高考数学阶段训练直线圆圆锥曲线
2024年高考数学一模好题分类汇编：直线与圆、圆锥曲线(解析版)
直线与圆、圆锥曲线题型01 直线与圆题型02 椭圆题型03 双曲线题型04 抛物线题型01 直线与圆1(2024·浙江·校联考一模)圆C :x 2+y 2-2x +4y =0的圆心C 坐标和半径r 分别为()A.C 1,-2 ,r =5B.C 1,-2 ,r =5C.C -1,2 ,r =5D.C -1,2 ,r =5【答案】A【详解】圆C :x 2+y 2-2x +4y =0，即C :x -1 2+y +2 2=5，它的圆心C 坐标和半径r 分别为C 1,-2 ,r = 5.故选：A .2(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【详解】圆C 1的圆心为0,0 ，半径r 1=1，圆C 2的圆心为-a ,2a ，半径r 2=6，所以两圆的圆心距为d =C 1C 2 =a 2+4a 2=5a 2，两圆内含时，即5a 2<6-1 ，解得-5<a <5，所以当两圆有公切线时，a ≥5或a ≤-5，所以“a ≤-5或a ≥5”是“圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:(x +a )2+(y -2a )2=36存在公切线”的充要条件．故选：C ．3(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知圆C 1:(x -3)2+y 2=1,C 2:x 2+(y -a )2=16，则下列结论正确的有()A.若圆C 1和圆C 2外离，则a >4B.若圆C 1和圆C 2外切，则a =±4C.当a =0时，圆C 1和圆C 2有且仅有一条公切线D.当a =-2时，圆C 1和圆C 2相交【答案】BCD【详解】C 13,0 ,C 20,a ,C 1C 2 =9+a 2,r 1=1,r 2=4.若C1和C 2外离，则C 1C 2 =9+a 2>r 1+r 2=5，解得a >4或a <-4，故A 错误；若C 和C 外切，C C =9+a 2=5，解得a =±4，故B 正确；当a =0时，C 1C 2 =3=r 2-r 1,C 1和C 2内切，故C 正确；当a =-2时，3<C 1C 2 =13<5,C 1和C 2相交，故D 正确.故选：BCD4(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为x =3ty =4t -1 (t 为参数)，直线l 2的参数方程为x =12s y =32s(s 为参数).(1)求这两条直线的普通方程(结果用直线的一般式方程表示)；(2)若这两条直线与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2都相离，求m 的取值范围.【答案】(1)l 1:4x -3y -3=0，l 2:3x -y =0(2)4-332<m <33-42【详解】(1)直线l 1的参数方程为x =3t y =4t -1 ，则4x =12t3y =12t -3 ，两式相减得4x -3y -3=0直线l 2的参数方程为x =12sy =32s ，则s =2x 代入y =32s ，得y =3x ,3x -y =0；(2)圆C 的圆心为3,4 ，半径为m ，若l 1,l 2与圆C :(x -3)2+(y -4)2=m 2相离，所以12-12-35>m33-42>m，即35>m 33-42>m，解得4-332<m <33-42.5(2024·重庆·统考一模)过点P 作圆C :x 2+y 2-4x -43y +15=0的两条切线，切点分别为A ,B ，若△PAB 为直角三角形，O 为坐标原点，则OP 的取值范围为()A.2-2,2+2B.4-2,4+2C.2-2,2+2D.4-2,4+2【答案】D【详解】圆C :(x -2)2+(y -23)2=1的圆心C (2,23)，半径r =1，由PA ,PB 切圆C 于点A ,B ，且△PAB 为直角三角形，得∠APB =90°,|PA |=|PB |，连接AC ,BC ，则∠CAP =∠CBP =90°，即四边形APBC 是正方形，|PC |=2，因此点P 在以点C 为圆心，2为半径的圆上，而|OC |=22+(23)2=4，于是|OP |max =4+2,|OP |min =4-2，所以OP 的取值范围为4-2,4+2 .故选：D6(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-4x -14y +45=0及点Q (-2,3)，则下列说法正确的是()A.直线kx -y -2k +1=0与圆C 始终有两个交点B.若M 是圆C 上任一点，则|MQ |的取值范围为22,62C.若点P (m ,m +1)在圆C 上，则直线PQ 的斜率为14D.圆C 与x 轴相切【答案】B【详解】依题意，圆C ：(x -2)2+(y -7)2=8，圆心C (2,7)，半径r =22，对于A ，直线kx -y -2k +1=0恒过定点(2,1)，而点(2,1)在圆C 外，则过点(2,1)的直线与圆C 可能相离，故A 不正确；对于B ，|CQ |=42，点Q 在圆C 外，由CQ -r ≤MQ ≤CQ +r 得：22≤MQ ≤62，故B 正确.对于C ，点P (m ,m +1)在圆C 上，则(m -2)2+(m -6)2=8，解得m =4，而点Q (-2,3)，则直线PQ 的斜率为m -2m +2=13，故C 不正确；对于D ，点C (2,7)到x 轴距离为7，大于圆C 的半径，则圆C 与x 轴相离，即圆C 与x 轴不相切，故D 不正确；故选：B7(2024·河北·校联考一模)已知圆C :x 2+2x +y 2-1=0，直线mx +n y -1 =0与圆C 交于A ，B 两点.若△ABC 为直角三角形，则()A.mn =0B.m -n =0C.m +n =0D.m 2-3n 2=0【答案】A【详解】因为圆C :x 2+2x +y 2-1=0，圆心为C -1,0 ，半径为r =2，即CA =CB =2因为△ABC 为直角三角形，所以AB =CB2+CA 2=2,设圆心C -1,0 到直线mx +n y -1 =0的距离为d ，d =-m -nm 2+n 2=m +nm 2+n 2由弦长公式AB =2r 2-d 2得d =1，所以m +nm 2+n2=1，化简得mn =0.故选：A .8(2024·广东深圳·校考一模)已知圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，则下列命题是真命题的是()A.若圆C 关于直线y =kx 对称，则k =±1B.存在直线与所有的圆都相切C.当k =1时，P x ,y 为圆C 上任意一点，则y +3x 的最大值为5+3D.当k =1时，直线l :2x +y +2=0,M 为直线l 上的动点，过点M 作圆C 的切线MA ,MB ，切点为A ，B ，则CM ⋅AB 最小值为4【答案】BCD【详解】解：圆C ：x 2+y 2-2kx -2y -2k =0，整理得：x -k 2+y -1 2=k +1 2，所以圆心C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1对于A ，若圆C 关于直线y =kx 对称，则直线过圆心，所以1=k 2，得k =±1，又k =-1时，r =0，方程不能表示圆，故A 是假命题；对于B ，对于圆C ，圆心为C k ,1 ，半径r =k +1 >0，则k ≠-1，当直线为x =-1时，圆心到直线的距离d =k -(-1) =k +1 =r ，故存在直线x =-1，使得与所有的圆相切，故B 是真命题；对于C ，当k =1时，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2由于P x ,y 为圆C 上任意一点，设y +3x =m ，则式子可表示直线y =-3x +m ，此时m 表示直线的纵截距，故当直线与圆相切时，可确定m 的取值范围,于是圆心C 1,1 到直线y =-3x +m 的距离d =3+1-m12+32=r =2，解得m =3-3或m =5+3，则3-3≤m ≤5+3，所以y +3x 的最大值为5+3，故C 为真命题；对于D ，圆的方程为x -1 2+y -1 2=4，圆心为C 1,1 ，半径r =2，如图，连接AC ,BC ，因为直线MA ,MB 与圆C 相切，所以MA ⊥AC ,MB ⊥BC ，且可得MA =MB ，又AC =BC =r =2，所以MC ⊥AB ，且MC 平分AB ，所以S =1CM ⋅AB =2S =2×1MA ⋅AC ，则CM ⋅AB =2MA ⋅AC =2CM 2-r 2×2=4CM 2-4，则CM ⋅AB 最小值即CM 的最小值，即圆心C 1,1 到直线l :2x +y +2=0的距离d =CM min =2+1+222+12=5，所以CM ⋅AB 的最小值为4，故D 为真命题.故选：BCD .9(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知直线y =kx +2k ∈R 交圆O :x 2+y 2=9于P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 两点，则3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为()A.9 B.16C.27D.30【答案】D【详解】由题设直线与y 轴的交点为A 0,2 ，设弦PQ 的中点为E x ,y ，连接OE ，则OE ⊥PQ ，即OE ⊥AE ，所以OE ⋅AE=0，即x ,y ⋅x ,y -2 =x 2+y y -2 =0，所以点E 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=1，即E 的轨迹是以0,1 为圆心，1为半径的圆，设直线l 为3x +4y +16=0，则E 到l 的最小距离为4+165-1=3，过P ､E ､Q 分别作直线l 的垂线，垂足分别为M ,R ,N ，则四边形MNQP 是直角梯形，且R 是MN 的中点，则ER 是直角梯形的中位线，所以MP +NQ =2ER ，即3x 1+4y 1+165+3x 2+4y 2+165=2ER ，即3x 1+4y 1+6 +3x 2+4y 2+6 =10ER ≥30，所以3x 1+4y 1+16 +3x 2+4y 2+16 的最小值为30.故选：D .10(2024·吉林延边·统考一模)已知A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 是圆O :x 2+y 2=4上的两点，则下列结论中正确的是()A.若点O 到直线AB 的距离为2，则AB =22B.若AB =23，则∠AOB =π3C.若∠AOB =π2，则x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 的最大值为6D.x 1x 2+y 1y 2的最小值为-4【答案】ACD【详解】依题意，圆O :x 2+y 2=4的圆心O 0,0 ，半径为r =2如图所示：对于A 选项：因为点O 到直线AB 的距离为2，所以AB =2r 2-d 2=22，故选项A 正确；对于B 选项：因为AB =23，且OA =OB =r =2，所以在△ABC 中，由余弦定理可得：cos ∠AOB =OA2+OB 2-AB 22OA OB=4+4-122×2×2=-12,所以∠AOB =2π3，故选项B 错误；对于C 选项：由x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =2x 1+y 1-12+x 2+y 2-12，其几何意义为A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 到直线x +y -1=0的距离之和的2倍设A ,B 的中点为C x 0,y 0 ,结合梯形的中位线可知：则有x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 =22x 0+y 0-12，因为∠AOB =π2，所以AB =4+4=22,在直角三角形△OAB 中，OC =12AB =2,所以点C 的轨迹为以原点0,0 为圆心，2为半径的圆.因为0,0 到x +y -1=0的距离为d =0+0-12=22，所以x 0+y 0-12max=22+2=322，所以x 1+y 1-1 +x 2+y 2-1 max =22x 0+y 0-12max=6，故选项C 正确；对于D 选项：因为x 1x 2+y 1y 2=OA ⋅OB =2×2×cos OA ,OB，所以当OA ,OB所成的角为π时，x 1x 2+y 1y 2 min =2×2×cosπ=-4.故选项D 正确;故选：ACD .题型02椭圆11(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)如果椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，则k =()A.4B.4或-54C.-45D.4或-45【答案】B【详解】解：因为椭圆x 2k +8+y 29=1(k >-8)的离心率为e =12，当k +8>9时，椭圆焦点在x 轴上，可得：a =k +8,b =3,∴c =a 2-b 2=k -1,∴e =k -1k +8=12，解得k =4，当0<k +8<9时，椭圆焦点在y 轴上，可得：a =3,b =k +8,∴c =a 2-b 2=1-k ,∴e =c a=1-k 3=12，解得k =-54．∴k =4或k =-54.故选：B ．12(2024·福建厦门·统考一模)设椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 交于A ，B 两点，若F 1F 2 =2，且△ABF 2的周长为8，则()A.a =2B.C 的离心率为14C.|AB |可以为πD.∠BAF 2可以为直角【答案】AC【详解】由F 1F 2 =2c =2⇒c =1，如下图△ABF 2周长为4a =8⇒a =2，故b 2=a 2-c 2=3，所以，椭圆离心率为e =12，A 对，B 错；当AB ⊥x 轴，即AB 为通径时|AB |min =2b 2a =3，且|AB |<2a =4，所以3≤|AB |<4，故|AB |可以为π，C 对；由椭圆性质知：当A 为椭圆上下顶点时∠BAF 2最大，此时cos ∠BAF 2=a 2+a 2-4c 22a2=12，且∠BAF 2∈(0,π)，故(∠BAF 2)max =π3，即∠BAF 2不可能为直角，D 错.故选：AC13(2024·云南曲靖·统考一模)已知P 为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 上一点，F 1,F 2分别为C 的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2外接圆半径与其内切圆半径之比为52，则C 的离心率为．【答案】57【详解】由题意，在Rt △PF 1F 2中|F 1F 2|=2c ,|PF 1|+|PF 2|=2a ,∠F 1PF 2=90°，所以其外接圆半径R =|F 1F 2|2=c ，内切圆的半径为|PF 1|+|PF 2|-|F 1F 2|2=a -c ，故c a -c =52⇒e =c a =57.故答案为：5714(2024·重庆·统考一模)已知点F 为椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，过坐标原点作一条倾斜角为π3的直线交椭圆于P ,Q 两点，FP +FQ =FP -FQ ，则该椭圆的离心率为．【答案】3-1/-1+3【详解】令椭圆的左焦点为F ，半焦距为c ，分别连接F P ，F Q ，由FP +FQ =FP -FQ ，得四边形FPF Q 为矩形，而∠FOP =π3，则△OFP 为正三角形，所以|FP |=c ，FP =3c ，∴2a =PF +|PF ∣=(3+1)c ，则椭圆离心率为e =ca =3-1，故答案为：3-1.15(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知P 为椭圆C :x 29+y 23=1上的一个动点，过P 作圆M :(x -1)2+y 2=2的两条切线，切点分别为A ,B ，则AB 的最小值为.【答案】2105/2510【详解】设P x ,y ,∠MAB =θ，由已知MA ⊥AP ，由对称性可得AB ⊥PM ,所以∠PAB +∠MAB =π2,∠MPA +∠PAB =π2，且sin θ=2PM，因为PM =(x -1)2+y 2=(x -1)2+3-x 23=23x -322+52，因为-3≤x ≤3，所以PM ≥102，当且仅当x =32时等号成立，所以sin θ=2PM≤25，又θ∈0,π2 ，所以cos θ=1-sin 2θ≥15=55，所以AB =22cos θ≥22×55=2105.所以AB 的最小值为2105.故答案为：2105.16(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)若椭圆C 1和C 2的方程分别为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)和x 2a 2+y 2b2=λ(a >b >0,λ>0且λ≠1)则称C 1和C 2为相似椭圆．己知椭圆C 1:x 24+y 23=1,C 2:x 24+y 23=λ(0<λ<1)，过C 2上任意一点P 作直线交C 1于M ，N 两点，且PM +PN=0，则△MON 的面积最大时，λ的值为()A.13B.12C.34D.32【答案】B【详解】当直线MN 的斜率不存在时，设直线MN 的方程为x =x 0，-2λ≤x 0≤2λ，联立x 24+y 23=1x =x，可得x =x 0y =±3×1-x 24 ，所以MN =23×1-x 204，所以△MON 的面积为S △MON =3x 01-x 204，由PM +PN =0 ，可得P 为MN 的中点，所以P x 0,0 ，因为点P 在椭圆C 2上，所以x 0=±2λ，所以S △MON =23×λ1-λ ，当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y =sx +t ，联立x 24+y 23=1y =sx +t ，消去y 得，4s 2+3 x 2+8stx +4t 2-12=0，∴Δ=64s 2t 2-44s 2+3 4t 2-12 =484s 2-t 2+3 >0，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8st 4s 2+3，x 1x 2=4t 2-124s 2+3，∴y 1+y 22=s x 1+x 2 +2t 2=-4s 2t 4s 2+3+t =3t4s 2+3，所以P 点坐标为-4st 4s 2+3,3t4s 2+3，因为点P 在椭圆C 2上，所以t 2=λ4s 2+3 ，因为原点O 到直线MN 的距离为t1+s 2，MN =1+s 2x 2-x 1 =1+s 2×x 1+x 2 2-4x 1x 2，所以△MON 的面积为S △MON =12t x 1-x 2 =23t 4s 2-t 2+34s 2+3=23×λ4s 2+3 ×1-λ 4s2+34s 2+3=23×λ1-λ ，综上，S △MON =23×λ1-λ ，又0<λ<1，又S △MON =23×λ1-λ =23×-λ-122+14，所以当λ=12时，△MON 的面积最大.故选：B .【点睛】关键点点睛：由PM +PN =0可得P 为MN 的中点，由此得到t 2=λ4s 2+3 ，将此关系代入S △MON 并化简可将S △MON 表示为一个变量的函数，从而利用二次函数求最值.17(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为63，点P 0,2 在椭圆C 上，过点P 的两条直线PA ，PB 分别与椭圆C 交于另一点A ，B ，且直线PA ，PB ，AB 的斜率满足k PA +k PB =4k AB k AB ≠0 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)证明直线AB 过定点；(3)椭圆C 的焦点分别为F 1，F 2，求凸四边形F 1AF 2B 面积的取值范围．【答案】(1)x 212+y 24=1(2)证明见解析(3)24611,82 【详解】(1)由题设得b =2ca =63a 2=b 2+c 2，解得a 2=12，所以C 的方程为x 212+y 24=1；(2)由题意可设l AB :y =kx +m (m ≠2)，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由y =kx +mx 212+y 24=1，整理得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-12=0，Δ=36k 2m 2-41+3k 2 3m 2-12 =1212k 2-m 2+4 >0．由韦达定理得x 1x 2=3m 2-121+3k 2，x 1+x 2=-6mk1+3k 2，由k PA +k PB =4k AB 得y 1-2x 1+y 2-2x 2=4k ，即kx 1+m -2x 1+kx 2+m -2x 2=4k ，整理得2mk (m -2)=24-m 2 k ，因为k ≠0，得m 2-m -2=0，解得m =2或m =-1，m =2时，直线AB 过定点P (0,2)，不合题意，舍去；m =-1时，满足Δ=364k 2+1 >0，所以直线AB 过定点(0,-1)．(3))由(2)得直线l AB :y =kx -1，所以x =1k(y +1)，由x =1k (y +1)x 212+y 24=1，整理得1k 2+3y 2+2k 2y +1k 2-12=0，Δ=361k2+4>0，由题意得S F 1AF 2B =12F 1F 2 y1-y 2=22y 1-y 2 =1221k 2+41k 2+3，因为k AF 2=122，所以k 2>18，所以0<1k2<8，令t =1k 2+4，t ∈(2,23)，所以S F 1AF 2B =122t t 2-1=1221t -1t，在t ∈(2,23)上单调递减，所以S F 1AF 2B 的范围是24611,82．18(2024·江西吉安·吉安一中校考一模)如图，D 为圆O ：x 2+y 2=1上一动点，过点D 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 并延长至点W ，使得WA =1，点W 的轨迹记为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)若过点K -2,0 的两条直线l 1，l 2分别交曲线C 于M ，N 两点，且l 1⊥l 2，求证：直线MN 过定点；于P ，Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得∠ORP +∠ORQ =π2？若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1(2)证明见解析，-65,0 (3)存在，R (0,±2)【详解】(1)设W x ,y ，D (x 0,y 0)，则A (x 0,0),B (0,y 0)，由题意知AB =1，所以WA =AB ，得(x 0-x ,-y )=(-x 0,y 0)，所以x 0=x2y 0=-y，因为x 2+y 20=1，得x 24+y 2=1，故曲线C 的方程为x 24+y 2=1．(2)由题意可知，直线l 1,l 2不平行坐标轴，则可设l 1的方程为：x =my -2，此时直线l 2的方程为x =-1my -2．由x =my -2x 24+y 2=1，消去x 得：(m 2+4)y 2-4my =0，解得：y =4m m 2+4或y =0(舍去)，所以x =m ⋅4m m 2+4-2=2m 2-8m 2+4，所以M 2m 2-8m 2+4,4m m 2+4 ，同理可得：N 2-8m 24m 2+1,-4m4m 2+1．当m ≠±1时，直线MN 的斜率存在，k MN =4mm 2+4+4m 4m 2+12m 2-8m 2+4-2-8m 24m 2+1=4m (5m 2+5)16m 4-16=5m 4m 2-4，则直线MN 的方程为y =5m 4m 2-4x +65，所以直线MN 过定点-65,0 ．当m =±1时，直线MN 斜率不存在，此时直线MN 方程为：x =-65，也过定点-65,0 ，综上所述：直线MN 过定点-65,0 ．(3)假设存在点R 使得∠ORP +∠ORQ =π2，设R 0,t ，因为∠ORP +∠ORQ =π2，所以∠ORQ =∠OPR ，即tan ∠ORQ =tan ∠OPR ，所以|OQ ||OR |=|OR ||OP |，所以|OR |2=|OP |⋅|OQ |，直线x =x 0与曲线C 交于不同的两点G 、H ，易知G 、H 关于x 轴对称，设G (x 0,y 0),H (x 0,-y 0)(y 0≠±1,y 0≠0)，易知点S 0,1，直线SG 方程是y =y 0-1x 0x +1，令y =0得点P 横坐标x P =-x 0y 0-1，直线SH 方程是y =y 0+1-x 0x +1，令y =0得点Q 横坐标x Q =x 0y 0+1，由|OR |2=|OP |⋅|OQ |，得t 2=x 20|y 20-1|，又G (x 0,y 0)在椭圆上，所以x 204+y 20=1，所以t 2=4，解得t =±2，所以存在点R (0,±2)，使得∠ORP +∠ORQ =π2成立．19(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32在椭圆上．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，若一条斜率不为0的直线过点(-1,0)与椭圆交于M ,N 两点，椭圆C 的左、右顶点分别为A ,B ，直线BN 的斜率为k 1，直线AM 的斜率为k 2，求证：k 21+k 22k 1⋅k 2为定值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)证明见解析【详解】(1)由椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，且点1,-32 在椭圆上，可得c a =12，所以b 2a 2=1-c 2a 2=1-12 2=34，又点1,-32 在该椭圆上，所以1a 2+94b 2=1，所以a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1．(2)证明：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由于该直线斜率不为0，可设L MN ：x =my -1，联立方程x =my -1和x 24+y 23=1，得(3m 2+4)y 2-6my -9=0，Δ>0恒成立，根据韦达定理可知，y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1·y 2=-93m 2+4,my 1·y 2=-32y 1+y 2 ，k 1=y 2x -2,k 2=y 1x +2，k 2k 1=y 1(x 2-2)(x 1+2)y 2=y 1(my 2-3)(my 1+1)y 2=my 1y 2-3y 1my 1y 2+y 2，∴k 2k 1=-32(y 1+y 2)-3y 1-32(y 1+y 2)+y 2=3，∴k 21+k 22k 1∙k 2=k 1k 2+k 2k 1=103．20(2024·吉林延边·统考一模)已知椭圆E :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2，上顶点为H ，O 为坐标原点，∠OHF 2=30°，点1,32在椭圆E 上．(1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点F 2且斜率不为0的直线l 与椭圆E 相交于A ，B 两点，点P -2,0 ，Q 2,0 ．若M ，N 分别为直线AP ，BQ 与y 轴的交点，记△MPQ ，△NPQ 的面积分别为S △MPQ ，S △NPQ ，求S △MPQS △NPQ的值．【答案】(1)x 24+y 23=1(2)13【详解】(1)由∠OHF 2=30°，得b =3c (c 为半焦距)，∵点1,32 在椭圆E 上，则1a 2+94b2=1．又a 2=b 2+c 2，解得a =2，b =3，c =1．∴椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)由(1)知F 21,0 ．设直线l :x =my +1，A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由x =my +1x 24+y 23=1消去x ，得3m 2+4 y 2+6my -9=0．显然Δ=144m 2+1 >0．则y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4．∴my 1y 2=32y 1+y 2 ．由P -2,0 ，Q 2,0 ，得直线AP 的斜率k 1=y 1x 1+2，直线BQ 的斜率k 2=y 2x 2-2．又k 1 =OM OP ，k 2 =ON OQ，OP =OQ =2，∴OMON =k 1k 2 ．∴S △MPQ S △NPQ =12PQ⋅OM 12PQ⋅ON =OM ON =k 1 k 2 ．∵k 1k 2=y 1x 2-2 x 1+2 y 2=y 1my 2-1 my 1+3 y 2=my 1y 2-y 1my 1y 2+3y 2=32y 1+y 2 -y 132y 1+y 2 +3y 2=12y 1+32y 232y 1+92y 2=13．∴S △MPQ S△NPQ=13．21(2024·山东济南·山东省实验中学校考一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的右焦点为F 2,0 ，点2,3 在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)过F 的两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ,B 两点和P ,Q 两点，设AB ,PQ 的中点分别为M ,N ，求△FMN 面积的最大值．【答案】(1)x 28+y 24=1(2)49【详解】(1)由题意知c =2．又a 2=b 2+c 2，所以a 2=b 2+4．把点2,3 代入椭圆方程，得2b 2+4+3b2=1，解得b 2=4．故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1．(2)由题意知直线AB ,PQ 的斜率均存在且不为零．设直线AB 的方程为y =k x -2 k ≠0 ，且A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ．由y =k x -2x 28+y 24=1消去y ，得1+2k 2 x 2-8k 2x +8k 2-8=0．所以x 1+x 2=8k 21+2k 2，x 1x 2=8k 2-81+2k 2．而y 1+y 2=k x 1-2 +k x 2-2 =k x 1+x 2 -4k =-4k1+2k 2，所以M 4k 21+2k 2,-2k 1+2k 2 ．同理得N 42+k 2,2k 2+k 2．若4k 21+2k 2=42+k 2，则k =±1，此时直线MN 的斜率不存在，可得直线MN :x =43．此时MN =43，所以S △FMN =12×43×23=49；若k ≠±1，则直线MN 的斜率为-2k1+2k 2-2k 2+k 24k 21+2k 2-42+k 2=3k21-k 2，可得直线MN ：y +2k 1+2k 2=3k 21-k 2 x -4k 21+2k 2．化简，得y =3k 21-k 2x -43 ．所以直线MN 过定点T 43,0 ．