贝叶斯讲义先验分布的确定解析
第3篇先验分布的确定
3.假如有历史数据，要尽量利用，帮助形成初步概念， 然后再做一些对比修正，再形成个人信念.
注意：1.利用先验信息确定主观概率没有固定模式； 2.主观概率必须满足概率的3条公理.
总结 1.理解主观概率的定义 2.了解主观概率确定的常用方法
§3.2 利用先验信息确定先验分布 在贝叶斯统计方法中关键的一步是确定先验分布。1.
要进一步分析先验信息.先验信息很分散；柯西分布
先验信息较为集中：正态分布
3.两个先验分布都满足给定的先验信息。
（1）如果两个先验分布差别不大，对后验分布的影响 也不大，那可任选一个。
（2）假如面临两个差异较大的先验分布可供选择时， 应慎重选择。因不同的选择对后验分布的影响也会很大.
三、定分度法与变分度法 两种方法的共同点：通过咨询专家获得各种主观概 率，然后经过整理加工可得到累积概率分布曲线.
例3.12 设总体X～N(, σ2) 其中σ2已知。
取另一正态分布N(μπ,τπ2)作为正态均值的先验分布
则可以算得X的边缘分布为N(μπ,τπ2+σ2)
设X 在给定时条件分布为N ( ,
2 ),
(
)
~
N (
,
2
),
则边缘分布m( x
)
~
N (
,
2
2)
n
由 m( X ) m(xi )
i 1
第三章 先验分布的确定
§3.1 主观概率 §3.2 利用先验信息确定先验分布 §3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度 §3.4 无信息先验分布 §3.5 多层先验
概率的公理化定义
定义:设Ω 为一个样本空间， F为Ω的某些子集组成 的一个事件域，如果对任一事件A∈F，定义在F上 一个实值函数P(A)满足下列条件：
第三章 先验分布的确定
从上述定义容易看出：从混合分布F(x)中抽取一个样品x1 , 相当于如下的二次抽样: ( ) 中抽取一个样品θ 。 第一次,从 第二次，若 1 ，则从F (x | 1 ) 中再抽一个样品，这个样品 就是 x1 ，若 2 ，则从F (x | 2 ) 中再抽一个样品，这个样品 就是 x1 。 x1 , x 2 ,..., x n ，那么其中 若从混合分布抽取一个容量为n的样本, 约有 n (1 ) 个来自 F (x | 1 ) ，约有n (2 ) 个来自 F (x | 2 ) ，这样 的样本 x1 , x 2 ,..., x n 有时也称为混合样本。
此外σ 的参数空间与η 的参数空间都为 R ，可见(X,σ )问题 ( ) 与(y,η )问题的统计结构完全相同,故σ 的无信息先验 与η 的无信息先验 * ( ) 应相同，即 ( ) * ( ) 另一方面，由变换 c 可以得η 的无信息先验
取η =c，则有
3.4.2位置参数的无信息先验 设想让X移动一个量c得到Y=X+c,同时让参数θ 也移动一个量 c得到 c ,显然Y有密度 p(y ) 。它仍是位置参数族的 1 成员，且其样本空间与参数空间仍为 R 。所以(X,θ )问题与 (Y,η )问题的统计结构完全相同。因此θ 与η 应是有相同的 无信息先验分布。即
第一节 主观概率 第二节 利用先验信息确定先验分布 第三节 利用边际分布m(x) 确定先验密度 第四节 无信息先验分布 第五节 多层先验
3.1.1 主观概率 贝叶斯统计中要使用先验信息，而先验信息主要是指经验和 历史资料。因此如何用人们的经验和过去的历史资料确定概 率和先验分布是贝叶斯学派要研究的问题。 贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件 发生可能性所给出个人信念。这样给出的概率称为主观概率。
概率论先验概率贝叶斯
概率论先验概率贝叶斯概率论是一个研究随机现象的学科，它是基于概率的数学理论。
先验概率和贝叶斯推理是概率论中两个重要的概念，下面将对这两个概念进行详细解释。
先验概率先验概率又叫做“先验分布”，是在进行实验前已经知道或假设的概率分布。
它是一种基于经验、理论、假设等信息所得到的概率分布。
因此，先验概率可以作为进行实验的“先验知识”，用来指导实验的设计和结果的解释。
一个简单的例子可以帮助我们更好地理解先验概率。
假设有一个箱子，里面有100个球，其中70个为红球，30个为白球。
如果我们在不看箱子的情况下随机取一个球，那么取到红球的概率为0.7，取到白球的概率为0.3。
在这个例子中，我们已经知道了取球的概率分布，因此我们可以得到先验概率分布。
贝叶斯贝叶斯是一个基于先验概率的推理方法，用来更新我们对一个事件可能性的估计。
贝叶斯公式是贝叶斯推理的核心公式，它可以用来计算基于先验信息和新观察数据的后验概率。
假设我们有一个事件A，我们已经知道了它的先验概率P（A）。
现在我们进行了一个实验，得到了某些数据B，我们需要用这些数据来更新A的估计。
这个过程可以通过贝叶斯公式来计算。
贝叶斯公式如下：P（A|B）=P(B|A)P(A)/P(B)其中P（A|B）是事件A在已知B的情况下出现的概率，P(B|A)是在假设A成立的情况下观察到B的概率，P(A)是A的先验概率，P(B)是B的概率。
通过计算上式，我们可以得到更新后的A的后验概率。
一个简单的例子可以帮助我们更好地理解贝叶斯推理。
假设有一个女性患有乳腺癌的风险，我们已经做了一些健康检查，得到了一些数据。
我们需要使用这些数据来估计女性患乳腺癌的可能性。
