】已知△ABC 的一边的两个顶点为B (－a ，0)，C (a ，0)(a >0)，另两边的斜率之积等于m (m ≠0)．求顶点A 的轨迹方程，并且根据m 的取值情况讨论轨迹的图形．【变式61】动圆与圆x 2＋y 2＝1和x 2＋y 2－8x ＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【变式62】已知圆C ：(x ＋3)2＋y 2＝4及点A (3,0)，Q 为圆周上一点，AQ 的垂直平分线交直线CQ 于点M ，则动点M 的轨迹方程为________．【例7】已知△OFQ 的面积为26，且OF→·FQ →＝m ，其中O 为坐标原点． (1)设6<m <46，求OF→与FQ →的夹角θ的正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为其中一个焦点的双曲线经过点Q ，如图所示，|OF →|＝c ，m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫64－1c 2，当|OQ →|取得最小值时，求此双曲线的标准方程．【例8】2021年9月17日神舟“十二号”返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记为A ，B ，C )，A 在B 的正东方向，相距6千米，C 在B 的北偏西30°方向，相距4千米，P 为航天员着陆点．某一时刻，A 接收到P 的求救信号，由于B ，C 两地比A 距P 远，在此4秒后，B ，C 两个救援中心才同时接收到这一信号．已知该信号的传播速度为1千米/秒，求在A 处发现P 的方位角．【变式81】如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点D 到A的距离比到B 的距离远2 km ，现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B ，C 两地转运货物，那么这两条公路MB ，MC 的路程之和最短是______km ．【变式82】如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体部分的上口外直径为1033，下底座外直径为2393，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为( )A ．22πB ．3πC ．23πD ．4π【总结提炼】1．牢记2个知识点：(1)双曲线的定义；(2)双曲线的标准方程．2．掌握求标准方程的2种方法：(1)待定系数法；(2)定义法．3．注意1个易错点：忽略双曲线方程中含有的字母的正负而致错．【拓展强化】完成练习册相关课时作业。
高中数学 选修2-1双曲线导学案加课后作业及参考答案
双曲线及其标准方程导学案【学习要求】1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程.3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题.【学法指导】本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程.【知识要点】1．双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2探究点一 双曲线的定义问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|?问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1）6)5()5(2222=+--++y x y x ；（2）6)4()4(2222=+--++y x y x（3）方程x ＝3y 2－1所表示的曲线是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和⎝⎛⎭⎫94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 24＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程.跟踪训练1 （1）过点(1,1)且ba＝2的双曲线的标准方程是 ( )A ．12122=-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2－y 212＝1D ．x 212－y 2＝1或y 212－x 2＝1（2）若双曲线以椭圆x 216＋y 29＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______探究点三 与双曲线定义有关的应用问题例2 已知双曲线的方程是x 216－y 28＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点).跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 25＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( )A ． 3B ． 5C ．5－ 3D ．5＋ 3例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程.跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程.【当堂检测】1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 29＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( )A ．7B ．23C ．5或25D ．7或234．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程.【课堂小结】1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.2．在双曲线的标准方程中，a >b 不一定成立.要注意与椭圆中a ，b ，c 的区别.在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.3．用待定系数法求双曲线的标准方程时，要先判断焦点所在的位置，设出标准方程后，由条件列出a ，b ，c 的方程组.如果焦点不确定要分类讨论，采用待定系数法求方程或用形如mx 2＋ny 2＝1 (mn <0)的形式求解.【拓展提高】1．已知方程12522=---k y k x 的图形是双曲线，那么k 的取值范围是（ ）A ．k >5B ．k >5，或22<<-kC ．k >2,，或2-<kD ．22<<-k2．===-212221121625,PF PF y x F F P ，则上一点，且为焦点的双曲线是以点（ ） A ．2 B ．22 C ．4或22 D ．2或223．已知双曲线14922=-y x ，B A 、为过左焦点1F 的直线与双曲线左支的两个交点，2,9F AB =为右焦点，则△B AF 2的周长为4．是双曲线上的一点，且，点的两个焦点分别是已知双曲线P F F y x 2122,13=-__________602121的面积等于，则PF F PF F ∆=∠5．根据下列条件，求双曲线的标准方程． （1）过点P )415,3(，Q )5,316(-且焦点在坐标轴上； （2）c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．（3））的双曲线。
双曲线及其标准方程导学案
双曲线及其标准方程导学案
一、要点阐述
1、双曲线的定义及焦点、焦距、
2、双曲线的标准方程及其特点；求简单的双曲线的标准方程
教学过程：一、自主学习
完成《学海导航》P29的一层练习
二、演示实验：用拉链画双曲线并与讲解，对答案。
根据所学完成下列所学定义M不图形同点标准方程焦点方程
MyF2OF1F2某F1某相a、b、c的关系同焦点位置的判断点
二、课前训练
1、写下列双曲线焦点的坐标。
某2y21（2）y2某21（3）4y29某236（1）42某2y21表示双曲线，则k的范围是2、若
k1k1
某2y23、若双曲线221的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2那么则双曲线
ab的离心率是
某2y24、如果双曲线＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴
42的距离是某2y21上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是5.
已知点P在双曲线
169P到双曲线两个焦点的距离的等差中项，那么P点的横坐标是
_________
三、典型例题
9例1、已知双曲线的焦点在y轴上且双曲线上的两点P1（3，-42），P2（，5）
4求双曲线的标准方程？解：
某2y21有共同的焦点，且过P（15，4）例2、已知双曲线与椭圆，
求双曲
2736线的方程。
解：
例 3.双曲线的中心为原点O，焦点在某轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右
AB、OB成等焦点F垂直于l1的直线分别交l1，l2于A，B两点．已
知OA、差数列，且BF与FA同向．
（Ⅰ）求双曲线的离心率；
（Ⅱ）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．解：。
双曲线的简单几何性质(一)导学案
1标准方程 错误!－错误!＝1 （a 〉0,b>0) 错误!－错误!＝1(a 〉0，b 〉0） a ，b,c 关系 a 2+b 2=c 2 a 2+b 2=c 2
渐近
线
探究点二由性质求标准方程(定型→设方程→定量→作答)
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方程:
(1)双曲线的焦点为（2，0)，右顶点为(错误!，0)； (2)实半轴长为8，离心率为错误!；
变式:求满足下列条件的双曲线方程
(1）双曲线C的焦点为（0,5)，虚轴长为4; （2）实轴长为2,离心率为2；
四、巩固提高（链接高考）：
1、（2013陕西卷）双曲线x2
16
－错误!＝1的离心率为______，两条渐近线的方程为_____．
2、(2011年高考安徽卷）双曲线2x2－y2＝8的实轴长是
3、（2011年高考江西卷）若双曲线错误!-错误!=1的离心率e=2，则m=__ __.
