小学奥数 数论问题 第一讲 位值原理
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第一讲位值原理
讲义
位值原理的定义:同一个数字,由于它在所写的数里的位置不同,所表示的数值也不同。也就是说,每一个数字除了有自身的一个值外,还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上,就表示2个一,写在百位上,就表示2个百,这种数字和数位结合起来表示数的原则,称为写数的位值原理。
100+e×10+f
课后习题
基础篇:
【闯关1】ab与ba的差被9除,商等于______与______的差
【闯关2】将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大8802.求原来的四位数.
提高篇:
【闯关3】设六位数abcdef满足fabcde f abcdef
=⨯,请写出这样的六位数.
【闯关4】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008,则所有这样的四位数之和为多少.
巅峰篇:
【闯关5】小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法,但是粗心的他在计算的时候遗漏了乘号,从而将两位数直接放在三位数的左边,形成一个五位数,该五位数恰好为应得的乘积的9倍,问:原来两个数的乘积是多少?
第一讲位值原理课后习题
基础篇:
【闯关1】ab与ba的差被9除,商等于______与______的差
解析:ab=10a+b,ba=10b+a。
ab-ba=10a+b-10b-a=9(a-b)
所以商等于a与b的差。
【闯关2】将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数),新数比原数大8802.求原来的四位数.
解析:正如我视频里面所讲的,我不知道这四个数字,那就把四个数字可以假设出来。
设原四位数为abcd.则:
反序数:dcba。
由题意得:1000d+100c+10b+a-(1000a+100b+10c+d)=8802,
化简得:1000(d-a)+100(c-b)+10(b-c)+(a-d)=8802,
新数比原数大,则d>a,所以d-a=8,
a是千位数最小是1,d是个位数,最大是9,所以:d=9,a=1,
个位要借位,c-b=9,所以c=9,b=0,
故原数为1099.
提高篇:
【闯关3】设六位数abcdef满足fabcde f abcdef
=⨯,请写出这样的六位数.
解析:本题难度有点,原题出自于第十三届华杯赛决赛的第12题。
主要考察的是枚举的思想,明白一点是这里面有一个数字出现的频率特别大,这是数字是f,而f只有1~9种情况。
如果f=1,fabcde f abcdef
=⨯=1×111111
=⨯不符合题目意思
f=2,fabcde f abcdef
F=3,fabcde f abcdef
=⨯不符合题目意思
=⨯=4×102564
F=4,fabcde f abcdef
=⨯不符合题意
F=5,fabcde f abcdef
F=6,fabcde f abcdef
=⨯不符合题意
=⨯不符合题意
F=7,fabcde f abcdef
=⨯不符合题意
F=8,fabcde f abcdef
F=9,fabcde f abcdef =⨯不符合题意
综上所述,六位数是111111,和102564
【闯关4】已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于2008,则所有这样的四位数之和为多少.
解析:设这个四位数是abcd ,那么a ≤2,
(1)a=1时,必然有b=9,
如果b ≤8,那么abcd<1900,abcd+a+b+c+d<1900+40<2008
所以,a=1,b=9
c ≥8,如果c ≤7,则abcd+a+b+c+d<1990+1+9+8+9<2008
当a=1,b=9,c=8时,有abcd+a+b+c+d=1980+2d+1+9+8=1998+2d=2008,
此时d=5,所以abcd=1985
当a=1,b=9,c=9时,有abcd+a+b+c+d=1990+2d+1+9+9>2008,
(2)a=2时,必有b=c=0,否则abcd>2008
a=2,b=0,c=0时,有abcd+a+b+c+d=2000+2+2d=2008,此时d=3
(3)综上,abcd=1985或2003,所以和为1985+2003=3988
巅峰篇:
【闯关5】小明打算做一个两位数乘以三位数的乘法,但是粗心的他在计算的时候遗漏了乘号,从而将两位数直接放在三位数的左边,形成一个五位数,该五位数恰好为应得的乘积的9倍,问:原来两个数的乘积是多少?
解析:这道题目又是未知数的问题,对于此类问题,在视频中我也说了直接假设出来就可以了。把两位数记做A ,三位数记做B 。
B A AB AB +==10009
化简得到B A B =-)10009(
所以B 是A 的(9B-1000)倍,因为一个三位数小于是一个两位数的100倍
9B-1000<100,所以B<123
因为123小于一个两位数的13倍。
所以9B-100<13.所以B<113.
接下来我们来看看B 大于哪个数字,因为一个三位数肯定大于一个两位数,所以9B-1000>1,B>111.
综上所述,111
A=14,所以两个数字的乘积是112×14=1568