所以S △FMN =S △FTM +S △FTN =12×23×-2k 1+2k 2 +12×23×2k2+k 2=13×2k 1+2k 2+13×2k 2+k 2=13×2k 3+3k 21+2k 2 2+k 2 =2k 1+k 22k 4+5k 2+2=2k +1k 2k 2+1k2 +5．令t =k +1k∈2,+∞ ，则S △FMN =f t =2t 2t 2-2 +5=2t2t 2+1．因为f t =21-2t22t2+12<0，所以f t 在t∈2,+∞上单调递减．所以f t <f2 =49，即S△FMN<49.综上，S△FMN≤4 9 .所以当k=±1时，△FMN的面积取得最大值4 9．【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆方程，定点问题，最值问题；意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中利用设而不求的思想，分类讨论的思想，根据韦达定理得到根与系数的关系，是解题的关键，此方法是考查的重点，需要熟练掌握.22(2024·山西晋城·统考一模)已知椭圆P:x26+y22=1的焦点是椭圆E的顶点，椭圆Q:x26+y29=1的焦点也是E的顶点．(1)求E的方程；(2)若F x0,y0，C，D三点均在E上，且CF⊥DF，直线CF，DF，CD的斜率均存在，证明：直线CD过定点(用x0，y0表示)．【答案】(1)x24+y23=1(2)过定点x07,-y07,证明见解析.【详解】(1)因为6-2=2，所以P的焦点为(-2,0)，(2,0)，因为9-6=3，所以Q的焦点为(0,-3)，(0,3)，所以可设E的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则a=2，b=3，故E的方程为x24+y23=1．(2)证明：设C x1,y1，D x2,y2，直线CD:y=kx+m．k FC=y1-y0x1-x0，k FD=y2-y0x2-x0．因为CF⊥DF，所以k CF⋅k FD=-1，即x1-x0x2-x0+y1-y0y2-y0=0，即x1x2-x0x1+x2+x20+y1y2-y0y1+y2+y20=0①，将y=kx+m代入E的方程，得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，则Δ=483+4k2-m2>0，x1+x2=-8km3+4k2，x1x2=4m2-123+4k2，y1+y2=k x1+x2+2m=6m3+4k2，y1y2=kx1+mkx2+m=k2x1x2+km x1+x2+m2=-12k2+3m23+4k2，将以上4个式子代入①，得x20-x0⋅-8km3+4k2+4m2-123+4k2+y20-y0⋅6m3+4k2+-12k2+3m23+4k2=0，即4kx0+m2+34x20-3+3y0-m2+4k2y203-4k2=0②，34y20代入②得4kx 0+m +y 0 kx 0+m -y 0 =3kx 0+m -y 0 kx 0-m +y 0 ，即kx 0+m -y 0 kx 0+7m +y 0 =0，因为CF ⊥DF ，所以F 不在直线CD 上，则kx 0+m -y 0≠0，则m =-y 0+kx 07，所以直线CD :y =k x -x 07 -y 07过定点x 07,-y 07 .【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆的位置关系，将韦达定理代入表达式化简为4kx 0+m 2+34x 20-3 +3y 0-m 2+4k 2y 203-4k 2 =0并利用点在椭圆上进一步化简是本题关键.23(2024·浙江·校联考一模)已知椭圆C :x 24+y 23=1的左右焦点分别为F 1,F 2，点P x 0,y 0 为椭圆C 上异于顶点的一动点，∠F 1PF 2的角平分线分别交x 轴、y 轴于点M 、N ．(1)若x 0=12，求PF 1 ；(2)求证：PM PN为定值；(3)当△F 1PN 面积取到最大值时，求点P 的横坐标x 0．【答案】(1)PF 1 =94(2)证明见解析(3)x 0=3-1【详解】(1)由已知得F 1-1,0 ，x 204+y 203=1⇒y 20=3-3x 204则PF 1 =x 0+1 2+y 20=2+12x 0．所以当x 0=12时，PF 1 =94；(2)设M m ,0 ，在△F 1PF 2中，PM 是∠F 1PF 2的角平分线，所以PF 1 PF 2=MF 1 MF 2，由(1)知PF 1 =2+12x 0，同理PF 2 =x 0-1 2+y 20=2-12x 0，即2+12x 02-1x =m +11-m ，解得m =14x 0，所以M 14x 0,0 ，过P 作PH ⊥x 轴于H ．所以PM PN=MH OH=34．(3)记△F 1PN 面积的面积为S ，由(1)可得，S =12F 1M ⋅y 0+13y 0 =16x 0+4 344-x 20 =312x 0+4 4-x 20，其中x 0∈-2,0 ∪0,2 ，则S =-364-x 2x 20+2x 0-2 ，当x 0∈-2,0 ∪0,3-1 时，S >0,S 单调递增；当x 0∈3-1,2 时，S <0,S 单调递减．所以当x 0=3-1时，S 最大．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是利用导函数求解面积表达式的最值，注意函数的定义域.24(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知如图，点B 1,B 2为椭圆C 的短轴的两个端点，且B 2的坐标为0,1 ，椭圆C 的离心率为22.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l 不经过椭圆C 的中心，且分别交椭圆C 与直线y =-1于不同的三点D ,E ,P (点E 在线段DP 上)，直线PO 分别交直线DB 2,EB 2于点M ,N .求证：四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【答案】(1)x 22+y 2=1(2)证明见解析【详解】(1)由题知b =1,c a =22,a 2=b 2+c 2. 解得a 2=2,b 2=1.故椭圆C 的方程为x 22+y 2=1.(2)方法一：显然直线l 不能水平，故设直线l 方程为x =k y +t t ≠0 ，设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,N x N ,y N ,M x M ,y M ，由x =k y +t ,x 22+y 2=1得k 2+2 y 2+2k t y +t 2-2=0，令Δ>0得，k 2-t 2+2>0.所以y 1+y 2=-2k t k 2+2,y 1y 2=t 2-2k 2+2，令y =-1，得P t -k ,-1 .故直线PO 方程为y =1k-tx ，直线DB 方程为y =y 1-1x +1.由y =1k -txy =y 1-1x 1x +1 得x M =k -tx 1x 1+k -t 1-y 1=k -tx 1k +t y 1，将x M 中x 1,y 1换成x 2,y 2得x N =k-tx 2k +t y 2.∴x M +x N =k-tx 1k +t y 1+k-tx 2k +t y 2=k-tx 1k +t y 2 +x 2k +t y 1k +t y 1 k +ty 2，∵x 1k +t y 2 +x 2k +t y 1 =k x 1+x 2 +t x 1y 2+x 2y 1 =k k y 1+t +k y 2+t +t k y 1+t y 2+k y 2+t y 1 =k 2+t 2y 1+y 2 +2k ty 1y 2+1 =-2k t k 2+t 2 +2k t k 2+t 2k 2+2=0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.方法二：设D x 1,y 1 ,E x 2,y 2 ,M x M ,y M ,N x N ,y N .直线B 2D 方程为y =y 1-1x 1x +1，当直线l 的斜率不存在时，设l 方程为x =x 0x 0≠0 ，此时P x 0,-1 ，直线PO 方程的为y =-1x 0x ，由y =-1x 0xy =y 1-1x 0x +1得x M=-x 0y 1，同理x N =-x 0y 2,∵y 1=-y 2∴x M +x N =0，当直线l 斜率存在时，设l 方程为y =kx +t t ≠0 ，由y =kx +t ,x22+y 2=1 得1+2k 2 x 2+4ktx +2t 2-2=0.令Δ>0得，1+2k 2-t 2>0.由韦达定理得x 1+x 2=-4kt 1+2k 2,x 1x 2=2t 2-21+2k 2.将y =-1代入y =kx +t 得P -1-tk,-1 ∴直线PO 的方程为y =kt +1x 由y =y 1-1x 1x +1y =k t +1x得x M=-x 11+t y 1-1 1+t -kx 1=-x 11+t ktx 1+t 2-1同理可得x N =-x 21+tktx 2+t 2-1.∴x M +x N =-t +1 x 1ktx 1+t 2-1+x 2ktx 2+t 2-1=-t +12ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2ktx 1+t 2-1 ktx 2+t 2-1∵2ktx 1x 2+t 2-1 x 1+x 2 =2kt 2t 2-2 +t 2-1 -4kt=0，∴x M +x N =0，综上所述，x M +x N =0,∴O 为线段MN 中点，又O 为B 1B 1中点，∴四边形B 1MB 2N 为平行四边形.【点睛】关键点点睛：证明四边形B 1MB 2N 为平行四边形的方法用对角线相互平分得到.25(2024·河北·校联考一模)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，经过点F 1且倾斜角为θ0<θ<π2的直线l 与椭圆交于A 、B 两点(其中点A 在x 轴上方)，△ABF 2的周长为8．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图，将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面(平面AF 1F 2)与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面(平面BF 1F 2)互相垂直．①若θ=π3，求异面直线AF 1和BF 2所成角的余弦值；②是否存在θ0<θ<π2 ，使得折叠后△ABF 2的周长为152？若存在，求tan θ的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)①1328；②存在；tan θ=33514．【详解】解：(1)由椭圆的定义知：AF 1 +AF 2 =2a ,BF 1 +BF 2 =2a ，所以△ABF 2的周长L =4a =8，所以a =2，又椭圆离心率为12，所以c a =12，所以c =1，b 2=a 2-c 2=3，由题意，椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 24+y 23=1；(2)①由直线l ：y -0=3x +1 与x 24+y 23=1，联立求得A 0,3 ，(因为点A 在x 轴上方)以及B -85,-353 ，再以O 为坐标原点，折叠后原y 轴负半轴，原x 轴，原y 轴正半轴所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则F 10,-1,0 ，A 0,0,3 ，B 353,-85,0，F 20,1,0 ，F 1A =0,1,3 ，BF 2 =-353,135,0 ．记异面直线AF 1和BF 2所成角为φ，则cos φ=cos <F 1A ,BF 2 > =F 1A ⋅BF2 F 1A BF 2=1328；②设折叠前A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，折叠后A ，B 在新图形中对应点记为A ′，B ′，A ′x 1,y 1,0 ，B ′x 2,0,-y 2 ，由A ′F 2 +B ′F 2 +A ′B ′ =152，AF 2 +BF 2 +|AB |=8，故AB -A ′B ′ =12，将直线l 方程与椭圆方程联立my =x +1x 24+y 23=1，得3m 2+4 y 2-6my -9=0，y 1+y 2=6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系(原x 轴仍然为x 轴，原y 轴正半轴为y 轴，原y 轴负半轴为z 轴)；A ′B ′ =x 1-x 22+y 12+y 22，AB =x 1-x 22+y 1-y 2 2，所以AB -A ′B ′ =x 1-x 22+y 1-y 2 2-x 1-x 22+y 21+y 22=12，(i )又-2y 1y 2x 1-x 22+y 1-y 2 2+x 1-x 22+y 21+y 22=12，所以x 1-x 1 2+y 1-y 2 2+x 1-x 2 2+y 21+y 21=-4y 1y 2，(ii )由(i )(ii )可得x 1-x 22+y 1-y 2 2=14-2y 1y 2，因为x 1-x 2 2+y 1-y 2 2=1+m 2 y 1-y 2 2=14-2y 1y 2 2，所以1+m 26m 3m 2+42+363m 2+4=14+183m 2+42，即1441+m3m 2+42=14+183m 2+42，所以12+12m 23m 2+4=14+183m 2+4，解得m 2=2845，因为0<θ<π2，所以tan θ=1m =33514．【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是根据折叠前、后三角形△ABF 2周长的变化，得到AB -A ′B ′ =12，进而根据两点间的距离公式及韦达定理进行求解.题型03 双曲线26(2024·辽宁沈阳·统考一模)已知双曲线C 的两个焦点分别为F 1-22,0 ,F 222,0 ，且满足条件p ，可以解得双曲线C 的方程为x 2-y 2=4，则条件p 可以是()A.实轴长为4B.双曲线C 为等轴双曲线C.离心率为22D.渐近线方程为y =±x【答案】ABD【详解】设该双曲线标准方程为x 2a 2-y 2b2=1，则c =2 2.对于A 选项，若实轴长为4，则a =2，∴b 2=c 2-a 2=4，符合题意；对于B 选项，若该双曲线为等轴双曲线，则a =b ，又c =22，a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意；对于C 选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意；对于D 选项，若渐近线方程为y =±x ，则a =b ，结合a 2+b 2=c 2=8，可解得a 2=b 2=4，符合题意，故选：ABD .27(2024·黑龙江齐齐哈尔·统考一模)已知A 为双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右顶点，O 为坐标原点，B ,C 为双曲线E 上两点，且AB +AC =2AO ，直线AB ,AC 的斜率分别为2和14，则双曲线E 的离心率为()A.2B.52C.62D.2【答案】C【详解】A a ,0 ，设B x 0,y 0 ,C -x 0,-y 0 ，则x 20a 2-y 20b2=1，则k AB =y 0x 0-a =2,k AC =y 0x 0+a =14，k AB ⋅k AC =y 20x 20-a 2=b 2x 20a2-1 x 20-a 2=b 2a 2=14×2=12，∴e =c a =c 2a 2=a 2+b 2a 2=1+b a 2=1+12=62.故选：C【点睛】求解双曲线离心率有关的问题，可以利用直接法来进行求解，也即通过已知条件求得a 和c ，从而求得双曲线的离心率.也可以利用构造齐次式的方法来进行求解，也即通过已知条件求得a 2,c 2或a 2,b 2的等量关系式，由此来求得离心率.28(2024·云南曲靖·统考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 ，过其右焦点F 作一条直线分别交两条渐近线于A ,B 两点，若A 为线段BF 的中点，且OA ⊥BF ，则双曲线C 的渐近线方程为()A.y =±2xB.y =±3xC.y =±5xD.y =±12x【答案】B【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为y =±b a x ，F (c ,0)，则直线BF :y =-ab (x -c )，故y =-a b(x -c )y =-b a x，可得x =a 2c a 2-b 2，故y =-abc a 2-b 2，即B a 2c a 2-b 2,-abca 2-b2，又三角形BOF 为等腰三角形，所以|OB |2=a 2ca 2-b22+abc a 2-b22=c 2，则a 4+a 2b 2=(a 2-b 2)2，整理得b 2a 2=3⇒ba =3，即双曲线C 的渐近线方程为y =±3x .故选：B29(2024·河南郑州·郑州市宇华实验学校校考一模)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右顶点分别为A 1,A 2,F 为C 的右焦点，C 的离心率为2，若P 为C 右支上一点，PF ⊥FA 2，记∠A 1PA 2=θ0<θ<π2，则tan θ=()【答案】A【详解】设C 的焦距为2c ，点P x 0,y 0 ，由C 的离心率为2可知c =2a ,b =3a ，因为PF ⊥FA 2，所以x 0=c ，将P c ,y 0 代入C 的方程得c 2a 2-y 20b 2=1，即y 0 =3b ，所以tan ∠PA 2F =3b c -a =3,tan ∠PA 1F =3bc --a=1，故tan θ=tan ∠PA 2F -∠PA 1F =3-11+3×1=12．故选:A ．30(2024·新疆乌鲁木齐·统考一模)设双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，A 是右支上一点，满足AF 1⊥AF 2，直线AF 2交双曲线于另一点B ，且BF 1 -AF 1 =2a ，则双曲线的离心率为．【答案】102【详解】AF 2 =x ，则AF 1 =2a +x ，又BF 1 -AF 1 =2a ，所以BF 2 =AF 1 =2a +x ，则AB =AF 2 +BF 2 =2a +2x ，BF 1 =2a +AF 1 =4a +x ，又AF 1⊥AF 2，所以三角形AF 1B 为直角三角形，则AF 1 2+AB 2=BF 1 2,即2a +x 2+2a +2x 2=4a +x 2，化为x 2+ax -2a 2=0，解得x =a 或者x =-2a (舍)，此时AF 1 =3a ，在直角三角形AF 1F 2中，AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2,即9a 2+a 2=4c 2，所以c 2a2=e 2=52，所以e =102.故答案为：102.31(2024·浙江·校联考一模)已知A ,B 分别是双曲线C :x 24-y 2=1的左，右顶点，P 是双曲线C 上的一动点，直线PA ，PB 与x =1交于M ,N 两点，△PMN ,△PAB 的外接圆面积分别为S 1,S 2，则S1S 2的最小值为()【答案】A【详解】由已知得，A -2,0 ，B 2,0 ，由双曲线的对称性，不妨设P x ,y 在第一象限，所以k PA =y x +2，k PB =yx -2，所以k PA ⋅k PB =y x +2⋅y x -2=y 2x 2-4=x 24-1x 2-4=14，设直线PA 的方程为：y =k x +2 ,k >0，则直线PB 的方程为：y =14kx -2 ，同时令x =1，则y M =3k ，y N =-14k，所以MN =3k +14k,k >0，设△PMN ,△PAB 的外接圆的半径分别为r 1，r 2，由正弦定理得，2r 1=MNsin ∠MPN=MNsin ∠APB，2r 2=ABsin ∠APB，所以r 1r 2=MN AB =3k +14k 4≥23k ⋅14k 4=34，当且仅当3k =14k，即k =36时取等号，所以S 1S 2=πr 21πr 22=r 1r 22=316.故选：A【点睛】结论点睛：若A 、B 分别为双曲线的左、右顶点，P 为双曲线上一动点，则直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值.32(2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知O 为坐标原点，双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别是F 1，F 2，离心率为62，点P x 1,y 1 是C 的右支上异于顶点的一点，过F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足是M ，|MO |=2，若双曲线C 上一点T 满足F 1T ⋅F 2T=5，则点T 到双曲线C 的两条渐近线距离之和为()A.22B.23C.25D.26【答案】A【详解】设半焦距为c ，延长F 2M 交PF 1于点N ，由于PM 是∠F 1PF 2的平分线，F 2M ⊥PM ，所以△NPF 2是等腰三角形，所以PN =PF 2 ，且M 是NF 2的中点.根据双曲线的定义可知PF 1 -PF 2 =2a ，即NF 1 =2a ，由于O 是F 1F 2的中点，所以MO 是△NF 1F 2的中位线，所以MO =12NF 1 =a =2，又双曲线的离心率为62，所以c =3，b =1，所以双曲线C 的方程为x 22-y 2=1.所以F 1(-3,0)，F 2(3,0)，双曲线C 的渐近线方程为x ±2y =0，设T (u ,v )，T 到两渐近线的距离之和为S ，则S =|u +2v |3+|u -2v |3，由F 1T ⋅F 2T=(u -3)(u +3)+v 2=u 2+v 2-3=5，即u 2+v 2=8，又T 在x 22-y 2=1上，则u 22-v 2=1，即u 2-2v 2=2，解得u 2=6，v 2=2，由|u |>2|v |，故S =2u3=22，即距离之和为2 2.故选：A .【点睛】由平面几何知识，PN =PF 2 ，依据双曲线的定义，可将|MO |=2转化为用a 表示，进而的双曲线的标准方程.33(2024·安徽合肥·合肥一六八中学校考一模)已知F 1，F 2分别是双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1a >0,b >0 的左、右焦点，过F 1的直线分别交双曲线左、右两支于A ，B 两点，点C 在x 轴上，CB =3F 2A，BF 2平分∠F 1BC ，则双曲线Γ的离心率为()A.7B.5C.3D.2【答案】A【详解】因为CB =3F 2A ，所以△F 1AF 2∽△F 1BC ，设F 1F 2 =2c ，则F 2C =4c ，设AF 1 =t ，则BF 1 =3t ，AB =2t ．因为BF 2平分∠F 1BC ，由角平分线定理可知，BF 1 BC=F 1F 2 F 2C=2c 4c =12，所以BC =2BF 1 =6t ，所以AF 2 =13BC =2t ，由双曲线定义知AF 2 -AF 1 =2a ，即2t -t =2a ，t =2a ，①又由BF 1 -BF 2 =2a 得BF 2 =3t -2a =2t ，所以BF 2 =AB =AF 2 =2t ，即△ABF 2是等边三角形，所以∠F 2BC =∠ABF 2=60°．在△F 1BF 2中，由余弦定理知cos ∠F 1BF 2=BF 12+BF 2 2-F 1F 2 22⋅BF 1 ⋅BF 2，即12=4t 2+9t 2-4c 22⋅2t ⋅3t，化简得7t 2=4c 2，把①代入上式得e =ca =7，所以离心率为7．故选：A ．34(2024·山西晋城·统考一模)双曲线C :x 2-y 2=m 2(m >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P (t ,s )(s ≠0)为C 的右支上一点，分别以线段PF 1，PF 2为直径作圆O 1，圆O 2，线段OO 2与圆O 2相交于点M ，其中O 为坐标原点，则()A.O 1O 2 =3mB.OM =mC.点(t ,0)为圆O 1和圆O 2的另一个交点D.圆O 1与圆O 2有一条公切线的倾斜角为π4【答案】BCD【详解】C 的方程可化为x 2m 2-y 2m2=1，可得a =m ，b =m ，c =2m ．由O 1为PF 1的中点，O 2为PF 2的中点，得O 1O 2 =12F 1F 2 =2m ，A 错误．由O 2为PF 2的中点，O 为F 1F 2的中点，得OO 2 =12PF 1 ，则OM =OO 2 -MO 2 =12PF 1 -PO 2 =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，B 正确．设点Q 为圆O 1和圆O 2的另一个交点，连接PQ ，由O 1O 2⎳x 轴，可得O 1O 2⊥PQ ，O 1O 2为△PF 1F 2的中位线，则直线O 1O 2平分线段PQ ，则点Q 必在x 轴上，可得点Q 的坐标为(t ,0)，C 正确．如图，若BD 为圆O 1与圆O 2的一条公切线，B ，D 为切点，连接O 1B ，O 2D ，过点O 2作O 2A ⊥O 1B ，垂足为A ．由O 1O 2 =2m ，O 1A =O 1B -O 2D =12PF 1 -12PF 2 =a =m ，得sin ∠AO 2O 1=AO 1 O 1O 2=m 2m=22，。
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷(新高考专用)(解析版)—2025年高考数学一轮复习
直线和圆、圆锥曲线综合测试卷专练（考试时间：120分钟；满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
则由椭圆的中心对称性可知可知AF1BF2为平行四边形，则可得△ABF2的周长为|AF当AB位于短轴的端点时，当围成的等腰三角形底边在x轴上时，当围成的等腰三角形底边在直线l因为tanα=2tanα21―tan2α2=2，且tanα2>所以k=tanθ=tanα2=5―12，或故选：B．5．（5分）（2024·西藏拉萨的最小值为（）A．1453【解题思路】先设点的坐标，结合轨迹方程求参，再根据距离和最小值为两点间距离求解即可6．（5分）（2024·湖南邵阳点B在C上且位于第一象限，B．8 A．453【解题思路】由点A―1,8由点A―1,8在抛物线y23所以抛物线C的方程为y2设B(x0,y0)，则x0>0,y0>由题意知F p2,0，又OP 显然直线AB的斜率不为由y2=2pxx=ty+p2，得y2―2pty显然直线BD的斜率不为由y2=2pxλp，得y2故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
如图，因为K OA=∠PDA=∠ODB，所以×|PA|⋅S△PAB=12故选：ABD.11．（6分）（2024·福建龙岩|AB|=8.过焦点F的直线C的准线与坐标轴的交点，则（A．若MF=3FN，则直线C．∠MON为钝角设M(x1,y1),N(x2,y 得y2―8my―16=所以y1y2=―16,x1∴x1x2+y1y2=4⟨⟩三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
高考数学(文科)二轮专题突破训练：专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练15含答案