4、思考：若a=b，则渐近线的方程为_____，离心率e＝
五、小结(方法总结）：
（1）双曲线的简单性质（2）应用：①方程→性质②性质→方程
六、作业：1、P835 2、补充:求适合下列条件的双曲线的标准方程：
（1）焦点分别为F1（－3,0），F2（3,0)，离心率e＝ 3
（2)虚轴长为12,离心率为4
5
；。
(完整版)双曲线的定义及其标准方程导学及练习含答案
课题 双曲线及其标准方程【学本研读】【学习目标】1.通过类比椭圆的定义理解并掌握双曲线的定义；2.掌握双曲线的标准方程，体会数形结合和类比的数学思想.【知识链接】一、课前准备1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？2：在椭圆的标准方程12222=+b y a x 中， a,b,c 有何关系？3：阅读课本P52-55.【研读学本问题】一、双曲线的定义1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？2.双曲线的定义： 叫做双曲线。
两定点1F , 2F 叫做双曲线的____，两焦点间的距离|21F F |叫做双曲线的 ．3.设常数为2a ，为什么2a < |21F F | ？2a = |21F F |时，轨迹是__________ ；2a > |21F F | 时，轨迹是____________例1.点 A ( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 ||AC | - |BC || = 2 ，则点C 的轨迹方程是__________ ；若 |AC | - |BC | = 1 ，则点C 的轨迹方程是__________ .二、双曲线的标准方程1．试根据双曲线的定义结合椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程2.总结双曲线的标准方程的特点，与椭圆的标准方程进行比较例2：求满足下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上，4a=，3b=.（2）焦点在x轴上，经过点(，.（3）焦点为(0,6)-，(0,6)，且经过点(2,5)-.例3双曲线191622=-yx上一点p到焦点）（0,5的距离为15，那么该点到另一个焦点的距离为【变式1】双曲线 224640x y -+= 上一点P 到它的一个焦点的距离等于1，求点P 到另一个焦点的距离.. 【变式2】双曲线1366422=-y x 上一点P 到焦点）（0,10-的距离为17，那么该点到另 一个焦点）（0,10-的距离为___。
3.2.1 双曲线及其标准方程 导学案正文
3.2 双曲线3.2.1 双曲线及其标准方程【学习目标】1.能直观认识双曲线的几何特征,会识别双曲线的定义和相关概念.2.能根据双曲线的几何特征选择适当的平面直角坐标系,根据双曲线定义的代数表达类比导出双曲线的标准方程.3.能识别焦点在不同坐标轴上的双曲线的标准方程,能说出标准方程中特征量的关系,能初步应用双曲线的定义和标准方程解决一些相关问题.◆ 知识点一 双曲线的定义1.双曲线的定义:平面内与两个定点F 1,F 2的距离的 等于非零常数( )的点的轨迹叫作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点,两焦点间的距离叫作双曲线的 .2.双曲线上动点M 的集合表示:P= ,焦距常用 表示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件|PF 1|-|PF 2|=5的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (2)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=6的动点P 的轨迹是双曲线. ( ) (3)已知两定点F 1(-3,0),F 2(3,0),满足条件||PF 1|-|PF 2||=7的动点P 的轨迹是双曲线.( )◆ 知识点二 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a ,b ,c 的关系【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知方程x 23-m -y 2m -5=1表示焦点在y 轴上的双曲线,则m 的取值范围是3<m<5. ( )(2)在双曲线的标准方程中,a ,b ,c 的关系是a 2=b 2+c 2. ( ) (3)双曲线x 2-y23=1的焦点在y 轴上. ( )◆探究点一与双曲线有关的轨迹方程例1 (1)(多选题)[2024·武汉外国语学校高二月考] 已知F1(-4,0),F2(4,0),下列说法中错误的是( )A.平面内到F1,F2两点的距离相等的点的轨迹是直线B.平面内到F1,F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆C.平面内到F1,F2两点的距离之差等于6的点的轨迹是双曲线的一支D.平面内到F1,F2两点的距离的平方之和为12的点的轨迹是圆(2)若动圆与圆C1:x2+(y-2)2=1和圆C2:x2+(y+2)2=4都内切,则动圆的圆心P的轨迹方程为.变式已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若B(-1,0),C(1,0),且sin C-sin B=12sin A,求顶点A 的轨迹方程.[素养小结]1.求解与双曲线有关的点的轨迹问题,常见的方法有两种:(1)列出等量关系,化简得到方程;(2)寻找几何关系,结合双曲线的定义,得出对应的方程.2.求解与双曲线有关的点的轨迹问题时要特别注意:(1)双曲线的焦点所在的坐标轴;(2)检验所求的轨迹是双曲线的一支还是两支.◆探究点二双曲线的标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程.(1)a=4,经过点A(1,-4√103);(2)经过点(3,0),(-6,-3).(3)与双曲线x 24-y22=1有相同的焦点且过点P(2,1).变式 根据下列条件,求双曲线的标准方程.(1)a=4,c=6,且焦点在x 轴上; (2)与椭圆C :x 215+y 26=1共焦点且过点P (2,√2).(3)经过点P (-3,2√7),Q (-6√2,-7).[素养小结]双曲线标准方程的两种求法:(1)定义法:根据双曲线的定义得到相应的a ,b ,c ,再写出双曲线的标准方程.(2)待定系数法:首先设出双曲线的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1或y 2a 2-x 2b2=1(a>0,b>0),然后根据条件求出待定的系数,代入方程即可.特别地,若双曲线的焦点的位置不明确,则应注意分类讨论,也可以设双曲线方程为mx 2+ny 2=1,注意标明条件mn<0.◆ 探究点三 双曲线定义的应用例3 (1)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 24-y 23=1的左、右焦点,过F 2的直线与C 的右支交于P ,Q 两点,则|F 1P|+|F 1Q|-|PQ|= ( ) A .5B .6C .8D .12(2)已知双曲线x 24-y 29=1,F 1,F 2分别是双曲线的左、右焦点,点M 在双曲线上且∠F 1MF 2=120°,则△F 1MF 2的面积是 .变式 (1)已知双曲线x 24-y 29=1上一点M 到左焦点F 1的距离为10,则MF 1的中点N 到坐标原点O 的距离为 ( )A .3或7B .6或14C .3D .7(2)设F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b2=1(b>0)的左、右焦点,过F 2作x 轴的垂线与C 交于A ,B 两点,若△ABF 1为正三角形,则△ABF 1的面积为( ) A .4√3B .4C .3√3D .3(3)[2024·湖北荆荆襄宜七校联盟高二期中] 已知双曲线的方程为x 29-y 216=1,点F 1,F 2分别是其左、右焦点,A是圆x 2+(y-5)2=4上的一点,点M 在双曲线的右支上,则|MF 1|+|MA|的最小值是 .[素养小结]双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时,若已知该点的横、纵坐标,则根据两点间的距离公式可求结果;若已知该点到另一焦点的距离,则根据||PF1|-|PF2||=2a求解,注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去,且所求距离应该不小于c-a).(2)双曲线中的焦点三角形问题在双曲线上的点P与其两个焦点F1,F2连接而成的焦点三角形PF1F2中,令|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=θ,因为|F1F2|=2c,所以有①定义:|r1-r2|=2a;②余弦公式:4c2=r12+r22-2r1r2cos θ;③面积公式:S△PF1F2=12r1r2sin θ.一般地,在△PF1F2中,通过以上三个等式,所求问题就会顺利解决.◆探究点四双曲线的实际应用例4如图所示,B地在A地的正东方向4千米处,C地在B地的北偏东30°方向2千米处,河流的沿岸PQ(曲线)上任意一点到A的距离比到B的距离远2千米.现要在曲线PQ上选一处M建一座码头,向B,C两地转运货物.经测算,从M到B,C两地修建公路的费用都是a万元/千米,求修建这两条公路的最低总费用.变式 如图所示,某拱桥的截面图可以看作双曲线y 216-x 2m =1(m>0)的一部分,当拱顶M 到水面的距离为4米时,水面宽AB 为4√3米,则当水面宽度为4√6米时,拱顶M 到水面的距离为( )A .4米B .(8√2-4)米C .(2√6-4)米D .(4√7-4)米[素养小结]利用双曲线的定义与标准方程解决双曲线的实际应用问题的一般方法:在实际问题中寻找几何量之间的关系,得到几何关系式,验证满足双曲线的定义.检验所求的轨迹是双曲线、线段还是不存在,判断是双曲线的一支还是两支.。
《双曲线》导学案
