二阶变系数线性微分方程的一些解法
二阶变系数线性微分方程求解法探究
二阶变系数线性微分方程求解法探究
李雷民
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2015(000)017
【摘要】二阶线性齐次微分方程是微分理论的重要组成部分,在现代科技、工程等领域中都有广泛应用,这其中很多的应用情况都归属于二阶线性常微分方程的范畴中。
在微分理论中常系数微分方程可以利用线性常微分的理论求解,但变系数类型的求解则相对较难,至今都很难找到有效的求解方法。
本文以二阶边系数线性微分方程的求解意义作为出发点,对一般与特殊的二阶变系数线性微分方程的解法进行探讨,希望能为相关研究人员提供些许参考作用。
【总页数】1页(P99-99)
【作者】李雷民
【作者单位】河南化工职业学院,河南郑州450042
【正文语种】中文
【中图分类】O175.1
【相关文献】
1.二阶常系数非齐次线性微分方程通解的简易求解法
2.高阶变系数线性微分方程的一种求解法
3.关于二阶变系数线性微分方程求解法的研究
4.某类—阶变系数线性齐次微分方程组的求解法
5.二阶变系数线性微分方程的解法探讨
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
二阶变系数齐次微分方程通解的求法
假设 2 （ * %） &" ( （ + %） & (（ , %）5 $ ， ， 即 " %& . " （ % ( !） & ( ( 5 $， （ & . "） （ &% . " ）5 $ 6 因为 & 为常数， 所以 & # " ， 由此得方程的一个特解 !! # #"% ，
% 再设 !" # $ （ %） #特解， 则
! ( ( ） &( "
参考文献
+ 张清芳， 库在强0 用观察法求某些二阶系数齐次方程的通解 ［ ,］ ， 高等数学研究， "’’- ， . （&） ： /0 —/. ［!］
-----------------------------------------（ 上接第 !. 页） + 所以原方程组的通解为： " & 2 0 & $ ! $ &20 $ " - 2 0 $ " "20 (!! ("! (&! (!! ("! (&! 1 %（ !! !" ） # ’ # ’ ’ % ! ’ (!" ("" (&" (!" ("" (&" ’ % 2 0 ’ ! -20 ’ ’ ’ ’ ! " % & ("! $ ("" & 2 0 % & (&! $ (&" $ & 2 0 % & (!! $ (!" " 2 0 $ - (!! % " (!" $ " $ - ("! % " ("" - 2 0 $ -& (&! % " (&" (!! ("! (&! - 2 0 % (!" ("" % 2 0 % (&" (!" ("" (&"
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法+题型和题法系统讲座
二阶变系数微分方程的●常数变易法●平移法●级数法 题型和题法系统讲座一、二阶变系数微分方程常数变易法已知()()()0y x p x y q x y '''++=的通解()1122Y x c y c y =+，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：令()()()()y x p x y q x y f x '''++=【例1】已知20x y xy y '''-+=的通解为()12ln Y x c x c x x =+，求2x y xy y x '''-+=的通解y 。
解：22111x y xy y x y y y x x x''''''-+=⇒-+= 令 ()()()12ln Y x v x x v x x x =+代入2111y y y x x x'''-+=，求得()1212212ln 11ln ln ln ln ln 11ln 11ln 1ln ln 2y c x c x x Y x x x x x x c x c x x x dx x x dx xxxxx xxxc x c x x x x =++⋅⋅=+-+++=++⎰⎰ 已知()()()0y x p x y q x y '''++=的一个特解1y ，求()()()()y x p x y q x y f x '''++=的通解y解答方法：()()()()y x p x y q x y f x '''++=可求得通解y 。
【例2】参见同济5版下册P300例4或同济6版上册P330例4。
【例3】已知1y x =是()2220x y x xy y '''-+=的一个特解，求()23222x y x xy y x '''-+=的通解y 。
二阶变系数线性微分方程的一些解法
2
积分得 x2 ＋ y2 ＝C2 42
即抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线是一个椭圆族，如
图 6-4。
三、追迹问题
例 3. 开始时，甲、乙水平
距离为 1 单位，乙从 A 点沿垂
直于 OA 的直线以等速 v0 向正
比行走；甲从乙的左侧 O 点出
发，始终对准乙以 nv0(n＞1)
的速度追赶，求追迹曲线方程，
就是所要求的正交轨线。 例 2 求抛物线族 y＝Cx2 的正交轨线。 解 对 y＝Cx2 关于 x 求导，得
y′＝2Cx 与原方程联列
y Cx 2
消去 C
y' 2Cx
图 6-4
得微分方程
y′＝ 2y x
将－ 1 代入 y′得所求抛物线的正交轨线微分方程 y'
－ 1 ＝2y y' x
即
ydy＝－ x dx
第九节 二阶变系数线性微分方程
的一些解法
常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数 线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变 系数线性方程，要求其解一般是很困难的。本节介绍 处理这类方程的二种方法
§9.1 降阶法
在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而
求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方
线族。例如 y＝Cx2为一抛物线族。
图 6-3 如果存在另一族曲线 G(x,y,C)＝0，其每一条曲线 都与曲线族 F(x,y,C)＝0 的每条曲线垂直相交，即不 同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称 G(x,y,C)＝0 为 F(x,y，C)＝0 的正交轨线。 将曲线族方程 F(x,y,C)＝0 对 x 求导与 F(x,y,C) ＝0 联列并消去常数 C，得曲线族上任一点的坐标(x,y) 和曲线在该点的斜率 y′所满足的微分方程
对二阶变系数线性微分方程求解法的研究
“ （ ） ＝ 。
（ ５ ）
令ｔ ＝ ｌ ｎ ｘ ，则 ｘ ＝ ｅ ， （ ５ ）式 化为
ｗ 。 （ ｏ ＋ （ ｃ — Ｄ “ ’ （ ０ ＋ ！ ： ≠“ （ ０ ＝ 。
（ ６ ）
（ ６ ）式 变成 为 常系数 线 性微 分方 程未 知 函数 为 Ｕ （ ｔ ） ，自变
（ Ｉ Ｉ Ｉ ）ｃ ＞ ｛ 时，
【 ｃ ｌ ｃ ０ ｓ （
ｌ ｎ
ｍ ｌ ｔ √ － Ｔ－ － ｌ ｎ 坍
要。