专题能力训练15直线与圆一、能力突破训练1.圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为()A.1B.2C.D.22.已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A. B. C. D.3.直线y=kx+3与圆(x-1)2+(y+2)2=4相交于M,N两点,若|MN|≥2,则实数k的取值范围是()A. B.C. D.4.过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=()A.2B.8C.4D.105.(2018全国Ⅰ,文15)已知直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.6.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是.7.若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.8.已知P是抛物线y2=4x上的动点,过P作抛物线准线的垂线,垂足为M,N是圆(x-2)2+(y-5)2=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是.9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-y=4相切.(1)求☉O的方程;(2)若☉O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2,求直线MN的方程;(3)设☉O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求的取值范围.10.已知☉O:x2+y2=4,点A(,0),以线段AB为直径的圆内切于☉O,记点B的轨迹为Γ.(1)求曲线Γ的方程;(2)直线AB交☉O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与☉C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.二、思维提升训练12.已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是2.则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离13.(2018全国Ⅲ,文8)已知直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[,3]D.[2,3]14.在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是.15.在平面直角坐标系中,当P(x,y)不是原点时,定义P的“伴随点”为P';当P是原点时,定义P的“伴随点”为它自身.现有下列命题:①若点A的“伴随点”是点A',则点A'的“伴随点”是点A;②单位圆上的点的“伴随点”仍在单位圆上;③若两点关于x轴对称,则它们的“伴随点”关于y轴对称;④若三点在同一条直线上,则它们的“伴随点”一定共线.其中的真命题是.(写出所有真命题的序号)16.在平面直角坐标系xOy中,已知☉C1:(x+3)2+(y-1)2=4和☉C2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线l过点A(4,0),且被☉C1截得的弦长为2,求直线l的方程;(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与☉C1和☉C2相交,且直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.17.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.专题能力训练15直线与圆一、能力突破训练1.C解析由题意可知圆心坐标为(-1,0),故圆心到直线y=x+3的距离d=,故选C.2.B解析由题意知,△ABC外接圆的圆心是直线x=1与线段AB垂直平分线的交点,设为P,而线段AB垂直平分线的方程为y-,它与x=1联立得圆心P坐标为,则|OP|=.3.B解析当|MN|=2时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直线y=kx+3的距离为=1,即=1,解得k=-.若使|MN|≥2,则k≤-.4.C解析设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将点A,B,C代入,得解得则圆的方程为x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,设M(0,y1),N(0,y2),则y1,y2是方程y2+4y-20=0的两根,由根与系数的关系,得y1+y2=-4,y1y2=-20,故|MN|=|y1-y2|==4.5.2解析圆的方程可化为x2+(y+1)2=4,故圆心C(0,-1),半径r=2,圆心到直线y=x+1的距离d=,所以弦长|AB|=2=2=2.6.(-2,-4)5解析由题意,可得a2=a+2,解得a=-1或2.当a=-1时,方程为x2+y2+4x+8y-5=0,即(x+2)2+(y+4)2=25,故圆心为(-2,-4),半径为5;当a=2时,方程为4x2+4y2+4x+8y+10=0,+(y+1)2=-不表示圆.7.8解析∵直线=1过点(1,2),∴=1.∵a>0,b>0,∴2a+b=(2a+b)=4+≥4+2=8.当且仅当b=2a时“=”成立.8.-1解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=,故|PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=-1.9.解(1)依题意,☉O的半径r等于原点O到直线x-y=4的距离,即r==2.所以☉O的方程为x2+y2=4.(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0.则圆心O到直线MN的距离d=.由垂径定理,得+()2=22,即m=±.所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0).由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,得=x2+y2,即x2-y2=2.因为=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),且点P在☉O内,所以由此得y2<1.所以的取值范围为[-2,0).10.解(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN,则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.取A关于y轴的对称点A',连接A'B,则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,故曲线Γ的方程为+y2=1.(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,则.设B(x0,y0),则x0(x0-)+=0.又=1,解得x0=,y0=±.则k OB=±,k AB=∓,则直线AB的方程为y=±(x-),即x-y-=0或x+y-=0.11.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.所以k的取值范围为.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=,x1x2=.=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.由题设可得+8=12,解得k=1,所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.二、思维提升训练12.B解析圆M的方程可化为x2+(y-a)2=a2,故其圆心为M(0,a),半径R=a.所以圆心到直线x+y=0的距离d= a.所以直线x+y=0被圆M所截弦长为2=2a,由题意可得a=2,故a=2.圆N的圆心N(1,1),半径r=1.而|MN|=,显然R-r<|MN|<R+r,所以两圆相交.13. A解析设圆心到直线AB的距离d==2.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即≤d'≤3.又AB=2,∴S△ABP=·|AB|·d'=d',∴2≤S△ABP≤6.14.[-5,1]解析设P(x,y),由≤20,易得x2+y2+12x-6y≤20.把x2+y2=50代入x2+y2+12x-6y≤20得2x-y+5≤0.由可得由2x-y+5≤0表示的平面区域及P点在圆上,可得点P在圆弧EPF上,所以点P横坐标的取值范围为[-5,1].15.②③解析对于①,若令P(1,1),则其伴随点为P',而P'的伴随点为(-1,-1),而不是P,故①错误;对于②,令单位圆上点的坐标为P(cos x,sin x),其伴随点为P'(sin x,-cos x)仍在单位圆上,所以②正确;③设A(x,y)与B(x,-y)为关于x轴对称的两点,则A的“伴随点”为A',B点的伴随点为B',A'与B'关于y轴对称,故③正确;对于④,取直线l:y=1.设其“伴随曲线”为C,其上任一点M(x,y),与其对应的直线l上的点为N(t,1).则由定义可知①2+②2得x2+y2==x,整理得x2+y2-x=0,显然不是一条直线.故④错误.所以正确的序号为②③.16.解(1)设直线l的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,由垂径定理,得圆心C1到直线l的距离d==1.由点到直线距离公式,得=1,化简,得24k2+7k=0,解得k=0或k=-.当k=0时,直线l的方程为y=0;当k=-时,直线l的方程为y=-(x-4),即7x+24y-28=0.故所求直线l的方程为y=0或7x+24y-28=0.(2)设点P坐标为(m,n),直线l1,l2的方程分别为y-n=k(x-m)和y-n=-(x-m),即kx-y+n-km=0,-x-y+n+m=0.∵直线l1被☉C1截得的弦长与直线l2被☉C2截得的弦长相等,两圆半径相等,∴由垂径定理得圆心C1到直线l1与圆心C2到直线l2的距离相等.∴,化简,得(2-m-n)k=m-n-3或(m-n+8)k=m+n-5.∵关于k的方程有无穷多解,∴解得故点P坐标为.17.解圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0<y0<7,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=.因为BC=OA==2,而MC2=d2+,所以25=+5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),,所以①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上, 从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点, 所以5-5≤≤5+5,解得2-2≤t≤2+2.因此,实数t的取值范围是[2-2,2+2].。
2023年高考数学一轮复习第八章直线与圆圆锥曲线6直线与椭圆练习含解析
直线与椭圆考试要求 1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．知识梳理1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0. 2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k2[x 1＋x 22－4x 1x 2]或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2[y 1＋y 22－4y 1y 2]，k 为直线斜率且k ≠0.常用结论已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．(1)通径的长度为2b2a.(2)过左焦点的弦AB ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则焦点弦|AB |＝2a ＋e (x 1＋x 2)；过右焦点弦CD ，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则焦点弦|CD |＝2a －e (x 3＋x 4)．(e 为椭圆的离心率)(3)A 1，A 2为椭圆的长轴顶点，P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点，则2122·PA PA k b k a=-.(4)AB 是椭圆的不平行于对称轴的弦，O 为原点，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.(5)过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，P 是椭圆上异于A ，B 的任一点，则k PA ·k PB ＝－b 2a2.(6)点P (x 0，y 0)在椭圆上，过点P 的切线方程为x 0x a 2＋y 0yb 2＝1. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．( √ ) (2)直线y ＝x 与椭圆x 22＋y 2＝1一定相交．( √ )(3)直线y ＝x －1被椭圆x 22＋y 2＝1截得的弦长为 2.( × )(4)过椭圆上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.( × ) 教材改编题1．直线y ＝x ＋1与椭圆x 25＋y 24＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法判断答案 A解析 方法一 (通解)联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 25＋y24＝1，消去y 得9x 2＋10x －15＝0，Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交． 方法二 (优解)直线过点(0,1)，而0＋14＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．2．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长为( )A.45B.65C.85D.135答案 C解析 由题意得，a 2＝4，b 2＝1，所以c 2＝3， 所以右焦点坐标为(3，0)， 则直线l 的方程为y ＝x －3， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3，x 24＋y 2＝1，消y 得，5x 2－83x ＋8＝0， 则x 1＋x 2＝835，x 1·x 2＝85，所以|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫8352－4×85＝85. 即弦AB 的长为85.3．已知椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________． 答案y 24＋x 2＝1解析 因为椭圆y 2a 2＋x 2b2＝1的右顶点为A (1,0)，所以b ＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1， 所以2b2a＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.题型一 直线与椭圆的位置关系例1 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点．解 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m ，x 24＋y22＝1，消去y 并整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点． 教师备选(多选)直线y ＝kx －2k ＋62与椭圆x 24＋y23＝1的位置关系可能为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．有3个公共点答案 AB解析 直线y ＝kx －2k ＋62＝k (x －2)＋62恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，62，又点⎝⎛⎭⎪⎫2，62在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切． 思维升华 判断直线与椭圆位置关系的方法(1)判断直线与椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数． (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点． 跟踪训练1 已知动点M 到两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)的距离之和为4(0<m <2)，且动点M 的轨迹曲线C 过点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12. (1)求m 的值；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与曲线C 有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围．解 (1)由0<m <2，得2m <4，可知曲线C 是以两定点F 1(－m ，0)，F 2(m ，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a ＝2，设曲线C 的方程为x 24＋y 2b2＝1，把点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12代入， 得34＋14b2＝1， 解得b 2＝1，由c 2＝a 2－b 2， 解得c 2＝3， 所以m ＝ 3.(2)由(1)知曲线C 的方程为x 24＋y 2＝1，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 得⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0，则有Δ＝4k 2－1>0，得k 2>14.所以k >12或k <－12，所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.题型二 弦长及中点弦问题 命题点1 弦长问题例2 (2022·百校联盟开学考)在平面直角坐标系Oxy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2,1)，且离心率e ＝32. (1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 的斜率为12，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．若|AB |＝5，求直线l 的方程．解 (1)∵e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，∴a 2＝4b 2.又椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)过点P (2,1)，∴4a 2＋1b2＝1，∴a 2＝8，b 2＝2.故所求椭圆方程为x 28＋y 22＝1.(2)设l 的方程为y ＝12x ＋m ，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ＋m ，x 28＋y22＝1，整理，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0. ∴Δ＝4m 2－8m 2＋16＞0，解得|m |＜2. ∴x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4. 则|AB |＝1＋14×x 1＋x 22－4x 1x 2＝54－m2＝5，解得m ＝± 3.所求直线l 的方程为y ＝12x ± 3.命题点2 中点弦问题例3 已知P (1,1)为椭圆x 24＋y 22＝1内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此弦所在的直线方程为__________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 方法一 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设其方程为y －1＝k (x －1)，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k x －1，x 24＋y22＝1，消去y 得，(2k 2＋1)x 2－4k (k －1)x ＋2(k 2－2k －1)＝0， ∴x 1＋x 2＝4k k －12k 2＋1， 又∵x 1＋x 2＝2， ∴4kk －12k 2＋1＝2，解得k ＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意．故此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.方法二 易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k ，弦所在的直线与椭圆相交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 212＝1，① x 224＋y 222＝1，② ①－②得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴x 1－x 22＋y 1－y 2＝0，又x 2－x 1≠0，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－12. 经检验，k ＝－12满足题意．∴此弦所在的直线方程为y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 教师备选已知直线l 与椭圆x 24＋y 23＝1相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P (1,1)．(1)求直线l 的方程； (2)求△OAB 的面积．解 (1)由斜率公式可知k OP ＝1， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 代入椭圆方程得到，⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1⇒x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，化简得到－34×x 1＋x 2y 1＋y 2＝y 1－y 2x 1－x 2＝k AB ，∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2， ∴k AB ＝－34，∴直线方程为y －1＝－34(x －1)，∴直线l 的方程为3x ＋4y －7＝0.(2)将直线方程与椭圆方程联立，可得21x 2－42x ＋1＝0，Δ＝422－4×21>0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝121.由弦长公式得到 |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋916×4－421＝54×410521＝510521，再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB 的距离d ＝|－7|9＋16＝75， ∴△OAB 的面积S ＝12×510521×75＝1056.思维升华 解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路跟踪训练2 (1)(2022·济宁模拟)已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若P 为AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．3x －2y －2＝0B ．3x ＋2y －4＝0C ．3x ＋4y －5＝0D ．3x －4y －1＝0答案 B解析 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由中点坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y 22＝12，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 213＝1， ①x 224＋y 223＝1， ②①－②得x 21－x 224＋y 21－y 223＝0，即y 21－y 22x 21－x 22＝－34， 即y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝12k AB ＝－34，所以k AB ＝－32，因此直线AB 的方程为y －12＝－32(x －1)，即3x ＋2y －4＝0.(2)已知椭圆E ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线l 与E 交于A ，B 两点，且AF 1，BF 2都与x 轴垂直，则|AB |＝________. 答案13解析 由题意得c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，因为直线l 过原点，且交椭圆E 于A ，B 两点，所以A 与B 关于原点对称，又AF 1，BF 2都与x 轴垂直， 所以设A (－1，y 1)，B (1，－y 1)， 则|AB |＝－1－12＋[y 1－－y 1]2＝4＋4y 21.又点A 在椭圆E 上， 所以14＋y 213＝1，得y 21＝94，则|AB |＝4＋4×94＝13.题型三 直线与椭圆的综合问题例4 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点P (1,0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若△ABO 的面积为35(O 为坐标原点)，求直线l 的方程．解 (1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，2b ＝2，c 2＝a 2－b 2，解得a 2＝4，b 2＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知直线的斜率不为0， 则设直线的方程为x ＝my ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，整理得(m 2＋4)y 2＋2my －3＝0，Δ＝(2m )2－4(m 2＋4)×(－3)＝16m 2＋48>0，则y 1＋y 2＝－2mm 2＋4， y 1y 2＝－3m 2＋4，故|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m m 2＋42＋12m 2＋4 ＝4m 2＋3m 2＋4，因为△ABO 的面积为35，所以12|OP ||y 1－y 2|＝12×1×4m 2＋3m 2＋4＝2m 2＋3m 2＋4＝35，设t ＝m 2＋3≥3， 则2t t 2＋1＝35， 整理得(3t －1)(t －3)＝0，解得t ＝3或t ＝13(舍去)，即m ＝± 6.故直线的方程为x ＝±6y ＋1，即x ±6y －1＝0. 教师备选(2020·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点为A (0，－3)，右焦点为F ，且|OA |＝|OF |，其中O 为原点． (1)求椭圆的方程；(2)已知点C 满足3OC →＝OF →，点B 在椭圆上(B 异于椭圆的顶点)，直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 解 (1)由已知可得b ＝3，记半焦距为c ，由|OF |＝|OA |可得c ＝b ＝3， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝18， 所以椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.(2)因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ， 所以AB ⊥CP .依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在． 设直线AB 的方程为y ＝kx －3.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －3，x 218＋y29＝1，消去y 可得(2k 2＋1)x 2－12kx ＝0， 解得x ＝0或x ＝12k2k 2＋1.依题意，可得点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 2k 2＋1，6k 2－32k 2＋1. 因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0，－3)， 所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6k2k 2＋1，－32k 2＋1.由3OC →＝OF →，得点C 的坐标为(1,0)， 故直线CP 的斜率为－32k 2＋1－06k 2k 2＋1－1＝32k 2－6k ＋1.又因为AB ⊥CP ，所以k ·32k 2－6k ＋1＝－1，整理得2k 2－3k ＋1＝0，解得k ＝12或k ＝1.所以直线AB 的方程为y ＝12x －3或y ＝x －3，即x －2y －6＝0或x －y －3＝0.思维升华 (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y (或x )得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 跟踪训练3 已知椭圆C 的两个焦点分别为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，短轴的两个端点分别为B 1，B 2.(1)若△F 1B 1B 2为等边三角形，求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的短轴长为2，过点F 2的直线l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点，且F 1P －→⊥F 1Q －→，求直线l 的方程．解 (1)由题意知，△F 1B 1B 2为等边三角形， 所以c ＝3b ，又c ＝1， 所以b ＝33， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝43，故椭圆C 的方程为3x 24＋3y 2＝1.(2)易知椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1，当直线l 的斜率不存在时，其方程为x ＝1，不符合题意； 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 22＋y 2＝1，得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－12k 2＋1， F 1P －→＝(x 1＋1，y 1)， F 1Q －→＝(x 2＋1，y 2)， 因为F 1P －→⊥F 1Q －→， 所以F 1P －→·F 1Q －→＝0， 即(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(k 2＋1)x 1x 2－(k 2－1)(x 1＋x 2)＋k 2＋1 ＝7k 2－12k 2＋1＝0， 解得k 2＝17，即k ＝±77，故直线l 的方程为x ＋7y －1＝0或x －7y －1＝0.课时精练1．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(1，3)∪(3，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(0，3)∪(3，＋∞)答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1，得(m ＋3)x 2＋4mx ＋m ＝0. 由Δ>0且m ≠3及m >0， 得m >1且m ≠3.2．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，过M 的右焦点F (3,0)作直线交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(2,1)，则椭圆M 的方程为( )A.x 29＋y 26＝1B.x 24＋y 2＝1 C.x 212＋y 23＝1 D.x 218＋y 29＝1 答案 D解析 直线AB 的斜率k ＝1－02－3＝－1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程可得x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1， 两式相减，整理得2a 2－1b2＝0，又c ＝3，a 2＝b 2＋c 2. 联立解得a 2＝18，b 2＝9. 所以椭圆M 的方程为x 218＋y 29＝1.3．(多选)已知椭圆x 22＋y 2＝1与直线y ＝x ＋m 交于A ，B 两点，且|AB |＝423，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2 答案 AB解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝x ＋m消去y 并整理，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0.Δ＝16m 2－12(2m 2－2)＝－8m 2＋24>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23.由题意， 得|AB |＝2x 1＋x 22－8x 1x 2＝423， 解得m ＝±1，满足题意．4．已知直线y ＝kx ＋1，当k 变化时，此直线被椭圆x 24＋y 2＝1截得的最大弦长是( )A ．2 B.433C ．4D ．不能确定答案 B解析 直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x ，y )，则弦长为x 2＋y －12＝4－4y 2＋y 2－2y ＋1＝－3y 2－2y ＋5＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋132＋163， 所以当y ＝－13时，弦长最大为433.5．