8.7《双曲线》一、学习目标（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)二、知识链接1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做____________．“离心率e＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质焦点在x轴上焦点在y轴上(1)图形(2)标准方程y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)(3)范围x≥a或x≤－ay≥a或y≤－a(4)中心原点O(0，0)(5)顶点A1(－a，0)，A2(a，0)(6)对称轴x轴，y轴(7)焦点F1(0，－c)，F2(0，c)(8)焦距2c＝2a2＋b2(9)离心率(10)渐近线方程y＝±abx3．与双曲线定义及标准方程相关结论(1)已知双曲线的标准方程，只要令双曲线的标准方程中右边的“1”为“0”就可得到渐近线方程，即方程x2a2－y2b2＝0就是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程．(2)求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似．因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax2＋By2＝1的形式，当A ＞0，B ＞0，A ≠B 时为椭圆，当A ·B ＜0时为双曲线．(3)直线与双曲线交于一点时，不一定相切，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．(4)与双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)有共同渐近线的双曲线系方程为x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．4．与双曲线几何性质相关结论 (1)离心率e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2． (2)焦点到渐近线的距离为b ．(3)通径长为2b2a．(4)P 为双曲线上一点，则|OP|≥a ，|PF1|≥c －a ，△PF1F2的面积为S ＝b2·sin θ1－cos θ＝b2tanθ2(θ＝∠F1PF2)．三、导学指导与检测导学 导学检测及课堂展示双曲线的定义及标准方程例1、(1)(2019－2020学年陕西汉中市高三上第五次质检)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|等于( )A ．1B ．13C ．1或13D ．15(2)经过点A (4，1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．(3)(2019哈尔滨调研)已知双曲线C 的右焦点F 与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，若以点F 为圆心，2为半径的圆与双曲线C 的渐近线相切，则双曲线C 的方程 为 ( )A ．y 23－x 2＝1 B ．x 23－y 2＝1 C ．y 22－x 22＝1 D ．x 22－y 22＝1(4)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．【点拨】 ①双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而求出双曲线方程；二是在“焦点三角形”中常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．②求双曲线的标准方程一般用待定系数法；当双曲线焦点的位置不确定时，为了避免讨论焦点的位置，常设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)，这样可以简化运算．变式1、(1)已知双曲线x 22－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积是 ( )A ．4B ．2C ．1D ．12(2)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．(3)已知双曲线C 1与双曲线C 2的焦点重合，C 1的方程为x 23－y 2＝1，若C 2的一条渐近线的倾斜角是C 1的一条渐近线的倾斜角的2倍，则C 2的方程为_______________．(4)已知点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 相切于点B ，分别过点M ，N 且与圆C 相切的两条直线相交于点P ，则点P 的轨迹方程为 ( )A ．x 2－y 210＝1(x ＞0) B ．x 2－y 28＝1(x ＞1)C ．x 2－y 28＝1(x ＞0) D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)双曲线的几何性质命题角度1 渐近线例2、(1)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2－y 2b2＝1(b >0)，经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．(2)(2019届内蒙古呼伦贝尔高三模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c ，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±2x C ．y ＝±x D ．y ＝±2x【点拨】 求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程的方法是：令右边的常数等于0，即令x 2a 2－y 2b 2＝0，得y ＝±b a x ，或令y 2a 2－x 2b 2＝0，得y ＝±abx ．反之，已知渐近线方程为y ＝±b a x ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(a >0，b >0，λ≠0)．变式2、(1)(2020届东北师大附中高三第五次模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为 ( )A ．x ±y ＝0B ．x ±3y ＝0C ．3x ±y ＝0D ．2x ±y ＝0(2)(2019届辽宁沈阳省示范协作校高三一模)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，A (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x四、巩固诊断 A 层1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”．(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线． ( ) (2)平面内到点F 1(0，2)，F 2(0，－2)的距离之差的绝对值等于4的点的轨迹是双曲线． ( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线． ( )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2． ( )(5)设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于1或17． ( )2、(2019浙江卷)渐近线方程为x ±y ＝0的双曲线的离心率是 ( )A ．22B ．1C ． 2D ．2 3、已知双曲线x 2a －3＋y 22－a＝1，焦点在y 轴上，若焦距为4，则a 等于 ( )A ．32B ．5C ．7D ．124、(2020天津卷)设双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，过抛物线y 2＝4x 的焦点和点(0，b )的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为 ( )A ．x 24－y 24＝1 B ．x 2－y 24＝15、已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C 的方程为_______________．B 层1．(2020届陕西汉中高三上五检)方程x 2m ＋2＋y 2m －3＝1表示双曲线，则m 的取值范围为 ( )A ．(－3，0)B ．(－1，3)C ．(－3，4)D ．(－2，3)2．(2020届天津市河西区高三二模)已知双曲线的一个焦点与抛物线x 2＝20y 的焦点重合，且双曲线上的一点P 到双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值等于6，则该双曲线的标准方程为 ( )A ．x 29－y 216＝1B ．x 216－y 29＝1C ．y 29－x 216＝1 D ．y 216－x 29＝1 3．(2019届天津市河北区高三一模)在平面直角坐标系中，过点(22，－2)且渐近线方程为y ＝±2x 的双曲线的标准方程为 ( )A ．x 24－y 22＝1B ．x 27－y 214＝1 4．已知双曲线y 2m 2－x 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐线方程为y ＝±23x ，则此双曲线的离心率为 ( )A ．134 B ．132 C ．133 D ．1345．(2020－2021学年湖南衡阳八中高二上10月考)若双曲线x 2a2－3y 2＝12的离心率为2，则其渐近线方程为 ( )A ．y ＝±33x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13x D ．y ＝±3x 6．(2020年福建厦门高二下期末质检)已知双曲线E ：x 24－y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是E 的右支上一点，则下列结论中不正确的是 ( )A ．|PF 1|－|PF 2|＝4B ．E 的离心率是2C ．|PF 1|的最小值是6D ．P 到两渐近线的距离的乘积是2 37．(2020赣榆智贤中学高三模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ，且它的一个焦点为F (2，0)，则过双曲线C 的一个顶点且垂直于x 轴的直线与两条渐近线所成的三角形的面积为________．8．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F 2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A ，B ，求|AB |． C 层9．()设F1和F2为双曲线－＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F1，F2，A(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是 ( )A ．y ＝±x B．y ＝±x C ．y ＝±x D．y ＝±x 10．()已知A ，B 两监测点间的距离为800 m ，且A 监测点听到爆炸声的时间比B 监测点迟2 s ，设声速为340 m/s ，下列说法正确的是 ( )①爆炸点在以A ，B 为焦点的椭圆上；②爆炸点在以A ，B 为焦点的双曲线的一支上；③若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为 m ； ④若B 监测点的声强是A 监测点的4倍(声强与距离的平方成反比)，则爆炸点到B 监测点的距离为680 m ．A ．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 11．()设双曲线C ：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P 是C 上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则 a ＝ ( )A ．1B ．2C ．4D ．812．()设F 为双曲线C ：－＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P ，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则C 的离心率为 ( )A ．B ．C ．2D ．13．已知双曲线过点(3，－2)且与椭圆4x2＋9y2＝36有相同的焦点． (1)求双曲线的标准方程．(2)若点M 在双曲线上，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＋|MF2|＝6，试判断△MF1F2的形状．五、堂清、日清记录今日之事今日毕 日积月累成大器。
