等比数列的性质

第2课时 等比数列的性质

1．掌握等比数列的性质及其应用．(重点)

2．熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 3．能用递推公式求通项公式．(难点)

[基础·初探]

教材整理 等比数列的性质

阅读教材P 51例4～P 53，完成下列问题． 1．“子数列”性质

对于无穷等比数列{a n }，若将其前k 项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k ＋1，公比为q ；若取出所有的k 的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k ，公比为q k .

2．等比数列项的运算性质

在等比数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q . ①特别地，当m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)时，a m ·a n ＝a 2k .

②对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a 1·a n ＝a 2·a n －1＝…＝a k ·a n －k ＋1＝….

3．两等比数列合成数列的性质

若数列{a n }，{b n }均为等比数列，c 为不等于0的常数，则数列{ca n }，

{a 2n }{a n ·b n

}，⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

a n b

n 也为等比数列．

1．等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6＝________. 【解析】 ∵{a n }是等比数列，

∴a 2a 6＝a 24＝42

＝16.

【答案】 16

2．若a ，b ，c 既成等差数列，又成等比数列，则它们的公比为________． 【解析】 只有非零常数列才满足题意，∴公比q ＝1. 【答案】 1

3．正项等比数列{a n }中，a 2a 5＝10，则lg a 3＋lg a 4＝___________________. 【解析】 lg a 3＋lg a 4＝lg(a 3a 4) ＝lg(a 2a 5) ＝lg 10＝1. 【答案】 1

4．在等比数列{a n }中，a 2＝2，a 6＝16，则a 10＝________. 【解析】 ∵数列{a n }是等比数列，∴a 10·a 2＝a 26，

即a 10＝a 26a 2

＝16

2

2＝128.

【答案】 128

[小组合作型]

等比数列性质的应用

已知{a n }为等比数列，

(1)等比数列{a n }满足a 2a 4＝1

2，求a 1a 23a 5； (2)若a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，求a 3＋a 5；

(3)若a n >0，a 5a 6＝9，求log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10的值．

【精彩点拨】 利用等比数列的性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 求解．

【自主解答】 (1)等比数列{a n }中，因为a 2a 4＝12，所以a 23＝a 1a 5＝a 2a 4＝1

2，所以a 1a 23a 5＝14.

(2)由等比中项，化简条件得

a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，即(a 3＋a 5)2

＝25，

∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.

(3)由等比数列的性质知a 5a 6＝a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝9， ∴log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1a 2…a 10) ＝log 3[(a 1a 10)(a 2a 9)(a 3a 8)(a 4a 7)(a 5a 6)] ＝log 395＝10.

有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a 1和q 的方程组，先解出a 1和q ，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．

[再练一题]

1．已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，求a 1＋a 10. 【解】 因为数列{a n }为等比数列， 所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8，联立⎩⎪⎨⎪⎧

a 4＋a 7＝2，a 4a 7＝－8，

解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝4，a 7＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧

a 4＝－2，

a 7＝4，

所以q 3＝－12或q 3＝－2，故a 1＋a 10＝a 4

q 3＋a 7·q 3＝－7.

灵活设元求等比数

列

有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．

【精彩点拨】根据前三项成等比数列，可对称性设为a

q

，a，q，也可依据

后三项成等差数列设为a－d，a，a＋d，然后列方程组求解．

【自主解答】法一：设前三个数为a

q

，a，aq，

则a

q·a·aq＝216，所以a

3＝216，所以a＝6.

因此前三个数为6

q

，6,6q.

由题意知第4个数为12q－6.

所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝2

3.

故所求的四个数为9,6,4,2.

法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为1

4(4－d)

2，由题意知14(4－

d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6，所以d＝－2.

故所求得的四个数为9,6,4,2.

巧设等差数列、等比数列的方法：

(1)若三数成等差数列，常设成a－d，a，a＋d.若三数成等比数列，常设成a q，

a，aq或a，aq，aq2.

(2)若四个数成等比数列，可设为a

q，a，aq，aq

2.若四个正数成等比数列，可

设为a

q3，a

q，aq，aq

3.

[再练一题]

2．三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则