(多选)设椭圆的方程为x 22＋y 24＝1，斜率为k 的直线不经过原点O ，而且与椭圆相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点．下列结论正确的是( )A ．直线AB 与OM 垂直B ．若点M 坐标为(1,1)，则直线方程为2x ＋y －3＝0C ．若直线方程为y ＝x ＋1，则点M 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43D ．若直线方程为y ＝x ＋2，则|AB |＝423答案 BD解析 对于A 项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质k AB ·k OM ＝－42＝－2≠－1，所以A 项不正确；对于B 项，根据k AB ·k OM ＝－2，所以k AB ＝－2，所以直线方程为y －1＝－2(x －1)，即2x ＋y －3＝0，所以B 项正确； 对于C 项，若直线方程为y ＝x ＋1，点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43， 则k AB ·k OM ＝1×4＝4≠－2，所以C 项不正确； 对于D 项，若直线方程为y ＝x ＋2， 与椭圆方程x 22＋y 24＝1联立，得到2x 2＋(x ＋2)2－4＝0， 整理得3x 2＋4x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－43，所以|AB |＝1＋12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－43－0＝423， 所以D 项正确．6．(多选)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右两焦点分别是F 1，F 2，其中|F 1F 2|＝2c .直线l ：y ＝k (x ＋c )(k ∈R )与椭圆交于A ，B 两点，则下列说法中正确的有( ) A ．△ABF 2的周长为4aB ．若AB 的中点为M ，则k OM ·k ＝b 2a2C ．若AF 1－→·AF 2－→＝3c 2，则椭圆的离心率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，12D ．若|AB |的最小值为3c ，则椭圆的离心率e ＝13答案 AC解析 由直线l ：y ＝k (x ＋c )过点(－c ，0)，知弦AB 过椭圆的左焦点F 1. 所以△ABF 2的周长为|AB |＋|AF 2|＋|BF 2| ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， 所以A 正确；设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，k OM ＝y 1＋y 2x 1＋x 2，k ＝y 1－y 2x 1－x 2，所以k OM ·k ＝y 1＋y 2x 1＋x 2·y 1－y 2x 1－x 2＝y 21－y 22x 21－x 22，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得x 21－x 22a 2＋y 21－y 22b 2＝0，所以y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a 2，则k OM ·k ＝y 21－y 22x 21－x 22＝－b 2a2，所以B 错误；AF 1－→＝(－c －x 1，－y 1)，AF 2－→＝(c －x 1，－y 1)， 所以AF 1－→·AF 2－→＝x 21－c 2＋y 21＝c 2a2x 21＋a 2－2c 2∈[a 2－2c 2，a 2－c 2]， 则a 2－2c 2≤3c 2≤a 2－c 2， 可得e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，12，所以C 正确；由过焦点的弦中通径最短，则|AB |的最小值为通径2b 2a ，则有2b2a＝3c ，即2a 2－3ac －2c 2＝0，解得a ＝2c ，所以e ＝c a ＝12，所以D 错误．7．已知直线l ：y ＝k (x －1)与椭圆C ：x 24＋y 2＝1交于不同的两点A ，B ，AB 中点的横坐标为12，则k ＝________. 答案 ±12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0， 因为直线l 过椭圆内的定点(1,0)， 所以Δ>0，x 1＋x 2＝8k24k 2＋1，所以x 1＋x 22＝4k 24k 2＋1＝12， 即k 2＝14，所以k ＝±12.8．与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点且与直线l ：x －y ＋3＝0相切的椭圆的离心率为________． 答案55解析 因为所求椭圆与椭圆x 22＋y 2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－1＝1(a ＞1)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 2a 2－1＝1，y ＝x ＋3⇒(2a 2－1)x 2＋6a 2x ＋10a 2－a 4＝0，因为直线l 与椭圆相切，所以Δ＝36a 4－4(2a 2－1)(10a 2－a 4)＝0， 化简得a 4－6a 2＋5＝0， 即a 2＝5或a 2＝1(舍)． 则a ＝ 5.又c ＝1，所以e ＝ca＝15＝55. 9．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，椭圆M 的离心率为12，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (1)求椭圆M 的方程；(2)若过点N (1,1)的直线与该椭圆M 交于P ，Q 两点，且线段PQ 的中点恰为点N ，求直线PQ 的方程．解 (1)∵e ＝ca＝1－b 2a 2＝12，则3a 2＝4b 2，将⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32代入椭圆方程得 1a 2＋94b2＝1， 解得a ＝2，b ＝3， ∴椭圆M 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设P (x P ，y P )，Q (x Q ，y Q )， ∵线段PQ 的中点恰为点N ， ∴x P ＋x Q ＝2，y P ＋y Q ＝2.∵x 2P 4＋y 2P 3＝1，x 2Q 4＋y 2Q3＝1，两式相减可得 14(x P ＋x Q )(x P －x Q )＋13(y P ＋y Q )(y P －y Q )＝0， ∴y P －y Q x P －x Q ＝－34， 即直线PQ 的斜率为－34，∴直线PQ 的方程为y －1＝－34(x －1)，即3x ＋4y －7＝0.10．设中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆E 过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率为32.F 为E 的右焦点，P 为E 上一点，PF ⊥x 轴，⊙F 的半径为PF .(1)求椭圆E 和⊙F 的方程；(2)若直线l ：y ＝k (x －3)(k >0)与⊙F 交于A ，B 两点，与E 交于C ，D 两点，其中A ，C 在第一象限，是否存在k 使|AC |＝|BD |？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由题设知1a 2＋34b 2＝1，a 2－b 2a ＝32.解得a ＝2，b ＝1，故椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.因此F (3，0)，|PF |＝12，即⊙F 的半径为12.所以⊙F 的方程为(x －3)2＋y 2＝14.(2)由题设可知，A 在E 外，B 在E 内，C 在⊙F 内，D 在⊙F 外，在l 上的四点A ，B ，C ，D 满足|AC |＝|AB |－|BC |，|BD |＝|CD |－|BC |.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，将l 的方程代入E 的方程得(1＋4k 2)x 2－83k 2x ＋12k 2－4＝0， 则x 1＋x 2＝83k24k 2＋1，x 1x 2＝12k 2－44k 2＋1，|CD |＝1＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2＝4k 2＋44k 2＋1＝1＋34k 2＋1＞1， 又⊙F 的直径|AB |＝1，所以|BD |－|AC |＝|CD |－|AB |＝|CD |－1>0， 故不存在正数k 使|AC |＝|BD |.11．(2022·临沂模拟)过椭圆内定点M 且长度为整数的弦，称作该椭圆过点M 的“好弦”．在椭圆x 264＋y 216＝1中，过点M (43，0)的所有“好弦”的长度之和为( ) A ．120 B ．130 C ．240 D ．260答案 C解析 由已知可得a ＝8，b ＝4， 所以c ＝43，故M 为椭圆的右焦点，由椭圆的性质可得当过焦点的弦垂直x 轴时弦长最短， 所以当x ＝43时，最短的弦长为2b 2a ＝2×168＝4，当弦与x 轴重合时，弦长最长为2a ＝16， 则弦长的取值范围为[4,16]，故弦长为整数的弦有4到16的所有整数，则“好弦”的长度和为4＋16＋(5＋6＋7＋…＋15)×2＝240.12．(2022·江南十校模拟)已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a >1)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与椭圆交于M ，N 两点，若△MNF 2的周长为8，则△MF 1F 2面积的最大值为( )A.32B. 3 C ．2 3 D ．3答案 B解析 由椭圆的定义可得△MNF 2的周长为 |MN |＋|MF 2|＋|NF 2|＝|MF 1|＋|NF 1|＋|MF 2|＋|NF 2|＝4a ＝8， ∴a ＝2，则c ＝3，则△MF 1F 2面积的最大值为12·2c ·b ＝bc ＝ 3.13．(2022·兰州质检)已知P (2，－2)是离心率为12的椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a >b >0)外一点，经过点P 的光线被y 轴反射后，所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切，则此条切线的斜率是( ) A ．－18B ．－12C ．1 D.18答案 D解析 由题意可知e ＝c a ＝12，又a 2＝b 2＋c 2，故b 2＝34a 2，设过点P 的直线斜率为k ， 则直线方程为y ＋2＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k －2，则反射后的切线方程为y ＝－kx －2k －2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－kx －2k －2，x 2a 2＋y2b2＝1，得(3＋4k 2)x 2＋16k (k ＋1)x ＋16k 2＋32k ＋16－3a 2＝0， ∵所有反射光线所在直线中只有一条与椭圆相切， ∴Δ＝[16k (k ＋1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2＋32k ＋16－3a 2)＝0， 化简得4a 2k 2＋3a 2＝16k 2＋32k ＋16，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝16，3a 2＝32k ＋16，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝4，k ＝－18.∴此切线的斜率为18. 14．(多选)已知O 为坐标原点，椭圆T ：x 24＋y 23＝1的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆T 于A ，B 两点，则下列结论正确的是( )A ．|AB |的最小值为32B ．若M (异于点F )为线段AB 的中点，则直线AB 与OM 的斜率之积为－34C ．若AF →＝－2BF →，则直线AB 的斜率为±52D ．△AOB 面积的最大值为3答案 BC解析 对于A ，易知当直线AB 垂直于x 轴时，|AB |取得最小值，由椭圆T 的方程知F (1,0)，当x ＝1时，y ＝±32， 所以|AB |的最小值为3，故A 错误；对于B ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，x 1≠x 2，x 0≠0，因为M 为线段AB 的中点，所以x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22，又点A ，B 在椭圆T 上，所以x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1， 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－34·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－34·x 0y 0， 所以y 1－y 2x 1－x 2·y 0x 0＝－34， 即直线AB 与OM 的斜率之积为－34，故B 正确； 对于C ，易知直线AB 的斜率存在且不为零，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1，代入椭圆T 的方程得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0，则y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4， 因为AF →＝－2BF →，所以y 1＝－2y 2，所以y 1＋y 2＝－y 2＝－6m 3m 2＋4， 则y 2＝6m 3m 2＋4，y 1＝－12m 3m 2＋4， 所以y 1y 2＝6m 3m 2＋4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12m 3m 2＋4＝－93m 2＋4， 解得m ＝±255， 所以直线AB 的斜率为±52，故C 正确； 对于D ，△AOB 的面积 S ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12|y 1－y 2|＝12y 1＋y 22－4y 1y 2＝6m 2＋13m 2＋4， 令m 2＋1＝t ，则t ≥1，S ＝6t 3t 2＋1＝63t ＋1t， 因为函数y ＝3t ＋1t在t ∈[1，＋∞)上单调递增，所以当t ＝1，即m ＝0时，△AOB 的面积取得最大值，且最大值为32，故D 错误．15．(多选)已知F 1，F 2是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M ，N 是左、右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点F 2的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若AF 1―→·BF 1―→＝0,3AF 2―→＝2F 2B ―→，|AF 1|＝2|AF 2|，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为k 1，k 2，直线BM 和直线BN 的斜率分别为k 3，k 4，则下列结论一定正确的是( )A ．e ＝55B ．k ＝±12C ．k 1·k 2＝－45D ．k 3·k 4＝45解析 ∵AF 1―→·BF 1―→＝0，∴AF 1⊥BF 1，过点F 2作F 1B 的平行线，交AF 1于点E ，∴AF 1⊥EF 2.设|F 2A |＝2t ，|F 1A |＝4t ，又3AF 2－→＝2F 2B －→，∴|AB |＝5t ，∵AF 1⊥BF 1，∴|F 1B |＝3t ，∴12t ＝4a ，∴a ＝3t .∴|BF 1|＝|BF 2|＝3t ＝a ，∴B (0，±b )．在△EF 1F 2中，|EF 1|＝35|AF 1|＝12t 5，|EF 2|＝25|BF 1|＝6t 5，|F 1F 2|＝2c ，∵|EF 1|2＋|EF 2|2＝|F 1F 2|2，∴c ＝3t 5，b ＝a 2－c 2＝6t5，椭圆离心率e ＝c a ＝55，故A 正确；k ＝±bc ＝±2，故B 错误；设A (x ，y )，易得M (－a ，0)，N (a ，0)，则k 1·k 2＝yx ＋a ·yx －a ＝y 2x 2－a 2＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x2a 2x 2－a 2＝－b 2a 2＝－45，故C 正确；同理k 3·k 4＝－b 2a 2＝－45，16．已知直线l 经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点(1,0)，交椭圆C 于点A ，B ，点F 为椭圆C 的左焦点，△ABF 的周长为8.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线m 与直线l 的倾斜角互补，且交椭圆C 于点M ，N ，|MN |2＝4|AB |，求证：直线m 与直线l 的交点P 在定直线上．(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，4a ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝1，a ＝2，∴b 2＝3，∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)证明 若直线l 的斜率不存在，则直线m 的斜率也不存在，这与直线m 与直线l 相交于点P 矛盾，∴直线l 的斜率存在．设l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)，m ：y ＝－k (x ＋t )，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，M (x M ，y M )，N (x N ，y N )． 将直线m 的方程代入椭圆方程得，(3＋4k 2)x 2＋8k 2tx ＋4(k 2t 2－3)＝0，∴x M ＋x N ＝－8k 2t 3＋4k2， x M x N ＝4k 2t 2－33＋4k 2， ∴|MN |2＝(1＋k 2)·1612k 2－3k 2t 2＋93＋4k 22. 同理，|AB |＝1＋k 2·49k 2＋93＋4k2 ＝121＋k 23＋4k2. 由|MN |2＝4|AB |得t ＝0，此时，Δ＝64k 4t 2－16(3＋4k 2)(k 2t 2－3)＞0，∴直线m ：y ＝－kx ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12k ，即点P 在定直线x ＝12上．。
2021-2022年高考数学总复习专题08直线与圆圆锥曲线分项练习含解析理
2021年高考数学总复习专题08直线与圆圆锥曲线分项练习含解析理一．基础题组1.【xx天津，理5】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐进线的斜率为A、 B、 C、 D、【答案】C本题答案选C2.【xx天津，理2】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，那么它的两条准线间的距离是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如果双曲线的两个焦点分别为、，一条渐近线方程为，∴2292a bba⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得，所以它的两条准线间的距离是，选C.3.【xx天津，理14】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则____________．【答案】0【解析】设直线与圆相交于、两点，且弦的长为，则圆心(1，2)到直线的距离等于1，，0．4.【xx天津，理4】设双曲线的离心率为且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为( )A. B. C. D.【答案】D【解析】由可得故选D5.【xx天津，理14】已知两圆和相交于两点，则直线的方程是.【答案】【解析】两圆方程作差得6.【xx天津，理5】设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为(A) 6 (B) 2 (C) (D)【答案】B7.【xx天津，理13】已知圆C的圆心与抛物线的焦点关于直线对称.直线与圆C相交于两点，且,则圆C的方程为 .【答案】【解析】抛物线的焦点为，所以圆心坐标为，，圆C的方程为.8.【xx天津，理9】设抛物线y2＝2x的焦点为F,过点M(,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于点C,|BF|＝2,则△BCF与△ACF的面积之比（）A. B. C. D.【答案】AS△BCF∶S△ACF＝BC∶AC.9.【xx天津，理14】若圆x2+y2＝4与圆x2+y2+2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为,则a＝_____. 【答案】1【解析】依题,画出两圆位置如右图,公共弦为AB,交y轴于点C,连结OA,则|OA|＝2.两圆方程相减,得2ay＝2,解得,∴.又公共弦长为,∴|AC|＝.于是,由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2,即,整理得a2＝1,又a＞0,∴a＝1.10.【xx天津，理5】已知双曲线 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为( )A. B.C. D.【答案】B【解析】∵双曲线 (a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±，∴. ①∵抛物线y2＝24x的准线方程为x＝－6，∴－c＝－6. ②又c2＝a2＋b2. ③由①②③得a＝3，b＝3.∴a2＝9，b2＝27.∴双曲线方程为.11.【xx 天津，理13】已知圆C 的圆心是直线 (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切．则圆C 的方程为__________． 【答案】(x ＋1)2＋y2＝212.【xx 天津，理8】设m ，n ∈R ，若直线(m ＋1)x ＋(n ＋1)y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1相切，则m ＋n 的取值范围是( )A ．，］B ．(－∞，］∪，＋∞)C ．，］D ．(－∞，］∪，＋∞) 【答案】D【解析】 直线与圆相切，∴，∴22||(1)(1)m n m n +=+++，即：mn ＝m ＋n ＋1， 设m ＋n ＝t ，则，∴t＋1≤，∴t2－4t －4≥0，解得：或．13.【xx 天津，理5】已知双曲线(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为，则p ＝( )．A ．1B ．C ．2D ．3 【答案】C14.【xx 天津，理5】已知双曲线的一条渐近线平行于直线：，双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为 （ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】A ． 【解析】试题分析：由已知得在方程中令，得2222225,5,525,5,20,x c c a b a a b =-∴=-∴=+====∴所求双曲线的方程为，故选A ．考点：1．双曲线的几何性质；2．双曲线方程的求法．15. 【xx 高考天津，理6】已知双曲线 的一条渐近线过点 ，且双曲线的一个焦点在抛物线 的准线上，则双曲线的方程为( ) （A ） （B ）（C ）（D ） 【答案】D【考点定位】双曲线、抛物线的定义、标准方程及几何性质.16. 【xx 高考天津理数】已知双曲线（b >0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的 圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为 （A ）（B ）（C ）（D ）【答案】D 【解析】试题分析：根据对称性，不妨设在第一象限，则222244224x x y b bb y x y b ⎧=⎧+=⎪+⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪+⎩， ∴221612422b bxy b b =⋅=⇒=+，故双曲线的方程为，故选D. 【考点】双曲线的渐近线【名师点睛】求双曲线的标准方程时注意：(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a ，b 的值，常用待定系数法．(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)．②若已知渐近线方程为mx ＋ny ＝0，则双曲线方程可设为m 2x 2－n 2y 2＝λ(λ≠0)． 17.【xx 高考天津理数】设抛物线 （t 为参数，p ＞0）的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C （p ,0），AF 与BC 相交于点E .若|CF |=2|AF |，且△ACE 的面积为，则p的值为_________. 【答案】 【解析】【考点】抛物线定义【名师点睛】1．凡涉及抛物线上的点到焦点的距离时，一般运用定义转化为到准线的距离进行处理．2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p2；若过焦点的弦AB 的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．18.【xx 天津，理5】已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（A ） （B ） （C ）（D ）【答案】B【解析】由题意得2240,14,2210()88x y a b c a b c -==⇒===⇒-=--，故选B ． 【考点】双曲线的标准方程【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线的方程是高考的常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于的方程（组），解方程（组）求出的值．另外要注意巧设双曲线方程的技巧：①双曲线过两点可设为，②与共渐近线的双曲线可设为，③等轴双曲线可设为． 二．能力题组1.【xx 天津，理21】抛物线C 的方程为，过抛物线C 上一点 ()作斜率为的两条直线分别交抛物线C 于，两点（P 、A 、B 三点互不相同），且满足（≠0且）。
高三 复习 平面几何 (直线与圆、椭圆、双曲线、圆锥曲线综合) (9份)提高版习题+答案