双曲线的简单几何性质+导学案- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.2.2 双曲线的简单几何性质导学案课时目标：1.掌握双曲线的简单几何性质，了解双曲线的渐近线及渐近线的求法；2理解离心率的几何意义.活动一、复习回顾1.双曲线的定义：一般地，把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的______________ 等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做_________ .这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的_______ .2. 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y 轴上图形标准方程 焦点坐标a, b, c 的关系活动二：类比探究1.思考：我们前面在学习椭圆的几何性质时，主要从哪几方面学习了椭圆的几何性质？2.类比探究双曲线的几何性质 （1焦点位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1 (a>0，b>0)y 2a 2－x 2b 2＝1 (a>0，b>0)性质范围对称性顶点轴及轴长 实轴长＝____，虚轴长＝____离心率渐近线（2）重、难点突破：双曲线的渐近线渐近线方程：____________________ 渐近线方程：____________________（3）思考归纳：结合双曲线的离心率与渐近线斜率的关系总结出离心率的几何意义.活动三：练习巩固例. 求双曲线 229-16=144y x 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率及渐近线方程.活动四：课堂小结1.知识清单：双曲线的几何性质：范围、对称性、顶点、渐近线及离心率；结论1：渐近线方程为：y =±ba x (焦点在x 轴上)或y =±ab x （焦点在y 轴上）. 结论2：离心率越大，双曲线开口越___ ；离心率越小，开口越___.2.数学思想方法归纳： 类比、数形结合等.3.常见误区：忽略焦点位置致错.活动五：作业布置课后思考：设双曲线方程为22(0)x y k k R k -=∈≠且，求该双曲线的渐近线方程与离心率，并观察该双曲线有什么特点？。
2025年高考数学一轮复习-8.6.1-双曲线的定义、方程与性质【导学案】
1.焦点在 x 轴上，焦距为 10，且与双曲线 －x2＝1 有相同渐近线的双曲线的标准方程是 － ＝1 . 解析：设所求双曲线的标准方程为 －x2＝－λ（λ＞0），即 － ＝1，则有 4λ＋λ＝25，解得λ＝5，
所以所求双曲线的标准方程为 － ＝1.
2.经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，7）的双曲线的标准方程为 － ＝1 . 解析：设双曲线方程为 mx2＋ny2＝1（mn＜0），因为所求双曲线经过点 P（3，2 ），Q（－6 ，
A.
B.
C.
D.
（2）（2022·全国甲卷 15 题）记双曲线 C： － ＝1（a＞0，b＞0）的离心率为 e，写出满足条
件“直线 y＝2x 与 C 无公共点”的 e 的一个值 2（答案不唯一，（1， ]内的任意值均可） .
7 / 15
解析：（1）设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝ + － × × × cos °＝ m， 所以 C 的离心率 e＝ ＝ ＝ ｜ ｜ ＝ ＝ .
双曲线定义的应用主要有两个方面
1.已知动点 M（x，y）满足 （ + ） ＋ － （ － ） ＋ ＝4，则动点 M 的轨迹是（ ）
A.射线 C.椭圆
B.直线 D.双曲线的一支
4 / 15
解析：A 设 F1（－2，0），F2（2，0），由题意知动点 M 满足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，
PF2｜，则 cos∠F1PF2＝
；
（2）已知 F 是双曲线 － ＝1 的左焦点，A（1，4），P 是双曲线右支上的一动点，则｜PF｜ ＋｜PA｜的最小值为 9 . 解析：（1）∵由双曲线的定义有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝2 ，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝4 ，
双曲线(经典导学案及练习答案详解)
§8.7双曲线学习目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).3.了解双曲线的简单应用．知识梳理1．双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．2．双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)轴实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，实半轴长：a，虚半轴长：b离心率e＝ca∈(1，＋∞)渐近线y＝±ba x y＝±ab xa，b，c的关系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.(2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c －a .(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b 2a.(4)若P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则12PF F S △＝b 2tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.(5)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)到两定点的距离差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线．( × ) (2)方程x 2m －y 2n ＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0)的渐近线方程是x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ ) 教材改编题1．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )A. 5 B ．5 C. 2 D ．2 答案 A解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，即b ＝2a ， 又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a 2＝5，∴e ＝ 5. 2．设P 是双曲线x 216－y 220＝1上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF 1|＝9，则|PF 2|等于( )A ．1B ．17C ．1或17D ．以上均不对 答案 B解析 根据双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8⇒|PF 2|等于1或17.又|PF 2|≥c －a ＝2，故|PF 2|＝17. 3．(2022·汕头模拟)写一个焦点在y 轴上且离心率为3的双曲线方程________． 答案y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以) 解析 取c ＝3，则e ＝ca＝3，可得a ＝1，∴b ＝c 2－a 2＝2， 因此，符合条件的双曲线方程为y 2－x 22＝1(答案不唯一，符合要求就可以).题型一 双曲线的定义及应用例1 (1)已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，N 是圆O ：x 2＋y 2＝1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆答案 B解析 如图，连接ON ，由题意可得|ON |＝1，且N 为MF 1的中点，又O 为F 1F 2的中点，所以|MF 2|＝2.因为点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，由垂直平分线的性质可得|PM |＝|PF 1|， 所以||PF 2|－|PF 1||＝||PF 2|－|PM || ＝|MF 2|＝2<|F 1F 2|，所以由双曲线的定义可得，点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线．(2)已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积为______． 答案 2 3解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12， ∴|PF 1|·|PF 2|＝8，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|·sin 60°＝2 3.延伸探究 在本例(2)中，若将“∠F 1PF 2＝60°”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，则△F 1PF 2的面积为_____．答案 2解析 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， ∵PF 1―→·PF 2―→＝0，∴PF 1―→⊥PF 2―→，∴在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16， ∴|PF 1|·|PF 2|＝4，∴12F PF S △＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.