假设我们已经知道在整个人群中，患有乳腺癌的概率为1％，而对于已经患有乳腺癌的女性，检查结果为阳性的概率为80％，而对于不患有乳腺癌的女性，检查结果为阳性的概率为10％。
如果这个女性的检查结果为阳性，那么她患有乳腺癌的可能性是多少？根据贝叶斯公式可以算得：P（乳腺癌|阳性检查）=P（阳性检查|乳腺癌）×P（乳腺癌）/P（阳性检查）=0.8×0.01/（0.8×0.01+0.1×0.99）=0.074以上计算结果表明，即使这个女性的检查结果为阳性，她患有乳腺癌的概率仍然很低，仅仅为7.4％。
先验分布和后验分布的比较研究
先验分布和后验分布的比较研究一、引言在贝叶斯统计推断中，先验分布和后验分布是两个重要的概念，其作用在于帮助我们利用先验知识来更新推断结论。
先验分布指在考虑样本信息之前所假设的分布，而后验分布则指在考虑样本信息后得到的分布。
两种分布都是贝叶斯统计学中推断结论的关键。
本文将着重探讨先验分布与后验分布之间的比较研究，并详细介绍在不同情况下它们的意义、作用和优缺点。
二、正文1. 先验分布与后验分布的定义先验分布是指在推断结果之前，我们对假设的随机变量的概率分布所进行的假设，它通常是由主观或客观的先验经验所建立的，因此也被称为先验知识。
先验分布常常是一个简单的概率分布，而且往往是由一个或几个参数来描述的。
后验分布是指在考虑了样本信息后在先验分布上得到的分布，它通常是更贴近真实概率分布的一个更新版的概率分布。
在贝叶斯推断中，我们会把先验权重和样本信息反应在后验分布中。
2. 先验分布与后验分布的应用场景先验分布的选择并不像后验分布那么高要求，因为先验分布很大程度上是由我们个人主观判断决定的。
通常，我们会选择一个简单的分布作为先验，例如Beta分布、Gamma分布、正态分布等。
在贝叶斯分析过程中，先验分布起到了约束和规定后验分布的重要作用。
后验分布则是由先验分布及样本信息的考虑而得到的。
相当于我们把自己先前对随机变量的主观想法与样本数据作了一个结合，形成了一个更可信、更合理的可视化概率分布。
在经济预测、科学分析和金融产品等领域中，后验分布非常重要。
3. 先验分布与后验分布的比较就分布的形态来说，前者大多数情况下是平滑、单峰分布，甚至有些分布既可以是随机变量的概率分布，也可以是某些问题上的信息分布。
而后者则相对比较灵活，更适应于样本信息的变化。
在选择先验分布的过程中，需要根据具体任务的需求来确定，例如要求先验均值尽可能接近后验均值，需要选择一种适当的先验分布。
就作用而言，先验分布相当于清除了一些不太可能的情况，让后验分布更加稳定；而后验分布则是更加贴合实际情况的一种分布，更大程度上说明了与样本数据相关的知识。
基于贝叶斯决策的先验分布的选取方法
表示 ６ｘ关于先验分布 丌（ 的后验分布 （ Ｉ） （） ） 的风险。 根 据定 义有 （ｒ ｊ ＝ （ ， ｊ ＝ ７， ） （ ７ 占 ） 『
ｉ＝ ｌ
（， ］ ７ ） ｒ
（ ２）
（ｌ ） 丌Ｉ 表示在 下的 数据 后验分 于是 布， 有∑ ） １ （ ＝和
问题 ． 从而 展 开 了对 先 验分 布 选 择 问题 的 一些 探 讨 ：
一
如果用 ６ ） （ 表示根据样本信息选择 先验 分布的一个决 策 ，引 入损 失 函 数 和风 险 函数来 度 量一 个 决策 的 准确 性 是 合
理的， 因此我们 可 以选择 一个 ６ｘ使后 验期望损 失或风 险最小 。 （）
表 达式 给 出 了先 验 信 念 ，后 验 信 念 和 样本 信 息 之 间 的关 系 。 于 是 这 就 为 我 们 用 决 策 机 制 来 处 理 先验 分 布 的选 择 问 题 提 供 了 条件 。
对 于 先 验 分 布 的选 取 问 题 ， 多 学 者提 出 了不 同的 策 略 许 和方 法 ， 中文 献… 其 对此 问 题 作 了 比较 细 致 的研 究 ， 出 利用 提 后验 信 念 的 后 验最 大 似 然 方 法选 取 先验 分 布 。 得 到 了 一些 并 比较 好 的 结论 。 本文 正 足 基 于文 献【 基础 之 』， 入 损 失 函 Ｉ 的 ＝引 ． 数 和风 险 函 数 ， 选择 一 个 合 理 先 验 看做 是一 个 贝 叶斯 决策 把
摘
要 ： 过 引入 损 失 函数 和 风 险 函数 ， 选 择 一 个合 理 的 先验 看做 是 一 个 贝叶 斯 决 策 问题 。 并且 在 “— ” 失 通 把 Ｏ ｌ损
函数 的情 况 下 ． 验似 然合 理 先 验 就 是 所提 出 的最 小风 险合 理 先验 。 此 外 ， 一 定 的 条件 下 ， 一Ⅱ先验 与 最 小风 险 后 在 ＭＬ
一先验分布和后验分布-PPT课件
对 原 有 分 布 进 行 修 正 . 由 此 可 见 ， 后 验 分 布 综 合 用 运 了 先 验 分 布 与 样 本 信 息 . 例2(p86例3.7) 为了提高某产品的质量，公司经理
考虑增加投资来改进生产设备，预计需投资90万元， 但从投资效果来看，顾问们提出两种不同的意见：
为了使得后验分布计算简单，为此引入共轭先验分布. 1、共轭分布族
* 定义3.5 设 总 体 X 的 分 布 密 度 为为 p ( x | ) , F
的 一 个 分 布 族 ， () 为的 任 意 一 个 先 验 分 布 ，
* ( ) F ,若 对 样 本 的 任 意 观 测 值 x ，的 后 验 * * 分 布 h ( | x ) F ,则 称 F 是 关 于 分 布 密 度 px ( | )
的 共 轭 先 验 分 布 族 ， 简 称 共 轭 分 布 族 .