课时跟踪练(1)A组基础巩固1．倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是() A．x－y＋1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0解析：直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x －1，即x＋y＋1＝0.答案：D2．直线l：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是()A.33 B. 3C．－ 3 D．－3 3解析：设直线l的斜率为k，则k＝－sin 30°cos 150°＝33.答案：A3．(2019·北京海淀区模拟)过点(2，1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小π4的直线方程是()A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2解析：因为直线y＝－x－1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，所以斜率不存在，所以过点(2，1)的直线方程为x＝2.4．(2019·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y ＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是()解析：当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.选项B符合．答案：B5.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2解析：直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故选D.答案：D6．(2019·郑州一模)已知直线l的斜率为3，在y轴上的截距为另一条直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为() A．y＝3x＋2 B．y＝3x－2C．y＝3x＋12D．y＝－3x＋2解析：因为直线x－2y－4＝0的斜率为12，所以直线l在y轴上的截距为2，所以直线l的方程为y＝3x＋2.故选A.7．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )A ．a ＋b ＝1B ．a －b ＝1C ．a ＋b ＝0D ．a －b ＝0解析：由sin α＋cos α＝0，得sin αcos α＝－1，即tan α＝－1. 又因为tan α＝－a b ，所以－a b＝－1，则a ＝b ，即a －b ＝0. 答案：D8．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2，0)∪(0，2]D ．(－∞，＋∞)解析：令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2×|－b |＝14b 2，所以14b 2≤1，所以b 2≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2，0)∪(0，2]．答案：C9．不论实数m 为何值，直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点________．解析：直线mx －y ＋2m ＋1＝0可化为m (x ＋2)＋(－y ＋1)＝0，因为m ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，－y ＋1＝0，所以x ＝－2，y ＝1， 所以直线mx －y ＋2m ＋1＝0恒过定点(－2，1)．答案：(－2，1)10．已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________．解析：BC 边的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，所以BC 边上中线所在的直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝011．设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值，所以b 的取值范围是[－2，2]．答案：[－2，2]12．若直线l 经过点A (1，2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________．解析：设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，在x 轴上的截距为1－2k .令－3<1－2k <3，解得k <－1或k >12. 答案：(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ B 组 素养提升13．已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4 解析：点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫33a ＋1>0，解得－3<a <－1，即直线l 的斜率的范围为(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，3π4.故选D. 答案：D14．(2019·广州一模)已知动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c＞0)恒过点P (1，m )，且Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，则12a＋2c的最小值为( ) A.92B.94 C ．1 D ．9解析：动直线l 0：ax ＋by ＋c －2＝0(a ＞0，c ＞0)恒过点P (1，m )，所以a ＋bm ＋c －2＝0.又Q (4，0)到动直线l 0的最大距离为3，所以（4－1）2＋（0－m ）2＝3，解得m ＝0.所以a ＋c ＝2.又a ＞0，c ＞0，所以12a ＋2c ＝12(a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2c ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋c 2a ＋2a c ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋2c 2a ·2a c ＝94，当且仅当c ＝2a ＝43时取等号，故选B. 答案：B15．已知A (3，0)，B (0，4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________．解析：直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1. 因为动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－34y ， 所以xy ＝3y －34y 2＝－34(y 2－4y )＝－34(y －2)2＋3≤3， 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 答案：316．(2019·新余一中模拟)在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(x ，y )为整点，下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号)．①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点； ②若k 与b 都是无理数，则直线y ＝kx ＋b 不经过任何整点； ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点； ④直线y ＝kx ＋b 经过无穷多个整点的充要条件是k 与b 都是有理数；⑤存在恰经过一个整点的直线．解析：对于①，比如直线y ＝2x ＋3，当x 取整数时，y 始终是一个无理数，即直线y ＝2x ＋3既不与坐标轴平行又不经过任何整点，①正确；对于②，直线y ＝2x －2中k 与b 都是无理数，但直线经过整点(1，0)，②错误；对于③，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点，③正确；对于④，当k ＝0，b ＝12时，直线y ＝12不经过任何整点，④错误；对于⑤，比如直线y ＝2x －2只经过一个整点(1，0)，⑤正确．故答案为①③⑤.答案：①③⑤课时跟踪练(2)A 组 基础巩固1．直线2x ＋y ＋m ＝0和x ＋2y ＋n ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．不能确定解析：直线2x ＋y ＋m ＝0的斜率k 1＝－2，直线x ＋2y ＋n ＝0的斜率为k 2＝－12，则k 1≠k 2，且k 1k 2≠－1.故选C. 答案：C2．已知点A (1，－2)，B (m ，2)且线段AB 的垂直平分线的方程是x ＋2y －2＝0，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1解析：因为线段AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，0在直线x ＋2y －2＝0上，代入解得m ＝3.答案：C3．已知直线l 1：mx ＋y －1＝0与直线l 2：(m －2)x ＋my －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件 解析：由l 1⊥l 2，得m (m －2)＋m ＝0，解得m ＝0或m ＝1，所以“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．若直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，则直线l 2恒过定点( )A ．(0，4)B ．(0，2)C ．(－2，4)D ．(4，－2)解析：由于直线l 1：y ＝k (x －4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)，又由于直线l 1：y ＝k (x －4)与直线l 2关于点(2，1)对称，所以直线l 2恒过定点(0，2)．答案：B5．直线2x －y ＋3＝0关于直线x －y ＋2＝0对称的直线方程是( )A ．x －2y ＋3＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：设所求直线上任意一点P (x ，y )，P 关于x －y ＋2＝0的对称点为P ′(x 0，y 0)，由⎩⎨⎧x ＋x 02－y ＋y 02＋2＝0，x －x 0＝－（y －y 0），得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝y －2，y 0＝x ＋2， 由点P ′(x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上，所以2(y －2)－(x ＋2)＋3＝0，即x －2y ＋3＝0.答案：A6．若直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，则m ＝( )A ．7B.172 C ．14 D ．17解析：直线l 1：x ＋3y ＋m ＝0(m ＞0)，即2x ＋6y ＋2m ＝0，因为它与直线l 2：2x ＋6y －3＝0的距离为10，所以|2m ＋3|4＋36＝10，求得m ＝172，故选B. 答案：B7．(2019·浙江嘉兴一中月考)若点P 在直线l ：x －y －1＝0上运动，且A (4，1)，B (2，0)，则|PA |＋|PB |的最小值是( )A. 5B. 6 C ．3 D ．4解析：设A (4，1)关于直线x －y －1＝0的对称点为A ′(2，3)，所以|PA |＋|PB |＝|PA ′|＋|PB |，当P ，A ′，B 三点共线时，|PA |＋|PB |取得最小值|A ′B |＝（2－2）2＋（3－0）2＝3.答案：C8．(2019·安阳一模)两条平行线l 1，l 2分别过点P (－1，2)，Q (2，－3)，它们分别绕P ，Q 旋转，但始终保持平行，则l 1，l 2之间距离的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(0，5]C ．(34，＋∞)D ．(0，34 ]解析：当PQ 与平行线l 1，l 2垂直时，|PQ |为平行线l 1，l 2间的距离的最大值，为（－1－2）2＋[2－（－3）]2＝34，所以l 1，l 2之间距离的取值范围是(0，34 ]．故选D. 答案：D9．已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．解析：由题意知63＝m 4≠14－3，所以m ＝8，所以直线6x ＋my ＋14＝0可化为3x ＋4y ＋7＝0，所以两平行线之间的距离d ＝|－3－7|32＋42＝2.答案：210．已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)，则点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标为________．解析：设A ′(x ，y )，由已知得⎩⎨⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3313，y ＝413，故A ′⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－3313，413 11．(2019·唐山模拟)若直线l 与直线2x －y －2＝0关于直线x ＋y －4＝0对称，则l 的方程是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，x ＋y －4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2，即两直线的交点坐标为(2，2)，在直线2x －y －2＝0上取一点A (1，0)，设点A 关于直线x ＋y －4＝0的对称点的坐标为(a ，b )．则⎩⎨⎧b a －1＝1，a ＋12＋b 2－4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －b －1＝0，a ＋b －7＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3， 即对称点的坐标为(4，3)，则l 的方程为y －23－2＝x －24－2， 整理得x －2y ＋2＝0.答案：x －2y ＋2＝012．l 1，l 2是分别经过点A (1，1)，B (0，－1)的两条平行直线，当l 1与l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．解析：当AB ⊥l 1时，两直线l 1与l 2间的距离最大，由k AB ＝－1－10－1＝2，知l 1的斜率k ＝－12. 所以直线l 1的方程为y －1＝－12(x －1)， 即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝0B 组 素养提升13．(2019·临汾模拟)设直线l 1：x －2y ＋1＝0与直线l 2：mx ＋y ＋3＝0的交点为A ；P ，Q 分别为l 1，l 2上的点，点M 为PQ 的中点，若AM ＝12PQ ，则m 的值为( ) A ．2B ．－2C ．3D ．－3 解析：在△APQ 中，M 为PQ 的中点，且AM ＝12PQ ，所以△APQ 为直角三角形，且∠PAQ ＝90°，所以l 1⊥l 2，所以1×m ＋(－2)×1＝0，解得m ＝2.故选A.答案：A14．(2019·广州综合测试)已知三条直线2x －3y ＋1＝0，4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23 解析：设l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x ＋3y ＋5＝0，l 3：mx －y －1＝0，易知l 1与l 2交于点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－13，l 3过定点B (0，－1)．因为l 1，l 2，l 3不能构成三角形，所以l 1∥l 3或l 2∥l 3或l 3过点A .当l 1∥l 3时，m ＝23，当l 2∥l 3时，m ＝－43；当l 3过点A 时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选D. 答案：D15．以点A (4，1)，B (1，5)，C (－3，2)，D (0，－2)为顶点的四边形ABCD 的面积为________．解析：因为k AB ＝5－11－4＝－43， k DC ＝2－（－2）－3－0＝－43. k AD ＝－2－10－4＝34，k BC ＝2－5－3－1＝34. 则k AB ＝k DC ，k AD ＝k BC ，所以四边形ABCD 为平行四边形．又k AD·k AB＝－1，即AD⊥AB，故四边形ABCD为矩形．故S＝|AB|·|AD|＝（1－4）2＋（5－1）2×（0－4）2＋（－2－1）2＝25.答案：2516．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．解析：易知A(0，0)，B(1，3)且两直线互相垂直，即△APB为直角三角形，所以|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝|AB|22＝102＝5.当且仅当|PA|＝|PB|时，等号成立．答案：5课时跟踪练(3)A组基础巩固1．(2019·合肥模拟)已知圆C：(x－6)2＋(y－8)2＝4，O为坐标原点，则以OC为直径的圆的方程为()A．(x－3)2＋(y＋4)2＝100B．(x＋3)2＋(y－4)2＝100C．(x－3)2＋(y－4)2＝25D．(x＋3)2＋(y－4)2＝25解析：圆C的圆心的坐标C(6，8)，则OC的中点坐标为E(3，4)，则所求圆的半径|OE |＝32＋42＝5，则以OC 为直径的圆的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.故选C.答案：C2．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0 C ．(－2，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 解析：方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 22＋(y ＋a )2＝1－a －3a 24表示圆，则1－a －3a 24>0，解得－2<a <23. 答案：D3．(2019·东莞模拟)平面内动点P 到两点A 、B 距离之比为常数λ(λ＞0，且λ≠1)，则动点P 的轨迹叫做阿波罗尼斯圆，若已知A (－2，0)，B (2，0)，λ＝12，则此阿波罗尼斯圆的方程为( ) A ．x 2＋y 2－12x ＋4＝0B ．x 2＋y 2＋12x ＋4＝0C ．x 2＋y 2－203x ＋4＝0D ．x 2＋y 2＋203x ＋4＝0 解析：由题意，设P (x ，y )，则（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y2＝12， 化简可得x 2＋y 2＋203x ＋4＝0，故选D.答案：D4．(2019·珠海四校联考)已知圆C 与直线x －y ＝0及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的标准方程为( )A ．(x ＋1)2＋(y －1)2＝2B ．(x －1)2＋(y ＋1)2＝2C ．(x －1)2＋(y －1)2＝2D ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2解析：设圆心坐标为(a ，－a )，则 |a －（－a ）|2＝|a －（－a ）－4|2，即 |a |＝|a －2|，解得a ＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r ＝22＝ 2. 故圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故选B.答案：B5．已知M (2，1)，P 为圆C ：x 2＋y 2＋2y －3＝0上的动点，则|PM |的取值范围为( )A ．[1，3]B ．[22－2，22＋2]C ．[22－1，22＋1]D ．[2，4]解析：依题意设P (x ，y )，化圆C 的一般方程为标准方程得x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为C (0，－1)，因为|MC |＝4＋4＝22＞2，所以点M (2，1)在圆外，所以22－2≤|PM |≤22＋2，故|PM |的取值范围为[22－2，22＋2]．答案：B6．圆心在直线x ＝2上的圆与y 轴交于两点A (0，－4)，B (0，－2)，则该圆的标准方程为________________．解析：由已知，得圆心的纵坐标为－4＋（－2）2＝－3，所以圆心为(2，－3)，则半径r＝（2－0）2＋[（－3）－（－2）]2＝5，故所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝57．已知点M(1，0)是圆C：x2＋y2－4x－2y＝0内的一点，那么过点M的最短弦所在直线的方程是________．解析：圆C：x2＋y2－4x－2y＝0的圆心为C(2，1)，则k CM＝1－02－1＝1，因为过点M的最短弦与CM垂直，所以最短弦所在直线的方程为y－0＝－1(x－1)，即x＋y－1＝0.答案：x＋y－1＝08．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析：直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.此时圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝29．[一题多解]求适合下列条件的圆的方程．(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；(2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．解：(1)法一 设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则有⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4a ，（3－a ）2＋（－2－b ）2＝r 2，|a ＋b －1|2＝r ， 解得a ＝1，b ＝－4，r ＝2 2.所以圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.法二 过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线为y ＋2＝x －3，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，所以所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8.(2)设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋144＋D ＋12E ＋F ＝0，49＋100＋7D ＋10E ＋F ＝0，81＋4－9D ＋2E ＋F ＝0，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－95.所以所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －95＝0.10．[一题多解](2019·衡水中学调研)已知直角三角形ABC 的斜边为AB ，且A (－1，0)，B (3，0)．求：(1)直角顶点C 的轨迹方程；(2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一 设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线，所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝y x －3，所以y x ＋1·y x －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝12|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3，0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝x0＋32，y＝y0＋02，所以x0＝2x－3，y0＝2y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1.因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．B组素养提升11．(2019·莆田模拟)已知圆O：x2＋y2＝1.若A、B是圆O上的不同两点，以AB为边作等边△ABC，则|OC|的最大值为()A.2＋62 B. 3C．2 D.3＋1解析：如图所示，连OA，OB和OC.因为OA＝OB，AC＝BC，OC＝OC，所以OAC≌△OBC，所以∠ACO＝∠BCO＝30°，在△OAC 中，由正弦定理得OA sin 30°＝OC sin ∠OAC， 所以OC ＝2sin ∠OAC ≤2，故|OC |的最大值为2，故选C.答案：C12．(2019·安庆模拟)自圆C ：(x －3)2＋(y ＋4)2＝4外一点P (x ，y )引该圆的一条切线，切点为Q ，PQ 的长度等于点P 到原点O 的距离，则点P 的轨迹方程为( )A ．8x －6y －21＝0B ．8x ＋6y －21＝0C ．6x ＋8y －21＝0D ．6x －8y －21＝0解析：由题意得，圆心C 的坐标为(3，－4)，半径r ＝2，如图．因为|PQ |＝|PO |，且PQ ⊥CQ ，所以|PO |2＋r 2＝|PC |2，所以x 2＋y 2＋4＝(x －3)2＋(y ＋4)2，即6x －8y －21＝0，所以点P 的轨迹方程为6x －8y －21＝0，故选D.答案：D13．已知平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋2y －4≤0，恰好被面积最小的圆C ：(x－a )2＋(y －b )2＝r 2及其内部所覆盖，则圆C 的方程为________________．解析：由题意知，此平面区域表示的是以O (0，0)，P (4，0)，Q (0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．因为△OPQ 为直角三角形，所以圆心为斜边PQ 的中点(2，1)，半径r ＝|PQ |2＝5， 因此圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.答案：(x －2)2＋(y －1)2＝514．已知圆C 过点P (1，1)，且与圆M ：(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝r 2(r >0)关于直线x ＋y ＋2＝0对称．(1)求圆C 的方程；(2)设Q 为圆C 上的一个动点，求PQ →·MQ →的最小值．解：(1)设圆心C (a ，b )，由已知得M (－2，－2)，则⎩⎨⎧a －22＋b －22＋2＝0，b ＋2a ＋2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，则圆C 的方程为x 2＋y 2＝r 2，将点P 的坐标代入得r 2＝2， 故圆C 的方程为x 2＋y 2＝2.(2)设Q (x ，y )，则x 2＋y 2＝2，PQ →·MQ →＝(x －1，y －1)·(x ＋2，y ＋2)＝x 2＋y 2＋x ＋y －4＝x ＋y －2.令x ＝2cos θ，y ＝2sin θ，所以PQ →·MQ →＝x ＋y －2 ＝2(sin θ＋cos θ)－2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－2， 所以PQ →·MQ →的最小值为－4.课时跟踪练(4)A 组 基础巩固1．已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2>1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b2<1，故直线与圆相交． 答案：B2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8解析：由x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0，得(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心坐标为(－1，1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离为|－1＋1＋2|2＝2， 所以22＋(2)2＝2－a ，解得a ＝－4.答案：B3．(2019·深圳调研)在平面直角坐标系中，直线y＝2x与圆O：x2＋y2＝1交于A，B两点，α，β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，则tan(α＋β)的值为()A．－2 2 B．－ 2 C．0 D．2 2解析：由题可知tan α＝tan β＝2，那么tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－22，故选A.答案：A4．(2019·湖北四地七校联考)若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是()A．3 B．4 C．2 3 D．8解析：连接O1A，O2A，由于⊙O1与⊙O2在点A处的切线互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，设AB交x轴于点C.在Rt△O1AO2中，sin ∠AO2O1＝55，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin ∠AO2O1＝25×55＝2，所以AB＝2AC＝4.故选B.答案：B5．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2，6] B．[4，8]C．[2，32] D．[22，32]解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x ＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2，0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为22，可得d max＝22＋r＝32，d min＝22－r＝ 2.由已知条件可得AB＝22，所以△ABP面积的最大值为1 2AB·d max＝6，△ABP面积的最小值为12AB·d min＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2，6]．故选A.答案：A6．已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A，B两点，则线段AB的中垂线方程为____________________ ____________．解析：因为圆C1的圆心C1(3，0)，圆C2的圆心C2(0，3)，所以直线C1C2的方程为x＋y－3＝0，AB的中垂线即直线C1C2，故其方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝07．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3，2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．解析：由x2－2x＋y2－2y＋1＝0，得(x－1)2＋(y－1)2＝1，则圆心为C(1，1)，|PC|＝（3－1）2＋（2－1）2＝ 5.设两切点分别为B，D，则|CD|＝1，所以sin ∠CPD＝55，则cos ∠DPB＝1－2 sin2∠CPD ＝1－25＝35，即两条切线夹角的余弦值为35. 答案：358．[一题多解](2016·全国卷Ⅲ)已知直线l ：x －3y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．则|CD |＝________．解析：法一 由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0，0)，半径r ＝2 3.所以圆心(0，0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝2 12－32＝2 3.过C 作CE ⊥BD 于E .如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.因为直线l 的方程为x －3y ＋6＝0，所以k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. 所以|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4. 法二 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12， 得y 2－33y ＋6＝0，解得y 1＝3，y 2＝23，所以A (－3，3)，B (0，23)．过A ，B 作l 的垂线方程分别为y －3＝－3(x ＋3)，y －23＝－3x ，令y ＝0，得x C ＝－2，x D ＝2，所以|CD |＝2－(－2)＝4.答案：49．已知两圆C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y ＋45＝0.(1)求证：圆C1和圆C2相交；(2)求圆C1和圆C2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．(1)证明：圆C1的圆心为C1(1，3)，半径r1＝11，圆C2的圆心为C2(5，6)，半径r2＝4，两圆圆心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝11＋4，|r1－r2|＝4－11，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圆C1和圆C2相交．(2)解：圆C1和圆C2的方程左、右两边分别相减，得4x＋3y－23＝0，所以两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0.圆心C2(5，6)到直线4x＋3y－23＝0的距离为|20＋18－23|16＋9＝3，故公共弦长为216－9＝27.10．