教师备选1．已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1，C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A ．x 2－y 28＝1B.x 28－y 2＝1 C ．x 2－y 28＝1(x ≤－1) D ．x 2－y 28＝1(x ≥1) 答案 C解析 设圆M 的半径为r ，由动圆M 同时与圆C 1和圆C 2相外切， 得|MC 1|＝1＋r ，|MC 2|＝3＋r ， |MC 2|－|MC 1|＝2<6，所以点M 的轨迹是以点C 1(－3,0)和C 2(3,0)为焦点的双曲线的左支， 且2a ＝2，a ＝1，又c ＝3， 则b 2＝c 2－a 2＝8， 所以点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)． 2．(2022·长春模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±233x ，一个焦点为F (0，－7)，点A (2，0)，点P 为双曲线第一象限内的点，则当点P 的位置变化时，△P AF 周长的最小值为( ) A ．8 B ．10 C ．4＋37 D ．3＋317答案 B解析 由已知得双曲线方程为y 24－x 23＝1，设双曲线的另一个焦点为F ′，则|PF |＝|PF ′|＋4，△P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋4＋|P A |＋3，当F ′，P ，A 三点共线时， |PF ′|＋|P A |有最小值，为|AF ′|＝3， 故△P AF 的周长的最小值为10.思维升华 在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．跟踪训练1 (1)(2022·扬州、盐城、南通联考)已知双曲线C 的离心率为3，F 1，F 2是C 的两个焦点，P 为C 上一点，|PF 1|＝3|PF 2|，若△PF 1F 2的面积为2，则双曲线C 的实轴长为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．6 答案 B解析 由题意知，|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 2|＝a ，|PF 1|＝3a ， 又离心率e ＝ca ＝3，|F 1F 2|＝2c ＝23a ，所以cos ∠F 1PF 2＝9a 2＋a 2－12a 22·3a ·a＝－2a 26a 2＝－13， sin ∠F 1PF 2＝223，所以12PF F S △＝12·a ·3a ·223＝2a 2＝2，所以a ＝1，实轴长2a ＝2.(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 答案 9解析 设双曲线的右焦点为F 1，则由双曲线的定义，可知|PF |＝4＋|PF 1|， 所以当|PF 1|＋|P A |最小时满足|PF |＋|P A |最小． 由双曲线的图象，可知当点A ，P ，F 1共线时， 满足|PF 1|＋|P A |最小，|AF 1|＋4即|PF |＋|P A |的最小值． 又|AF 1|＝5，故所求的最小值为9. 题型二 双曲线的标准方程例2 (1)(2021·北京)双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过点(2，3)，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为( )A ．x 2－y 23＝1B.x 23－y 2＝1 C ．x 2－3y 23＝1D.3x 23－y 2＝1答案 A解析 ∵e ＝ca＝2，则c ＝2a ，b ＝c 2－a 2＝3a ， 则双曲线的方程为x 2a 2－y 23a2＝1，将点(2，3)的坐标代入双曲线的方程可得2a 2－33a 2＝1a 2＝1，解得a ＝1，故b ＝3，因此，双曲线的方程为x 2－y 23＝1. (2)若双曲线经过点(3，2)，且渐近线方程是y ＝±13x ，则双曲线的标准方程是________．答案y 2－x 29＝1 解析 设双曲线的方程是y 2－x 29＝λ(λ≠0)． 因为双曲线过点(3，2)， 所以λ＝2－99＝1，故双曲线的标准方程为y 2－x 29＝1. 教师备选1．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点F 为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的标准方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 答案 A解析 因为渐近线y ＝ba x 与直线x ＝a 交于点A (a ，b )，c ＝4且(4－a )2＋b 2＝4，解得a 2＝4，b 2＝12，因此双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1. 2．经过点P (3,27)，Q (－62，7)的双曲线的标准方程为________．答案 y 225－x 275＝1解析 设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1， 解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.思维升华 求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a ，2b 或2c ，从而求出a 2，b 2. (2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．跟踪训练2 (1)已知双曲线过点(2,3)，渐近线方程为y ＝±3x ，则该双曲线的标准方程是( ) A.7x 216－y 212＝1 B.y 23－x 22＝1 C ．x 2－y 23＝1 D.3y 223－x 223＝1 答案 C解析 因为双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以可设双曲线的方程为x 2－y 23＝λ(λ≠0)，将点(2,3)代入其中，得λ＝1，所以该双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1. (2)(2022·佛山调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1 D ．x 2－y 22＝1 答案 D解析 由题意可知|PF 1|＝43c3， |PF 2|＝23c3， 2b ＝22，由双曲线的定义可得43c 3－23c3＝2a ，即c ＝3a .又b ＝2，c 2＝a 2＋b 2，∴a ＝1，∴双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.题型三 双曲线的几何性质 命题点1 渐近线例3 (1)由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品．若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为( )A.y 212－x 24＝1 B.3y 24－x 24＝1 C.x 24－y 24＝1 D.y 216－x 24＝1 答案 B解析 由题意知，b ＝2， 又因为e ＝ca ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝2，解得a 2＝43，所以双曲线的方程为3y 24－x 24＝1.(2)设O 为坐标原点，直线x ＝a 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于D ，E 两点，若△ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 答案 B解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y ＝±bax .因为D ，E 分别为直线x ＝a 与双曲线C 的两条渐近线的交点， 所以不妨设D (a ，b )，E (a ，－b )，所以S △ODE ＝12×a ×|DE |＝12×a ×2b ＝ab ＝8，所以c 2＝a 2＋b 2≥2ab ＝16(当且仅当a ＝b 时等号成立)， 所以c ≥4，所以2c ≥8， 所以C 的焦距的最小值为8.思维升华 (1)渐近线的求法：求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线的方法是令x 2a 2－y 2b 2＝0，即得两渐近线方程x a ±yb ＝0⎝⎛⎭⎫y ＝±b a x . (2)在双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba ，满足关系式e 2＝1＋k 2.命题点2 离心率例4 (1)(2021·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且∠F 1PF 2＝60°，|PF 1|＝3|PF 2|，则C 的离心率为( ) A.72 B.132C.7D.13 答案 A解析 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝3m ， 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|＝m 2＋9m 2－2×3m ×m ×cos 60° ＝7m ，所以C 的离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝|F 1F 2||PF 1|－|PF 2|＝7m 2m ＝72. 高考改编已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A 在双曲线E 的左支上，且∠F 1AF 2＝120°，|AF 2|＝2|AF 1|，则双曲线E 的离心率为( ) A. 3 B. 5 C.7 D ．7答案 C解析 点A 在双曲线E 的左支上，左、右焦点分别为F 1，F 2， 设|AF 1|＝m ，由|AF 2|＝2|AF 1|知|AF 2|＝2m ，由双曲线定义得|AF 2|－|AF 1|＝2m －m ＝m ＝2a ， 在△AF 1F 2中，|AF 1|＝2a ，|AF 2|＝4a ，∠F 1AF 2＝120°， 由余弦定理知，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1||AF 2|cos 120° ＝4a 2＋16a 2＋8a 2＝28a 2， ∴|F 1F 2|＝27a ， 又|F 1F 2|＝2c ，∴27a ＝2c ，e ＝ca＝7.(2)(2022·滨州模拟)已知F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，点P是双曲线C 上在第一象限内的一点，若sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2，则双曲线C 的离心率的取值范围为( ) A ．