注 共轭分布族总是针对分布中的某个参数而言的.
2、后验分布核 由上一小节内容可知，后验分布为
q (| x ) π ( ) hx (| ) , (( m x ) 为 样 本 的 边 缘 分 布 ) m ( x )
可以看出，m(x)不依赖于参数,因而参数的后 验 分布可以写为如下等价形式： h (| x ) q (| x ) π ()
第3.2节
贝叶斯估计
一、先验分布和后验分布 二、共轭先验分布 三、贝叶斯风险 四、贝叶斯估计
一、先验分布与后验分布
上一章提出用风险函数衡量决策函数的好坏，但 是由于风险函数为二元函数，很难进行全面比较。 贝叶斯通过引入先验分布，给出了整体比较 的指标. 1、先验信息 在抽取样本之前，人们对所要估计的未知参数 所了解的信息，通常称为先验信息.
贝叶斯统计3.4,3.5教材
27
例3.22
关于成功概率的无信息先验分布至今已有4种 π1(θ)=1 π2(θ)=θ-1(1-θ)-1 π3(θ)=θ-1/2(1-θ)-1/2 ——正常 ——不正常 ——正则化后可成为正常
π4(θ)=θθ(1-θ)(1-θ) ——正则化后可成为正常
注意：1.一般说来，无信息先验不是唯一的.
但它们对贝叶斯统计推断的影响都很小，很少对结 果产生较大的影响
2.任何无信息先验都可以采用。
28
总结
1. 掌握贝叶斯假设
2.掌握位置参数和尺度参数的无信息先验分布
3.会用Fisher信息阵确定无信息先验
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§3.5 多层先验
一、多层先验 二、多层模型
30
一、多层先验
1.定义
当所给先验分布中超参数难于确定时，可以对超参数 再给出一个先验，第二个先验称为超先验。由先验和 超先验决定的一个新先验称为多层先验。
试求分布参数 与的无信息先验.
取为位置参数, 为尺度参数, 令 1, ln( ), w ln( x), 则有
p( w; , )
1
w
d * 由随机变量函数知, ( ) ( ) 1 , 2 ( ) 1 , d
浙江财经学院本科教学课程经济数学三概率统计精品文档贝叶斯统计34352第三章先验分布的确定31主观概率32利用先验信息确定先验分布33利用边缘分布mx确定先验密度34无信息先验分布35多层先验334无信息先验分布一贝叶斯假设二位置尺度参数族的无信息先验三用fisher信息阵确定无信息先验4所谓参数??的无信息先验分布是指除参数??的取值范围和??在总体分布中的地位之外再也不包含??的任何信息的先验分布
例3.23 设对某产品的不合格品率了解甚少，只知道 它比较小。现需要确定θ的先验分布。决策人经过 反复思考，最后把他引导到多层先验上去，他的思 路是这样的： (1)开始他用(0,1)上的均匀分布U(0,1)作为θ的先 验分布。
【贝叶斯统计】第一章 先验分布与后验分布
p( x ) ( )d
（1.1）
这就是贝叶斯公式密度函数形式。这个在样本 x 给定下， 的条件分 布被称为 的后验分布。它是集中了总体、样本和先验等三种信息中 有关 的一切信息，而又是排除一切与 无关信息之后所得到的结果。 故基于后验分布 ( x) 对 进行统计推断是更为有效，也是最合理的。
n x n x h( x, ) ( 1 ) , x 0,1,..., n.0 1. x
此式在定义域上与二项分布有差别。再计算 X 的边缘分布
n1 x n ( x 1)(n x 1) 1 n x m( x) h( x,0)d ( 1 ) d , x x ( n 2 ) n 1 0 0 x 0,1,..., n.
