高等量子力学补充专题二次量子化简介
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7.5 多体量子体系(多粒子态)求解：二次量子化
背景:多体波函数原则上包含了所有信息, 但直接求解薛定谔方程很困难:
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t
H [T ( xk ) Vext ( xk )] V ( x1 , x2 ,..., xN )
lm K ln
是c数
五、双粒子算符
1 1 V V N N Vii N i ( N i 1) ij i j 2 对 2 i j i V 1 1 V ( N N N ) Vij ij ij i j i ij 2 2 ij ij
，可改写为
ij ai ai a a a a a (ห้องสมุดไป่ตู้ a a ) a a j j i i ij i ij j i j i ai ij ai a a a a a a a a j i j i j j i i a j a j ai
' ' E1 ... EN ' 1 ' N
（
' ' E1 ... EN
C ( E ...E
' 1
' N
' , t ) E1' ...EN ）
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms) 全同性的充分+必要条件： C( Ei E j , t ) C( E j Ei , t ) 充分性可通过代入得到证明； 必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。 态矢的全同对称性由完备基矢上的展开系数体现
一、一次量子化的薛定谔方程
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t
( xi x j , t ) ( x j xi , t )
这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标。
用单粒子定态波函数的完备集合或完备基(依问题而定、不含时间)展开 ' 多粒子波函数(理论上是严格的)： ( x1...xN , t ) C ( E1' ...EN , t ) E ( x1 )... E ( xN )
' , t ) E1' ...EN ）
考虑展开系数特点，对玻色子，可选基矢
n1, n2 ,...,ni ,...
n1!n2!...n ! 1 n1n2 ...n ( x1 x2 ...xN ) ( ) 2 E1 ( x1 )... EN ( xN ) N! E1 ...E N
n1n2 ...n
k 1 N
由于粒子间相互作用势V(x1,…,xN)的存在, Ψ不能分离变量(平均场近似?)
由于全同性， Ψ需要具有相应的交换粒子坐标（空间与内禀坐标）的对称 性(对称性要求影响所寻求的解，如He例子中看到的) 解决办法？常采用： 1. 二次量子化：用二次量子化算符(波函数算符)体现全同粒子的统计性 比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描述全同粒子的统计方便， 也是相对论性量子理论描述粒子产生与湮灭所必需。此外，常可作合 理的物理近似将二次量子化哈密顿算符简化为二次形式而有严格解。 2. 量子场论：基于二次量子化而发展，在具体物理问题处理中，可以避免 直接处理多粒子波函数和坐标而只关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态能量、寿命和对外扰 的线性响应等物理信息，可用Feynman-Dyson微扰理论和Feynman 图、Feynman规则求得。
二、一次量子化向二次量子化的过渡
态矢的全同对称性由 完备基矢上的展开系数体现
( x1...xN , t )
（
' ' E1 ... EN
C ( E ...E
' 1 ' 1 ' N
' N
, t ) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
' ' E1 ... EN
C ( E ...E
三、多粒子态基矢的构造
多粒子希尔伯特空间（福克空间：以占据数表述） 1. 抽象不含时态矢(粒子数表象) n1, n2 ,...,ni ,... ' ' n n1 n2 n n n n n n n 正交性 n1' n2 完备性 n1n2 n n1n2 n 1
' 1 1 ' 2 2 '
对费米子，基矢
n1
n
( x1
1 1 xN ) ( ) 2 N!
0 E ( x1 )
1
0 E ( xN )
1
0 E ( x1 )
N
0 E ( xN )
N
(t )
n1n2
f (n1n2
n , t ) n1n2
n
n
n N
i i
完全（反）对称的波函数用完全（反）对称和正交的完备基展开（且 对量子数集的求和转化为对占据态数的求和） f 给出了一次与二次量子化态矢之间的联系（物理问题本身并没有因 为表述而变）
[ai , a c n1n2 ... ai ai n1n2 ... ni , 可归纳要求： 又： j ] [ai , a j ] 0; [ai , a j ] ij 和粒子数算符： N ai ai
n1n2 n
i
四、单粒子算符
对 n1, n2 ,...,ni ,... ，可预期
K ni ki K ki Ni ki ai ai
i i i
ki l j l j ki ai b j l j ki , ai ki l j b j
j j j
K ki bm lm ki ki ln bn bm bn lm [ ki ki ki ] ln K bm bn lm K ln mn i mn mn i
nk 0,1, 2,
,