（ ＋ 。 ０ ） “ （ ） ＋ ［ 孝 ＋ （ ＋ １ 】 “ （ ＝ ０ （ ３ ）
若设 吣） ＝ ； ， 则（ ３ ） 为欧拉 方 程， 将其 代入 （ ３ ） 得
（ ｃ， ） ＋ ｃ ￣ ＋ ２ ｃ 。 （ ４ ）
或
“ （ ＋ Ｃ Ｘ Ｕ ＇ （ 一 ｃ ＇ ＋ ２ ｃ
： ｙ＝ （ Ａｘ ＋ｅ
（ Ｉ ）ｃ ＜ ÷ 时，ｙ ： （ ｃ ｌ 譬 ＋
（ Ｉ Ｉ ）ｃ ＝ ｉ ｌ 时 ，ｙ ： （ ｃ ｌ ＋ Ｉ ｎ ） Ｉ ｛ Ｐ
．
．
．
＋Ｃ ２
） ｃ
’
若ｃ ＝ ０ ，即 ４ ｑ ） 。 ） 一
） ＝ Ｏ时 ，方程 （ １ ）的通 解为
殊型 的二 阶变系数线性微分方程。本文研 究了三种满足特殊条件的二 阶变系数微分方程，在此基础上，研究一般型的二阶变系数线 性微分方程。从方程的 自身特点出发，巧妙构造结构 ，利用降阶法把二阶变系数线性微分方程的求解问题转嫁为一阶线性微分方程 的 求解 问题 。 首先构 造结 构 系数 函数 ，然后 利 用构造 结 构 的 系数 函数 ，通 过 降 阶法得 到求 二 阶变 系数 线性微 分 方程 通解 或特 解 的一
二阶变系数线性微分方程的求解问题--本科毕业论文
目录一、论文正文摘要 (1)1引言 (1)2构造系数函数法 (1)2.1第一种构造系数函数法 (1)2.1.1应用举例 (4)2.2第二种构造系数函数法 (5)2.2.1应用举例 (5)3常数变异法 (5)3.1求二阶变系数齐次线性微分方程的通解 (6)3.2求二阶变系数非齐次线性微分方程的解 (6)3.3.1 应用举例 (8)4 总结 (9)致谢 (9)参考文献 (9)二、附录开题报告 (11)中期检查报告 (12)结题报告 (14)答辩报告 (15)答辩过程记录 (16)指导教师：贾化冰二阶变系数线性微分方程的求解问题苏鲜娜 （宝鸡文理学院 数学与信息科学学院，陕西 宝鸡 721013 ）摘 要:本文考虑二阶变系数线性微分方程的求解问题.基于系数函数的特点,利用常数变异法,获得二阶变系数线性微分方程的通解，并举例说明。
关键词:二阶变系数线性微分方程；通解；常数变易法1 引言随着科学的发展和社会的不断进步，微分方程的应用也越来越广泛，比如在物理，化学，电子技术，自动控制等领域，它都发挥着及其重要的作用，同时也都提出了许多有关微分方程的问题。
对于有关常系数线性微分方程的问题，已有许多研究者提出了各种不同的求解方法，然而，对于变系数线性微分方程，特别是二阶甚至高阶变系数线性微分方程的求解问题却研究的并不是很多，作为微分理论重要组成部分的二阶变系数线性微分方程，在现代科技、工程等各领域中都具有广泛的应用，可是对于如何来求解二阶变系数线性微分方程, 虽然对其解的结构已有一定研究，但是却仍然没有一种成规的方法.无论是在中国还是在外国现行的《高等数学》[1]中，也只是对于常系数微分方程的求解问题做了比较详细的研究与归纳，即使在《常微分方程》中也没有对二阶变系数微分方程的通解或者特解作出更深一步的研究。
如果()p x ,()q x 为连续且非常数的函数，那么方程()()()y p x y q x y f x '''++=，被称为二阶变系数线性微分方程。
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法
二阶变系数线性齐次微分方程的一些解法二阶变系数线性齐次微分方程的求解方法有多种，其中常用的有拉普拉斯变换、迭代、改型四阶 Runge-Kutta 法等。
1、拉普拉斯变换：拉普拉斯变换可以用于求解二阶变系数线性齐次微分方程。
该方法被称为拉普拉斯变换是由波扎西在1820年提出的，其原理是使用一种变换把微分方程变换成容易求解的线性方程组。
例如：考虑以下方程：$y\prime\prime +222ty\prime +529y=0$可以使用以下四步法将其转换为可以直接求解的形式：(1) 用拉普拉斯变量$z=y\prime$，等号右边变为：$z\prime+222tz+529y=0$(2)$y\prime=z$，两边同时乘以$e^{\int{222t}dt}$，此时等号两边的导数消去，得：$e^{\int{222t}dt}z+222te^{\int{222t}dt}y=0$，再变形得：$z+222te^{\int{-222t}dt}y=0$(3)将等号两边都乘以$e^{\int{-222t}dt}$，则有：$e^{\int{-222t}dt}z+222y=0$(4)等号两边同时除以$222$，则有：$\frac{e^{\int{-222t}dt}}{222}z+y=0$这样就可以将方程变换为可以直接求解的标准形式：$\frac{dz}{dt}+p(t)z+q(t)y=0$，这就是二阶变系数线性齐次微分方程的拉普拉斯变换所得到的结果。
2、迭代法迭代法是指通过某种规则迭代取不断精确的数据，从而求解问题的方法。
它指定了一系列迭代公式，用来在定义域上以增量方式估计近似解。
迭代法可以用来求解二阶变系数线性齐次微分方程，其基本原理是首先对方程进行拉弦展开（也叫做多项式拟合），然后分别求出每次迭代时的Y和V值，并用它们来更新下一次的Y和V 值，从而不断地进行反复的迭代操作，直到找到足够精确的解。
一类二阶变系数线性微分方程的算子解法
对 于这类 方程 ，通 常 可使 用级 数解 法求 解Ⅲ ，但 是 这种解 法 较 复杂 ，并 且所 得 到 的解是
一
个 无 限形 式 的特殊 函数 ，而在 一定 的条件 下 ，利用 算子 解 法 则可 简便 地求 出这类方 程
以下 先证 明本 文 主要结 果 的一个 定理 ． 定理 １ 如果 多项 式 『 及 ｑ ） Ｊ ） （ （ 满足 条件 ：
程 可用 算 子解 法 求 出通 解 的一 些 可积 类 型 ；举 例 说 明使 用 算 子 解法 求 出 已知 类 型 方 程通 解 的
步 骤和 方 法 ．
关键 词 ：二 阶 ；变 系 数 ；算 子 解 法 ；可 积 类 型
中 图分 类 号 ：０ １ ５ １ ７ ． 文 献标 识 码 ：Ａ
７
｛＿（』））＋ （）＿ （ｃ ￣ｘ（ｉＪ －Ｉ ｐ ｆ Ｐ ／ ｅｄ ｐ ｘ （ ｄ ｘ ｘ
（ ３ ）
（） ４
其 中 表示 任 意一个 常 数． ・
２ 主要 结 果
考虑 如下 形式 的 二 阶变 系 数线性 齐次 方程 ：
” Ｐ（ ｘ （ ：０ 十 ）ｙ 十 ）
二阶变 系数线性微 分方 程在 一般 情形下 是不可积 的 ，即在一 般情 形 下 ，方 程 的解 不可能 用 有限形式 的初 等积分 来表示． 但某些 特殊形式 的变 系数线 性方 程还 是可 积 的 ，例如著 名 的 Ｅ ｌ 方程 ． 为 了适 应理 论 研究 和工 程应 用 的需 要 ，近 ３ ｕｅ ｒ ０年来 ，人们 用不 同的方
了一类 重要 的二阶变 系数线性 方程 的解 法 ，得 到 了已知类 型方程 的一些 可积类 型．
１ 预 备 知 识
文献［— ］ 已给 出了二 阶线 性微分 算子 的分 解及二 阶变 系数线 性微分 方程算 子解法 ３ ４中 的一些结果 ，下 面引用其 中的一些结果 ． 引理 ｌ 二 阶变系数线 性微分 方程
二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
张凤然;马金江
【期刊名称】《高师理科学刊》
【年(卷),期】2008(028)006
【摘要】通过寻求积分因子,求解某些类型的二阶变系数线性微分方程,给出通解公式.该方法也适于求解二阶常系数线性微分方程和二阶Euler方程.
