第七章 应力强度因子的计算
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当a << w时，f ( a ) = 1.12 w
• 孔边裂纹
σ
3σ） πL 当裂纹较短时，KⅠ = 1.12 （
R L
当裂纹较长时，KⅠ = σ π（R + L / 2 ）
σ
R L1 L2
KⅠ = σ π（R + L1 / 2 + L 2 / 2 ）
θ θ 3θ f11 cos (1 − sin sin ) = 2 2 2 θ θ 3θ f 22 cos (1 + sin sin ) = 2 2 2 θ θ 3θ f 21 = sin cos cos 2 2 2
K Ι = σ y 2π r
注意：当有限元法采用刚度法求应力时，应力场都要通过对位移场求偏导数， 将求得的应力与位移法比较，精度要差很多。因此，求应力强度因子的应力法其 精度比位移法要低。一般采用有限元的刚度法时，最好用位移法。
无 限 大 板 中 心 裂 纹
KⅠ = σ πa KⅡ = τ πa
无限大板裂纹面上下表面 作用一对集中力 b P A 2a B P
τ τ’
KⅠA
P = πa
P = πa
a −b a+b
a+b a −b
2a · · · τ’ ·
KⅢ = τ ′ πa
KⅠB
• 有限宽板中心裂纹
2w 2a σ
a KⅠ = σ πa f ( ) w
第七章 应力强度因子的计算
7.1 有限元法 7.2 叠加法 7.3 Green函数法 7.4 常见结构的裂纹尖端应力强度因子
7.1 有限元法
σ
位移法
σ
r σ πa θ 2θ ′ ′ u cos (1 − µ ) − (1 + µ ) sin = y ′ G µ 1 2 2 + ( ) 2π x
r →0
1 →∞ r
2π Eν K I = lim r →0 4 1 − µ 2 ) r (
r＝0时实际无 法求解
2π Eν i K Ii = lim 2 r →0 4 1 − µ r ( ) i Baidu Nhomakorabea
应力法
σ ij (r ,θ ) =
KΙ fij (θ ) 2π r
Ω2 un n
z F l
Ω1 x Ω3 j
un'
n'
1 W = Fu 2
c
c
7.2 叠加原理
线弹性断裂力学——力可以叠加
Ｐ Ｍ Ｐ Ｍ
ａ
＝
ａ
＋
ａ
Ｍ Ｐ Ｐ
Ｍ
组合载荷 =
轴向载荷
+ 弯曲载荷
K
=
KP
+
KM
σ
σ
Ｐ Ｗ Ａ
＝
Ｐ ＋ Ｐ Ｂ σ Ｃ －
Ｐ
1 K A = (K B + K C ) 2
Ｄ
ｙ Ｐ ２Ｌ ＝ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｐ ＋ Ｃ
间接法
= G
πσ 2 a
K Ι2 = E E
虚拟裂纹闭合法：是根据 能量理论提出，该理论假设裂纹扩展中释放的能 量等于闭合裂纹所需要的能量（功）。
1 ∆c = W u (r )σ (r − ∆c)dr 2 ∫0 W 1 ∆c G lim u (r )σ (r − ∆c)dr = = lim ∆c → 0 ∆c ∆c → 0 2∆c ∫0
o 2a
σ
v =
σ πa θ θ r sin 2 − (1 + µ ′ ) cos 2 G (1 + µ ′ ) 2π 2 2
σ
µ 1 − µ 平面应变 µ′ = 平面应力 µ
E G= 2(1 + µ )
4(1 − µ 2 ) ν= KI r 2π E
2π Eν K I = lim r →0 4 1 − µ 2 ) r (
常用的有
πa a 2w f( )= tg ( ) πa 2w w
a 1 a a a [1.77 + 0.277 × ( ) − 0.510 × ( ) 2 + 2.7 × ( ) 3 ] f( )= w w w w π
• 有限宽板边裂纹
w a σ
a KⅠ = σ πa f ( ) w
常用的有
a a a a a f ( ) = 1.12 − 0.231× ( ) + 10.55 × ( ) 2 − 21.72 × ( ) 3 + 30.39 × ( )4 w w w w w
σ（ｘ） ｘ
K A = KC
σ
σ
σ
σ
σ
=
2a A B
=
2a C
+
2a D
σ
σ
σ
7.3 Green函数法
2a P b P
P 1 KI = B πa
a+b a−b
dx
σ (x )
