函数的奇偶性 公开课 优质课

思 考：
说明： 1、根据函数的奇偶性
函数可划分为四类:
奇函数 偶函数
既奇又偶函数 f x 0
非奇非偶函数
2、奇、偶函数性质：
偶函数的 定义域关于原点对称
图象关于y 轴对称
来自百度文库
奇函数的 定义域关于原点对称
图象关于原点对称。
例1.根据下列函数图象,判断函数奇偶性.
y
偶
y
奇
x
f
(x)
x2
2 11
y 非奇
f x f x ，
那么函数f x 就叫做奇函数。
性质：奇函数的定义域关于原点对称。
问题： f (x) x, x 1, 是奇函数吗？
y
解：
3
2 1
不是。
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
1、下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = -f (2)，则函数 f (x)是奇函数． （2）若f (－2) ≠- f (2)，则函数 f (x)不是奇函数．
(1) f ( x) x3 - 2x (2) f ( x) x 2 x 2 (3) f ( x) x2
x 1 (4) f ( x) 1 x2 x2 1
先确定 定义域
例3、已知函数y=f(x)是偶函数，它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象.
解：画法略 y
相等
0
x
变式训练：已知函数y=f(x)是奇函数，它右边的图 象如下图，试将它补充完整.
在日常生活中，我们可以观察到 许多对称现象，如：美丽的蝴蝶，盛 开的花朵，以及建筑物和它在水中的 倒影.....
一.现实生活中“美”的事例
y
f (x)=x2
x -3 -2 -1 0 1 2 3
9 4 1 0149
f x x2
O
x
f (x)=|x|
y
问题：
1.这两个函数图像有什么共同特征？ 2.相应的两个函数值对应表是如何
，
那么函数 f x就叫做偶函数。
性质：偶函数的定义域关于原点对称
问题：f (x) x,2x1,2 是偶函数吗？
解： y
6
5 4 3 2 1
不是。
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
1、下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数． （2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
授课教师：焦树凤 授课班级：高一11班
学习目标 1.知识与能力目标 （1）理解偶函数、奇函数的定义。 （2）能用定义来判断函数的奇偶性。 （3）掌握奇、偶函数图象的性质。 2.过程与方法目标 （1）初步培养学生数形结合的思想。 （2）从数和形两个角度理解函数的奇偶性。 3.情感态度与价值观目标 （1）体会具有奇偶性函数的图象对称的性质， 感受数学的对称美，体现数学美学价值。 （2）通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学 生的观察、归纳、抽象的能力，同时渗透数形结 合思想，从特殊到一般的数学思想。
2、说说下面的函数是否为偶函数？
y
O
x
观察下面两个函数填写表格
y
y
问题：
3
1.这两个函数图像有什么共 同特征？
3
2
2.相应的两个函数值对应表 是如何体现这些特征的？
2
1
1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f x x
-2 -1 0 -1 -2
-3
f x 1
x
1 2 3x
x -3
-2
y
相等
0
x
例4：已知函数f (x)为奇函数且定义域为R，若x 0时， f (x) x3 x 1,求f (x)的解析式
解：设x 0,则 x 0,
f (x) (x)3 (x) 1 x3 x 1,
又 f (x)是奇函数，所以f x f x,
x3 x 1 f x,即f x x3 x 1
体现这些特征的？
O
x
x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f x x 3 2 1 0 1 2 3
函数 y f x的图象 关于 y 轴对称
1、对定义域中的每一
个x ，- x也是在定义
域内；
2、都有 f x f x
一般地，设函数 f x的定义域为I ,
如果 x I ，都有 x I ，且
f x f x
非偶
-1
2x
x
f (x) x
y
奇
-1 1x
f (x) x2, x [1,2]
f (x) x3, x [1,1]
例2：判断下列函数的奇偶性：
(1) f (x) = x4 1
(3) f (x) = x + x
(2) f (x) = x5 1
(4) f (x) = x2
先确定 定义域
变式练习：判断下列函数的奇偶性：
偶函数的图象关于y轴对称. • 判断奇偶性方法：图象法，定义法。
2、说说下面的函数是否为奇函数？
七、如果一个函数 f x是奇函数或 偶函数，那么我们就说函数f x具有
奇偶性. 定义域关于原点对称是判断函数具 有奇偶性的先决条件
判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: 先看定义域是否关于原点对称,
再看 f x与 f x的关系.
②图象法:
看图象是否关于原点或y 轴对称.
思考1：函数 f x 是2x奇1函数吗？是偶函数
吗？
分析：函数的定义域为 R
y f x 2x 1
但是
f x 2 x1
2x 1
2
0
-1 1
x
f x f x 且 f x f x
∴ f x既不是奇函数也不是偶函
数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点
y 对称也不关于 轴对称。
-1
0
1
2
3
f x x -3 -2 -1 0 1 2 3
f（x）= 1 x
1 -
3
1 -
2
-1
11
1
23
函数y f x的图象 关于原点成中心对称
1、对定义域中的每一
个x ，- x也是在定义
域内；
2、都有 f x f x
一般地，设函数f x 的定义域为I ,
如果x I，都有 x I，且
上( )
A．是减函数，有最小值0
B．是增函数，有最小值0
C．是减函数，有最大值0
D．是增函数，有最大值0
3.已知y f x是定义在R上的奇函数，且当x 0时， f x 2x x2,求y f x的解析式
小结：
• 奇偶性定义 • 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必
要条件。 • 性质: 奇函数的图象关于原点对称;
又因为f x是偶函数，所以f x f x,
即f x x 1,
当x 0时，f x x 1,
x 1, x 0,
所以f
x
x 1, x 0.
当堂检测：
1.函数f x 3 x2 的图象关于（）
x
A.x轴对称 B.y轴对称 C.原点对称 D.关于y x对称
2．若奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在[－3，－1]
当x 0时，f x x3 x 1, 又因为f x是定义在R上奇函数，所以f 0 0,
x3 x 1, x 0,
所以f (x) 0,
x 0,
x3
x
1,
x
0.
变式训练：已知f x是偶函数且定义域为R，若x 0时， f x x 1,则f x的解析式为？
解：设x 0,则 x 0,
f x (x) 1 x 1,