【总页数】3页(P13-15)
【作者】张凤然;马金江
【作者单位】南通大学,理学院,江苏,南通,226007;南通大学,理学院,江苏,南
通,226007
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.二阶变系数线性微分方程的解法 [J], 王莉
2.一类二阶变系数线性微分方程的新解法 [J], 张道祥;李亭亭
3.一类二阶线性变系数微分方程解法的探讨 [J], 赵临龙
4.一类二阶变系数线性微分方程的积分因子解法 [J], 宁荣健;唐烁;朱士信
5.二阶变系数线性微分方程的解法探讨 [J], 郑华盛
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究
一类二阶变系数线性微分方程解题方法探究二阶线性微分方程是常见的微分方程类型之一，其一般形式可以写为：y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)p(x)和q(x)是已知函数，f(x)是已知的非齐次项函数。
解这类方程的方法有很多种，下面将分别介绍两种常见的解法：常数变易法和叠加原理。
一、常数变易法常数变易法是一种找特解的方法，它的基本思想是通过假设特解为某个形式的函数，然后将其代入方程进行求解。
常见的常数变易法包括：常数变易法、待定系数法和特殊函数变易法。
常数变易法的步骤如下：2. 假设特解为y_p(x)，其中特解的形式可以根据f(x)的形式来确定。
3. 将特解y_p(x)代入原方程，消去常数项后得到一个新的方程，通常情况下这个方程比原方程简化一些。
4. 根据特解形式的不同，求解新方程得到特解y_p(x)。
5. 最终的解为y(x) = y_c(x) + y_p(x)，其中y_c(x)是齐次方程的通解，y_p(x)是特解。
二、叠加原理叠加原理是另一种解二阶线性微分方程的方法，其基本思想是将非齐次方程分解为两个齐次方程的和。
具体步骤如下：3. 将y(x) = u(x) + v(x)代入非齐次方程，得到u''(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) + v''(x) + p(x)v'(x) + q(x)v(x) = f(x)。
6. 求解齐次方程得到v(x)的通解v_c(x)，然后根据f(x)的形式可以确定v(x)的一个特解v_p(x)。
二阶变系数线性微分方程的解题方法主要包括常数变易法和叠加原理。
通过这两种方法可以求解各种形式的二阶线性微分方程，并得到其通解或特解。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的方法进行求解，可以有效地解决问题。
二阶微分方程的解法
二阶微分方程的解法概述二阶微分方程是微积分课程中的重要内容，它描述了一类与二阶导数有关的数学关系。
解决二阶微分方程是求解许多自然科学和工程学科中的问题的关键步骤。
本文将介绍二阶微分方程的基本概念，常见的解法以及解法的应用领域。
二阶微分方程的基本概念二阶微分方程是指含有二阶导数的微分方程，通常形式为：d2y dx2=F(x,y,dydx)其中，y是未知函数，x是自变量，F是给定函数。
二阶微分方程可以分为线性和非线性两类，线性二阶微分方程的一般形式为：d2y dx2+P(x)dydx+Q(x)y=R(x)其中，P(x)、Q(x)、R(x)是已知函数。
常见的解法解决二阶微分方程的方法有多种，下面介绍几种常见的解法。
1. 特解和通解对于非齐次二阶线性微分方程，我们可以通过特解和通解的组合求解。
首先求解相应齐次方程（将非齐次方程中的R(x)置为0）的通解，记为y c。
然后求解非齐次方程的一个特解，记为y p。
最后，原方程的通解可以表示为y= y c+y p。
2. 常数变易法常数变易法适用于形如y″+P(x)y′+Q(x)y=R(x)的方程。
我们首先假设通解为y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)都是未知函数。
然后将通解带入原方程得到一个关于u和v的方程。
通过选择合适的u和v，使得方程成立，即可求得原方程的通解。
3. 欧拉方程对于形如x2y″+P(x)xy′+Q(x)y=0的方程，我们可以通过欧拉方程进行求解。
将未知函数y表示为y=x r，其中r是常数。
然后将这个表达式代入原方程，并确定r的值，从而求得方程的通解。
4. 分离变量法对于一些特殊的二阶微分方程，我们可以使用分离变量法求解。
例如，对于形如y″=f(x)g(y)的方程，我们可以将方程两边同时乘以dy/dx，从而将方程分离为关于x和y的方程。
然后可以分别积分得到x和y的关系式，最终求得方程的解。
二阶微分方程的应用领域二阶微分方程在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
二阶线性微分方程的解法
二阶常系数线性微分方程一、二阶常系数线形微分方程的概念形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1)的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数.如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成0=+'+''qy y p y (2)我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法.二、二阶常系数齐次线性微分方程1．解的叠加性定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数.证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有0111=+'+''qy y p y 0222=+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得)()()(221122112211y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(22221111=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解.定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性.叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)的通解.2.线性相关、线性无关的概念设,,,,21n y y y 为定义在区间I 的n 个函数,若存在不全为零的常数,,,,21n k k k 使得当在该区间有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 线性相关,否则称线性无关.例如 x x 22sin ,cos ,1在实数围是线性相关的,因为0sin cos 122≡--x x又如2,,1x x 在任何区间(a,b)是线性无关的,因为在该区间要使 02321≡++x k x k k必须0321===k k k .对两个函数的情形,若=21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠21y y 常数, 则1y ,2y 线性无关.3.二阶常系数齐次微分方程的解法定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解.例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且≠=x y y tan 21常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+=( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解.由于指数函数rxe y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,根据指数函数的这个特点,我们用rxe y =来试着看能否选取适当的常数r ,使rx e y =满足方程(2).