在这两个统计试验中，假如认为被实验者 是在猜测，每次成功的概率为0.5，那么十 次都猜中的概率为 2 10 0.0009766 ，这是一 个很小的概率，是几乎不可能发生的，所 以“每次成功概率为0.5”的假设应被拒绝。 被实验者每次成功概率要比0.5大得多。这 就不是猜测，而是他们的经验在帮他们的 忙。可见经验（先验信息的一种）在推断 中不可忽视，应加以利用。
例 1.2“免检产品”是怎样决定的？某厂的产品每天都要抽检几件，获得 不合格率 的估计。经过一段时间后就积累大量的资料，根据这些历史资料 （先验信息的一种）对过去产品的不合格率可构造一个分布：
i P( ) i , n
i 0，1，„ n
这个对先验信息进行加工获得的分布今后称为先验分布。这个先验分布是 综合了该厂过去产品的质量情况。如果这个分布的该率绝大部分集中在 =0 附近，那该产品可认为是“信得过产品” 。假如以后的多次抽检结果与历史资 料提供的先验分布是一致的。使用单位就可以对它做出“免检产品”的决定，或 者每月抽检一、二次就足够了，这就省去了大量的人力与物力。可见历史资料 在统计推断中应加以利用。
贝叶斯统计 经典统计 先验信息
贝叶斯统计经典统计先验信息贝叶斯统计与经典统计是统计学中两个重要的分支，它们在统计推断和参数估计等方面有着不同的理论基础和方法。
在进行统计分析时，我们通常会考虑先验信息，也就是在观测数据之前已经获得的关于参数的知识或信念。
下面将分别介绍贝叶斯统计和经典统计中的先验信息。
1. 贝叶斯统计中的先验信息：贝叶斯统计的核心思想是基于贝叶斯定理，通过将先验信息与观测数据相结合来更新对参数的估计。
以下是一些贝叶斯统计中常见的先验信息：- 先验分布：根据领域知识或以往实验的结果，我们可以选择一个适当的先验分布来描述参数的不确定性。
例如，对于一个二项分布的参数p，我们可以选择一个Beta分布作为其先验分布。
- 先验均值：如果我们对参数的均值有一定的认识，可以将其设置为先验均值。
这可以是基于经验或专家知识得出的结果。
- 先验方差：如果我们对参数的方差有一定的预期，可以将其设置为先验方差。
这可以反映出我们对参数的不确定性程度。
2. 经典统计中的先验信息：经典统计是基于频率主义的理论，它主要关注样本的分布和参数的估计。
以下是一些经典统计中常见的先验信息：- 假设检验：在进行假设检验时，我们通常会根据先验信息提出一个原假设和一个备择假设。
原假设是我们想要进行推断的参数满足的条件，备择假设是原假设不成立的情况。
- 置信区间：在估计参数时，我们可以根据先验信息构造一个置信区间。
置信区间可以反映我们对参数估计的不确定性程度。
- 样本大小：在经典统计中，样本大小对于参数估计的准确性和置信区间的精度有重要影响。
我们可以根据先验信息来确定样本大小，以保证估计结果的可靠性。
3. 贝叶斯统计与经典统计的先验信息比较：贝叶斯统计和经典统计在先验信息的处理上有所不同。
贝叶斯统计中，先验信息直接融入了参数的估计过程，而经典统计中，先验信息主要用于假设检验和置信区间的构造。
贝叶斯统计更加注重主观先验信息的利用，而经典统计更加注重样本数据的分布和频率性质。
贝叶斯讲义 先验分布与后验分布知识讲解
P( Ai )P(B / Ai )
i 1
5
2.贝叶斯公式的密度函数形式： 在给出贝叶斯公式的密度函数形式之前，先介绍 以下贝叶斯学派的一些具体思想或者叫着基本假设 ：
假设Ⅰ 随机变量X有一个密度函数p(x;θ)，其中θ是一 个参数，不同的θ对应不同的密度函数，故从贝叶斯 观点看，p(x;θ)是在给定θ后的一个条件密度函数，因 此记为p(x│θ)更恰当一些。这个条件密度能提供我们 的有关的θ信息就是总体信息。
10
例1.4 设事件A的概率为 ，即 (A) 。为了估计 而作n次 独立观察，其中事件A出现次数为X，则有X服从二项分布b(n, )
即P(X x ) Cnx x (1 )nx, x 0,1, , n. 如何求出后验分布？
解题步骤：1.作贝叶斯假设。如果此时我们对事件A的发生
没有任何了解，对 的大小也没有任何信息。在这种情况下，
是样本的边际分布，或称样本 X1, , X n 的无条件分布， 它的积分区域就是参数θ的取值范围，随具体情况而定。
8
3.贝叶斯公式的离散形式：
当 是离散随机变量时，先验分布可用
先验分布列π(θi)，这时后验分布也是离
散形式：
( i | x)
p(x | i ) ( i ) ，i 1,2, p(x | j ) ( j )
假设Ⅱ 当给定θ后，从总体p(x│θ)中随机抽取一个样 本X1，…，Xn，该样本中含有θ的有关信息。这种信 息就是样本信息。
6
假设Ⅲ 从贝叶斯观点来看，未知参数θ是一个随机变量。而描 述这个随机变量的分布可从先验信息中归纳出来，这个分布称 为先验分布，其密度函数用π(θ)表示。
（1） 先验分布 定义1 将总体中的未知参数θ∈Θ看成一取值于Θ的随机变量，它 有一概率分布，记为π(θ)，称为参数θ的先验分布。
贝叶斯统计先验分布的确定
第三章 先验分布的确定3.1 主观概率3.1.1概率的公理化定义定义：设Ω为一个样本空间，F 为Ω的某些子集组成的一个事件域，如果对任一事件A ∈F ，定义在F 上一个实值函数P(A)满足下列条件：(1)非负性公理：对于每一事件A ，有P(A)≥0；(2)正则性(规范性)公理：P(Ω)=1；(3)可列可加性(完全可加性)公理：设A 1，A 2，…是互不相容的事件，即对于i≠j ，A i A j =∅，i ，j=1，2，…，则有11()()i i i i P A P A ∞∞===∑ 则称P （A ）为事件A 的概率(Probability) ，称三元素(Ω， F ，P)为概率空间(Probability space) 。
概率是定义在σ-域F 上的一个非负的、正则的、可列可加的集函数。
3.1.2 主观概率在经典统计中，概率是用三条公理定义的：1）非负性；2）正则性；3）可加性。
概率确定方法有两种：1）古典方法；2）频率方法。
实际中大量使用的是频率方法，所以经典统计的研究对象是能大量重复的随机现象，不是这类随机现象就不能用频率的方法去确定其有关事件的概率。
这无疑把统计学的应用和研究领域缩小了[1]。
在经典统计中有一种习惯，对所得到的概率都要给出频率解释，这在有些场所是难于做出的。
譬如，天气预报：“明天下雨的概率是0.8”。
贝叶斯统计中要使用先验信息，而先验信息主要是指经验和历史资料。
因此如何用人们的经验和过去的历史资料确定概率和先验分布是贝叶斯学派要研究的问题。
