必修一学案---函数概念及性质

函数及其表示

1.2.1函数的概念

Q

情景引入

ing jing yin ru

某人到一个水果店去买西瓜，价格表上写的是：6斤以下，每斤0.4元，6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤以上，每斤0.6元．此人挑了一个西瓜，称重后店主说5元1角，1角就不要了，给5元吧．可这位聪明的顾客马上说，你不仅没少要，反而多收了我的钱．当顾客讲出理由，店主只好承认了错误，照实收了钱．同学们，你知道顾客是怎么晓得店主骗人的吗？

X

新知导学

in zhi dao xue

1．函数的概念

定义

设A、B是非空的__数集__，如果按照某种确定的对应关系f，使对

于集合A中的__任意一个数x__，在集合B中都有__唯一确定__的数

f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

三

要

素

对应关系y＝f(x)，x∈A

定义域__x__的取值集合

值域与x的值相对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}.

[知识点拨](1)对数集的要求：集合A、B为非空数集．

(2)任意性和唯一性：集合A中的数具有任意性，集合B中的数具有唯一性．

(3)对符号“f”的认识：它表示对应关系，在不同的函数中f的具体含义不一样．

(4)一个区别：f(x)是一个符号，不表示f与x的乘积，而f(a)表示函数f(x)当自变量x取a时的一个函数值．

(5)函数三要素：定义域、对应关系和值域是函数的三要素，三者缺一不可．

2．区间及有关概念

(1)一般区间的表示．

设a，b∈R，且a

定义名称符号数轴表示

{x|a≤x≤b}闭区间__[a，b]__

{x |a ＜x ＜b } 开区间 __(a ，b )__ {x |a ≤x ＜b }

半开半 闭区间 [a ，b )

{x |a ＜x ≤b } 半开半 闭区间

(a ，b ]

定义 R {x |x ≥a } {x |x >a } {x |x ≤a } {x |x

(－∞，＋∞)

[a ，＋∞)

(a ，＋∞)

(－∞，a ]

(－∞，a )

[知识点拨] (1)关注实心点、空心圈：用数轴表示区间时，用实心点表示包括在区间内的端点，用空心圈表示不包括在区间内的端点．

(2)区分开和闭：在用区间表示集合时，开和闭不能混淆．

(3)正确理解“∞”：“∞”是一个趋向符号，不是一个数，它表示数的变化趋势．以“－∞”和“＋∞”为区间的一端时，这一端点必须用小括号．

Y 预习自测u xi zi ce

1．下列式子中不能表示函数y ＝f (x )的是( A ) A ．x ＝y 2 B ．y ＝x ＋1 C ．x ＋y ＝0

D ．y ＝x 2

[解析] 从函数的概念来看，一个自变量x 对应一个y ；而A 中x ＝y 2中一个x 对应两个y .

∴A 不是函数．

2．区间[5,8)表示的集合是( C ) A ．{x |x ≤5或x >8} B ．{x |5

D ．{x |5≤x ≤8}

[解析] 区间[5,8)表示的集合是{x |5≤x <8}，故选C ． 3．已知f (x )＝2x ＋1，则f (5)＝( C ) A ．3 B ．7 C ．11

D ．25

[解析] f (5)＝2×5＋1＝11，故选C ．

4．函数y ＝2x ＋1的定义域为__[－1

2，＋∞)__ .

[解析] 要使函数有意义，只须2x ＋1≥0， ∴x ≥－1

2

，

即定义域为[－1

2，＋∞)．

5．已知f (x )＝1

1＋x ，g (x )＝x 2＋2.

(1)求f (2)，g (2)的值； (2)求f [g (2)]的值； (3)求f [g (x )]的解析式．

[解析] (1)f (2)＝11＋2＝1

3，g (2)＝22＋2＝6.

(2)f [g (2)]＝

11＋g (2)＝11＋6＝1

7

.

(3)f [g (x )]＝11＋g (x )＝11＋x 2

＋2＝1

x 2＋3

.

H 互动探究解疑 u dong tan jiu jie yi

命题方向1 ⇨函数概念的理解

典例1 (1)下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( B )

A ．A ∈R ，

B ∈R ，x 2＋y 2＝1

B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：

C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝

1x －2

D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1

(2)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是( C )

[思路分析] (1)如何利用函数定义．对于集合A 中的元素通过对应关系在集合B 中有唯一元素与之对应进行判断．

(2)当对应关系用图象表示时，怎样判断是否为函数关系．

[解析](1)对于A项，x2＋y2＝1可化为y＝±1－x2，显然对任x∈A，y值不唯一，故不符合．对于B项，符合函数的定义．对于C项，2∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．对于D项，－1∈A，但在集合B中找不到与之相对应的数，故不符合．

(2)由函数定义可知，任意作一条直线x＝a，则与函数的图象至多有一个交点，结合选项可知C中图象不表示y是x的函数．

『规律方法』1．判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A，B 必须是非空数集；A中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．

2．函数的定义中“任一x”与“有唯一确定的y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．

〔跟踪练习1〕

(1)下列对应是否为A到B的函数：

①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|；

②A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x2；

③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝x；

④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.

(2)(2016·甘肃兰州高一月考试题)如图所示，能够作为函数y＝f(x)的图象的有__①⑤__.

[解析](1)①A中的元素0在B中没有对应元素，故不是A到B的函数；

②对于集合A中的任意一个整数x，按照对应关系f：x→y＝x2，在集合B中都有唯一一个确定的整数x2与之对应，故是集合A到集合B的函数；

③A中元素负整数没有平方根，故在B中没有对应的元素，故此对应不是A到B的函数；

④对于集合A中一个实数x，按照对应关系f：x→y＝0，在集合B中都有唯一一个确定的数0与之对应故是集合A到集合B的函数．

(2)根据函数的定义，一个函数图象与垂直于x轴的直线最多有一个交点，这是通过图象判断其是否构成函数的基本方法．

命题方向2⇨求函数的定义域