将rx e y =求导,得 rx rx e r y re y 2,=''='把y y y ''',,代入方程(2),得0)(2=++rx eq pr r 因为0≠rx e , 所以只有 02=++q pr r (3)只要r 满足方程式(3),rx e y =就是方程式(2)的解.我们把方程式(3)叫做方程式(2)的特征方程,特征方程是一个代数方程,其中r r ,2的系数及常数项恰好依次是方程(2)y y y ,,'''的系数. 特征方程(3)的两个根为 2422,1q p p r -±-=, 因此方程式(2)的通解有下列三种不同的情形. (1) 当042>-q p 时，21,r r 是两个不相等的实根. 2421q p p r -+-=,2422q p p r ---= x r x r e y e y 2121,==是方程(2)的两个特解,并且≠=-x r r e y y )(2121常数,即1y 与2y 线性无关.根据定理2,得方程(2)的通解为 x r x r eC e C y 2121+=(2) 当042=-q p 时, 21,r r 是两个相等的实根. 221p r r -==,这时只能得到方程(2)的一个特解x r e y 11=,还需求出另一个解2y ,且≠12y y 常数,设)(12x u y y =, 即 )(12x u e y x r =)2(),(21121211u r u r u e y u r u e y x r x r +'+''=''+'='. 将222,,y y y '''代入方程(2), 得 []0)()2(12111=++'++'+''qu u r u p u r u r u e x r 整理,得0])()2([12111=+++'++''u q pr r u p r u e x r由于01≠x r e , 所以 0)()2(1211=+++'++''u q pr r u p r u 因为1r 是特征方程(3)的二重根, 所以02,01121=+=++p r q pr r从而有 0=''u因为我们只需一个不为常数的解,不妨取x u =,可得到方程(2)的另一个解 x r xe y 12=.那么,方程(2)的通解为x r x r xe C e C y 1121+=即 xr e x C C y 1)(21+=.(3) 当042<-q p 时,特征方程(3)有一对共轭复根 βαβαi r i r -=+=21, (0≠β)于是 x i x i e y ey )(2)(1,βαβα-+== 利用欧拉公式 x i x e ix sin cos +=把21,y y 改写为)sin (cos )(1x i x e e e e y x x i x x i ββαβαβα+=⋅==+)sin (cos )(2x i x e e e e y x x i x xi ββαβαβα-=⋅==-- 21,y y 之间成共轭关系,取-1y =x e y y x βαcos )(2121=+, x e y y i y x βαsin )(2121_2=-= 方程(2)的解具有叠加性,所以-1y ,-2y 还是方程(2)的解,并且≠==--x x e x e y y x x βββααtan cos sin 12常数,所以方程(2)的通解为 )sin cos (21x C x C e y x ββα+=综上所述,求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤如下:(1)写出方程(2)的特征方程02=++q pr r(2)求特征方程的两个根21,r r(3)根据21,r r 的不同情形,按下表写出方程(2)的通解.例1求方程052=+'+''y y y 的通解.解: 所给方程的特征方程为0522=++r ri r i r 21,2121--=+-=所求通解为 )2sin 2cos (21x C x C e y x +=-.例 2 求方程0222=++S dt dS dtS d 满足初始条件2,400-='===t t S S 的特解.解 所给方程的特征方程为0122=++r r121-==r r通解为 t e t C C S -+=)(21 将初始条件40==t S 代入,得 41=C ,于是t e t C S -+=)4(2,对其求导得te t C C S ---=')4(22 将初始条件20-='=t S 代入上式,得 22=C所求特解为te t S -+=)24(例3求方程032=-'+''y y y 的通解.解 所给方程的特征方程为 0322=-+r r其根为 1,321=-=r r所以原方程的通解为 x x e C e C y 231+=-二、二阶常系数非齐次方程的解法1.解的结构定理3 设*y 是方程(1)的一个特解,Y 是式(1)所对应的齐次方程式(2)的通解,则*+=y Y y 是方程式(1)的通解.证明 把*+=y Y y 代入方程(1)的左端:)()()(*++*'+'+*''+''y Y q y Y p y Y=)()(*+*'+*''++'+''qy py y qY Y p Y=)()(0x f x f =+*+=y Y y 使方程(1)的两端恒等,所以*+=y Y y 是方程(1)的解. 定理4 设二阶非齐次线性方程(1)的右端)(x f 是几个函数之和,如 )()(21x f x f qy y p y +=+'+'' (4) 而*1y 与*2y 分别是方程 )(1x f qy y p y =+'+''与 )(2x f qy y p y =+'+''的特解,那么**+21y y 就是方程(4)的特解, 非齐次线性方程(1)的特解有时可用上述定理来帮助求出.2.)()(x P e x f m x λ=型的解法 )()(x P e x f m x λ=,其中λ为常数,)(x P m 是关于x 的一个m 次多项式. 方程(1)的右端)(x f 是多项式)(x P m 与指数函数xe λ乘积的导数仍为同一类型函数,因此方程(1)的特解可能为x e x Q y λ)(=*,其中)(x Q 是某个多项式函数.把 x e x Q y λ)(=*x e x Q x Q y λλ)]()(['+=*'x e x Q x Q x Q y λλλ)]()(2)([2''+'+=*''代入方程(1)并消去xe λ,得)()()()()2()(2x P x Q q p x Q p x Q m =+++'++''λλλ (5) 以下分三种不同的情形,分别讨论函数)(x Q 的确定方法:(1) 若λ不是方程式(2)的特征方程02=++q pr r 的根, 即02≠++q p λλ,要使式(5)的两端恒等,可令)(x Q 为另一个m 次多项式)(x Q m :m m m x b x b x b b x Q ++++= 2210)(代入(5)式,并比较两端关于x 同次幂的系数,就得到关于未知数m b b b ,,,10 的1+m 个方程.联立解方程组可以确定出),,1,0(m i b i =.从而得到所求方程的特解为x m e x Q y λ)(=*(2) 若λ是特征方程02=++q pr r 的单根, 即02,02≠+=++p q p λλλ,要使式(5)成立, 则)(x Q '必须要是m 次多项式函数,于是令)()(x xQ x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数),,1,0(m i b i =.(3) 若λ是特征方程02=++q pr r 的重根,即,02=++q p λλ 02=+p λ.要使(5)式成立,则)(x Q ''必须是一个m 次多项式，可令)()(2x Q x x Q m =用同样的方法来确定)(x Q m 的系数.综上所述,若方程式(1)中的x m e x P x f λ)()(=,则式(1)的特解为x m k e x Q x y λ)(=*其中)(x Q m 是与)(x P m 同次多项式,k 按λ不是特征方程的根,是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0,1或2.例4 求方程x e y y 232-='+''的一个特解.