已知点P(2＋1，2－2)，M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.(1)求过点P的圆C的切线方程；(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解：由题意得圆心为C(1，2)，半径r＝2.(1)因为(2＋1－1)2＋(2－2－2)2＝4，所以点P在圆C上．又k PC＝2－2－22＋1－1＝－1，所以切线的斜率k＝－1k PC＝1.所以过点P的圆C的切线方程是y－(2－2)＝x－(2＋1)，即x－y＋1－22＝0.(2)因为(3－1)2＋(1－2)2＝5＞4，所以点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，所以直线x －3＝0是圆的切线．当切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋1＝r ＝2， 解得k ＝34. 所以切线方程为y －1＝34(x －3)， 即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.因为|MC |＝（3－1）2＋（1－2）2＝5，所以过点M 的圆C 的切线长为|MC |2－r 2＝5－4＝1.B 组 素养提升11．(2019·兰州实战模拟)若直线l ：ax ＋by ＋1＝0(a ＞0，b ＞0)把圆(x ＋4)2＋(y ＋1)2＝16分成面积相等的两部分，则12a ＋2b的最小值为( )A ．10B ．8C ．5D ．4解析：由题意知圆心C (－4，－1)在直线l 上，所以－4a －b ＋1＝0，即4a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝(4a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋2b ＝4＋b 2a ＋8a b ≥4＋2b 2a ·8a b ＝8，当且仅当4a ＝b ，即a ＝18，b ＝12时，等号成立，故选B. 答案：B12．(2019·茂名模拟)若圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点到直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22，则直线l 的斜率的取值范围是( )A ．[2－3，1]B ．[2－3，2＋3] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3 D ．[0，＋∞)解析：圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝18，则圆心坐标为(2，2)，半径为3 2.由圆x 2＋y 2－4x －4y －10＝0上至少有三个不同点的直线l ：ax ＋by ＝0的距离为22可得，圆心到直线l ：ax ＋by ＝0的距离d ≤32－22＝2， 即|2a ＋2b |a 2＋b2≤2， 则a 2＋b 2＋4ab ≤0.①若a ＝0，则b ＝0，不符合题意，故a ≠0且b ≠0，则①可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b a ≤0， 由于直线l 的斜率k ＝－a b，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b a ≤0可化为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－4k ≤0， 解得k ∈[2－3，2＋3]，故选B.答案：B13．[一题多解](2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．解析：法一 设A (a ，2a )，a >0，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋52，a ， 所以圆C 的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋(y －a )2＝（a －5）24＋a 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋522＋（y －a ）2＝（a －5）24＋a 2，y ＝2x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x D ＝1，y D ＝2， 所以AB →·CD →＝(5－a ，－2a )·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －32，2－a ＝a 2－2a －152＋2a 2－4a ＝0，所以a ＝3或a ＝－1，又a >0，所以a ＝3，所以点A 的横坐标为3.法二 由题意易得∠BAD ＝45°.设直线DB 的倾斜角为θ，则tan θ＝－12， 所以tan ∠ABO ＝－tan(θ－45°)＝3，所以k AB ＝tan ∠ABO ＝－3.所以AB 的方程为y ＝－3(x －5)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－（3－5），y ＝2x ，得x A ＝3. 答案：314．已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧？若能，求出直线l 的方程；若不能，请说明理由．解：(1)将y ＝kx 代入圆C 的方程x 2＋(y －4)2＝4.得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.因为直线l 与圆C 交于M ，N 两点，所以Δ＝(－8k )2－4×12(1＋k 2)>0，得k 2>3.(*)所以k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)假设直线l 能将圆C 分割成弧长的比为13的两段弧， 则劣弧MN ︵所对的圆心角∠MCN ＝90°，由圆C ：x 2＋(y －4)2＝4知圆心C (0，4)，半径r ＝2.在Rt △MCN 中，可求弦心距d ＝r ·sin 45°＝2，故圆心C (0，4)到直线kx －y ＝0的距离|0－4|1＋k2＝2， 所以1＋k 2＝8，k ＝±7，经验证k ＝±7满足不等式(*)， 故l 的方程为y ＝±7x .因此，存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝±7x .课时跟踪练(5)A 组 基础巩固1．设F 1，F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上一点，M 是F 1P 的中点，|OM |＝3，则P 点到椭圆左焦点的距离为( )A ．4B ．3C ．2D ．5解析：由题意知，在△PF 1F 2中，|OM |＝12|PF 2|＝3，所以|PF 2|＝6，所以|PF 1|＝2a －|PF 2|＝10－6＝4.答案：A2．(2019·凉山州模拟)以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点，则该椭圆的离心率是( )A.13B.33C.34D.223解析：不妨令椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)． 因为以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的长轴的两个三等分点， 所以2b ＝2a 3，即a ＝3b ， 则c ＝a 2－b 2＝22b ，则该椭圆的离心率e ＝c a ＝223.故选D. 答案：D3．(2019·武汉模拟)曲线x 225＋y 29＝1与曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)的( )A ．长轴长相等B ．短轴长相等C ．离心率相等D ．焦距相等解析：曲线x 225＋y 29＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为10，短轴长为6，焦距为8，离心率为45.曲线x 225－k ＋y 29－k ＝1(k <9)表示焦点在x 轴上的椭圆，其长轴长为225－k ，短轴长为29－k ，焦距为8，离心率为425－k.对照选项，知D 正确．故选D.答案：D4．(2019·德阳模拟)设P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，F 1、F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，且△PF 1F 2的重心为点G ，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，那么△GPF 1的面积为( )A ．24B ．12C ．8D ．6解析：因为P 为椭圆C ：x 249＋y 224＝1上一点，|PF 1|∶|PF 2|＝3∶4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝14，所以|PF 1|＝6，|PF 2|＝8，又因为|F 1F 2|＝2c ＝249－24＝10，所以易知△PF 1F 2是直角三角形，S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝24，因为△PF 1F 2的重心为点G ，所以S △PF 1F 2＝3S △GPF 1， 所以△GPF 1的面积为8，故选C. 答案：C5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，若P为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意知，O (0，0)，F (－1，0)，设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，所以OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋y 2＋x .又因为x24＋y 23＝1，所以y 2＝3－34x 2， 所以OP →·FP →＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.因为－2≤x ≤2，所以当x ＝2时，OP →·FP →有最大值6. 答案：C6．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55，且过点P (－5，4)，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由离心率e ＝55可得a 2＝5c 2，所以b 2＝4c 2，故椭圆的方程为x 25c 2＋y 24c 2＝1，将P (－5，4)代入可得c 2＝9，故椭圆的方程为x 245＋y 236＝1.答案：x 245＋y 236＝17．如图，椭圆x 2a 2＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，若|PF 1|＝4，∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为________．解析：由题意知|F 1F 2|＝2a 2－2，因为|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 2|＝2a －4，在△F 1PF 2中，由余弦定理得cos 120°＝42＋（2a －4）2－（2a 2－2）22×4×（2a －4）＝－12，化简得8a ＝24，即a ＝3.答案：38．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是________．解析：满足MF →1·MF →2＝0的点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，若点M 总在椭圆内部，则有c <b ，即c 2<b 2，又b 2＝a 2－c 2，所以c 2<a 2－c 2，即2c 2<a 2，所以e 2<12，又因为0<e <1，所以0<e <22.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，229．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F 1，F 2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P 为短轴的一个端点，求△F 1PF 2的面积． 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝10，c ＝3，a 2＝b 2＋c 2，因此a ＝5，b ＝4，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.(2)易知|y P |＝4，又c ＝3，所以S △F 1PF 2＝12|y P |×2c ＝12×4×6＝12.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B .(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率； (2)若AF 2→＝2F 2B →，AF 1→·AB →＝32，求椭圆的方程．解：(1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形， 所以有|OA |＝|OF 2|，即b ＝c . 所以a ＝2c ，e ＝ca ＝22.(2)由题知A (0，b )，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝a 2－b 2， 设B (x ，y )．由AF 2→＝2F 2B →，得(c ，－b )＝2(x －c ，y )，解得x ＝3c 2，y ＝－b2，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－b 2.将B 点坐标代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94c 2a 2＋b 24b 2＝1，即9c 24a 2＋14＝1，解得a 2＝3c 2.①又由AF 1→·AB →＝(－c ，－b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2，－3b 2＝32， 得b 2－c 2＝1，即有a 2－2c 2＝1.② 由①②解得c 2＝1，a 2＝3，从而有b 2＝2. 所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.B 组 素养提升11．(2019·衡水中学二调)设椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，且满足PF 1→·PF 2→＝9，则|PF 1|·|PF 2|的值为( )A ．8B ．10C ．12D ．15解析：由椭圆方程x 216＋y 212＝1，可得c 2＝4，所以|F 1F 2|＝2c ＝4，而F 1F 2→＝PF 2→－PF 1→，所以|F 1F 2→|＝|PF 2→－PF 1→|，两边同时平方，得|F 1F 2→|2＝|PF 1→|2－2PF 1→·PF 2→＋|PF 2→|2，所以|PF 1→|2＋|PF 2→|2＝|F 1F 2→|2＋2PF 1→·PF 2→＝16＋18＝34，根据椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝8，(|PF 1|＋|PF 2|)2＝|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以34＋2|PF 1|·|PF 2|＝64，所以|PF 1|·|PF 2|＝15.故选D.答案：D12．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )A ．(0，1]∪[9，＋∞)B ．(0，3]∪[9，＋∞)C ．(0，1]∪[4，＋∞)D ．(0，3]∪[4，＋∞) 解析：当0＜m ＜3时，椭圆C 的长轴在x 轴上， 如图(1)，A (－3，0)，B (3，0)，M (0，m )．图(1)当点M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB≥120°，则|MO |≤1，即0＜m ≤1；当m ＞3时，椭圆C 的长轴在y 轴上，如图(2)，A (0，m )，B (0，－m )，M (3，0)．图(2)当点M 运动到短轴的端点时，∠AMB 取最大值，此时∠AMB ≥120°，则|OA |≥3，即m ≥3，即m ≥9.综上，m ∈(0，1]∪[9，＋∞)，故选A. 答案：A13．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F 2，若13＜k ＜12，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：如图所示，|AF 2|＝a ＋c ，|BF 2|＝a 2－c 2a，所以k ＝tan ∠BAF 2＝|BF 2||AF 2|＝a 2－c 2a a ＋c ＝a －c a ＝1－e .又因为13＜k ＜12，所以13＜1－e ＜12，解得12＜e ＜23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2314.如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝12，F ，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，求PF →·PA →的最大值和最小值．解：设P 点坐标为(x 0，y 0)． 由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3.所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1.所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.又F (－1，0)，A (2，0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)， PA →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14(x 0－2)2.当x 0＝2时，PF →·PA →取得最小值0， 当x 0＝－2时，PF →·PA →取得最大值4.课时跟踪练(6)A 组 基础巩固1．直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1，1)，又(1，1)在椭圆内，故直线与椭圆相交．答案：A2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一条弦所在的直线方程是x －y＋5＝0，弦的中点坐标是M (－4，1)，则椭圆的离心率是( )A.12B.22C.32D.55解析：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知y M ＝－b 2a 2k x M ，代入k ＝1，M (－4，1)，解得b 2a 2＝14，e ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，故选C. 答案：C3．(2019·吕梁模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使得(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：因为(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0，所以PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12，2mn ＝4，所以S △F 1PF 2＝12mn ＝1.故选D.答案：D4．若直线ax ＋by －3＝0与圆x 2＋y 2＝3没有公共点，设点P 的坐标为(a ，b )，则过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．1或2解析：由题意得，圆心(0，0)到直线ax ＋by －3＝0的距离为3a 2＋b2>3，所以a 2＋b 2<3.又a ，b 不同时为零，所以0<a 2＋b 2<3.由0<a 2＋b 2<3，可知|a |<3，|b |<3，由椭圆的方程和其长半轴长为2，短半轴长为3，所以P (a ，b )在椭圆内部，所以过点P 的一条直线与椭圆x 24＋y 23＝1的公共点有2个．故选C.答案：C5．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( )A ．2B.455C.4105D.8105解析：设直线l 的方程为y ＝x ＋t ，代入x 24＋y 2＝1，消去y 得54x2＋2tx ＋t 2－1＝0，由题意知Δ＝(2t )2－5(t 2－1)>0，即t 2<5，|AB |＝（1＋1）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝4255－t 2≤4105(当且仅当t ＝0时取等号)．故选C.答案：C6．已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的右顶点为A (1，0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．解析：因为椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的右顶点为A (1，0)，所以b ＝1，焦点坐标为(0，c )，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以2b 2a ＝1，a ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 2＝1.答案：y 24＋x 2＝17．(2019·赣南五校联考)椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，焦距为2c .若直线y ＝3(x ＋c )与椭圆E 的一个交点M 满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．解析：由已知得直线y ＝3(x ＋c )过M 、F 1两点，所以直线MF 1的斜率为3，所以∠MF 1F 2＝60°，则∠MF 2F 1＝30°，∠F 1MF 2＝90°，则MF 1＝c ，MF 2＝3c ，由点M 在椭圆E 上知，c ＋3c ＝2a ，故e ＝ca＝3－1.答案：3－18．已知直线l 过点P (2，1)且与椭圆x 29＋y 24＝1交于A ，B 两点，当P 为AB 中点时，直线AB 的方程为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 两点在椭圆上，所以x 219＋y 214＝1，①94①－②得，（x 1－x 2）（x 1＋x 2）9＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）4＝0，又AB 的中点为P (2，1)，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，即4（x 1－x 2）9＋2（y 1－y 2）4＝0，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－89，故AB 的方程为y －1＝－89(x －2)，即8x ＋9y －25＝0.答案：8x ＋9y －25＝09．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，其中左焦点为F (－2，0)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线y ＝x ＋m 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点M 在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ca ＝22，c ＝2，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝22，b ＝2.所以椭圆C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 线段AB 的中点为M (x 0，y 0)，由⎩⎨84y ＝x ＋m ，消去y 得，3x 2＋4mx ＋2m 2－8＝0，Δ＝96－8m 2>0，所以－23<m <23， 因为x 0＝x 1＋x 22＝－2m 3，所以y 0＝x 0＋m ＝m 3，因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝1上，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 32＝1，所以m ＝±355.10.(2019·衡阳模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，直线y ＝1与C 的两个交点间的距离为463.(1)求椭圆C 的方程；(2)分别过F 1、F 2作l 1、l 2满足l 1∥l 2，设l 1、l 2与C 的上半部分分别交于A 、B 两点，求四边形ABF 2F 1面积的最大值．解：(1)易知椭圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫263，1，所以83a 2＋1b 2＝1，①又c a ＝12，② a 2＝b 2＋c 2，③由①②③得a 2＝4，b 2＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 1的方程为x ＝my －1，它与C 的另一个交点为D . 将直线l 1与椭圆C 的方程联立，消去x ，得(3m 2＋4)y 2－6my －9＝0， Δ＝144(m 2＋1)>0.|AD |＝1＋m 2·121＋m23m 2＋4，又F 2到l 1的距离d ＝21＋m2， 所以S △ADF 2＝121＋m 23m 2＋4.令t ＝1＋m 2，t ≥1，则S △ADF 2＝123t ＋1t， 当t ＝1时，S △ADF 2取得最大值，为3.又S 四边形ABF 2F 1＝12(|BF 2|＋|AF 1|)·d ＝12(|AF 1|＋|DF 1|)·d ＝12|AD |·d ＝SADF 2，所以四边形ABF 2F 1面积的最大值为3.B 组 素养提升11．已知椭圆E 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率为2的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，若△PF 1F 2为直角三角形，则椭圆E 的离心率为( )A.53B.23C.23D.13解析：由题意可知，∠F1PF 2是直角，且tan ∠PF 1F 2＝2，所以|PF 2||PF 1|＝2，又|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以|PF 1|＝2a 3，|PF 2|＝4a3.根据勾股定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＝(2c )2，所以离心率e ＝ca ＝53.答案：A12．过椭圆x 26＋y 25＝1内的一点P (2，－1)的弦，恰好被点P 平分，则这条弦所在的直线方程是( )A ．5x －3y －13＝0B ．5x ＋3y －13＝0C ．5x －3y ＋13＝0D ．5x ＋3y ＋13＝0解析：设弦的端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 215＝1，x 226＋y 225＝1，故16×x 1＋x 2y 1＋y 2＋15×y 1－y 2x 1－x 2＝0， 又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝－2，故斜率k ＝53.故这条弦所在直线方程为y ＋1＝53(x －2)，即5x －3y －13＝0.答案：A13．已知直线l ：y ＝kx ＋2过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的上顶点B和左焦点F ，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为L ，若L ≥455，则椭圆离心率e 的取值范围是________．解析：依题意，知b ＝2，kc ＝2.设圆心到直线l 的距离为d ，则L ＝24－d 2≥455，。
直线与圆锥曲线专项训练 高三数学解析几何专项训练(含例题答案) 高三数学
心尺引州丑巴孔市中潭学校直线与圆锥曲线专项训练对称轴平行于坐标轴的圆锥曲线【例题精选】：例1：平面上一点P 在原坐标系中的坐标为(,)()00m m ≠，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为(,)m 0，那么新坐标系的原点'O 在原坐标系的坐标为： A ．(,)-m m B ．(,)m m -C ．(,)m mD ．(,)--m m分析：由移轴公式x x h y y k ='+='+，：xy m x m y =='='=00，；，答案：A 。
例2：假设平移坐标轴，把坐标系xoy 的原点O 移到点'O ，'O 在原坐标系下的坐标为〔2，－1〕，那么原坐标系中的曲线y x =3在新坐标系'''x o y 中的方程是：A ．()'+='-y x 123B ．()'+='+y x 123C ．()'-='-y x 123D ．()'-='+y x 123分析：由x x y y ='+='-21，。
曲线y x =3在新坐标系'''x o y 中的方程是：()'-='+y x 123。
答案：D 。
例3：平移坐标轴化简方程1693236164022xy x y ----=，画出新旧坐标轴和图形，并写出在原坐标系下的顶点、焦点、准线方程和渐近线方程。
解：配方得()()x y --+=19216122。
令，'=-'=+x x y y 12，在新坐标系中，曲线方程为'-'=x y 229161，顶点 〔－3，0〕〔3，0〕，焦点〔－5，0〕、〔5，0〕，准线方程为'=±x 95。
在原坐标系中，顶点〔－2，－2〕，〔4，－2〕，焦点〔－4，－2〕，〔6，－2〕，准线方程xx =-=45145，。
高二圆锥曲线专题
②存在直线l, 使得集合Ω中存在无数点在l 上；
()
A.① 成立②成立 B.① 成立②不成立 C.① 不成立②成立 D.① 不成立②不成立
22. (2021 ·北京)已知直线y=kx+m(m
的最小值为2,则m=
A.±1
B.±√2
为常数)与圆x²+y²=4 交于M,N, 当k 变化时，若|MN ()
C.±) 已 知OM:x²+y²-2x-2y-2=0,
直 线l:2x+y+2=0,P
为l 上的动点 . 过
点P 作 ⊙M 的切线PA,PB, 切点为A,B, 当 |PM|·|AB| 最小时，直线AB 的方程为 ( )
A.2x-y-1=0
B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0
8
C.
