线性空间与线性变换.
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第六章 线性空间与线性变换
第一节 线性空间的定义与性质
一、线性空间的定义
定义１ 设 V 是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V ，总有唯一的一个元
素 V与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R与任一元素 V，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，
1 .
0 1
0
0.
4．如果 0，则 0 或 0 .
证明
假设 0,
那么
1
1
0
0.
又 1 1 .
0.
同理可证：若 0 则有 0.
第二节 维数、基与坐标
一、线性空间的基与维数
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
(3) R中存在零元素1,对任何a R ,有 a 1 a 1 a;
(4) a R ,有负元素a1 R ,使 a a1 a a1 1;
(5) 1 a a1 a;
(6) a a a a a;
(7) a a a a a a
a a;
Vn x11 x22 xnn x1, x2,, xn R
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2 ,,n是线性空间Vn的一个基,对 于任一元素 Vn ,总有且仅有一组有序
数x1, x2 ,, xn , 使
x11 x2 2 xn n ,
有序数组x1, x2 ,, xn称为元素在1,2 ,,n这个
验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
证明 a, b R , a b ab R;
R, a R , a a R .
所以对定义的加法与乘数运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a (b c);
记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R上的向量空间（或线性空间）．
设 , , V ; , R
(1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素0,对任何 V , 都有 0 ;
(4)对任何 V ,都有的负元素 V ,使 0;
Q[
x] n
{
p
an
xn
a1
x
a0
an ,, a1,
a0 R,且 an 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空
间.
0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
Q[x]n 对运算不封闭.
例3 正弦函数的集合
Sx s Asinx B A, B R.
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
s1 s2 A1 sinx B1 A2 sinx B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x
Asinx B S[ x].
s1 A1 sinx B1 A1 sinx B1 S[ x]
(8) (a b) (ab) ab ab
a b a b.
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
素，则对任何 V ，有 01 , 02 .
由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01. 01 01 02 02 01 02.
2．负元素是唯一的． 证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
3. 0 0; 1 ; 0 0. 证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
一般地说，同一个集合，若定义两种不同的线 性运算，就可能构成不同的向量空间。所以， 所定义的线性运算是向量空间的本质，而其中 的元素是什么并不重要。因此向量空间叫做线 性空间更为恰当。
例5 正实数的全体，记作 R， 在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
Sx 是一个线性空间.
例4 n个有序实数组成的数组的全体
Sn x x1,, xn T | x1,, xn R
对于通常有序数组的加法及如下定义的乘法
x1,, xn T 0,,0T
不构成向量空间。可以验证S n对运算封闭， 但是1 x 0，不满足运算律（v），即不存 在乘法单位元，这种定义的运算不是线性 运算，所以S n不是向量空间。 比较S n与n维向量空间Rn，作为两个集合，它们 是一样的，但由于在其中所定义的运算不同， 以致Rn构成向量空间而S n不是向量空间。由此 可见，向量空间的概念是集合与运算二者结合 的产物。
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
(2) V中任一元素总可由1, 2 ,, n线性
表示,
那末, 1 , 2 ,, n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn .
注：线性空间的维数可以是无穷的。
若1 ,2 ,,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
例1 次数不超过n的多项式的全体,记作P[x] ,即 n
P[
x] n
{
p
an
xn
a1Fra Baidu bibliotek
x
a0
an ,, a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成向
量空间.
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律．
(an xn a1 x a0) (bn xn b1 x b0) (an bn) xn (a1 b1)x (a0 b0) P[x]n
(an xn a1 x a0) ( an) xn ( a1)x ( a0)
P[x]n 对运算封闭.
P[x]n
例2 n次多项式的全体
第一节 线性空间的定义与性质
一、线性空间的定义
定义１ 设 V 是一个非空集合，R为实数域．如果
对于任意两个元素 , V ，总有唯一的一个元
素 V与之对应，称为 与 的和，记作
若对于任一数 R与任一元素 V，总有唯
一的一个元素 V 与之对应，称为 与 的积，
1 .
0 1
0
0.
4．如果 0，则 0 或 0 .
证明
假设 0,
那么
1
1
0
0.
又 1 1 .
0.
同理可证：若 0 则有 0.