解 )(x f 是x m e x p λ)(型, 且2,3)(-==λx P m对应齐次方程的特征方程为 022=+r r ,特征根根为2,021-==r r . λ=-2是特征方程的单根, 令x e xb y 20-=*,代入原方程解得230-=b 故所求特解为 x xe y 223--=* . 例5 求方程x e x y y )1(2-='-''的通解.解 先求对应齐次方程02=+'-''y y y 的通解.特征方程为 0122=+-r r , 121==r r齐次方程的通解为 x e x C C Y )(21+=.再求所给方程的特解1)(,1-==x x P m λ由于1=λ是特征方程的二重根,所以x e b ax x y )(2+=*把它代入所给方程,并约去xe 得 126-=+x b ax比较系数,得61=a 21-=b 于是 x e x x y )216(2-=* 所给方程的通解为 x e x x x C C y y y )6121(3221+-+=+=* 3.x B x A x f ϖϖsin cos )(+=型的解法,sin cos )(x B x A x f ωω+=其中A 、B 、ω均为常数.此时,方程式(1)成为x B x A q y p y ωωsin cos +=+'+'' (7)这种类型的三角函数的导数,仍属同一类型,因此方程式(7)的特解*y 也应属同一类型,可以证明式(7)的特解形式为)sin cos (x b x a x y k ωω+=*其中b a ,为待定常数.k 为一个整数.当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取0;当ω±i 不是特征方程02=++q pr r 的根, k 取1;例6 求方程x y y y sin 432=-'+''的一个特解.解 1=ω，ω±i i ±=不是特征方程为0322=-+r r 的根，0=k .- . -考试文档-因此原方程的特解形式为x b x a y sin cos +=*于是 x b x a y cos sin +-=*'x b x a y sin cos --=*''将*''*'*y y y ,,代入原方程，得⎩⎨⎧=--=+-442024b a b a 解得 54,52-=-=b a 原方程的特解为: x x y sin 54cos 52--=* 例7 求方程x e y y y xsin 32+=-'-''的通解.解 先求对应的齐次方程的通解Y .对应的齐次方程的特征方程为 0322=--r r3,121=-=r rx x e C e C Y 321+=-再求非齐次方程的一个特解*y .由于x e x x f -+=2cos 5)(,根据定理4,分别求出方程对应的右端项为,)(1x e x f =x x f sin )(2=的特解*1y 、*2y ,则 **+=*21y y y 是原方程的一个特解.由于1=λ,ω±i i ±=均不是特征方程的根,故特解为)sin cos (21x c x b ae y y y x ++=+=*** 代入原方程,得x e x c b x c b ae x x sin sin )42(cos )24(4=-++--比较系数,得-. -考试文档- 14=-a 024=+c b 142=-c b解之得 51,101,41-==-=c b a . 于是所给方程的一个特解为 x x e y x sin 51cos 10141-+-=* 所以所求方程的通解为x x e e C e C y Y y x x x sin 51cos 10141321-+-+=+=-*.。
二阶变系数线性微分方程的Riccati方程解法
二阶变系数线性微分方程的Riccati 方程解法对于Riccati 微分方程()()()2'y P x y Q x y R x =++ （1） 称系数关系：()()()()()12,'I P x R x I P x P x Q x ==+ 为方程（1）的不变量. 引理 []11 R 氏方程（1）经'()u y P x u=-变换，化为二阶线性方程21'''0.u I u I u -+= 定理 二阶线性方程()2''''0y bG G G y cG y +-+= （b,c 为常数） 经Gudxy e -⎰=变换，化为分离变量方程 2.duGdx u bu c =-+⎰⎰（2）证明 在方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=中，取()(),P x G Q x bG ==-(),R x,cG =则不变量满足关系：()()()()212,'I P x R x cG I P x P x ===()Q x +='G.bG -于是，方程()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为Riccati 方程： 2'.u Gu bGu cG =-+ （3）显然，方程（3）为分离变量方程（2）.推论 ()2''''0y bG G G y cG y +-+=可化为分离变量方程 212,duf u Pu P =-+⎰其中u 满足（2）.此时，方程()2''''0y bG G y cG y +-+=中，取',G f =1b P =, 2,c P =则方程20r br c ++=可化为分离变量方程 212'.duf dx f u Pu P ==-+⎰⎰ （4）例 解方程()()()23''21'30.xInx y xIn x y x In x y +--=解 将方程化为()()1''2'30.y Inx y Inx y xInx ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭此时，取,2,G Inx b == 3,c =-则方程化为1213,,2341xdu u x Inxdx In C u u u e --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎰⎰1u =-+414,1xx C e -⎛⎫+ ⎪⎝⎭1441211Inx Inx dx x xxC e x x y eC C e e ⎛⎫⎪ ⎪-⎪-⎛⎫ ⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦312x x x x K K e e -⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭引理 []22 对于R 氏方程（1），若存在常数,,αβγ及可微()D x （不等于0）和()0y x ，满足拓广不变量关系：()[]()()2102,'I P x L y D I P x P x αγ===()()02Q x y x ++()2P x D D β=+.则方程（1）可化为可积形式2,duDdx u u αβγ=++⎰⎰ 其中[]()()()200000,'.Dy u y L y y P x y Q x y R x Pα=+=-+++定理 二阶线性方程 ()[]00'''/2'0y P P Q y P y PL y y -+++= （5）经()P x udxy e -⎰=变换，化为Riccati 方程()()()2'.u P x u Q x u R x =++推论 二阶线性方程22''''''2''''''''''0''f f y F f y F F F F f wf y f f λλ⎛⎫⎛⎫-++++-+⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（6）经'f udxy e -⎰=变换，化为可积形式 2.duf u u wλ=++⎰（7）例 讨论方程''sin 2'cos 2sin 0V x V x V x +-=的周期性.解 将方程变形为cos ''2'20sin x V V V x +-=.在方程（6）中，取cos 1','sin x F f x c-==（常数0c ≠），20,,w c λ==-则本例方程化为积分形式122,du xc u u c c=+=-⎰ 2/121x ccc c e --+，则2/12112/21()x c dx c e x x c c y ec e c e -⎛⎫-- ⎪ ⎪+⎝⎭⎰==+ .显然，其解非周期解.参考文献：【1】 张鸿林. 常微分方程手册[M]. 北京：科学出版社，1977.【2】 ZHAOlin-long.The Integrable Conditions of RiccatiDifferential Equation [J]. Chinese Quarterly Journal of Mathematics. 1999,14(3):67-70.。