(1,2) B ．(1,3) C ．(3，＋∞) D ．(2,3)答案 A解析 在△PF 1F 2中， sin ∠PF 2F 1＝3sin ∠PF 1F 2， 由正弦定理得，|PF 1|＝3|PF 2|，又点P 是双曲线C 上在第一象限内的一点， 所以|PF 1|－|PF 2|＝2a ， 所以|PF 1|＝3a ，|PF 2|＝a ，在△PF 1F 2中，由|PF 1|＋|PF 2|>|F 1F 2|， 得3a ＋a >2c ，即2a >c ， 所以e ＝ca <2，又e >1，所以1<e <2. 教师备选1．(2022·济南模拟)已知双曲线x 2m ＋1－y 2m ＝1(m >0)的渐近线方程为x ±3y ＝0，则m 等于( )A.12B.3－1C.3＋12D ．2答案 A解析 由渐近线方程y ＝±b a x ＝±33x ， 所以b a ＝33， 则b 2a 2＝13， 即m m ＋1＝13，m ＝12. 2．设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5答案 A解析 令双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F 的坐标为(c ，0)，则c ＝a 2＋b 2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ |＝|OF |可知，PQ 是以OF 为直径的圆的直径，且PQ ⊥OF .设垂足为M ，连接OP ，则|OP |＝a ，|OM |＝|MP |＝c 2， 由|OM |2＋|MP |2＝|OP |2，得⎝⎛⎭⎫c 22＋⎝⎛⎭⎫c 22＝a 2，∴c a＝2，即离心率e ＝ 2. 思维升华 求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a ，b ，c 的方程或不等式，利用c 2＝a 2＋b 2和e ＝c a转化为关于e 的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．跟踪训练3 (1)(多选)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，C 上的点到其焦点的最短距离为1，则( )A ．双曲线C 的焦点坐标为(0，±2)B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3xC ．点(2,3)在双曲线C 上D ．直线mx －y －m ＝0(m ∈R )与双曲线C 恒有两个交点答案 BC解析 双曲线C 上的点到其焦点的最短距离为c －a ＝1，离心率e ＝c a ＝2，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1，所以C 的焦点坐标为(±2,0)，A 错误； 双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x ，B 正确； 因为22－323＝1，所以点(2,3)在双曲线C 上，C 正确； 直线mx －y －m ＝0即y ＝m (x －1)，恒过点(1,0)，当m ＝±3时，直线与双曲线C 的一条渐近线平行，此时直线与双曲线只有一个交点，D 错误．(2)(2022·威海模拟)若双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线C 2的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，132B.⎝⎛⎭⎫1，133 C.⎝⎛⎭⎫132，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫133，＋∞ 答案 D解析 因为双曲线C 1：y 24－x 29＝1的渐近线方程为y ＝±23x ， 双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±b ax ， 为使双曲线C 1：y 24－x 29＝1与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)有公共点， 只需b a >23， 则离心率为e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2>1＋49＝133. 课时精练1．双曲线9x 2－16y 2＝1的焦点坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫±512，0 B.⎝⎛⎭⎫0，±512 C ．(±5,0) D ．(0，±5)答案 A解析 将双曲线的方程化为标准形式为x 219－y 2116＝1， 所以c 2＝19＋116＝25144， 所以c ＝512， 所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎫±512，0. 2．已知双曲线x 2m －y 2m ＋6＝1(m >0)的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的标准方程为( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 28＝1 C ．x 2－y 28＝1 D.x 22－y 28＝1 答案 D解析 由题意，得2m ＝m ＋6，解得m ＝2，所以双曲线的标准方程为x 22－y 28＝1. 3．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3答案 B解析 方法一 依题意知，点P 在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，得|PF 2|－|PF 1|＝2×3＝6，所以|PF 2|＝6＋3＝9.方法二 根据双曲线的定义，得||PF 2|－|PF 1||＝2×3＝6，所以||PF 2|－3|＝6，所以|PF 2|＝9或|PF 2|＝－3(舍去)．4．(2022·大连模拟)若双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C.43 D.233答案 A解析 双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点坐标为(9＋b 2，0)，渐近线方程为y ＝±b 3x ，即bx ±3y ＝0， ∵双曲线C ：x 29－y 2b 2＝1的右焦点到它的一条渐近线的距离是33， ∴b 9＋b 2b 2＋9＝33， 解得b ＝33，∴c ＝9＋b 2＝9＋(33)2＝6，∴离心率e ＝c a ＝63＝2. 5．(多选)已知双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1，则下列说法正确的是( ) A ．双曲线C 的实轴长为8B ．双曲线C 的渐近线方程为y ＝±34x C ．双曲线C 的焦点到渐近线的距离为3D ．双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为94答案 ABC解析 因为a 2＝16，所以a ＝4,2a ＝8，故A 正确；因为a ＝4，b ＝3，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±34x ，故B 正确； 因为c ＝a 2＋b 2＝16＋9＝5，所以焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，焦点(5,0)到渐近线3x －4y ＝0的距离为|15|32＋(－4)2＝3，故C 正确；双曲线C 上的点到焦点距离的最小值为c －a ＝1，故D 错误． 6．(多选)(2022·潍坊模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 29＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，一条渐近线方程为y ＝34x ，P 为C 上一点，则以下说法正确的是( ) A ．C 的实轴长为8B ．C 的离心率为53 C ．|PF 1|－|PF 2|＝8D ．C 的焦距为10 答案 AD解析 由双曲线方程知，渐近线方程为y ＝±3a x ，而一条渐近线方程为y ＝34x ， ∴a ＝4，故C ：x 216－y 29＝1， ∴双曲线实轴长为2a ＝8，离心率e ＝c a ＝16＋94＝54， 由于P 可能在C 不同分支上，则有||PF 1|－|PF 2||＝8，焦距为2c ＝2a 2＋b 2＝10.∴A ，D 正确，B ，C 错误．7．(2021·新高考全国Ⅱ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝2，则该双曲线C 的渐近线方程为________．答案 y ＝±3x解析 因为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2， 所以e ＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝2，所以b 2a2＝3， 所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±3x . 8．设双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F .过点F 且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．答案 3215解析 因为a 2＝9，b 2＝16，所以c ＝5.所以A (3,0)，F (5,0)，不妨设直线BF 的方程为y ＝43(x －5)， 代入双曲线方程解得B ⎝⎛⎭⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF |·|y B |＝12×2×3215＝3215. 9．已知双曲线x 216－y 24＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2. (1)若点M 在双曲线上，且MF 1－→·MF 2－→＝0，求M 点到x 轴的距离；(2)若双曲线C 与已知双曲线有相同的焦点，且过点(32，2)，求双曲线C 的方程． 解 (1)不妨设M 在双曲线的右支上，M 点到x 轴的距离为h ，∵MF 1－→·MF 2－→＝0，∴MF 1⊥MF 2.设|MF 1|＝m ，|MF 2|＝n ，由双曲线的定义知m －n ＝2a ＝8.①在Rt △F 1MF 2中，由勾股定理得m 2＋n 2＝(2c )2＝80，②由①②得m ·n ＝8.∵12MF F S △＝12mn ＝4＝12×2ch ， ∴h ＝255. 即M 点到x 轴的距离为255. (2)设双曲线C 的方程为x 216－λ－y 24＋λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线C 过点(32，2)，∴1816－λ－44＋λ＝1， 解得λ＝4或λ＝－14(舍去)，∴双曲线C 的方程为x 212－y 28＝1. 