组合数公式总结

组合数公式总结

①几个常用组合数公式

n n n

n n n C C C 2210=+++Λλ 111111

211

5314201

1112++--++++++-+=+==++=+++=+++k

n k n k n k n m n m m n m m m m m m

n n n n n n n n C n C k nC kC C C C C C C C C C C C ΛΛΛ

②常用的证明组合等式方法例.

i. 裂项求和法. 如：)!

1(11)!1(!43!32!21+-=++++n n n Λ（利用!1)!1(1!1n n n n --=-） ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.

v. 递推法（即用m n m n m

n C C C 11+-=+递推）如：4

13353433+=+++n n C C C C C Λ. vi. 构造二项式. 如：n n n n n n C C C C 222120)()()(=+++Λ

证明：这里构造二项式n n n x x x 2)1()1()1(+=++其中n x 的系数，左边为 22120022110)()()(n n n n n n n n n n n n n n

n n C C C C C C C C C C C +++=⋅++⋅+⋅+⋅--ΛΛ，而右边n

n C 2=

举例：

103020301020101011209101720310182021019201102020010C C C C C C C C C C C C C C ==++++++ΛΛ 这里构造二项式()()()30

2010111x x x +=++其中20x 的系数.