二阶变系数线性微分方程的积分因子解法
若存在 二阶非零可微 函数 ｆ ｘ ，方程 （ （） ３）两端 同乘 ｆ ｘ 后可化 为 （）
（（）Ｊ＝ （）（） ， ） ， ｇ ，
则称 ｆ ｘ 为方程 （ ）的积分 因子 ． （） ３ 定理 １ 二阶非零可 微 函数 ｆ（） 方程 （ ）的积分 因子的充分必 要条件是 ｘ是 ４
一 ＝一 ２ ，一 ＝， ∽ ｌ Ｊ● ．ｘ ， （） 厂 一 一 （）
＝
（） ４
、】 （ ， ５）
此时可取， ： 』 （） ｅ
，
方程 （ ）的通解为 ｙ 一 ３ ：
Ｉｆ ）ｘｘｘＣ ＋２ ｛ （ （ ）＋， Ｃ ￣ ｘ ）ｄ ｘ ｇｄ
．
Ｊ ）
证明 必要性．若方程 （ ） ３ 存在积分因子＇ ，则有（（ ｙ ， ｇ ） 厂） （ ｆｘ ）＝ （ （ ，即ｙ （ ＋ ｙ ） ） ） ｙｘ ２ｙ（ ＋ ）
证 毕．
例 １ 解方程 ｙ 十２ 。， ＋２ ） ｅ＿． 一 ｘ ｙ＋（ ｘｙ： 一＾
解 ｐ ｐ（ ＾ ２ ’ ｇ 加 （ ｅ 一
取
，
』ｄ＝ ｘｘ ｅ ２
因为
＝
，
：ｅ ， ： ：Ｘ ＋Ｘ Ｐ（ ２ ２ ＝ ２ ） 所 以 ，（） １’是 原 方 程 的 积 分 因 子
第 ２ 卷 第 ６ ８ 期
２ ００８正
高 师 理 科 学 刊
Ｊ ｕ ａ ｆＳ ｉｎ ｅｏ ｅ ｃ ｅｓ Ｃ ｒ ｇ ｎ ｎｖ ｒｉ ｏ ｒ ｌｏ ｃｅ ｃ ｆＴ ａ ｈ ｒ ｏ ｅｅａ ｄ Ｕ ｉｅｓ ｙ ｎ ｔ ｔ
Ｖ０ ． ８ Ｎｏ ６ １２ ．
ｌ １月
Ｎｏ ． ｖ
类似 引理 ，定理 １ 的讨论可得 出定理 ２ ．
一类二阶线性变系数微分方程通解的解法
何运用此通解公式 . 关键词
二阶线性常系数微分方程在微分方程理论中占 有重要位置, 关于它的通解结构, 有十分完美的结论. 但求解二阶线性变系数微分方程却无一般方法. 在实 际上总存在着不可克服的困难 , 即使就是二阶线性变 系数微分方程 f ( x ) y + p ( x ) y + q( x ) y = g( x ) ( 1) ( 其中 f ( x ) , p ( x ) , q( x ) , g( x ) 为连续函数 ) 也不一 定能求出通解. 因此 , 二阶线性变系数微分方程的求 解成为微分方程研究的热点问题之一 . 文 [ 1 - 3 ] 探 讨了二阶线性变系数微分方程 ( 1) 当 f ( x ) r 2 + p ( x ) r + q( x ) = 0 ( 其中 r 为常数 ) 时的通解求法 . 作为文 [ 1 - 3] 的推 广, 本文探求方程( 1 ) 当 f (x )r (x) + f (x) r ( x) + p( x) r( x) + q( x) = 0 ( 其中 r ( x ) 为连续可微函数 ) 时的通解解法. 首先来求方程( 1) 对应齐次微分方程 f ( x ) y + p ( x ) y + q( x ) y = 0 的通解. 由二阶线性微分方程通解结构定理可知 , 欲求方 程( 2 ) 的通解 , 关键是求方程 ( 2) 的两个线性无关的 特解 . 方程 ( 2) 与 二阶线性常系 数微分方程结 构类 似, 不同的是方程 ( 2 ) 是变系数, 二阶线性常系数微 分方程是常系数 , 而常系数是变系数的特例. 按照类 比的方法 , 猜想方程 ( 2) 具有特解
一类二阶变系数线性微分方程的解法
Ｖ ｛ ） １ ． ２ ９ ． Ｎｔ Ｊ ． ３
Ｊ ｕ ｎ ２ ０ｌ ３
一
类 二 阶变 系数 线 性 微 分 方 程 的解 法
王 丽 霞
（ 山 西 大 同 大 学数 学 与 计 算机 科 学 学 院 ， 山西大同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
摘 要： 研 究 了利 用常数 变 易法求一 类二 阶 变 系数线 性微 分方程通 解的解 法 ，给 出通解公 式
定 理 设 二 阶 变 系 数 齐 次线 性 微 分 方 程
将 Ｙ ，ｙ ，ｙ 代 人 （ ４ ） 得 （ ） ［ ｒ ｆ ＇ （ ） ｅ ㈨ ＋ ｒ ２ 厂 （ ） ｅ ｉ ） ］ ＋
［ ｋ （ Ⅳ ） ＋ ｐ（ ） ］ ｒ 厂 （ ） ｅ （ ＋ ｇ（ ） ｅ ∥（ ） ＝ ０ ，（ ５ ）
＝
ｒ 厂 ” （ ） ｅ ＋ ｆ ’ 吃 （ ） ｅ ，
其 中 Ｐ，ｑ是 常数 。当 ｆ １ ） 的 特征 方 程 ｒ ２ ＋ ｐ ｙ ＋ ｑ ＝ ０的 两 个 根 ｒ 为 两 个 相 等 的 实 根 ，即 ｒ 。 － ｒ ： ＝ ｒ时 ， （ １ ） 的 通 解 为 ＝ （ Ｃ ＋ Ｃ ２ ｘ ） ｅ ， 其 中（ １ ） 的两 个 特 解 分 别为ｙ ｌ － ｅ ， ｙ ｚ ＝ ｘ ｅ 。 对 于 一 类 二 阶 变 系数 齐 次 线 性 微 分 方 程 ［ 后 （ ） Ｙ ］ ＋ ｐ（ ） ＋ ｇ （ ） ｙ ＝ ０ ， （ ２ ） 其中ｋ （ ｘ ） ， Ｐ （ ） ， ｑ （ ） 是关 于 的函数 ， 利 用上 述结 果¨ ｌ 。 】 ， 通过 常 数变 易法 给 出了其 通解 的表 达式 。
ｒ
时， 其 中 （ ） ， Ｐ（ ） ， ｑ （ ） 是 关 于 的 函 数 ，则
二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用
2011届本科毕业论文二阶变系数齐次常微分方程的解法及其应用所在学院：数学科学学院专业班级：数学07-(4)实验班学生姓名：曼则热古丽．图尔荪指导教师：吐尔洪.艾尔米丁答辩日期：2011年5月11日新疆师范大学教务处目录引言................................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 二阶变系数齐次常微分方程的通解及其应用..................................... 错误！未定义书签。
2 二阶变系数齐次方程的两个解法及其应用............................................. 错误！未定义书签。
2.1利用常数变易法解二阶变系数齐次线性微分方程....................... 错误！未定义书签。
2.2未知函数代换................................................................................... 错误！未定义书签。
3二阶变系数线性微分方程的一般求解法及其应用.................................. 错误！未定义书签。
3.1二阶变系数线性微分方程的一般求解法....................................... 错误！未定义书签。
3.2应用................................................................................................... 错误！未定义书签。
4 总结............................................................................................................. 错误！未定义书签。
二阶变系数线性微分方程的解法
二阶变系数线性微分方程的解法王莉【摘要】探讨微分方程解法,明确方程解法技巧,提出3种新的解决方案,拓展二阶变系数线性微分方程的处理方法.【期刊名称】《湖南城市学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(025)003【总页数】2页(P71-72)【关键词】二阶变系数;线性;微分方程;变量交换【作者】王莉【作者单位】湖南汽车工程职业学院,湖南长沙 410000【正文语种】中文微分方程来源于生产实践，建立在客观事物发展规律基础之上，能够全面、具体反映各类现象，帮助人们更好地了解事物发展规律，预测未来，其发展是社会实践的结果，二者互相作用，相互促进。