x 2a
σ ( x)dx a + x K =∫ −a πa a − x
a
7.4 常见结构的裂纹尖端应力强度因子
σ 2a σ τ 2a
• 孔边裂纹
σ
3σ） πL 当裂纹较短时，KⅠ = 1.12 （
R L
当裂纹较长时，KⅠ = σ π（R + L / 2 ）
σ
R L1 L2
KⅠ = σ π（R + L1 / 2 + L 2 / 2 ）
θ θ 3θ f11 cos (1 − sin sin ) = 2 2 2 θ θ 3θ f 22 cos (1 + sin sin ) = 2 2 2 θ θ 3θ f 21 = sin cos cos 2 2 2
K Ι = σ y 2π r
注意：当有限元法采用刚度法求应力时，应力场都要通过对位移场求偏导数， 将求得的应力与位移法比较，精度要差很多。因此，求应力强度因子的应力法其 精度比位移法要低。一般采用有限元的刚度法时，最好用位移法。
无 限 大 板 中 心 裂 纹
KⅠ = σ πa KⅡ = τ πa
无限大板裂纹面上下表面 作用一对集中力 b P A 2a B P
τ τ’
KⅠA
P = πa
P = πa
a −b a+b
a+b a −b
2a · · · τ’ ·
KⅢ = τ ′ πa
KⅠB
• 有限宽板中心裂纹
2w 2a σ
a KⅠ = σ πa f ( ) w
第七章 应力强度因子的计算
7.1 有限元法 7.2 叠加法 7.3 Green函数法 7.4 常见结构的裂纹尖端应力强度因子
7.1 有限元法
σ
位移法
σ
r σ πa θ 2θ ′ ′ u cos (1 − µ ) − (1 + µ ) sin = y ′ G µ 1 2 2 + ( ) 2π x
r →0
1 →∞ r
2π Eν K I = lim r →0 4 1 − µ 2 ) r (
r＝0时实际无 法求解
2π Eν i K Ii = lim 2 r →0 4 1 − µ r ( ) i Baidu Nhomakorabea
应力法
σ ij (r ,θ ) =
KΙ fij (θ ) 2π r
Ω2 un n
z F l
Ω1 x Ω3 j
un'
n'
1 W = Fu 2
c
c
7.2 叠加原理
线弹性断裂力学——力可以叠加
Ｐ Ｍ Ｐ Ｍ
ａ
＝
ａ
＋
ａ
Ｍ Ｐ Ｐ
Ｍ
组合载荷 =
轴向载荷
+ 弯曲载荷
K
=
KP
+
KM
σ
σ
Ｐ Ｗ Ａ
＝
Ｐ ＋ Ｐ Ｂ σ Ｃ －
Ｐ
1 K A = (K B + K C ) 2
Ｄ
ｙ Ｐ ２Ｌ ＝ Ａ Ｐ Ｂ Ｐ Ｐ ＋ Ｃ
间接法
= G
πσ 2 a
K Ι2 = E E
虚拟裂纹闭合法：是根据 能量理论提出，该理论假设裂纹扩展中释放的能 量等于闭合裂纹所需要的能量（功）。
1 ∆c = W u (r )σ (r − ∆c)dr 2 ∫0 W 1 ∆c G lim u (r )σ (r − ∆c)dr = = lim ∆c → 0 ∆c ∆c → 0 2∆c ∫0
o 2a
σ
v =
σ πa θ θ r sin 2 − (1 + µ ′ ) cos 2 G (1 + µ ′ ) 2π 2 2
σ
µ 1 − µ 平面应变 µ′ = 平面应力 µ
E G= 2(1 + µ )
4(1 − µ 2 ) ν= KI r 2π E
2π Eν K I = lim r →0 4 1 − µ 2 ) r (
常用的有
πa a 2w f( )= tg ( ) πa 2w w
a 1 a a a [1.77 + 0.277 × ( ) − 0.510 × ( ) 2 + 2.7 × ( ) 3 ] f( )= w w w w π
• 有限宽板边裂纹
w a σ
a KⅠ = σ πa f ( ) w
常用的有
a a a a a f ( ) = 1.12 − 0.231× ( ) + 10.55 × ( ) 2 − 21.72 × ( ) 3 + 30.39 × ( )4 w w w w w
σ（ｘ） ｘ
K A = KC
σ
σ
σ
σ
σ
=
2a A B
=
2a C
+
2a D
σ
σ
σ
7.3 Green函数法
2a P b P
P 1 KI = B πa
a+b a−b
dx
σ (x )
x 2a
σ ( x)dx a + x K =∫ −a πa a − x
a
7.4 常见结构的裂纹尖端应力强度因子
σ 2a σ τ 2a