贝叶斯学派是完全同意概率的公理化定义，但认为概率也是可以用经验确定。
这是与人们的实践活动一致。
这就可以使不能重复或不能大量重复的随机现象也可谈及概率。
同时也使人们积累的丰富经验得以概括和应用。
贝叶斯学派认为：一个事件的概率是人们根据经验对该事件发生可能性所给出个人信念。
这样给出的概率称为主观概率。
下面举几个例子：一个企业家认为“一项新产品在未来市场上畅销”的概率是0.8，这里的0.8是根据他自己多年的经验和当时一些市场信息综合而成的个人信念。
(完整版)贝叶斯统计第二版茆诗松汤银才编著
第一章 先验分布与后验分布1.1 解：令120.1,0.2θθ==设A 为从产品中随机取出8个，有2个不合格，则22618()0.10.90.1488P A C θ== 22628()0.20.80.2936P A C θ== 从而有1111122()()()0.4582()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+2221122()()()0.5418()()()()P A A P A P A θπθπθθπθθπθ==+1.2 解：令121, 1.5λλ==设X 为一卷磁带上的缺陷数，则()XP λ∴3(3)3!e P X λλλ-==1122(3)(3)()(3)()0.0998P X P X P X λπλλπλ∴===+== 从而有111222(3)()(3)0.2457(3)(3)()(3)0.7543(3)P X X P X P X X P X λπλπλλπλπλ==========1.3 解：设A 为从产品中随机取出8个，有3个不合格，则3358()(1)P A C θθθ=-（1） 由题意知 ()1,01πθθ=<< 从而有 351()()()504(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰（2）361()()()47040(1),01()()P A A P A d θπθπθθθθθπθθ==-<<⎰1.5 解：由已知可得 ()1,0.50.5P x x θθθ=-<<+1(),102010πθθ=<< 11.611.51()0.0110m x d θ==⎰从而有()()()10,11.511.6()P x x m x θπθπθθ==<<1.6 证明：设随机变量()X P λ，λ的先验分布为(,)Ga αβ，其中,αβ为已知，则 (),0!x e P x x λλλλ-=>1(),0()e ααβλβπλλλα--=>Γ 因此 11(1)()()()x x x P x e e e λαβλαβλπλλπλλλλ---+--+∝•∝= 所以 (,1)x Ga x λαβ++1.7 解：（1）由题意可知 ()1,01πθθ=<< 因此122()12(1)xxm x d x θθ=•=-⎰因此 2()()1(),1()1P x x x x m x x θπθπθθθ==<<- （2） 由题意可知 1222()36xm x d x θθθ=•=⎰因此 ()()()1,01()P x x m x θπθπθθ==<<1.8 解：设A 为100个产品中3个不合格，则3397100()(1)P A C θθθ=-由题意可知 199(202)()(1),01(200)πθθθθΓ=-≤≤Γ 因此 3971994296()()()(1)(1)(1)A P A πθθπθθθθθθθ∝•∝--=- 由上可知 (5,297)A Be θ1.9 解：设X 为某集团中人的高度，则2(,5)XN θ∴25(,)10XN θ∴2(176.53)5()p x θθ--=由题意可知 2(172.72)5.08()θπθ--=又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222(176.53)(172.72)(174.64)55.0821.26eeeθθθ------⨯∝•∝因此 (174.64,1.26)x N θ1.10 证明：设22(,),,N u u θσσ其中为已知又由于X 是θ的充分统计量，从而有()()()()x x p x πθπθθπθ=∝•222222251()()11252()11225252u x x u e eeσθθθσσσ+----+⨯--⨯+⨯∝∝因此 222251(,)112525u x xN σθσσ+++又由于21112525σ≤+ 所以 θ的后验标准差一定小于151.11 解：设X 为某人每天早上在车站等候公共汽车的时间，则(0,)XU θ∴1(),0p x x θθθ=<<当8θ>时，31()p x θθ=43819211()8192m x d θθθ+∞==⎰从而有 7()()3()()128p x x m x θπθπθθ==1.12 证明：由题意可知 1(),0,1,2,...,i np x x i n θθθ=<<=从而有 ()()()()x x p x πθπθθπθ∝•00111n n n ααααθθθθθ++++∝•∝ 因此 θ的后验分布仍是Pareto 分布。
先验分布的选择的概念
先验分布的选择的概念
先验分布是在贝叶斯统计学中一个重要的概念，它是指在进行统计推断时，对于待估计的未知量可能取值的预先概率分布。
先验分布的选择对贝叶斯分析的结果有着至关重要的影响。
在这篇文章中，我们将分步骤阐述先验分布的选择的概念。
1. 了解先验分布的作用
在进行贝叶斯分析时，我们需要先指定一个先验分布。
这个先验分布代表了我们关于待估计量的先有知识和信念。
这个先验分布将与我们要估计的数据相结合，得到一个后验分布。
后验分布是我们对待估计量真实值的置信度分布。
2. 考虑问题的具体情况
在选择先验分布时，需要考虑到具体的问题情况。
例如，如果我们要对某一物种的平均寿命进行估计，那么我们可以选择一个均值为50岁，方差为10岁的正态分布作为先验分布。
这是因为我们已经知道的关于这个物种寿命的知识是它大概位于50岁附近，并且可能有一些波动。
3. 考虑领域知识
在选择先验分布时，领域知识会起到重要的作用。
以医学统计学为例，医生可能会选择一个先验分布，该分布已经考虑了疾病的流行率和其他相关因素。
这样的选定的先验分布可能会使得后验分布更加准确。
4. 更替先验分布
如果我们发现后验分布并不准确，那么我们应该考虑更换先验分布。
我们可以通过先验分布的灵活性，比如选择一个更加宽松的先验分布，来看看是否有更好的结果。