微分方程是自然学科及偏微分方程发展的重要基础，也是相关领域发展的主要驱动力。
自发展以来，受到了多位学者的关注，且相关理论研究成果较为丰富，在一定程度上完善了微分方程理论体系。
根据微分方程基本理论来看，任何非线性微分方程的解都能够纳入到相应的解组当中。
不仅如此，高阶微分方程能够通过降阶法，简化其繁琐的内容，将其转化为一阶或者二阶方程进行求解。
可见，低阶微分方程求解在整个微分方程求解中占据十分重要的地位，也是求解的开始。
在数学领域中，任何一个一阶或者二阶微分方程都具有可解性特点，而变系数二阶线性微分方程难度较大[1]。
目前为止，仅有一个近似解法，还没有一个较好的方法能够解决该问题，加之幂级数解法计算量较大，且难以求得结果，在理论上难以达到求解目标。
因此加强对二阶变系数线性微分方程解法的研究十分必要，不仅能够丰富微分方程理论体系，还能够帮助我们寻找到一种较为简单的计算方法。
现阶段，该类方程在物理学等领域中应用范围较广。
如在散射理论中，常见的Riccati等方程均属于该类方程。
不可否认，很多实践应用问题都需要该类方程求解，才能够挖掘领域内的知识，进而将知识回归到实践中，指导实践工作。
同时该类方程是求解数学、物理等方程的重要基础，在推进上述学科发展中具有深刻意义。
二阶微分方程的3种通解
二阶微分方程的3种通解
二阶微分方程的3种通解方法分别是：特征方程法、积分因子法和变量变换法。
每种方法都有它的优点，可以根据不同的问题选择不同的方法来求解。
求解二阶常微分方程是微积分学的基本课题，有很多通解方法可以用来确定满足特定类型的常微分方程的通解。
本文将重点介绍二阶常微分方程的三种通解方法——特征方程法、积分因子法和变量变换法。
特征方程法是最常用的方法，它利用常微分方程可以表达为特征二次方程形式来求解该方程，这一方法只能用于独立变量可分拆的情况。
特征方程法的基本步骤是：解特征二次方程，确定特征根，代入特征根求解因子。
积分因子法是以特征方程的思想，但不太依赖这种方法的一般步骤，而是下一步在求解因子这一步上做适当的简化。
积分因子法的基本步骤是：确定积分因子，利用积分因子代入求出常微分方程的通解。
变量变换法是基于变量变换的思想进行解决常微分方程的方法，它能够解决一些比较复杂的方程。
变量变换法的基本步骤才：采用变量变换，把常微分方程转化为更易求解形式，利用原来的方程性质来求解新的方程。
总之，二阶常微分方程的三种通解方法分别是特征方程法、积分因子法和变量变换法。
每种方法都有它的优点，可以根据不同的问题选择不同的方法来求解。
一类二阶变系数微分方程的解
一类二阶变系数微分方程的解
一类二阶变系数微分方程是指具有两个未知函数的一类常微分方程，即其变量在每个各点上可以对应多种值，函数的解以及它们的特性有数学家研究，可以把它想像成椭圆或抛物线。
一类二阶变系数微分方程的解有三种：
一、常系数解法：若系数a、b、c不随时间变化，即a、b、c是常数，则可将该方程改写为常系数微分方程，可以直接用模拟积分解法或者其它积分解法解决。
二、逐步积分解法：当a、b、c都随时间变化，但是他们在各点把a和b看做常数时，可以采用逐步积分法来求解。
三、曲线拟合解法：当a、b、c都随时间变化，可以采用曲线拟合技术进行求解，采用拟合技术将原方程拟合到一条曲线上，然后对拟合后的曲线求解。
四、有限差分法：有限差分法是一种基于积分的计算技术，它采用离散化的方法分析一类二阶变系数微分方程，是在一类二阶常系数方程的基础上把时间段划分成若干的小颗粒，每一小颗粒上可以看到系数a、b、c的值，然后用逐步迭代法求解。
五、矩阵混沌解法：采用矩阵混沌方法作为一类二阶变系数微分方程求解方法，它是将该方程改写成矩阵的形式，然后求解矩阵的混沌状态，并从混沌中取出解。
以上就是一类二阶变系数微分方程的六种求解方法，根据实际需要，会采用不同的解法对一类二阶变系数微分方程进行求解，取得准确的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九节 二阶变系数线性微分方程的一些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中介绍，而对于变系数线性方程，要求其解一般是很困难的。
本节介绍处理这类方程的二种方法§9.1 降阶法在第五节中我们利用变量替换法使方程降阶，从而求得方程的解，这种方法也可用于二阶变系数线性方程的求解。
考虑二阶线性齐次方程22dxyd ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0 (9.1)设已知其一个非零特解y １，作变量替换，令 y ＝uy 1 (9.2)其中u ＝u(x)为未知函数，求导数有dx dy ＝y 1dxdu ＋u dx dy 1求二阶导数有22dx y d ＝y 122dx u d ＋2dx du dx dy 1＋u 212dxy d代入(9.1)式得y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(212dxy d ＋p(x)dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3)这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中212dxy d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0故(9.3)式化为 y 122dxud ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0再作变量替换，令dxdy＝z 得y 1dxdz ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1)z ＝0分离变量 z1dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx两边积分，得其通解z ＝212y C e －∫p(x)dx其中C 2为任意常数积分得u ＝C 2∫21y 1e －∫p(x)dxdx ＋C 1代回原变量得(9.1)的通解y ＝y 1［C １＋C 2∫21y 1e －∫p(x)dxdx ］此式称为二阶线性方程的刘维尔( Liouville )公式。
综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一个非零特解，作二次变换，即作变换 y ＝y 1∫zdx 可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。
对于二阶线性非齐次方程，若已知其对应的齐次方程的一个特解，用同样的变换，因为这种变换并不影响方程的右端，所以也能使非齐次方程降低一阶。
例1. 已知y １＝x x sin 是方程22dxy d ＋x 2dx dy＋y ＝0的一个解，试求方程的通解解 作变换 y ＝y 1∫zdx则有 dxdy ＝y 1z ＋dx dy 1∫zdx22dx y d ＝y 1dx dz ＋2dx dy 1z ＋212dxy d ∫zdx 代入原方程，并注意到y 1是原方程的解，有y 1dxdz ＋(2dx dy 1＋dx dy 1)z ＝0即 dxdz＝－２ctanx ·z积分得 z ＝xsin C 21于是 y ＝y 1∫zdx ＝x x sin ［∫xsin C 21dx ＋C 2］＝x x sin (－C 1ctanx ＋C 2)＝x1(C 2sinx －C 1cosx) 这就是原方程的通解。
§9.2 常数变易法在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其对应的齐次方程的通解，利用常数变易法求得非齐次方程的通解。
对于二阶线性非齐次方程22dxyd ＋p(x) dx dy ＋p(x)y ＝f(x) (9.4)其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上连续，如果其对应的齐次方程22dxyd ＋p(x) dx dy ＋q(x)y ＝0的通解 y ＝C 1y １＋C ２y 2已经求得。