口
19.(2023秋·江苏南京·高二南京市第九中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1,1)的直线l与
圆(x+1)²+(y-2)²=5 相切，且与直线ax+y-1=0 垂直，则实数a的 值 为 ( )
A
B
C.1
D.-1
20.若直线1:kx-y+3k=0与曲线c:√ 1-x²=y-1 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是()
D.√ 14
11. (2023·新高考I) 过点(0,-2)与圆x²+y²-4x-1=0
A.1
B
心
相切的两条直线的夹角为α,则sina=
()
口
12. (2022 ·北京)若直线2x+y-1=0
A
B
是圆(x-a)²+y²=1 C.1
高考数学总复习7.2直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练课件理
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-14 -
一二
8 .已知A ,B为双曲线E的左、右顶点,点M 在E上,△ABM 为等腰三角
形,且顶角为120°, 则E的离心率为 ( )
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-15 -
一二
9 .已知抛物线y2= 4 x ,过焦点F作直线与抛物线交于点A ,B(点A 在x 轴下方),点A 1与点A 关于x 轴对称,若直线AB 的斜率为1,则直线A 1B 的斜率为( )
7.2 直线、圆、圆锥曲线 小综合题专项练
-2-
1 .直线与圆、圆与圆的位置关系
(1)直线与圆的位置关系判定:
①几何法:利用圆心到直线的距离与圆的半径大小关系判定.
(3)圆与圆的位置关系有五种,即内含、内切、相交、外切、外
离.判定方法是利用两圆心之间的距离与两圆半径的和、差关系.
-3-
2 .判断直线与圆锥曲线交点个数或求交点问题的方法 (1)代数法:即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x ,y的方 程组,消去y(或x )得一元方程,此方程根的个数即为交点个数,方程 组的解即为交点坐标.
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一二
-12 -
渐近线的对称点恰好落在以F1为圆心,|OF 1|为半径的圆上,则双曲
线的离心率为( )
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一二
-13 -
别为C 的左、右顶点,P为C 上一点,且PF⊥x 轴.过点A 的直线l与线段 PF交于点M ,与y轴交于点E.若直线BM 经过OE 的中点,则C 的离心率 为 ( )
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一二
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-16 -
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高三数学 直线与圆、圆锥曲线 限时练 附答案解析
- 1 - 高三数学 直线与圆、圆锥曲线 限时练（限时 45分钟）一、单选题1、圆心是C(-3,4)半径是5的圆的方程为( )A.5)4()3(22=++-y xB.25)4()3(22=++-y xC.5)4()3(22=-++y xD.25)4()3(22=-++y x2、任意的实数k ,直线1+=kx y 与圆222=+y x 的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心3、直线032=++y x 平分圆3)5()(22=++-y a x ,则=a ( )A.13B.7C.-13D.以上答案都不对4、圆5)2(22=++y x 关于直线x y =对称的圆的方程是( )A.5)2(22=+-y xB.5)2(22=-+y xC.5)2(22=++y xD.5)2(22=++y x5、圆222)()(c b y a x =-+-和圆222)()(c a y b x =-+-外切,则( )A.22)(c b a =-B.222)(c b a =-C.22)(c b a =+D.222)(c b a =+6、已知两圆相交于A(-1,3)、B(-6,m)两点,且这两圆的圆心均在直线x-y+c=0上, 则m+2c 的值为( )A.-1B.1C.3D.07、圆4)2(22=++y x 与圆9)1()2(22=-+-y x 的位置关系为( )A.内切B.相交C.外切D.相离8、动点A 在圆122=+y x 上移动时,它与定点B(3,0)连线的中点的轨迹方程是( )A.4)3(22=++y xB.1)3(22=+-y xC.14)32(22=+-y xD.21)23(22=++y x 9、已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3,则点P 到另一焦点的距离为( )A.2B.3C.5D.710、若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点,则的取值范围是( ) A. ]221,1[+- B.]221,221[+- C.]3,221[- D.]3,21[-11、若方程052422=+-++k y kx y x 表示圆,则k 的取值范围是( ) A.141<<k B.41<k 或1>k C.41=k 或1=k D.R k ∈ 12、方程2)1(11--=-y x 表示的曲线是( )A.—个圆B.两个圆C.半个圆D.两个半圆。
高考数学大二轮复习专题七解析几何7.3直线、圆、圆锥曲线小综合题专项练课件文
设点
A
关于直线
x+y=3
的对称点为
A'(a,b),AA'的中点为
,2
点A(2,0)处出发,河岸线所在直线方程为x+y=3,并假定将军只要到
2
达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为(
)
·
(-1)
=
-1,
= 3,
-2
,k
=
,故
解得
要使从点 A 到军营总路
A. AA'10-1
点M(x,y)在左支上,|PF1|=-(ex+a),|PF2|=-(ex-a).
-2-
(3)已知抛物线 y2=2px(p>0),C(x1,y1),D(x2,y2)为抛物线上的点,F
为焦点.
①焦半径|CF|=x1+2;
②过焦点的弦长|CD|=x1+x2+p;
2
③x1x2= 4 ,y1y2=-p2.
1 + 2 -2
( 1 + 2 )2 -4 1 2
=
2
,∴直线
2
A1B
2 -(-1 )
k= -
2 1
=
2
的斜率为 ,故选
2
2 +1
2 - 1
=
C.
关闭
C
-13解析
答案
一、选择题
二、填空题
10.(2019 安徽蚌埠高三年级第一次教学质量检查)已知 F1,F2 是椭圆
D.3
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以线段 A1A2 为直径的圆的方程是 x2+y2=a2.因为直线
bx-ay+2ab=0 与圆 x2+y2=a2 相切,所以圆心到该直线的距离
强基版2024届高考数学一轮复习练习第八章直线和圆圆锥曲线8.10圆锥曲线中的综合问题新人教A版
8.10 圆锥曲线中的综合问题1．(2022·岳阳质检)在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53. (1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1—→＋MF 2—→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A ，B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．2．(2023·苏州模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过点(22，1)，渐近线方程为y ＝±12x ，直线l 是双曲线C 右支的一条切线，且与C 的渐近线交于A ，B 两点． (1)求双曲线C 的方程；(2)设点A ，B 的中点为M ，求点M 到y 轴的距离的最小值．3．斜率为3的直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点，且交C 于A ，B 两点(A 在第一象限)，l 交C 的准线于D 点，且|BD |＝8.(1)求抛物线方程；(2)设点T (9,0)，斜率为k 的直线m 过点T 交y 轴于S ，抛物线C 上是否存在不同两点M ，N ，使∠MST ＝∠NST ，且MN ⊥m ，若存在，求斜率k 的取值范围，若不存在，请说明理由．4.(2022·南昌模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为23，且其左顶点到右焦点的距离为5.(1)求椭圆的方程；(2)设点M ，N 在椭圆上，以线段MN 为直径的圆过原点O ，试问是否存在定点P ，使得P 到直线MN 的距离为定值？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．(2022·潍坊模拟)已知M ，N 为椭圆C 1：x 2a 2＋y 2＝1(a >0)和双曲线C 2：x 2a 2－y 2＝1的公共顶点，e 1，e 2分别为C 1和C 2的离心率．(1)若e 1e 2＝154. ①求C 2的渐近线方程；②过点G (4,0)的直线l 交C 2的右支于A ，B 两点，直线MA ，MB 与直线x ＝1相交于A 1，B 1两点，记A ，B ，A 1，B 1的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，求证：1y 1＋1y 2＝1y 3＋1y 4； (2)从C 2上的动点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )引C 1的两条切线，经过两个切点的直线与C 2的两条渐近线围成三角形的面积为S ，试判断S 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．。
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习 (附答案)
2023届高考数学复习：精选好题专项(圆锥曲线)练习题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△．2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上.1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．()2:20C x py p ->AB OP 22‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点 【3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.()2:20C x py p ->E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值．题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +参考答案题组一、 圆锥曲线中的直线问题1‐1、（山东省“学情空间”区域教研共同体2023届高三入学检测）椭圆的左右焦点分别为，焦距为，点M 为椭圆上位于x 轴上方的一点，，且的面积为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且，求直线l 的方程.【答案解析】【要点分析】（1）依题意可得，根据椭圆的定义、三角形面积公式及勾股定理求出，即可求出，从而得解；（2）首先求出的坐标，分直线的斜率为与不为两种情况讨论，当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由，推出，解得，进而可得答案．【小问1详解】解：因为，所以，即，所以，所以又，，，所以，即，所以，所以，所以椭圆方程为.【小问2详解】解：由（1）知，，所以，即， 当直线的斜率为时，此时，不合题意，2222:1(0)x y C a b a b+=>>12,FF 120MF MF ⋅=12MF F △2F 2AMB π∠=122F MF π∠=2a 2b M l 00l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B x y l 12y y +12y y MA MB⊥1212(0x x y y +-=m 120MF MF ⋅= 12MF MF ⊥ 122F MF π∠=1212122MF F MF MF S ⋅==△124MF MF ⋅=122MF MF a +=122F F c ==2221212MF MF F F +=()2121228MF MF MF MF +-=⋅24248a -⨯=24a =2222b a c =-=22142x y +=124MF MF ⋅=124MF MF +=122MF MF ==(M l 090AMB ∠≠︒当直线的斜率不为时，设直线的方程为，，，联立，得，所以，， 因为， 所以，所以，所以，所以， 所以， 解得或，当时，直线过点，不符合题意， 所以直线的方程为．1‐2、（湖北省重点高中2023届高三上学期10月联考） 已知直线1l：22y x =+与椭圆E ：22142x y +=相切于点M ，与直线2l：2y x t =+相交于点 N （异于点M ）．（1）求点M 的坐标；（2）直线2l 交E 于点()11,A x y ，()22,B x y 两点，证明：ANM MNB ∽△△． 【答案解析】【要点分析】（1）通过解方程组进行求解即可；（2）将直线2l 方程与椭圆方程联立，结合椭圆弦长公式、相似三角形判定定理进行运算证明即可. 【小问1详解】l 0l x my =+11(,)A x y 22(,)B xy 22142x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩22(2)20m y ++-=1222y y m+=-+12222y y m -=+90AMB ∠=︒MA MB⊥1212(0x x y y +-=21212(1)1)()40m y y m y y ++-++=2222(1)4(1)4022m m m m m -+--+=++2230m m --=1m =-3m =1m =-l Ml 30x y --=解：222224y x x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：220x -+=，解得：x =，故)M ；【小问2详解】联立222y x y x t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得：,122t N t ⎫-+⎪⎪⎝⎭联立22224y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，消y得：2220x t +-=， 由题可得：2Δ820t =->，∴12x x +=，2122x x t =-．12NA t ⎫=-⎪⎪⎭，22NB t ⎫=--⎪⎪⎭，()()212122223222332,2224NA NB x x t x x t t t t t ⎫⎫=--++⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎫⎫=--+=⎪⎪⎪⎪⎭⎭2NM t ⎫=--=⎪⎪⎭， 2NM NA NB =，∴AN MNNM NB =，又ANB MNB ∠=∠，∴ANM MNB ∽△△ 1-3、（南京六校联合体2023届高三8月联合调研）(本小题满分12分)已知椭圆C :22154x y +=的上下顶点分别为A,B ，过点P 0,3 且斜率为k (k <0)的直线与椭圆C 自上而下交于M,N 两点,直线BM 与AN 交于点G . （1）设AN,BN 的斜率分别为k ,k ,求k ∙k 的值; （2）求证：点G 在定直线上. ．(本小题满分12分) 解：设),(),,(2211y x N y x M2222222221422x y x y x y k k -=-⋅+=⋅....................2分 2222154x y +=又22224(15x y =⋅-所以所以54451(4222221-=--=⋅x x k k .....................4分（2）设3:+=kx y PM 224520x y +=联立 得到02530)54(22=+++kx x k1223045kx x k -+=+所以2215425k x x +=⋅ 0)1(400)54(100900222>-=+-=∆k k k .....................6分直线:MB 2211-+=x x y y 直线:NA 2222+-=x x y y联立得:1212)2()2(22x y y x y y -+=-+.....................8分2121(2)(2)2524y y y y x x +++=-⋅-法一：525)(5452121212-=+++⋅-=x x x x k x x k..............10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分法二：由韦达定理得k x x x x 562121-=+2112221121(5)5221x kx kx x x y y kx x kx x x +++==-++所以5)(655)(65121221-=++-++-x x x x x x .........10分解得34=y所以点G 在定直线34=y 上 .....................12分1-4、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知双曲线22:12x C y -=上，直线l 交C 于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 的斜率之和为0.(1)求l 的斜率;(2)若tan PAQ ∠=PAQ 的面积.解：(1)由题显然直线l 的斜率存在，设:l y kx m =+，设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则联立直线与双曲线得：222(21)4220k x kmx m -+++=，0> ，故122421km x x k +=--，21222221m x x k +=-，12121212111102222AP AQ y y kx m kx m k k x x x x --+-+-+=+=+=----， 化简得：12122(12)()4(1)0kx x m k x x m +--+--=，故2222(22)4(12)()4(1)02121k m kmm k m k k ++-----=--， 即(1)(21)0k m k ++-=，而直线l 不过A 点， 故l 的斜率 1.k =-(2)设直线AP 的倾斜角为α，由tan PAQ ∠=tan 22PAQ ∠=，由2PAQ απ+∠=，得tan AP k α==，即1112y x -=-联立1112y x -=-221112x y -=得1103x -=，153y =，同理，2103x +=，253y --=， 故12203x x +=，12689x x =而1|||2|AP x =-，2|||2|AQ x =-，由tan PAQ ∠=sin 3PAQ ∠=，故12121||||sin |2()4|29PAQ S AP AQ PAQ x x x x =∠=-++= 题组二、 圆锥曲线中的最值问题2‐1、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分） （2），∴，设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+2AB =OP1c =1EF 2212x y +=1OP =y kx m=+2212x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩()222214220kx kmx m +++-=2216880k m ∆=-+>122421kmx x k -+=+21222221m x x k -=+∵，化简得．又设M 是弦AB 的中点，∴，， ∴，令， 则，∴（仅当时取等），又∵（仅当时取等号）． 综上，.2‐3、（江苏如皋中学2022~2023学年度高三年级第一学期教学质量调研）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左，右焦点分别为1(1,0)F -，2(1,0)F ，点P 在椭圆E 上，212PF F F ⊥，且12||3||.PF PF =(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:1()l x my m R =+∈与椭圆E 相交于A ，B 两点，与圆222x y a +=相交于C ，D 两点，求2||||AB CD ⋅的取值范围.解：(1)因为P 在椭圆上，所以12||||2PF PF a +=， 又因为12||3||PF PF =，所以2||2a PF =，13||2aPF =， 因为212PF F F ⊥，所以2222121||||||PF F F PF +=，又12||2F F =，所以22a =，2221b a c =-=，所以椭圆的标准方程为：22 1.2x y +=(2)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，2221AB k ==+2222122k m k +=+222,2121kmm M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭()222224121k OM m k +=⋅+()()()22222222241214122212221k k k OM k k k k +++=⋅=++++2411k t +=≥()()24443134t OMt t t t==≤=-++++1OM ≤=-t=1OP OM MP OM ≤+=+≤214k -=max OP =联立直线l 与椭圆E 的方程：221220x my x y =+⎧⎨+-=⎩，整理可得22(2)210m y my ++-=， 12222m y y m -+=+，12212y y m-=+，所以弦长2122)||||2m AB y y m+=-=+， 设圆222x y +=的圆心O 到直线l的距离为d =，所以||CD ==，所以2222222212)2)3||||41222m m m AB CD m m m m+++⋅=⋅⋅==-++++ 因为233022m <+…，2132222m ∴-<+…，2||||AB CD ∴⋅<，所以2||||AB CD ⋅的取值范围2‐4、（湖南省三湘名校教育联盟2023届高三上学期第一次大联考）（12分）在直角坐标系xOy 中，已知抛物线，P 为直线y ＝－1上的动点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ．当P 在y 轴上时，OA ⊥OB ． （1）求抛物线C 的方程；（2）求点O 到直线AB 距离的最大值．答案解析：（1）当在轴上时，即，设过点的切线方程为，与联立得，由直线和抛物线相切可得，，，∴，，（3分）由，解得， ∴抛物线的方程为．（5分）（2），∴，()2:20C x py p ->P y ()0,1P -P 1y kx =-22x py =2220x pkx p -+=22Δ480p k p =-=2A B x x p =A B y y =)A()B OA OB ⊥(110+⨯=12p =C 2x y =2x y =2y x '=设，，则， 即，同理可得，（8分） 又为直线上的动点，设， 则，，由两点确定一条直线可得的方程为， 即，（10分） ∴直线恒过定点， ∴点到直线距离的最大值为．（12分）题组三、圆锥曲线中的定点、定值问题3‐1、（南京师大附中2022—2023学年度高三第一学期10月检测）（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，C 的右焦点F 与点M （0，2）的连线与C 的一条渐近线垂直．（1）求双曲线C 的标准方程：（2）经过点M 且斜率不为零的直线l 与C 的两支分别交于点A ，B ，①若O 为坐标原点，求OA OB ⋅的取值范围：②若点D 是点B 关于y 轴的对称点，证明：直线AD 过定点【答案解析】（1）由已知得22222()1c e a ba c c a b⎧==⎪⎪⎪⋅-=-⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得3a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即22:139x y C -=；（2）由题意设()()1122:2,,,,AB l y kx A x y B x y =+()11,A x y ()22,B x y ()1112y y x x x -=-112x x y y =+222x x y y =+P 1y x =-(),1P t t -1121x t t y =-+2221x t t y =-+AB 21xt t y =-+()()2110t x y ---=AB 1,12M ⎛⎫⎪⎝⎭OAB 2OM ==则()12122222222121222124233341301312913933k y kx y y x x k k k x kx x y kx x y y k k ⎧⎧⎧=++=+=⎪⎪⎪⎪⎪⎪--⇒---=⇒⇒⎨⎨⎨---=⎪⎪⎪==⎪⎪⎪--⎩⎩⎩由题意得2120030k x x ∆>⎧⇒<<⎨<⎩①221212222131299128193333k k OA OB x x y y k k k -+-+⋅=+===+<---- ； ②由对称性得直线AD 过定点在y 轴上，设定点(0,)T t ，则有A ，T ，D 三点共线， 即1221122121211212AT DT y t y t x y x yk k x y x t x y x t t x x x x ---+=⇒=⇒+=+⇒=+()()21121212122222x kx x kx kx x t x x x x +++⇒==+++代入韦达定理得92t =-，即直线AD 过定点90,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．3‐2、（江苏省海安高级中学2023届高三期初学业质量监测）已知椭圆：的离心率为，短轴长为2.（1）求的方程；（2）过点且斜率不为0的直线与自左向右依次交于点，，点在线段上，且，为线段的中点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案解析】【要点分析】（1）根据条件列出关于a,b 的方程，求得a,b 的值，即得答案; （2）设直线方程，，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，表示P点坐标，结合，可得N 点坐标，从而可证明结论. 