第二节 维数、基与坐标
一、线性空间的基与维数
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
(3) R中存在零元素1,对任何a R ,有 a 1 a 1 a;
(4) a R ,有负元素a1 R ,使 a a1 a a1 1;
(5) 1 a a1 a;
(6) a a a a a;
(7) a a a a a a
a a;
Vn x11 x22 xnn x1, x2,, xn R
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 设1,2 ,,n是线性空间Vn的一个基,对 于任一元素 Vn ,总有且仅有一组有序
数x1, x2 ,, xn , 使
x11 x2 2 xn n ,
有序数组x1, x2 ,, xn称为元素在1,2 ,,n这个
验证 R 对上述加法与乘数运算构成线性空间．
证明 a, b R , a b ab R;
R, a R , a a R .
所以对定义的加法与乘数运算封闭． 下面一一验证八条线性运算规律：
(1) a b ab ba b a; (2)(a b) c (ab) c (ab)c a (b c);
记作
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那 么 V 就称为数域 R上的向量空间（或线性空间）．
设 , , V ; , R
(1) ;
(2) ;
(3) 在V中存在零元素0,对任何 V , 都有 0 ;
(4)对任何 V ,都有的负元素 V ,使 0;
Q[
x] n
{
p
an
xn
a1
x
a0
an ,, a1,
a0 R,且 an 0}
对于通常的多项式加法和乘数运算不构成向量空
间.
0 p 0 xn 0x 0 Q[ x]n
Q[x]n 对运算不封闭.
例3 正弦函数的集合
Sx s Asinx B A, B R.
对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空 间．
s1 s2 A1 sinx B1 A2 sinx B2 a1 cos x b1 sin x a2 cos x b2 sin x a1 a2 cos x b1 b2 sin x
Asinx B S[ x].
s1 A1 sinx B1 A1 sinx B1 S[ x]
(8) (a b) (ab) ab ab
a b a b.
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
素，则对任何 V ，有 01 , 02 .
由于 01,02 V , 所以 02 01 02 ,01 02 01. 01 01 02 02 01 02.
2．负元素是唯一的． 证明 假设 有两个负元素 与 ，那么
0, 0.
则有 0
0 .
向量 的负元素记为 .
3. 0 0; 1 ; 0 0. 证明 0 1 0 1 0 1 ,
0 0.
1 1 1 1 1 0 0,
一般地说，同一个集合，若定义两种不同的线 性运算，就可能构成不同的向量空间。所以， 所定义的线性运算是向量空间的本质，而其中 的元素是什么并不重要。因此向量空间叫做线 性空间更为恰当。
例5 正实数的全体，记作 R， 在其中定义加法
及乘数运算为
a b ab, a a , R,a,b R .
Sx 是一个线性空间.
例4 n个有序实数组成的数组的全体
Sn x x1,, xn T | x1,, xn R
对于通常有序数组的加法及如下定义的乘法
x1,, xn T 0,,0T
不构成向量空间。可以验证S n对运算封闭， 但是1 x 0，不满足运算律（v），即不存 在乘法单位元，这种定义的运算不是线性 运算，所以S n不是向量空间。 比较S n与n维向量空间Rn，作为两个集合，它们 是一样的，但由于在其中所定义的运算不同， 以致Rn构成向量空间而S n不是向量空间。由此 可见，向量空间的概念是集合与运算二者结合 的产物。
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
(2) V中任一元素总可由1, 2 ,, n线性
表示,
那末, 1 , 2 ,, n 就称为线性空间V 的一个
基, n 称为线性空间V 的维数.
维数为n的线性空间称为n 维线性空间,记作Vn .
注：线性空间的维数可以是无穷的。
若1 ,2 ,,n为Vn的一个基,则Vn可表示为
(5) 1 ;
(6) ; (7) ; (8) .
例1 次数不超过n的多项式的全体,记作P[x] ,即 n
P[
x] n
{
p
an
xn
a1Fra Baidu bibliotek
x
a0
an ,, a1, a0 R},
对于通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法构成向
量空间.
通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运 算满足线性运算规律．
(an xn a1 x a0) (bn xn b1 x b0) (an bn) xn (a1 b1)x (a0 b0) P[x]n
(an xn a1 x a0) ( an) xn ( a1)x ( a0)
P[x]n 对运算封闭.
P[x]n
例2 n次多项式的全体