在贝叶斯统计学中，选择先验分布是一个非常关键的环节，它直接影响到后验分布和加权决策的准确性和可靠性。
因此，在选择先验
分布时，我们需要考虑问题所涉及的具体情况和领域知识，以及不断更替先验分布，以寻找效果更好的方法。
贝叶斯 先验分布
贝叶斯先验分布
贝叶斯先验分布（Bayesian prior distribution），是指在进行贝叶斯统计推断过程中，对未知参数的概率分布的初始假设。
简单来说，先验分布是对参数先前知识的一个概率分布的表达。
贝叶斯统计中的先验分布是与后验分布相关的。
先验分布是在获得新的证据之前确定参数的概率分布，而后验分布是仅仅基于新的信息来确定参数的概率分布。
先验分布是在进行实验之前就已经被确定的，因此可以被视为提供了默认的基准信息。
在实验产生数据的时候，新发现的数据会与先验分布结合，从而构建出一个更新的后验分布。
贝叶斯先验分布中常常包含一些超参数，这些超参数可以用来控制先验分布的形态和精度。
根据数据的实际情况和模型的选择，可以利用贝叶斯最优化方法来确定超参数的值，从而使得先验分布更好地反映出真实情况。
实际中，先验分布的选择和超参数的确定往往需要专家经验和领域知识的支持，因此具有一定的主观性。
贝叶斯先验分布
贝叶斯先验分布贝叶斯先验分布是贝叶斯统计推断中的重要概念，它指的是在进行贝叶斯推断之前对未知参数先验知识或经验的概率分布进行建模。
先验分布在贝叶斯推断中起到了约束参数估计的作用，可以帮助我们更准确地推断出未知参数的后验分布。
本文将介绍贝叶斯先验分布的基本概念、常见的先验分布类型以及如何选择合适的先验分布。
贝叶斯统计推断的思想是将已有的观测数据与先验知识相结合，通过贝叶斯定理来计算参数的后验分布。
其中，先验分布起到了约束参数估计的作用，可以使推断结果更加准确可靠。
先验分布可以通过历史数据、专业知识或人的经验来建立，在具体问题中可能会有不同的选择。
常见的先验分布类型包括均匀分布、正态分布、伽马分布等。
均匀分布是最简单的先验分布，对于未知参数的取值范围没有太多先验假设，常用于离散参数的先验设定。
正态分布是最常用的连续参数的先验分布，具有良好的数学性质，可以用来描述未知参数的先验分布。
伽马分布常用于正数参数的先验建模，例如泊松分布中的参数。
在选择先验分布时，我们需要考虑的因素包括：先验知识、数据的特点、问题的背景等。
如果已有一些先验知识或经验，可以根据这些知识来选择先验分布。
如果数据的特点已经明确，可以选择与数据特点匹配的先验分布。
此外，问题的背景也可以提供一些先验信息，例如在医学诊断问题中，先验信息可能会来自于医生的经验。
在实际应用中，经验法则、共轭先验法则和无信息先验法则是选择先验分布的常用方法。
经验法则是指根据历史数据或专业知识来选择先验分布，例如根据以往类似问题的数据来选择先验分布。
共轭先验法则是指选择一个与似然函数具有相同形式的先验分布，这样可以使后验分布的形式与先验分布相同，便于计算。
无信息先验法则是指将先验分布设定为对未知参数没有信息的分布，实际应用中常使用均匀分布或非相关先验分布。
总之，贝叶斯先验分布在贝叶斯统计推断中扮演了重要的角色，它可以约束参数的估计结果，使推断结果更加准确可靠。
在选择先验分布时，需要结合先验知识、数据特点和问题背景来进行选择，并且可以采用经验法则、共轭先验法则或无信息先验法则来确定合适的先验分布。
贝叶斯讲义 先验分布的确定
p(x | ) ( )d , p(x | ) ( )，
当为连续时 当为离散时
当先验分布含有未知参数，譬如π(θ)= π(θ|λ)，那 么边缘分布m(x)依赖于λ，可记为m(x|λ)，这种边缘分 布在寻求后验分布时常遇到。
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二、混合分布
(1)混合分布的概念：设随机变量X以概率π在总体F1 中取值，以概率1-π在总体F2中取值。若F(x|θ1)和 F(x|θ2)分别是这两个总体的分布函数，则X的分布 函数为：F(x)= πF(x |θ1)+(1-π)F(x|θ2) 或用密度函数（或概率密度）表示：
则约有nπ(θ1)个来自F(x |θ1)，约有nπ(θ2)个来自F(x |θ2)。 (3)实例分析:
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三、先验选择的ML-Ⅱ方法
定义：设 { ( | ), }为所考虑的先
验类，且x=(x1,x2,…,xn)是来自Г中某一 分布的样本，若存在 ˆ (ˆ ) 满足（对
观测数据x）：
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(一)位置参数的无信息先验
定理：位置参数族的先验分布可用贝叶斯假设作为无
信息先验分布。
证明：设总体X的密度具有形式p(x-θ)，其样本空间
与参数空间均为实数集。对X作一个平移Y=X+c，则
Y的密度具有形式：p(y-c-θ)，这相当于对参数θ作
一个平移η=θ+c，即Y的密度形式为p(y-η)，它仍
MMaaddeebbyyccyyhh
第三章 先验分布的确定
经济学院统计系:陈耀辉
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第三章 先验分布的确定
§3.1 主观概率 §3.2 利用先验信息确定先验分布 §3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度 §3.4 无信息先验分布 §3.5 多层先验
ch3先验分布的确定
利用边缘分布m(x) m(x)确定先验密度 §3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度
一、边缘分布m(x) m(x) 二、混合分布 三、先验选择的ML-II方法 四、先验选择的矩方法
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一、边缘分布m(x) 设总体X的密度函数为p(x|θ),它含有未 知参数θ ，若θ的先验分布选用形式已知的 密度函数π(θ),则可算得X的边缘分布（即 无条件分布）： p( x | θ )π (θ )dθ , 当θ为连续时 ∫Θ m( x ) = 当θ为离散时 ∑θ ∈Θ p( x | θ )π (θ )，