2. 真空态 0,0,...,0,... 0 3. 单粒子态： 0,0,...,ni 1,... ki 4. 产生算符：ai 0 ki 1 k k 0 a a 0 0 ai ki ; ai ki 0 i i i i 5. 湮灭算符： 不妨要求： ai k j ij 0 , ai 0 0 [ a , a j ] 0, [ai , a j ] 0 对两粒子态，应有：ai a j 0 a j ai 0 ；可要求： i
背景:多体波函数原则上包含了所有信息, 但直接求解薛定谔方程很困难:
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t
H [T ( xk ) Vext ( xk )] V ( x1 , x2 ,..., xN )
lm K ln
是c数
五、双粒子算符
1 1 V V N N Vii N i ( N i 1) ij i j 2 对 2 i j i V 1 1 V ( N N N ) Vij ij ij i j i ij 2 2 ij ij
，可改写为
ij ai ai a a a a a (ห้องสมุดไป่ตู้ a a ) a a j j i i ij i ij j i j i ai ij ai a a a a a a a a j i j i j j i i a j a j ai
' ' E1 ... EN ' 1 ' N
（
' ' E1 ... EN
C ( E ...E
' 1
' N
' , t ) E1' ...EN ）
Ek：单粒子量子数集合（如nlmms) 全同性的充分+必要条件： C( Ei E j , t ) C( E j Ei , t ) 充分性可通过代入得到证明； 必要性则可通过上式投影出特定系数及波函数的交换对称性证明。 态矢的全同对称性由完备基矢上的展开系数体现
一、一次量子化的薛定谔方程
i ( x1...xN , t ) H ( x1...xN , t ) t
( xi x j , t ) ( x j xi , t )
这里xk是第k粒子的（空间和分立变量如自旋）坐标。
用单粒子定态波函数的完备集合或完备基(依问题而定、不含时间)展开 ' 多粒子波函数(理论上是严格的)： ( x1...xN , t ) C ( E1' ...EN , t ) E ( x1 )... E ( xN )
' , t ) E1' ...EN ）
考虑展开系数特点，对玻色子，可选基矢
n1, n2 ,...,ni ,...
n1!n2!...n ! 1 n1n2 ...n ( x1 x2 ...xN ) ( ) 2 E1 ( x1 )... EN ( xN ) N! E1 ...E N
n1n2 ...n
k 1 N
由于粒子间相互作用势V(x1,…,xN)的存在, Ψ不能分离变量(平均场近似?)
由于全同性， Ψ需要具有相应的交换粒子坐标（空间与内禀坐标）的对称 性(对称性要求影响所寻求的解，如He例子中看到的) 解决办法？常采用： 1. 二次量子化：用二次量子化算符(波函数算符)体现全同粒子的统计性 比用单粒子波函数的对称化或反对称化乘积描述全同粒子的统计方便， 也是相对论性量子理论描述粒子产生与湮灭所必需。此外，常可作合 理的物理近似将二次量子化哈密顿算符简化为二次形式而有严格解。 2. 量子场论：基于二次量子化而发展，在具体物理问题处理中，可以避免 直接处理多粒子波函数和坐标而只关注感兴趣的几个矩阵元。 3. 格林函数：包含基态能量及其热力学函数、激发态能量、寿命和对外扰 的线性响应等物理信息，可用Feynman-Dyson微扰理论和Feynman 图、Feynman规则求得。
二、一次量子化向二次量子化的过渡
态矢的全同对称性由 完备基矢上的展开系数体现
( x1...xN , t )
（
' ' E1 ... EN
C ( E ...E
' 1 ' 1 ' N
' N
, t ) E' ( x1 )... E' ( xN )
1 N
' ' E1 ... EN
C ( E ...E
三、多粒子态基矢的构造
多粒子希尔伯特空间（福克空间：以占据数表述） 1. 抽象不含时态矢(粒子数表象) n1, n2 ,...,ni ,... ' ' n n1 n2 n n n n n n n 正交性 n1' n2 完备性 n1n2 n n1n2 n 1
' 1 1 ' 2 2 '
对费米子，基矢
n1
n
( x1
1 1 xN ) ( ) 2 N!
0 E ( x1 )
1
0 E ( xN )
1
0 E ( x1 )
N
0 E ( xN )
N
(t )
n1n2
f (n1n2
n , t ) n1n2
n
n
n N
i i
完全（反）对称的波函数用完全（反）对称和正交的完备基展开（且 对量子数集的求和转化为对占据态数的求和） f 给出了一次与二次量子化态矢之间的联系（物理问题本身并没有因 为表述而变）
[ai , a c n1n2 ... ai ai n1n2 ... ni , 可归纳要求： 又： j ] [ai , a j ] 0; [ai , a j ] ij 和粒子数算符： N ai ai
n1n2 n
i
四、单粒子算符
对 n1, n2 ,...,ni ,... ，可预期
K ni ki K ki Ni ki ai ai
i i i
ki l j l j ki ai b j l j ki , ai ki l j b j
j j j
K ki bm lm ki ki ln bn bm bn lm [ ki ki ki ] ln K bm bn lm K ln mn i mn mn i
nk 0,1, 2,
,
2. 真空态 0,0,...,0,... 0 3. 单粒子态： 0,0,...,ni 1,... ki 4. 产生算符：ai 0 ki 1 k k 0 a a 0 0 ai ki ; ai ki 0 i i i i 5. 湮灭算符： 不妨要求： ai k j ij 0 , ai 0 0 [ a , a j ] 0, [ai , a j ] 0 对两粒子态，应有：ai a j 0 a j ai 0 ；可要求： i