【小问1详解】E ()222210x y a b a b +=>>2E ()4,0M -l E B C N BC MB NBMC NC=P BC OP ON 1k 2k 12k k (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y MB NBMC NC=由椭圆：的离心率为，短轴长为2，可知 ，则 ，故的方程为；【小问2详解】证明：由题意可知直线的斜率一定存在，故设直线的方程为，设，联立，可得，， 则， 所以，又，所以， 解得， 从而 ， 故，即为定值.3‐3、（江苏连云港2023届高三上学期期中考试） 已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，E ()222210x y a b a b +=>>2,222c b a==22231,44b a a -=∴=E 2214x y +=l l (4)y k x =+11223300(,),(,),(,),(,)B x y C x y N x y P x y 2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩2222(41)326440k x k x k +++-=22116(112)0,012k k ∆=->∴<<2212122232644,4141k k x x x x k k --+==++220002222164164,,(,414114)4(41k k k kx y x P k k k k k --==∴++++=+MB NB MC NC=31122344x x x x x x -+=+-2222121233212264432424()41411,3328841k k x x x x k k x y k k x x k --⨯+⨯++++===-=-++++(1,3)N k -03120313(3)44y y k k k x x k ⋅=⋅=-⨯-=12k k31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 右焦点的直线l 交椭圆于A ，B 两点，交直线x ＝4于点D ．设直线QA ，QD ，QB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，若20k ≠，证明：132k k k +为定值． 【答案解析】【要点分析】（1）将椭圆上两点代入方程，得到方程组，求解，可得到a 、b ；（2）设出直线AB 方程y ＝k （x －1），得到D 点坐标()4,3k ，联立直线AB 与椭圆方程，得到A ，B 两点坐标之间的关系，根据坐标，分别表示出1k ，2k ，3k ，化简代入即可得到定值. 【小问1详解】将点2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，点31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程()222210x y a b a b +=>>， 得222233141914a b ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩，所以椭圆方程为22143x y +=．【小问2详解】由题意直线AB 的斜率一定存在，由（1）知，c =1，则椭圆的右焦点坐标为()1,0， 设直线AB 方程为：y ＝k （x －1），D 坐标为()4,3k ．所以23312412k k k -==--， 设()11,A x y ，()22,B x y ，将直线AB 方程与椭圆方程联立得()22223484120kxk x k +-+-=．()()()()22222844341214410k k k k ∆=--+-=+>恒成立，由韦达定理知2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，且()111y k x =-，()221y k x =-， 则()()121213121233331122221111y y k x k x k k x x x x ------+=+=+----()12121223221x x k x x x x +-=-⋅-++2222228233424128213434k k k k k k k-+=-⋅--+++21k =-．故13221212k k k k k +-==-（定值）． 题组四、 圆锥曲线中的探索性问题4-1、（湖南师大附中2023届高三年级开学初试卷）（本小题满分12分）设21,F F 分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点，M 是C 上一点，2MF与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N ，且直线MN 的斜率为42. (1)求椭圆C 的离心率．(2)设)1,0(D 是椭圆C 的上顶点，过D 任作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于B A .两点，过点D 作线段AB 的垂线，垂足为Q ，判断在y 轴上是否存在定点R ，使得||RQ 的长度为定值？并证明你的结论．【答案解析】(1)由题意知，点M 在第一象限．M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，M ∴的横坐标为c ，当c x =时，a b y 2=，即.,2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a b c M …………………（2分） 又直线MN 的斜率为42，所以4222tan 2221===∠acb c a b F MF ， 即22222c a ac b -==，即02222=-+a ac c ，………………………………（4分）则01222=-+e e ，解得22=e 或2-=e （舍去）， 即.22=e …………………………………（5分）(2)已知)1,0(D 是椭圆的上顶点，则1=b ，椭圆的方程为1222=+y x ，………（6分）设直线AB 的方程为m kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，由⎩⎨⎧=++=2222y x m kx y 可得)*(0)1(24)21(222=-+++m kmx x k ， 所以221214kkm x x +-=+，222121)1(2k m x x +-=， 又)1,(11-=y x DA )1,(.22-=y x DB ， ………………………………（8分）)1)(1()1)(1(21212121-+-++=--+=⋅m kx m kx x x y y x x DB DA221212)1())(1()1(-++-++=m x x m k x x k021)1)(21()(4)1)(1(2)1(214).1(21)1(2).1(222222222222=+-++--+-=-++--++-+=k m k m m k k m m k km m k k m k ， 化简整理有01232=--m m ，得31-=m 或.1=m 当1=m 时，直线AB 经过点D ，不满足题意； ………………………………（10分） 当31-=m 时满足方程(*)中0>∆，故直线AB 经过y 轴上定点.31,0⎪⎭⎫ ⎝⎛-G 又Q 为过点D 作线段AB 的垂线的垂足，故Q 在以DG 为直径的圆上，取DG 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛31,0R ，则||RQ 为定值，且=||RQ .32||21=DG …………………………（12分）4‐2、（南京市2023届高三年级学情调研） 已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，过点P (0，2)的动直线l 与抛物线相交于A ，B 两点．当l 经过点F 时，点A 恰好为线段PF 中点． （1）求p 的值；（2）是否存在定点T ， 使得TA TB ⋅为常数？ 若存在，求出点T 的坐标及该常数； 若不存在，说明理由．【答案解析】【要点分析】（1）结合中点坐标公式表示出点A 的坐标带入抛物线的方程即可求出结果； （2）设出直线的方程与抛物线联立，进而结合根与系数的关系得到TA TB ⋅的表达式，从而可得4040m ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，因此解方程组即可求出结果.【小问1详解】 因为(),0,0,22p F P ⎛⎫⎪⎝⎭，且点A 恰好为线段PF 中点，所以,14p A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又因为A 在抛物线上，所以2124p p =⋅，即22p =，解得P =【小问2详解】设(),T m n ，可知直线l 斜率存在；设l ：2y kx =+，()()1122,,,A x y B x y联立方程得：22y y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，所以220y k -+=，所以1212,y y y y k k+==， 又：()()()1212)(TA TB x m x m y n y n ⋅=--+--()()22121244y m y m y n y n ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝()()222222*********y y m y y m n y y n -++-++=2222484m m n k k k k k ⎛⎫=--++-+ ⎪ ⎪⎝⎭22244m m n k k+-+++=-，令4040m ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解之得：4m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即)4T ，此时2218TA TB m n ⋅=+=4‐3、（湖北省鄂东南省级示范高中教改联盟学校2023届高三上学期期中联考）（本题满分12分）设点P 为圆上的动点，过点P 作x 轴垂线，垂足为点Q ，动点M 满足（点P 、Q 不重合）（1）求动点M 的轨迹方程E ；（2）若过点的动直线与轨迹E 交于A 、B 两点，定点N 为，直线NA 的斜率为，直线NB 的斜率为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由．22:4C x y +=2MQ =(4,0)T 31,2⎛⎫⎪⎝⎭1k 2k 12k k +答案解析：（1）设点P 为，动点M 为，则Q 点为求得：又即点M 的轨迹方程为：4分（2）设直线AB 方程为：则消x 得 或设A 点，B 点则求得： 8分()00,x y (,)x y ()0,0x ()()00,,0,MQ x x y PQ y =--=-())0022,0,MQ x x y y =∴--=-002x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩2222004443x y x y +=∴+= 221(0)43x y y +=≠4x my =+224143x my x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360m y my +++=()22(24)436340m m =-⨯+> △2m ∴>2m <-()11,x y ()22,x y 1212222436,3434m y y y y m m +=-⋅=++()121232my y y y =-+()()1212121221212123332392223339my y m y y y y k k my my m y y m y y ⎛⎫+-+--- ⎪⎝⎭∴+=+=+++++()()()1212123923392m y y m y y m y y -+-=-++++()()1212392392m y y m y y -+-=++1=-。
高考数学二轮复习专题六直线、圆、圆锥曲线专题能力训练17直线与圆锥曲线文
专题能力训练17 直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N 在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为()A.B.2C.2D.32.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135°的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.2C.2D.3.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)4.在平面直角坐标系xOy中,双曲线C1:=1(a>0,b>0)的渐近线与抛物线C2:x2=2py(p>0)交于点O,A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点,则C1的离心率为.5.(2018全国Ⅱ,文20)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN 于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.8.已知椭圆C的中心在坐标原点,右焦点为F(1,0),A,B是椭圆C的左、右顶点,D是椭圆C上异于A,B的动点,且△ADB面积的最大值为.(1)求椭圆C的方程.(2)是否存在一定点E(x0,0)(0<x0<),使得当过点E的直线l与曲线C相交于M,N两点时,为定值?若存在,求出定点和定值;若不存在,请说明理由.二、思维提升训练9.(2018全国Ⅲ,文20)已知斜率为k的直线l与椭圆C:=1交于A,B两点,线段AB的中点为M(1,m)(m>0).(1)证明:k<-;(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且=0.证明:2||=||+||.10.已知椭圆E:=1(a>b>0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点,点P在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程;(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A,B,线段AB的中点为M,直线OM 与椭圆E交于C,D,证明:|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,l2的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M (3,2).因为MN⊥l,且N在l上,所以N(-1,2).因为F(1,0),所以直线NF:y=-(x-1).所以M到直线NF的距离为=2.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以Δ=82-4×(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t>0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在△AMK中,由,得,解得x=2t,则cos∠NBK=,∴∠NBK=60°,则∠GFK=60°,即直线AB的倾斜角为60°.∴斜率k=tan 60°=,故直线方程为y=(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-(x-1),故选C.4.解析双曲线的渐近线为y=±x.由得A.由得B.∵F为△OAB的垂心,∴k AF·k OB=-1,即=-1,解得,∴,即可得e=.5.解 (1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k>0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+16>0,故x1+x2=.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=;由题设知=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则解得因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.6.(1)解设椭圆C的方程为=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m),直线BN的方程为y=(x-2).联立解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.解 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则=1,=1,=-1,由此可得=-=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程为=1.(2)由解得因此|AB|=.由题意可设直线CD的方程为y=x+n,设C(x3,y3),D(x4,y4).由得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=|x4-x3|=.由已知,四边形ACBD的面积S=|CD|·|AB|=.当n=0时,S取得最大值,最大值为.所以四边形ACBD面积的最大值为.8.解 (1)设椭圆的方程为=1(a>b>0),由已知可得△ADB的面积的最大值为·2a·b=ab=.①∵F(1,0)为椭圆右焦点,∴a2=b2+1.②由①②可得a=,b=1,故椭圆C的方程为+y2=1.(2)过点E取两条分别垂直于x轴和y轴的弦M1N1,M2N2,则,即,解得x0=,∴E若存在必为,定值为3.证明如下:设过点E的直线方程为x=ty+,代入C中得(t2+2)y2+ty-=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=-=-,y1y2=-,====3.综上得定点为E,定值为3.二、思维提升训练9.证明 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=1.两式相减,并由=k得·k=0.由题设知=1,=m,于是k=-.由题设得0<m<,故k<-.(2)由题意得F(1,0).设P(x3,y3),则(x3-1,y3)+(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(0,0).由(1)及题设得x3=3-(x1+x2)=1,y3=-(y1+y2)=-2m<0.又点P在C上,所以m=,从而P,||=.于是||===2-.同理||=2-.所以||+||=4-(x1+x2)=3.故2||=||+||.10.(1)解由已知,a=2b.又椭圆=1(a>b>0)过点P,故=1,解得b2=1.所以椭圆E的方程是+y2=1.(2)证明设直线l的方程为y=x+m(m≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组得x2+2mx+2m2-2=0, ①方程①的判别式为Δ=4(2-m2).由Δ>0,即2-m2>0,解得-<m<.由①得x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.所以M点坐标为,直线OM方程为y=-x.由方程组得C,D.所以|MC|·|MD|=(-m+)·+m)=(2-m2).又|MA|·|MB|=|AB|2=[(x1-x2)2+(y1-y2)2]=[(x1+x2)2-4x1x2]=[4m2-4(2m2-2)]=(2-m2).所以|MA|·|MB|=|MC|·|MD|.11.解 (1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=8,解得a=2,c=1,于是b=,因此椭圆E的标准方程是=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0.当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符.当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1), ①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即=1或=1.又P在椭圆E上,故=1.由解得x0=,y0=无解.因此点P的坐标为.。
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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题，共60分)
一、单选题（共8个小题，每小题5分) 1．设a R ∈，则“a =是“直线1:250l x ay +-=与直线2:420l ax y ++=平行”
的（ ）条件 A ．充分不必要
B ．必要不充分
C ．充要
D ．既不充分也不必要
2．以双曲线22
1169
x y -=的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
A ．216y x =
B ．216y x =-
C ．28y x =
D ．28y x =-
3．已知点(),m n 在直线52200x y +-=上，其中0,0m n >>，则lg lg m n +（ ） A ．有最大值，最大值为2 B ．有最小值，最小值为2 C ．有最大值，最大值为1
D ．有最小值，最小值为1
4．过点()2,1的直线中被圆22(1)(2)5x y -++=截得的弦长最大的直线方程是(
)
A ．350x y --=
B ．370x y +-=
C ．350x y +-=
D ．350x y -+=
5．已知双曲线221-=x ky 的一个焦点是)
，则其渐近线的方程为（ ）
A ．1
4
y x =±
B ．12
y x =±
C ．2y x =±
D ．4y x =±
6．已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，P
为第二象限内椭圆上的一点，且1230F PF ∠=︒，直线2PF 交y 轴于点M ，若
12F F =，则该椭圆的离心率为（ ）
A B ．
1
2
C D ．
4
7．已知点P 是双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b
-=>>右支上一点，1F 是双曲线的左焦
点，且双曲线的一条渐近线恰是线段1PF 的中垂线，则该双曲线的离心率是（ ）
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
8．已知直线1:20l mx y m -+=与直线2:20l x my +-=的交点为Q ，椭圆
22
194
x y +=的焦点为1F ，2F ，则12||||QF QF +的取值范围是( ) A ．[4,)+∞
B ．[4,6]
C ．[25,)+∞
D ．[25,6]
二、多选题（共4个小题，每小题5分。
答案的不全得3分，答案中出现错误不得分) 9．若原点O 到直线l 的距离不大于1，则直线l 与下列曲线一定有公共点的是（ ） A ．2
2y x =-
B ．()2
2
11x y -+= C ．2
212
x y +=
D ．221x y -=
10．已知方程22mx ny mn +=和0mx ny p ++=（其中0mn ≠且,m n R ∈，0p >），它们所表示的曲线在同一坐标系中可能出现的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
11．过抛物线24y x =的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，则（ ）
A ．以线段A
B 为直径的圆与直线3
2
x =-相离 B ．以线段BM 为直径的圆与y 轴相
切
C ．当2AF FB =时，92
AB = D ．AB 的最小值为4
12．我们通常称离心率为
51
2
-的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>，1212,,,A A B B 为顶点，12,F F 为焦点，P 为椭圆上一点，
满足下列条件能使椭圆C 为“黄金椭圆”的有（ ）
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…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
A ．111222||,||,||A F F F F A 为等比数列
B ．11290F B A ∠=︒
C ．1PF x ⊥ 轴，且21//PO A B
D ．四边形1221A B A B 的内切圆过焦点12,F F
第II 卷（非选择题，共90分)
三、填空题（共4个小题，每小题5分，共20分)
13．从点()3,6P 作圆22
4x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为______．
14．已知(),P x y 是椭圆C ：2214
x y +=上一点，若不等式20x y a -+≥恒成立，则
a 的取值范围是______.
15．已知椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>短轴的端点()()0,,0,P b Q b -，长轴的一个端点
为,M AB 为经过椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦，若,PA PB 的斜率之积等于1
4
-，则P 到直线QM 的距离为________. 16．如图，已知抛物线
的焦点为，直线l 过且依次交抛物线及圆
()2
21
14
x y -+=
于点A 、B 、C 、D 四点，则94AB CD +的最小值为__________．
四、解答题（共6小题，写出规范解答，17题10分，其他小题每题12分，共70分) 17．已知圆C 经过()()3,3,2,2P Q --两点，且圆心C 在x 轴上． (1)求圆C 的方程；
(2)若直线l PQ ，且l 截y 轴所得纵截距为5，求直线l 截圆C 所得线段AB 的长度． 18．已知椭圆C 的焦点()122,0F -和()
222,0F 长轴长6. （1）设直线2y x =+交椭圆C 于A B 、两点，求线段AB 的中点坐标.
（2）求过点(0)2，
的直线被椭圆C 所截弦的中点的轨迹方程. 19．已知点P 到直线y ＝﹣4的距离比点P 到点A （0，1）的距离多3． （1）求点P 的轨迹方程；
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（2）经过点Q （0，2）的动直线l 与点P 的轨交于M ，N 两点，是否存在定点R 使得∠MRQ ＝∠NRQ ？若存在，求出点R 的坐标：若不存在，请说明理由.
20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>过点()2,1（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）若过原点的直线1l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且在直线2:0l x y -+=上存在点M ，使得MPQ 为等边三角形，求直线1l 的方程。
21．已知抛物线2:2G y px =，其中0p >．点(2,0)M 在G 的焦点F 的右侧，且M 到
G 的准线的距离是M 与F 距离的3倍．经过点M 的直线与抛物线G 交于不同的
A B ，两点，直线OA 与直线2x =-交于点P ，经过点B 且与直线OA 垂直的直线l 交x 轴于点Q .
（1）求抛物线的方程和F 的坐标；
（2）判断直线PQ 与直线AB 的位置关系，并说明理由．
22．已知椭圆C ：22
221x y a b
+=（0a b >>）的左右顶点分别为1A ，2A ，点(2,1)P 在
椭圆C 上，且12A PA ∆的面积为. （1）求椭圆C 的方程；
（2）设直线l 不经过点P 且与椭圆C 交于A ，B 两点，若直线PA 与直线PB 的斜率之积为
3
4
，证明：直线l 过定点
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