那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。
设非齐次方程(9.4)具有形式 ~y ＝u 1y 1＋u ２y 2 (9.5)的特解，其中u 1＝u 1(x)，u 2＝u(x)是两个待定函数，对~y 求导数得~'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2＋y 1u ′１＋y 2u ′2 由于用(9.5)代入(9.4)，可确定u 1，u 2的一个方程，为了同时确定这两个函数，还须添加一个条件，为计算方便，我们补充一个条件：y １u ′１＋y 2u ′2＝0 这样 ~'y ＝u 1y ′1＋u 2y ′2 "y ~＝u ′1y ″1＋u ′2y ″2＋u 1y ′1＋u 2y ′2 代入方程(9.3)，并注意到y 1，y 2是齐次方程的解，整理得u ′１y ′1＋u ′２y ′２＝f(x)与补充条件联列得方程组⎩⎨⎧=++=+)x (f 'u 'y 'y 'u 'y 0'u y 'u y 222112211因为y 1，y 2线性无关，即12y y ≠常数，所以(12y y )′＝211221y 'y y 'y y -≠0 设w(x)＝y 1y ′2－y 2y ′1，则有w(x)≠0所以上述方程组有唯一解。
解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=--=)x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u )x (w )x (f y 'y y 'y y )x (f y 'u 11221122122121积分并取其一个原函数得u 1＝ －∫)x (w )x (f y 2⋅dxu ２＝ ∫)x (w )x (f y 1⋅dx则所求特解为 ~y ＝y 1∫)x (w )x (f y 2⋅-dx ＋y 2∫)x (w )x (f y 1⋅dx 所求方程的通解 y ＝Y ＋~y ＝C 1y 1＋C 2y 2＋y 1∫)x (w )x (f y 2⋅-dx ＋y 2∫)x (w )x (f y 1⋅dx 上述求特解的方法也适用于常系数非齐次方程情形。
例1. 求方程22dxy d －x 1dx dy ＝x 的通解解 先求对应的齐次方程 22dxy d －x 1dx dy ＝0的通解，由 22dxy d ＝x 1dx dydxdy 1·d(dx dy)＝x 1dx得 ln ｜dxdy｜＝ ln ｜x ｜＋ ln｜C ｜即 dxdy ＝Cx 得通解y ＝C 1x 2＋C 2所以对应齐次方程的两个线性无关的特解是x 2和1。
为求非齐次方程的一个解~y 将C 1，C 2换成待定函数u 1，u 2，且u 1，u 2满足下列方程⎩⎨⎧=⋅+=⋅+x'u 0'xu 20'u 1'u x 21212解上述方程得 u ′1＝21 u ′2＝－21x 2积分并取其一原函数得 u 1＝21x ，u 2＝－6x 3于是原方程的一个特解为~y ＝u 1·x 2＋u 2·1＝2x 3－6x 3＝3x 3从而原方程的通解为y ＝C 1x 2＋C 2＋3x3第十节 数学建模(二)——微分方程在几何、物理中的应用举例一、镭的衰变例1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。
由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t 的质量。
解 用x 表示该放射性物质在时刻t 的现存物质，则dtdx表示x 在时刻t 的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表示为dtdx＝－kx这是一个以x 为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。
其中k ＞0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。
方程右端的负号表示当时间t 增加时，质量x 减少，即t ＞0时，dtdx＜0。
解这个方程得通解 x ＝Ce －kt若已知当t ＝t 0时，x ＝x 0，即x ｜0t t =＝x 0 代入方程可得 C ＝x 0e 0kt 得特解 x ＝x 0e )t t (k 0--它反映了某种放射性元素衰变的规律。
二、正交轨线已知曲线族方程F(x,y,C)＝０，其中包含了一个参数C ，当C 固定时就得到一条曲线，当C 改变就得整族曲线，称为单参数曲线族。
例如y ＝Cx 2为一抛物线族。
图6-3如果存在另一族曲线G(x,y,C)＝0，其每一条曲线都与曲线族F(x,y,C)＝0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。
则称G(x,y,C)＝0为F(x,y ，C)＝0的正交轨线。
将曲线族方程F(x,y,C)＝0对x 求导与F(x,y,C)＝0联列并消去常数C ，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y ′所满足的微分方程 f(x,y,y ′)＝0这就是曲线族F(x,y,C)＝0所满足的微分方程。
因为正交轨线过点(x,y)，且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点(x,y)处的斜率k ＝－'y 1于是可知曲线族F(x,y,C)＝0的正交轨线满足方程f(x,y,－'y 1)＝0这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族(通解)，就是所要求的正交轨线。
例2 求抛物线族y ＝Cx 2的正交轨线。
解 对y ＝Cx 2关于x 求导，得y ′＝2Cx 与原方程联列⎩⎨⎧==Cx2'y Cx y 2消去C 图6-4得微分方程 y ′＝xy2将－'y 1代入y ′得所求抛物线的正交轨线微分方程－'y 1＝xy2即 ydy ＝－2xdx积分得 4x 2＋2y 2＝C 2即抛物线族 y ＝Cx 2的正交轨线是一个椭圆族，如图6-4。
三、追迹问题例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从A 点沿垂直于OA 的直线以等速v 0向正比行走；甲从乙的左侧O 点出发，始终对准乙以nv 0(n ＞1)的速度追赶，并问乙行多远时，被甲追到。
图6-5 解 如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为y ＝y(x)经过时刻t ，甲在追迹曲线上的点为p(x,y)，乙在点B(1,v 0t)。
于是有tan θ＝y ′＝x1yt v 0-- (10.1)由题设，曲线的弧长OP 为 ∫x02'y 1+dx ＝nv 0t解出v 0t 代入(10.1)得(1－x)y ′＋y ＝n1∫x02'y 1+dx两边对x 求导，整理得(1－x)y ″＝n12'y 1+这就是追迹问题的数学模型。
这是一个不显含y 的可降阶的方程，设y ′＝p ，y ″＝p ′代入方程得(1－x)p ′＝n12p 1+或 2p1dp+＝)x 1(n dx - 两边积分得 ln(p ＋2p 1+)＝－n1ln ｜1－x ｜＋ln ｜C １｜即 p ＋2p 1+＝n 1x1C -将初始条件 y ′｜x ＝0＝p ｜x ＝0＝0代入上式，得C 1＝1，于是y ′＋2'y 1+＝n x11- (10.2)两边同乘 y ′－2'y 1+，并化简得y ′－2'y 1+＝－n x 1- (10.3) (10.2)与(10.3)两式相加，得y ′＝21 (n x11-－n x 1-)积分，得 y ＝21［－1n n - (1－x)n1n -＋1n n + (1－x)n1n +］＋C 2代入初始条件 y ｜x ＝0＝0得C 2＝1n n2-，所求追迹曲线方程为y ＝2n ［1n )x 1(n1n +-+－1n )x 1(n1n ---］＋1n n2-(n ＞1)甲追到乙时，即曲线上点P 的横坐标x ＝1，此时y ＝1n n2-即乙行走至离A 点1n n2-个单位距离时即被甲追到。