10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，渐近线方程是y ＝±255x ，点A (0，b )，且△AF 1F 2的面积为6.(1)求双曲线C 的标准方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点P ，Q ，若|AP |＝|AQ |，求实数m 的取值范围． 解 (1)由题意得b a ＝255，① 12AF F S △＝12×2c ·b ＝6，②a 2＋b 2＝c 2，③由①②③可得a 2＝5，b 2＝4，∴双曲线C 的标准方程是x 25－y 24＝1. (2)由题意知直线l 不过点A .设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，线段PQ 的中点为D (x 0，y 0)，连接AD (图略)．将y ＝kx ＋m 与x 25－y 24＝1联立，消去y ， 整理得(4－5k 2)x 2－10kmx －5m 2－20＝0，由4－5k 2≠0且Δ>0，得⎩⎪⎨⎪⎧4－5k 2≠0，80(m 2－5k 2＋4)>0，④ ∴x 1＋x 2＝10km 4－5k 2，x 1x 2＝－5m 2＋204－5k 2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝5km 4－5k 2， y 0＝kx 0＋m ＝4m 4－5k 2. 由|AP |＝|AQ |知，AD ⊥PQ ，又A (0,2)，∴k AD ＝y 0－2x 0＝4m 4－5k 2－25km 4－5k 2＝－1k， 化简得10k 2＝8－9m ，⑤由④⑤，得m <－92或m >0. 由10k 2＝8－9m >0，得m <89. 综上，实数m 的取值范围是m <－92或0<m <89.11．(多选)双曲线C ：x 24－y 22＝1的右焦点为F ，点P 在双曲线C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )A ．双曲线C 的离心率为62B ．双曲线y 24－x 28＝1与双曲线C 的渐近线相同 C ．若PO ⊥PF ，则△PFO 的面积为 2D ．|PF |的最小值为2答案 ABC解析 因为a ＝2，b ＝2，所以c ＝a 2＋b 2＝6，所以e ＝c a ＝62， 故A 正确；双曲线y 24－x 28＝1的渐近线方程为y ＝±22x ，双曲线C 的渐近线方程为y ＝±22x ，故B 正确； 因为PO ⊥PF ，点F (6，0)到渐近线2x －2y ＝0的距离d ＝|2×6|6＝2， 所以|PF |＝2，所以|PO |＝(6)2－(2)2＝2，所以△PFO 的面积为12×2×2＝2， 故C 正确；|PF |的最小值即为点F 到渐近线的距离，即|PF |＝2，故D 不正确．12．(2022·湖南师大附中模拟)已知双曲线C: x 24－y 2b2＝1(b >0)，以C 的焦点为圆心，3为半径的圆与C 的渐近线相交，则双曲线C 的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫1，32 B.⎝⎛⎭⎫1，132 C.⎝⎛⎭⎫ 32，132 D ．(1，13) 答案 B解析 由题意可知双曲线的其中一条渐近线为y ＝b 2x ，即bx －2y ＝0， 又该圆的圆心为(c ，0)，故圆心到渐近线的距离为bc b 2＋4， 则由题意可得bc b 2＋4<3，即b 2c 2<9(b 2＋4)， 又b 2＝c 2－a 2＝c 2－4，则(c 2－4)c 2<9c 2，解得c 2<13，即c <13，则e ＝c a ＝c 2<132，又e >1， 故离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，132. 13．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，A ，B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＋k 2的取值范围为( )A ．(1，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 A 解析 由双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为x －2y ＝0，可得a ＝2b ，由双曲线的左焦点在直线x ＋y ＋5＝0上，可得c ＝5，则由a 2＋b 2＝c 2，得a ＝2，b ＝1，双曲线的方程为x 24－y 2＝1， 由题意可得A (－2,0)，B (2,0)，设P (m ，n )(m >2，n >0)，则m 24－n 2＝1，即n 2m 2－4＝14， k 1k 2＝n m ＋2·n m －2＝n 2m 2－4＝14， 易知k 1，k 2>0，则k 1＋k 2≥2k 1k 2＝1，由A ，B 分别为双曲线的左、右顶点，可得k 1≠k 2，则k 1＋k 2>1.14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为原点，若以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，且|F 1P |＝3|OP |，则C 的渐近线方程为________． 答案 y ＝±3x解析 根据双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1，F 2，O 为原点，以F 1F 2为直径的圆与C 的渐近线的一个交点为P ，如图所示，则|F 1O |＝|OP |＝c ，|F 1P |＝3|OP |＝3c ，所以在△POF 1中，由余弦定理可得cos ∠POF 1＝|OP |2＋|OF 1|2－|PF 1|22|OP |·|OF 1|＝c 2＋c 2－()3c 22×c ×c＝－12. 所以∠POF 1＝2π3，则∠POF 2＝π3，所以tan ∠POF 2＝tan π3＝3， 则渐近线方程为y ＝±3x .15．(多选)双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦点在圆O ：x 2＋y 2＝13上，圆O 与双曲线C 的渐近线在第一、二象限分别交于点M ，N ，点E (0，a )满足EO →＋EM →＋EN →＝0(其中O 为坐标原点)，则( )A ．双曲线C 的一条渐近线方程为3x －2y ＝0B ．双曲线C 的离心率为132C ．|OE →|＝1D ．△OMN 的面积为6答案 ABD解析 如图，设双曲线C 的焦距为2c ＝213，MN 与y 轴交于点P ，由题意可知|OM |＝c ＝13，则P (0，b )，由EO →＋EM →＋EN →＝0得点E 为△OMN 的重心，可得|OE |＝23|OP |， 即a ＝23b ，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝94， 所以a ＝2，b ＝3，e ＝132. 双曲线C 的渐近线方程为3x ±2y ＝0，|OE →|＝2，M 的坐标为(2,3)，S △OMN ＝6.16．双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左顶点为A ，右焦点为F ，动点B 在C 上．当BF ⊥AF 时，|AF |＝|BF |.(1)求C 的离心率；(2)若B 在第一象限，证明：∠BF A ＝2∠BAF .(1)解 设双曲线的半焦距为c ，则F (c ，0)，B ⎝⎛⎭⎫c ，±b 2a ， 因为|AF |＝|BF |，所以b 2a＝a ＋c ， 所以c 2－a 2a＝a ＋c ， 所以c －a ＝a ，即c ＝2a ，所以e ＝2.(2)证明 设B (x 0，y 0)，其中x 0>a ，y 0>0. 因为e ＝2，故c ＝2a ，b ＝3a ， 故双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，所以∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，π3，∠BF A ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3. 当∠BF A ＝π2时， 由题意易得∠BAF ＝π4， 此时∠BF A ＝2∠BAF .当∠BF A ≠π2时， 因为tan ∠BF A ＝－y 0x 0－c ＝－y 0x 0－2a， tan ∠BAF ＝y 0x 0＋a， 所以tan 2∠BAF ＝2y 0x 0＋a 1－⎝⎛⎭⎫y 0x 0＋a 2＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－y 20 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－b 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3a 2⎝⎛⎭⎫x 20a 2－1 ＝2y 0(x 0＋a )(x 0＋a )2－3(x 20－a 2) ＝2y 0(x 0＋a )－3(x 0－a ) ＝－y 0x 0－2a＝tan ∠BF A ，因为2∠BAF ∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，故∠BF A ＝2∠BAF . 综上，∠BF A ＝2∠BAF .。
高中数学《双曲线及其标准方程》(导学案)
第二章 圆锥曲线与方程2.2.1 双曲线及其标准方程一、学习目标1．掌握双曲线的定义；2．掌握双曲线的标准方程．【重点、难点】1.双曲线的定义及标准方程2.双曲线的标准方程的推导及简单应用二、学习过程【复习引入】复习1：椭圆的定义是什么？椭圆的标准方程是什么？复习2：在椭圆的标准方程22221x y a b+=中，,,a b c 有何关系？若5,3a b ==，则?c =写出符合条件的椭圆方程．【导入新课】问题1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？如图2-23，定点12,F F 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，12MF MF -是常数，这样就画出一条曲线；由21MF MF -是同一常数，可以画出另一支．新知1：双曲线的定义：平面内与两定点12,F F 的距离的差的 等于常数(小于12F F )的点的轨迹叫做双曲线。