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1.利用对立事件的比较确定主观概率 1.利用对立事件的比较确定主观概率 利用对立事件的比较确定
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2.利用专家意见确定主观概率 2.利用专家意见确定主观概率 利用专家意见确定
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3.向多位专家咨询确定主观概率 3.向多位专家咨询确定主观概率 向多位专家咨询确定
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4.充分利用历史资料， 4.充分利用历史资料，考虑现有信息加以修正 充分利用历史资料
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(一)位置参数的无信息先验
定理：位置参数族的先验分布可用贝叶斯假设作为无 信息先验分布。 证明：设总体X的密度具有形式p(x-θ)，其样本空间 与参数空间均为实数集。对X作一个平移Y=X+c，则 Y的密度具有形式：p(y-c-θ)，这相当于对参数θ作 一个平移η=θ+c，即Y的密度形式为p(y-η)，它仍 然是位置参数族的成员，且其样本空间与参数空间没 有发生改变。因此θ与η应具有相同的无信息先验分 布。即 π(τ)=π*(τ) 其中π*(τ)为η的无信息先验分布。同时，由变换 η=θ+c可算得η的无信息先验分布为 dθ * π (η ) = π (η − c) = π (η − c) dη 比较上述两式就可知道θ的无信息先验分布是常数。 41
统计决策与贝叶斯分析第三章先验分布的确定
使用直方图法时应注意
在实际绘制直方图时，需要考虑区间如何划分才比较恰当，而关于 分多少个区间以及每个区间的大小没有统一的标准。如果划分太细，会 增加估计概率的困难程度;如果划分太粗，则绘制的密度函数将会很粗 糙。因此，要根据问题的实际情况来确定如何划分。另外，借助直方图
得到的密度函数曲线 ( ) 是由各区间上的光滑曲线连接而成，因而并
不好处理。再者，它只适用于有限区间的情形，所以得到的只是截尾的 密度函数，尾部的小概率并未能得到估计。
2.累计概率曲线估计（定分度法和变分度法）
累计概率曲线估计法主要借助咨询专家意见以及决策者的主观 判断确定一些特殊点的概率，然后画出相应的概率曲线，最后利用这 条曲线近似估计其它点的概率。通常分为定分度法和变分度法。
（二）参数 为连续时
当参数 为连续时，我们可以借助已有的信息，根据以下几种方法获 得参数 的先验密度（或先验分布）。
1.直方图法 当参数 的取值空间 为实数轴的一个有限区间时，最简单的方法 是把 分成一些小区间，在每个区间上给出主观概率，然后绘制直方图（如
图 3.1.1），由直方图可以画出光滑的密度 ( ) 的草图。
观似然性，最后由此相对似然性描绘出先验密度。这种方法获得的先 验密度图形的精确度会随着点的增多而提高。
4.设定先验密度，估计未知参数
这种方法思路是：先选定一个先验密度（其中含有未知参数， 即超参数），然后根据已有信息计算先验密度中的未知参数，最后得 到参数的先验密度。
【例 3.1.4 】 假设对某种商品的需求量 选取先验分布为
合已有经验，通过对事件的比较，决定它们的相对似然性。
【例 3.1.1】 想要计算事件的概率，只要将 E 与例如 Ec 做比较， 如 果 决 策 者 根 据 经 验 认 为 E 的 发 生 机 会 是 Ec 的 三 倍 ， 亦 即
28.先验分布的确定
先验分布的确定
如何确定先验分布，这是贝叶斯统计中最困难，也是使用甲叶斯方法必须解决但又最易引起争议的问题。
这个问题现代有很多研究成果，但还没有圆满的理论与普遍有效的方法。
从实用角度出发，应充分利用专家的经验或者对历史上积累的数据进行分析和拟合，以确定先验分布。
在确定先验分布时，许多人利用下列的协调性假说。
协调性假说：若总体X 的分布密度（或概率函数）是(,)f x θ，则θ的先验分布与由它和X 的样本确定的后验分布应属于同一类型。
这时先验分布叫做是与(,)f x θ共轭的分布。
这里未对“同一类型”四字给出精确的定义，也很难给出恰当的定义。
通常的理解是，将概率性质相似的所有分布算作同一类型。
例如，所有正态分布构成一类；所有Γ分布构成一类；所有β分布构成一类。
这个假说指标我们，先验分布应取何种类型，然后再利用历史数据来确定先验分布中的未知部分。
许多实践表明，这个假说是符合实际的。
以下我们要对一些常见的分布找出其共轭的先验分布。
定理3.1 设1,,n X X L 是来自伯努利分布（参数是p ，0p 1<<）的样本，若p 的
先验分布是β分布，参数是,αβ，则在11,,n n X x X x ==L 下p 的后验分布是参数
为,y n y αβ++−的β分布，这里1n i y x =∑。
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说明：如果有两个甚至多个先验分布都满足给定的先 验信息，则要看情况选择：假如这两个先验分布差异 不大，对后验分布影响也不大，则可任选一个；如果 我们面临着两个差异极大的先验分布可供选择时，一 16 定要根据实际情况慎重选择。
三、定分度法与变分度法
基本概念: (1)定分度法:把参数可能取值的区间逐次分 为长度相等的小区间,每次在每个小区间上 请专家给出主观概率. (2)变分度法:该法是把参数可能取值的区间 逐次分为机会相等的两个小区间,这里的分 点由专家确定. 例3.9(自学)
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§3.3 利用边缘分布m(x)确定先验密度
一、边缘分布m(x)
二、混合分布 三、先验选择的ML-II方法
四、先验选择的矩方法
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一、边缘分布m(x) 设总体X的密度函数为p(x|θ ),它含有未 知参数θ ，若θ 的先验分布选用形式已知的 密度函数π (θ ),则可算得X的边缘分布（即 无条件分布）： 当为连续时 p( x | ) ( )d , m( x) p ( x | ) ( ) ， 当 为离散时
P( Ai ) P( Ai )
i 1 i 1