两定点12,F F 叫做双曲线的 ，两焦点间的距离12F F 叫做双曲线的 ．反思：设常数为2a ，为什么2a <12F F ？2a =12F F 时，轨迹是 ；2a >12F F 时，轨迹 ．试试：点(1,0)A ，(1,0)B -，若1AC BC -=，则点C 的轨迹是 ．新知2：双曲线的标准方程：22222221,(0,0,)x y a b c a b a b-=>>=+（焦点在x 轴） 其焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ．思考：若焦点在y 轴，标准方程又如何？【典型例题】【例1】 根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点P (3，154)，Q (－163，5)； (2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．【例2】 如图，若F 1，F 2是双曲线x 29－y 216＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离；(2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2【变式拓展】1. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)焦点为(0，－6)，(0,6)，经过点A (－5,6)．2.已知双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．三、总结反思1．对双曲线定义的理解(1)把定常数记为2a ，当2a <|F 1F 2|时，其轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，其轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线(包括端点)；当2a >|F 1F 2|时，其轨迹不存在．(2)距离的差要加绝对值，否则只为双曲线的一支．若F 1、F 2表示双曲线的左、右焦点，且点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝2a ，则点P 在右支上；若点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝2a ，则点P 在左支上．(3)双曲线定义的表达式是|||PF 1|－|PF 2|＝2a (0<2a <|F 1F 2|)．(4)理解双曲线的定义要紧扣“到两定点距离之差的绝对值为定值且小于两定点的距离．”2．双曲线的标准方程(1)只有当双曲线的两焦点F 1、F 2在坐标轴上，并且线段F 1F 2的垂直平分线也是坐标轴时得到的方程才是双曲线的标准方程．(2)标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a >b >0，而双曲线中a 、b 大小则不确定．(3)焦点F 1、F 2的位置，是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型．“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x 轴上；若y 2项的系数为正，那么焦点在y 轴上．(4)用待定系数法求双曲线的标准方程时，如不能确定焦点的位置，可设双曲线的标准方程为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)或进行分类讨论．四、随堂检测1．动点P 到点M (1,0)，N (－1,0)的距离之差的绝对值为2，则点P 的轨迹是( )A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线2．双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为( )A ．(22，0) B ．(52，0)C ．(62，0) D ．(3，0)3．满足条件a ＝2，一个焦点为(4,0)的双曲线的标准方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1C.x 24－y 216＝1 D.x 216－y 24＝14．已知双曲线x 216－y 29＝1的左支上一点M 到其左焦点F 1的距离为10，求点M 到该曲线左焦点F 2的距离．。
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导学案 平面解析几何
编制：高春芳
审阅：厉强
第二讲 双曲线（2 课时）
班级
姓名
【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2.
理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用.
【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记）
1．双曲线定义
(3)当_____________时，P 点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 － ＝1 (a>0，b>0)
a2 b2
y2 x2 － ＝1 (a>0，b>0)
a2 b2
图形
范围
对称性
顶点
渐近线
性 离心率
质
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝____；线
实虚轴 段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝_____；a 叫
C.焦距相等
D.离心率相等
x2
y2
8. 已知曲线方程 － ＝1，若方程表示双曲线，则 λ 的取值范围是________________.
λ＋2 λ＋1
【课堂考点探究】
探究点一 双曲线定义的应用
例 1 1.已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切，则动圆圆心 M 的轨 迹方程为____________________．
[总结反思]
x2 y2
x2 y2
4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线a2－b2＝1 (a>0，b>0)有共同渐近线的方程可表示为a2－b2＝t (t≠0)．
x2 y2 (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 ＋ ＝1 (mn<0)．
mn
【链接教材】（打好基础，奠基成长）
x2 y2 1．(教材改编)若双曲线 － ＝1 (a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
a2 b2
A. 5
B．5
C. 2
D．2
2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为 y＝±2x 的是( )
y2 A．x2－ ＝1
4
x2 B. －y2＝1
4
y2 C．x2－ ＝1
2
x2 D. －y2＝1
2
2014 级高三理科数学
导学案 平面解析几何
编制：高春芳
x2 y2
x2 y2
3．(2014·广东)若实数 k 满足 0<k<9，则曲线 － ＝1 与曲线 － ＝1 的( )
4
x2 y2 2 .(2014·天津)已知双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线平行于直线 l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线 l 上，则双曲线的方程为( )
x2 y2 A. － ＝1
5 20
x2 y2 B. － ＝1
20 5
3x2 3y2 C. － ＝1
25 1பைடு நூலகம்0
3x2 3y2 D. － ＝1
25 9－k
25－k 9
审阅：厉强
A．焦距相等
B．实半轴长相等
C．虚半轴长相等
D．离心率相等
4．已知 F 为双曲线 C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为________．
5．(教材改编)经过点 A(3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_______.
A. 2
B. 3
C．2
D. 5
2014 级高三理科数学
导学案 平面解析几何
编制：高春芳
审阅：厉强
x2 y2 (2)(2015·山东)平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线 C2：x2＝2py(p＞0)交于点 O，A，B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点，则 C1 的离心率为________．
26，若曲线
C2
上的点到椭圆
C1
的两个焦点的距离的差的绝对
值等于 8，则曲线 C2 的标准方程为________．
探究点三 双曲线的几何性质
x2 y2 例 3 (1)过双曲线 － ＝1(a>0，b>0)的一个焦点 F 作一条渐近线的垂线，垂足为点 A，与另一条渐近线交于点 B，
a2 b2 →→ 若FB＝2FA，则此双曲线的离心率为( )
做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c 的 关系
c2＝__________ (c>a>0，c>b>0)
3 实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率 e＝ 2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条 渐近线互相垂直.一般可设其方程为 x2－y2＝λ(λ≠0).
x2 y2
6.
设双曲线 － a2
9
＝1(a＞0)的渐近线方程为
3x±2y＝0，则
a
的值为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
π
x2
y2
y2
x2
7
(2013·湖北)已知
0<θ< ，则双曲线 4
C1：cos2θ－sin2θ＝1
与
C2：sin2θ－sin2θtan2θ＝1
的( )
A.实轴长相等 B.虚轴长相等
PF PF 2. 设 P 是双曲线 x2 y2 1上的一点，F1F2 分别是双曲线的左右焦点，若为
9则
1
( )
2
16 20
A.1
B.17
C.1 或 17 D.以上答案均不对
[总结反思]
探究点二 双曲线的标准方程的求法
例 2 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：
5 (1)虚轴长为 12，离心率为 ；(2)经过两点 P(－3,2 7)和 Q(－6 2，－7)．
平 面 内 与 两 个 定 点 F1， F2 的 ____________等 于 常 数 (小 于 |F1F2|)的 点 的 轨 迹 叫 做 双 曲 线 ． 这 两 个 定 点 叫 做 _____________，两焦点间的距离叫做_______________.集合 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常 数且 a>0，c>0.(1)当______________时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P 点的轨迹是两条射线；
100 25
[总结反思]
变式题
(1)(2015·课 标 全 国 Ⅱ)已 知 双 曲 线 过 点 (4，
1 3)， 且 渐 近 线 方 程 为 y＝ ± x， 则 该 双 曲 线 的 标 准 方 程 为
2
__________________．
5
(2)设椭圆
C1
的离心率为 ，焦点在 13
x
轴上且长轴长为