（2）如果发现所确定的主观概率与上述三个公理 及其推出的性质相悖，必须立即修正。直到两者一 致为止。（例3.5）
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§3.2 利用先验信息确定先验分布
一、直方图法 二、选定先验密度函数形式再估计其超参数 三、定分度法与变分度法
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一、直方图法
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三、先验选择的ML-Ⅱ方法
定义：设 { ( | ), } 为所考虑的先 验类，且x=(x1,x2,…,xn)是来自Г 中某一 ˆ ) 满足（对 ˆ ( 分布的样本，若存在 n 观测数据x）： ˆ ) sup m(x | m( xi | )
当先验分布含有未知参数，譬如π(θ )= π(θ |λ )，那 么边缘分布m(x)依赖于λ，可记为m(x|λ )，这种边缘分 布在寻求后验分布时常遇到。
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二、混合分布
(1)混合分布的概念：设随机变量X以概率π 在总体F1 中取值，以概率1-π 在总体F2中取值。若F(x|θ 1)和 F(x|θ 2)分别是这两个总体的分布函数，则X的分布 函数为：F(x)= π F(x |θ 1)+(1-π )F(x|θ 2) 或用密度函数（或概率密度）表示： p(x)= π p(x |θ 1)+ (1-π )p(x|θ 2) 这个分布F(x)称为F(x |θ 1)和F(x|θ 2)的混合分布。 这里的π 和1-π 可以看作一个新随机变量θ 的分布， 即： P(θ =θ 1)=π =π (θ 1)， P(θ =θ 2)=1-π =π (θ 2)
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第三章 先验分布的确定
经济学院统计系:陈耀辉
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第三章
§3.1 §3.2 §3.3 §3.4 §3.5
先验分布的确定
主观概率 利用先验信息确定先验分布 利用边缘分布m(x)确定先验密度 无信息先验分布 多层先验
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§3.1 主观概率
一、主观概率 1.贝叶斯学派要研究的问题：如何用人们的经 验和过去的历史资料确定概率和先验分布。 2.经典统计确定概率的两种方法： （1）古典方法； （2）频率方法。 3.主观概率的定义：一个事件的概率是人们根 据经验对该事件发生可能性所给出的个人信 念。
则 ˆ 被称为Ⅱ型极大似然先验，或简称为 ML-Ⅱ先验。 说明：这里将m(x)看成似然函数
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四、先验选择的矩方法
在选择π ∈Г 时，可用矩方法代替极大似然方 法。矩方法应用于当Г有“已知函数形式”。即可 利用先验矩与边缘分布矩之间的关系寻求超参数的 估计。这种方法称为先验选择的矩方法。该方法的 具体步骤是： 1.计算总体分布p(x|θ )的期望μ (θ )和方差 σ 2(θ )，即 μ (θ )=Ex|θ (X)， σ 2(θ )= Ex|θ [X-μ (θ )]2 *Ex|θ 表示用θ 给定下的条件分布p(x|θ )求期望。
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2.利用专家意见确定主观概率
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3.向多位专家咨询确定主观概率
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4.充分利用历史资料，考虑现有信息加以修正
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注意事项：（1）不管按照什么方法确定的主 观概率必须满足概率的三条公理： ①非负性公理：对任意事件A，0≤P(A)≤1。 ②正则性公理：必然事件的概率为1 ③可列可加性公理：对可列个互不相容的事件A1， A2，…，有
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率(例3.1)； 2.利用专家意见确定主观概率(例3.2) ； 3.向多位专家咨询确定主观概率(例3.3) ； 4.充分利用历史资料，考虑现有信息加以修正,才 能得到比较切合实际的主观概率(例3.4) 。
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1.利用对立事件的比较确定主观概率
基本步骤： 1.把参数空间分成一些小区间； 2.在每个小区间上决定主观概率或依据历史数 据确定其频率； 3.绘制频率直方图； 4.在直方图上作一条光滑曲线，此曲线即为先 验分布()。 例3.6 某药材店记录了吉林人参的每周销售量, 现要寻求每周平均销售量θ的概率分布。
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二、选定先验密度函数形式再估计其超参数 该方法的要点： （1）根据先验信息选定θ的先验密度函数 π(θ)的形式，如选其共轭先验分布。 （2）当先验分布中含有未知参数（称为超 参数）时，譬如π(θ)= π(θ；α,β)， ˆ使 ˆ， 给出超参数α,β的估计值 ˆ ˆ π(θ； ， )最接近先验信息。
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(2)混合样本的概念：从混合分布中抽出的样本称为
混合样本。 注：①从混合分布F(x)中抽取一个样品x1，相当于 如下的二次抽样： 第一次:从π(θ)中抽取一个样品θ。 第二次：若θ=θ1，则从F(x |θ1)中再抽一个样品， 这个样品就是x1； 若θ=θ2，则从F(x |θ2)中再抽一个样品，这个样品 就是x1 ②若从混合分布抽取一个容量为n的样本x1,x2,…,xn, 则约有nπ(θ1)个来自F(x |θ1)，约有nπ(θ2)个来自F(x |θ2)。 (3)实例分析: