3.2简单的三角恒等变换
第三章 3.2 简单的三角恒等变换
§3.2 简单的三角恒等变换学习目标 1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法. 2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用．知识点一 半角公式思考 半角公式对任意角都适用吗？ 答案 不是，要使得式子有意义的角才适用． 知识点二 辅助角公式 辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).⎝⎛⎭⎫其中tan θ＝ba1．若α≠k π，k ∈Z ，则tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α恒成立．( √ )2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ与点(a ，b )同象限．( √ )3．sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.( × ) 提示 sin x ＋3cos x ＝2⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.题型一 应用半角公式求值例1 已知sin θ＝45，5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 ∵sin θ＝45，且5π2<θ<3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.∵5π4<θ2<3π2，∴cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思感悟 利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正弦、余弦值时，常先利用sin 2α2＝1－cos α2，cos 2α2＝1＋cos α2计算． (4)下结论：结合(2)求值． 跟踪训练1 已知cos α＝33，α为第四象限角，则tan α2的值为________． 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案2－62解析 方法一 ⎝⎛⎭⎪⎫用tan α2＝±1－cos α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以α2是第二或第四象限角．所以tan α2<0.所以tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－1－331＋33 ＝－2－3＝－128－4 3 ＝－12(6－2)2＝2－62.方法二 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝1－cos αsin α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝1－cos αsin α＝1－33－63＝2－62.方法三 ⎝⎛⎭⎫用tan α2＝sin α1＋cos α来处理因为α为第四象限角，所以sin α<0. 所以sin α＝－1－cos 2α＝－1－13＝－63. 所以tan α2＝sin α1＋cos α＝－631＋33＝－63＋3＝2－62.题型二 三角函数式的化简 例2 化简：2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α.考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 解 2cos 2α－12tan ⎝⎛⎭⎫π4－αsin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos 2α2cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1. 反思感悟 三角函数式化简的要求、思路和方法(1)化简的要求：①能求出值的应求出值．②尽量使三角函数种数最少．③尽量使项数最少．④尽量使分母不含三角函数．⑤尽量使被开方数不含三角函数．(2)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．跟踪训练2 化简：(1－sin α－cos α)⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π<α<0)．考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2.因为－π<α<0，所以－π2<α2<0，所以sin α2<0，所以原式＝－sin α2cos α－sinα2＝cos α.题型三 三角函数式的证明例3 求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ.考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ.∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ，∴左边＝右边， ∴原式得证．反思感悟 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法． 跟踪训练3 求证：2sin x cos x(sin x ＋cos x －1)(sin x －cos x ＋1)＝1＋cos x sin x .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明 证明 左边＝2sin x cos x⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2－2sin 2 x 2⎝⎛⎭⎫2sin x 2cos x 2＋2sin 2x 2＝2sin x cos x4sin 2x 2⎝⎛⎭⎫cos 2x 2－sin 2x 2＝sin x2sin 2 x 2＝cos x 2sin x 2＝2cos 2x 22sin x 2cosx 2＝1＋cos xsin x＝右边．所以原等式成立． 题型四 辅助角公式的应用例4 已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 (x ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)∵f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1－cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12 ＝2⎩⎨⎧⎭⎬⎫32sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－12cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝1，有2x －π3＝2k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )，∴所求x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π＋5π12，k ∈Z . 反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解此类题时要充分运用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，以便于讨论函数性质． 跟踪训练4 已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫π3＋x ·cos ⎝⎛⎭⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合． 考点 简单的三角恒等变换的综合应用 题点 辅助角公式与三角函数的综合应用 解 (1)f (x )＝⎝⎛⎭⎫12cos x －32sin x ·⎝⎛⎭⎫12cos x ＋32sin x ＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )，即x ＝k π－π8(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π8，k ∈Z .利用半角公式化简求值典例 已知等腰三角形的顶角的余弦值为725，则它的底角的余弦值为( )A.34B.35C.12D.45考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 三角恒等变换与三角形的综合应用 答案 B解析 设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cos α＝725.又β＝π2－α2，所以cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－α2＝sin α2＝1－7252＝35，故选B. [素养评析] 从实际问题提炼出等腰三角形底角、顶角间的关系，利用半角公式进行恒等变换化简，进而求值，这正是数学核心素养数学抽象的具体体现.1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63 B ．－63 C ．±63 D ．±33考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 由题意知α2∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2．已知sin θ＝－35，3π<θ<72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－13考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 ∵3π<θ<7π2，sin θ＝－35，∴cos θ＝－45，tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝－3.3．已知2sin α＝1＋cos α，则tan α2等于( )A.12B.12或不存在 C ．2D ．2或不存在考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值答案 B解析 2sin α＝1＋cos α，即4sin α2cos α2＝2cos 2α2，当cos α2＝0时，tan α2不存在，当cos α2≠0时，tan α2＝12.4．化简2sin 2α1＋cos 2α·cos 2αcos 2α的结果为( )A ．tan αB ．tan 2αC ．1D ．2 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 B解析 原式＝2sin 2α2cos 2α·cos 2αcos 2α＝tan 2α.5．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数的θ的一个值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用辅助角公式化简求值 答案 D解析 f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋θ. 当θ＝23π时，f (x )＝2sin(2x ＋π)＝－2sin 2x 是奇函数．6．已知在△ABC 中，sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，求证：sin A ＋sin C ＝2sin B .考点 三角恒等式的证明 题点 三角恒等式的证明证明 由sin A ·cos 2C 2＋sin C ·cos 2A 2＝32sin B ，得sin A ·1＋cos C 2＋sin C ·1＋cos A 2＝32sin B ，即sin A ＋sin C ＋sin A ·cos C ＋sin C ·cos A ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(A ＋C )＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＋sin(π－B )＝3sin B ， 即sin A ＋sin C ＋sin B ＝3sin B ， ∴sin A ＋sin C ＝2sin B .1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式． 2．辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限； ②tan φ＝b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫或sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2.3．研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握， 例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ±π3等．一、选择题1．已知cos α＝15，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于( ) A.105 B ．－105 C.265 D.255考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴α2∈⎝⎛⎭⎫3π4，π， sin α2＝1－cos α2＝105. 2．设α是第二象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2等于( )A ．－55 B.55 C.35 D ．－35考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用半角公式化简求值 答案 A解析 因为α是第二象限角，且sin α2<cos α2，所以α2为第三象限角，所以cos α2<0.因为tan α＝－43，所以cos α＝－35，所以cos α2＝－1＋cos α2＝－55. 3．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <bD ．b <c <a考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用 答案 C解析 a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°， ∵当0°≤x ≤90°时，y ＝sin x 是单调递增的， ∴a <c <b .4．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于( )A ．－12 B.12C ．2D ．－2考点 利用简单的三角恒等变换化简求值 题点 利用弦化切对齐次分式化简求值 答案 A解析 ∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35.∴1＋tan α21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sin α2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sin α2cos α2＋sin α2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.故选A.5．sin x cos x ＋sin 2x 可化为( ) A.22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 B.2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12 D ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π4＋1 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 A解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12sin 2x －12cos 2x ＋12＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12.故选A. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1，则函数f (x )的单调递增区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z ) 考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋2cos 2x －1＝32sin 2x －12cos 2x ＋cos 2x ＝32sin 2x ＋12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )，故选C. 7．已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2等于( ) A ．－13B ．5C ．－5或13D ．－13或5 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换化简求值答案 B解析 由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3m ＋52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2m m ＋52＝1， 解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ<0，不符合π2<θ<π. ∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5. 二、填空题8．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sin 2α＝12，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 32解析 因为1－2sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π2＝－sin 2α， 所以sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝34， 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以α＋π4∈⎝⎛⎭⎫π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝32. 9．化简：sin 4x 1＋cos 4x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 tan x 2解析 原式＝2sin 2x cos 2x 2cos 22x ·cos 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝sin 2x 1＋cos 2x ·cos x 1＋cos x ＝2sin x cos x 2cos 2x ·cos x 1＋cos x＝sin x 1＋cos x＝tan x 2. 10．已知cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________. 考点 利用简单的三角恒等变换化简求值题点 综合运用三角恒等变换公式化简求值答案 65解析 因为cos ⎝⎛⎭⎫α－π4＝45，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－35，sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝35. 所以cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝65. 11．设0≤α≤π，不等式8x 2－8x sin α＋cos 2α≥0对任意x ∈R 恒成立，则α的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 解析 Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，即2sin 2α－cos 2α≤0，所以4sin 2α≤1，所以－12≤sin α≤12. 因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π. 三、解答题12．求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 ∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2 ＝sin3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝⎛⎭⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝⎛⎭⎫3x 2－x 2 ＝2sin x cos x ＋cos 2x ＝右边． ∴原等式得证．13．(2018·浙江宁波高三期末)已知函数f (x )＝2sin x ·cos x ＋1－2sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最大值与最小值．考点 简单的三角恒等变换的应用题点 辅助角公式与三角函数的综合应用解 (1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π3≤x ≤π4，所以－5π12≤2x ＋π4≤3π4. 当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取得最大值2； 当2x ＋π4＝－5π12，即x ＝－π3时， f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－3＋12， 即f (x )的最小值为－3＋12.14．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f (x )＝2sin x cos x ＋1；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4； ③f (x )＝sin x ＋3cos x ；④f (x )＝2sin 2x ＋1.其中是“同簇函数”的有( )A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④考点 简单的三角恒等变换的综合应用题点 简单的三角恒等变换与三角函数的综合应用答案 C解析 ①式化简后为f (x )＝sin 2x ＋1，③式化简后为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，①④中振幅不同，平移后不能重合．②③振幅、周期相同，平移后可以重合．15．证明：sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝116. 考点 三角恒等式的证明题点 三角恒等式的证明证明 原式＝sin 10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝12cos 20°·cos 40°·cos 80°＝2sin 20°·cos 20°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 40°·cos 40°·cos 80°4sin 20°＝sin 80°cos 80°8sin 20°＝116·sin 160°sin 20°＝116＝右边，所以原等式得证．。
3.2简单的三角恒等变换(共2课时)
点评：例３是三角 恒等变换在数学中 应用的举例，它使 三角函数中对函数 的性质研究得到延 伸，体现了三角变 3 换在化简三角函数 式 中 的 作 用 .
所以,所求的周期为2,最大值为2,最小值为-2.
»感受三角变换的魅力
变形的目标：化成一角一函数的结构 变形的策略：引进一个“辅助角”
2. 请思考： （1）你怎样理解公式两边的“角”的关系？
（2） 与
2
有什么关系？
探 究1： 如 果 以 那 么 公 式 有 什 么 结 果 ？
代 替2， 以
2
代 替，
6
»新知探究
3. 半角公式：
S : ni s
2
1 soc 2 2 1 soc 2 2
C : soc
3
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2 sin cos
C 2： cos 2 cos sin 2 2s o c 1 1 2 n is
2 2
2
2 tan T2： tan 2 1 tan 2
4
»新知探究
1 3 f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 ，最小值为 。 4 4
1 1 sin 2 x 4 2
»感受三角变换的魅力
1 1 例5、 已知 tan ,tan ,并且， 均为锐 7 3 角，求 2 . 1 1 解： tan 1, tan 1, 且， 均为锐角， 7 3 0 , 0 , 0 2 3 . 4 4 4 n 2 at 3, 又 n at 2 4 1n at 2 1 3 n at n at (n at 2 ) 7 4 1, 1 3 1 n at n at 1 7 4 2 . 22 4
简单的三角恒等变换优秀课件(4个课件)
思考6：参照上述分析，cosα cosβ ， sinα sinβ 分别等于什么？其变换功能 如何？
1 c o sc a o s b = c o s ( ab ++ )c o s ( ab -) [ ] 2
1 s i n a s i n b = -[ c o s ( ab +)c o s ( ab -) ] 2
作业： P143习题3.2A组： 1(5)(6)(7)(8) ，2，3，4，5.
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，一个梦，它是万人的愿望。—— 巴 金 6 我们是国家的主人，应该处处为国家着想。—— 雷 锋 7 我们爱我们的民族，这是我们自信心的源泉。—— 周恩来 8 春蚕到死丝方尽，人至期颐亦不休。一息尚存须努力，留作青年好范畴。—— 吴玉章 9 学习的敌人是自己的满足，要认真学习一点东西，必须从不自满开始。对自己，“学而不厌”，对人家，“诲人不倦”，我们应取这种态度。—— 毛泽东 10 错误和挫折教训了我们，使我们比较地聪明起来了，我们的情就办得好一些。任何政党，任何个人，错误总是难免的，我们要求犯得少一点。 犯了错误则要求改正，改正得越迅速，越彻底，越好。—— 毛泽东 38、理想犹如太阳，吸引地上所有的泥水。 9．君子欲讷于言而敏于行。 ——《论语》 译：君子不会夸夸其谈，做起事来却敏捷灵巧。 10．二人同心，其利断金；同心之言，其臭如兰。 ——《周易》 译：同心协力的人，他们的力量足以把坚硬的金属弄断；同心同德的人发表一致的意见，说服力强，人们就像嗅到芬芳的兰花香味，容易接受。 11．君子藏器于身，待时而动。 ——《周易》 译：君子就算有卓越的才能超群的技艺，也不会到处炫耀、卖弄。而是在必要的时刻把才能或技艺施展出来。 12．满招损，谦受益。 ——《尚书》 译：自满于已获得的成绩，将会招来损失和灾害；谦逊并时时感到了自己的不足，就能因此而得益。 13．人不知而不愠，不亦君子乎？ ——《论语》 译：如果我有了某些成就，别人并不理解，可我决不会感到气愤、委屈。这不也是一种君子风度的表现吗？知缘斋主人 14．言必信 ，行必果。 ——《论语》 译：说了的话，一定要守信用；确定了要干的事，就一定要坚决果敢地干下去。 15．毋意，毋必，毋固，毋我。 ——《论语》 译：讲事实，不凭空猜测；遇事不专断，不任性，可行则行；行事要灵活，不死板；凡事不以“我”为中心，不自以为是，与周围的人群策群力，共同完成任务。 16．三人行，必有我师焉，择其善者而从之，其不善者而改之。——《论语》 译：三个人在一起，其中必有某人在某方面是值得我学习的，那他就可当我的老师。我选取他的优点来学习，对他的缺点和不足，我会引以为戒，有则改之。 17．君子求诸己，小人求诸人。 ——《论语》 译：君子总是责备自己，从自身找缺点，找问题。小人常常把目光射向别人，找别人的缺点和不足。很多人（包括我自己）觉得面试时没话说，于是找了一些名言，可以在答题的时候将其穿插其中，按照当场的需要或简要或详细解释一番，也算是一种应对的方法吧 1．天行健，君子以自强不息。 ——《周易》 译：作为君子，应该有坚强的意志，永不止息的奋斗精神，努力加强自我修养，完成并发展自己的学业或事业，能这样做才体现了天的意志，不辜负宇宙给予君子的职责和才能。 2．勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 ——《三国志��
3.2 简单的三角恒等变换优秀课件
两式相减得
sin(ab) sin(ab) 2cosa sinb,
两边除以 2 即得
cosa sinb 12[sin(a b )sin(a b )].
2. 求证:
.
分析:
题设中的a
和
a
2
是二倍角关系,
二倍角的余弦公式中含有三角函数的平方.
∴可以用二倍角的余弦公式进行变换.
解:
cosa
cos(2
a
2
)
1
2sin2
a
2
cosa cos(2a2 )
2cos2
a
2
1
sin2
a
2
1
cosa
2
.
cos2
a
2
1
cosa
2
.
tan2
a
2
sin2
a
2
cos2
a
2
1 cosa
22
2 cos2 a
(分子构造二倍角正弦)
2
2
c
s in a os2 a
1
1
2
(分母构造二倍角余弦)
sin a 1 cosa
(二) 和差角公式的变换使用
例2. 求证:
(1) sina cosb 12[sin(a b ) sin(a b )];
(2)
sin
sin
2sin
2
cos
2
.
(1) 分析: 等式左边是单角a、b, 右边是和角, 差角,
作业布置
3.2简单的三角恒等变换(一)
b2
cos
x
a2 b2 cos sin x sin cos x
a2 b2 sin(x ) 其中 tan b .
a
6
感受三角变换的魅力
引进辅助角法：
a2 b2
b
a sin x bcos x a2 b2 sin(x ) a
其 中tan
b a
设 y a sin bcos
使 y Asin(x ) 函数
的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简 三角函数式中的作用．
7
例3 求函数y sin x 3 cos x的周期，最大值和最小 值
分析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相 应的值.
点评：例３是三 角恒等变换在数 学中应用的举例， 它使三角函数中 对函数的性质研 究得到延伸，体 现了三角变换在 化简三角函数式 中的作用.
3
).
(sin x cos x)2 1 sin2x
结论：将同角的弦函数的和差化为“一个角”
的“一个名”的弦函数.
5
感受三角变换的魅力
变形的目标：化成一角一函数的结构 a2 b2 b
变形的策略：引进一个“辅助角” a
asin x bcos x
a
2
b2
a sin x a2 b2
b a2
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2sin cos
C
：
2
cos 2 cos2 sin2
2cos2 1 1 2sin2
T2：
tan 2
1
2 tan tan2
1
公式的变形
cos 2 cos2 sin2
=(cosa-sina)(cosa+sina)
3.2简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
知源中学高一数学备课组
例1 试用cos 表示 sin
2
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
2
.
是 的二倍角，在公式 cos 2 1 2sin 分析：
中,以 代替2 ,以
2
2
代替 ,
解 cos 1 2sin 2 1 cos 2 sin 2 2
左边是积右边是和差， 从左到右积化和差.
思考2：令 ， 边的式子可得什么结论？
，并交换等式两
q+ j q- j sin q + sin j = 2 sin cos 2 2 q+ j q- j sin q - sin j = 2 cos sin 2 2
思考3：这两个等式左右两边的结构有什么特点？ 从左到右的变换功能是什么？
例4
如图，已知 OPQ是半径为1 ，圆心角为
3 弧上的动点 ，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP , 求
的扇形 ，C是扇形
当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积 .
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
sin cos
3
sin
2
通过三角变换把 形如 1 3 sin 2 1 cos 2 y=asinx+bcosx的 2 6 函数转化为形如 1 3 1 3 通过三角变换把 sin 2 cos 2 6 形如 2 2 3 y=asinx+bcosx的 1 3 sin 2 函数转化为形如 6 6 3 y=Asin(+)的 由于0 ,所以当 2 , 函数,从而使问题 3 6 2 1 3 3 得到简化 即 时, S最大 6 6 3 6
3.2 简单的三角恒等变换
α
求解．
“课下梯度提能”见“课下梯度提能(二十五)” (单击进入电子文档)
一、预习教材·问题导入 根据以下提纲，预习教材 P139～P142 的内容， 回答下列问题． (1)α 与α2是什么关系？ 提示：倍角关系．
(2)如何用 cos α 表示 sin2 α2，cos2 α2和
tan2 α2？
提
示
：
sin2
α 2
＝
1－cos 2
α
，
cos2
α 2
＝
1＋cos 2
α，tan2α2＝11－＋ccooss
(2)∵2α＋β＝α＋(α＋β)，
∴原式
sin[（α＋β）＋α]－2cos（α＋β）sin α
=
sin α
＝sin（α＋β）cos
α－cos（α＋β）sin sin α
α
＝sin[（sαin＋αβ）－α]＝ssiinn
β α.
探究点三 三角恒等变换的综合应用 [典例精析] 已知函数 f(x)＝2asin ωxcos ωx＋2 3cos2ωx－ 3(a>0，ω>0) 的最大值为 2.x1，x2 是集合 M＝{x∈R|f(x)＝0}中的任意两个元 素，|x1－x2|的最小值为π2. (1)求 a，ω 的值； (2)若 f(α)＝23，求 sin56π－4α的值．
α tan2.
(3)由于 tanα2＝1＋sincosαα及 tanα2＝1－sincosαα不含
被开方数，且不涉及符号问题，所以求解关于 tanα2的题
目时，使用相对方便，但需要注意该公式成立的条件．
(4)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用
sin2
α2＝1－c2os
α
3.2简单的三角恒等变换12
1
»复习与回顾
请写出二倍角的正弦、余弦、正切公式
S2： sin 2 2 sin cos
C 2： cos 2 cos sin 2 2s o c 1 1 2 n is
2 2
2
2 tan T2： tan 2 1 tan 2
1 sin sin ; 2 2sin sin 2 sin cos . 2 2
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos 设 +=, -=
①
2
,
的二倍角.
2
2
, cos
2
2
, tan
2
2
.
2 2 在公式 cos 2 1 2 sin 中, 以代替2 , 以 代替 , 2 2 cos 1 2 sin 2 1 cos 2 sin ① 2 2
在公式 cos 2 2 cos 2 1中, 以代替2 , 以 2 1 cos 2 cos ② 2 2 cos 2 cos
半角公式：
S :
2
1 cos si n 2 2 1 cos cos 2 2
1 cos 2 tan 2 1 cos cos 2
C :
2
T :
2
si n
例2 求证 1sin cos
解 (1) sin(+)和sin(-)是我们学过的知识，所
感受三角变换的魅力
思考： 对下面等式进行角、名、结构分
3.2简单的三角恒等变换课件人教新课标
[类题尝试] 已知函数 f(x)＝sin2x－sin2x－π6，x∈R. (1)求 f(x)的最小正周期；
(2)求 f(x)在区间－π3，π4上的最大值和最小值． 解：(1)由已知，有 f(x)＝1－c2os 2x－1－cos22x－π3 ＝12
12cos
2x＋
3 2 sin
2x
－
1 2
cos
2x ＝
6 A. 6
B．－
6 6
30 C. 6
D．－
30 6
解析：由题意知α2∈0，π2，所以 cos α2＞0，
α2＝
1＋cos 2
α＝
30 6.
答案：C
3．已知 cos α＝35，α∈32π，2π，则 sin α2等于(
)
A.
5 5
B．－
5 5
4
25
C.5
D. 5
解析：由题知α2∈34π，π，所以 sin α2>0，
2 θ 2
＝
1 θθ
cos 2sin 2
＝sin2 θ＝右边．
所以原式成立．
法二 左边＝（（1＋1＋sinsiθn－θ＋cocsoθs）θ）2＋（（1＋1＋sisninθθ－＋cocsosθθ））2
＝2（（11＋＋ssiinn
θ）2＋2cos2 θ θ）2－cos2 θ
＝2si4n＋θ＋4s2insiθn2 θ
1．半角公式
[知识提炼·梳理]
温馨提示 对于半角公式，要求会推导，不要求记忆．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x＝
a2＋b2sin(x＋φ)cos φ＝
a a2＋b2，
sin φ＝ a2b＋b2，其中 φ 称为辅助角，它的终边所在象
【高中数学必修四】3.2简单的三角恒等变换
11
11
11
11
11
对于（C2）公式的变形用，即升（降）幂公式的运用，已介绍。
复习：
凑角公式
a sin x b cos x a 2 b 2 sin x b a, b所在象限决定 其中tan , 角所在象限由点 a
功能：把形如“asinx+bcosx”的多项式化成“一角一函数” 形式，从而使问题简化，蕴含了化归思想。
三.课堂小结
1.( S2 )公式的变形用 2.(C 2 )公式的变形用
2 tan 3.万能公式： sin 2 1 tan2 1 tan2 cos 2 1 tan2
5.积化和差与和差化积公式
2 tan tan 2 1 tan2
4.三角恒等变换在实际问题中的应用
万 能 公 式
例4.求证（教材140页例2） 1 1sin cos sin sin 2 2sin sin 2 sin cos 2 2
此例中(1)与教材142练习2，称为积化和差公式 此例中(2)与教材142练习3，称为和差化积公式
1 2 4 解法二：原式 cos cos cos 2 9 9 9 8 2 4 8 sin sin sin sin 1 1 9 9 9 9 2 2 sin 2 sin 2 2 sin 4 16 sin 16 9 9 9 9 1 2 3 4 5 cos cos cos cos cos 32 .
R, k
2 , k
(T2 )
4 (k Z )
二.新课： 题型1：二倍角中的连乘积问题
例1 求值： cos 80o cos 40o cos 20o
高中数学必修4第三章3.2简单的三角恒等变换
一、复习:两角和的正弦、余弦、正切公式:
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan
tan tan 1 tan tan
二sin 2 2sin cos
＝3(cosx 2)2 1 33
又 x 2 , 1 cosx 1 ,
3 当x＝ 2
3
32
时，(cosx) min
1 2
,
y2max＝145
;
当x＝
3
时，(cosx) max
1 2
, ymin＝
1 4.
七、y （a sinx+cosx)+bsinxcosx型
例7 求函数y sinx+cosx+sinxcosx的最值. <分析>注意到（sinx+cosx）2＝1 2sinxcosx.可把sinx+cosx
sin2 1 cos 2
2
降幂升角公式
二、讲授新课：
例1.试以cos表示sin2 ,cos2 ,tan2 .
2
2
2
半角公式
sin 1 cos ,
2
2
cos 1 cos ,
2
2
tan 1 cos .
符号由α所在象限决定. 2
1 cos
2
1．半角公式
sin 1 cos
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin 在Rt△OAD中,
3.2简单的三角恒等变换
3．2简单的三角恒等变换半角公式【问题导思】为丰富三角变换，我们曾由和角公式引出倍角公式，且“倍角是相对的”，那么倍角公式中的2α能否化为α，结果怎样？结果是sin α＝2sin α2cos α2；cos α＝2cos 2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2；tan α＝2tanα21－tan 2α2.sin α2＝± 1－cos α2，cos α2＝± 1＋cos α2， tan α2＝± 1－cos α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cos α2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sinα2cos α2＝sin α2·2sin α2cos α2·2sin α2＝1－cos αsin α.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(其中tan θ＝ba)．应用半角公式求值已知sin θ＝45，且5π2<θ<3π，求cos θ2和tan θ2.1．若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论． 2．由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： (1)先化简所求的式子；(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手)．本例中将条件改为“π<θ<32π，且sin θ＝－45”，如何求解？三角恒等式的证明求证：2(cos x －sin x )1＋sin x ＋cos x ＝cos x 1＋sin x －sin x1＋cos x.1．恒等式的证明，包括无条件的恒等式和有条件的恒等式两种．(1)无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简、左右归一、变更论证等．(2)有条件的恒等式证明，常常先观察条件式及欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证．2．进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．求证：tan(α＋π4)＋tan(α－π4)＝2tan 2α.与三角函数性质有关的综合问题已知函数f (x )＝cos(π3＋x )·cos(π3－x )，g (x )＝12sin 2x －14.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值的x 的集合．1．为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为余弦型(正弦型)函数，这是解决问题的前提．2．本题充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供了保障．已知f (x )＝cos 2(x ＋π12)＋sin x cos x ．求：(1)f (x )的最值； (2)f (x )的单调递增区间．三角函数在实际问题中的应用如图所示，要把半径为R 的半圆形木料截成长方形，应怎样截取，才能使△OAB 的周长最大？图3－2－11．解答此类问题，关键是合理引入辅助角α，确定各量之间的关系，将实际问题转化为三角函数问题，再利用三角函数的有关知识求解．2．在求解过程中，要注意三点：(1)充分借助平面几何性质，寻找数量关系；(2)注意实际问题中变量(角α)的范围；(3)重视三角函数有界性的影响．有一块以O 为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD 辟为绿地，使其一边AD 落在圆的直径上，另外两点B ，C 落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a ，如何选择关于点O 对称的点A ，D 的位置，可以使矩形ABCD 的面积最大？辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的应用(12分)已知函数y ＝12cos 2x ＋32sin x ·cos x ＋1，x ∈R .(1)当自变量y 取得最大值时，求自变量x 的集合； (2)求函数的单调递增区间．1．若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为( )A.63B ．－63C ．±63D ．±332．已知cos α＝45，α∈(32π，2π)，则sin α2等于( )A ．－1010B.1010C.310 3 D ．－353.sin 13°＋cos 15°sin 2°cos 13°－sin 15°sin 2°的值为( )A ．2＋ 3B ．2－ 3 C.2＋32 D.2－324．设函数f (x )＝(sin ωx ＋cos ωx )2＋2cos 2ωx (ω>0)的最小正周期为2π3.求ω的值．一、选择题1．下列各式与tan α相等的是( )A.1－cos 2α1＋cos 2α B.sin α1＋cos α C.sin α1－cos 2αD.1－cos 2αsin 2α2．若函数f (x )＝sin 2x －12(x ∈R )，则f (x )是( )A ．最小正周期为π2的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数 3．已知tan α2＝3，则cos α为( )A.45 B ．－45 C.415 D ．－354．已知sin θ＝－35，3π＜θ＜72π，则tan θ2的值为( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－135．设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A ．c <b <a B ．a <b <c C ．a <c <b D ．b <c <a 二、填空题6．若3π2＜α＜2π，且cos α＝14，则12＋1212＋12cos 2α的值是________． 7．函数y ＝cos 2(x －π12)＋sin 2(x ＋π12)－1的最小正周期为________．8．已知2sin 2x ＋sin 2x 1＋tan x ＝12(π4＜x ＜π2)，则sin x －cos x ＝________.三、解答题9．已知：sin α2sin (π4－α2)sin (π4＋α2)＝2，求1－cos 2αsin αcos α的值．10．已知函数f (x )＝(sin x －cos x )sin 2xsin x.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．11．点P在直径AB＝1的半圆上移动，过P作圆的切线PT，且PT＝1，∠P AB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？。
3.2简单的三角恒等变换(第1课时)三角恒等变换 课件(人教A版必修4)
2
3 cos 2x= sin . 2x 2 3
5 已知函数 f( x) = 2sin( π-x) cos x. ( 1) 将 f( x) 化为 Asin( ωx+ φ) 的形式( A> 0, ω> 0) ; ( 2) 求 f( x) 的最小正周期; ( 3) 求 f( x) 在区间 , 上的最大值和最小值.
2
例如, 已知 cos α=
2
sinα
3, α 为第四象限的角, 求 tan α 的值. 2 3
解法一: ( 用 tan α =± 1 cosα 来处理)
2
1 cosα
∵ α 为第四象限的角, ∴α 是第二或第四象限的角. ∴ tan α < 0.
2
2
3 ∴ tan α =- 1 cosα =3 =- 2 3 2 1 cosα 3 1 3 =- 1 8 4 3 =- 1 ( 6 2) 2 = 2 6 . 2 2 2 解法二: ( 用 tan α = 1 cosα 来处理) 2 sinα 1
a
b 的符号确定. 仅仅讨论 b =± 1, ± 3, ± 3 的情况.
3 ( 2) sin2x= 1 cos 2x , cos2x= 1 cos 2x , sin xcos x= 1 sin 2x. 2 2 2
a
【做一做 2-1】 3sin x- 3 cos x= ( A. sin x
B. -
6 3
C. ± 6
3
D. ± 3
3
解析: ∵ α ∈( 0, π) , ∴α ∈ 0, ,
2
2
∴ cos α = 1 cosα =
3.2 简单的三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换（3个课时）一、课标要求：本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用．二、编写意图与特色本节内容都是用例题来展现的．通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．三、教学目标通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．四、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，以推导积化和差、和差化积、半角公式的推导作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力．五、学法与教学用具学法：讲授式教学六、教学设想：学习和（差）公式，倍角公式以后，我们就有了进行变换的性工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富，这为我们的推理、运算能力提供了新的平台．下面我们以习题课的形式讲解本节内容．例1、试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα． 解：我们可以通过二倍角2cos 2cos12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题． 因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin 22αα-=； 因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 又因为222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．思考：代数式变换与三角变换有什么不同？代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换．对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角式恒等变换的重要特点．例２、求证：（１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sin cos 22θϕθϕθϕ+-+=．证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-． 两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos 22θϕθϕθϕ+-+=．思考：在例２证明中用到哪些数学思想？ 例２ 证明中用到换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、求函数sin y x x =的周期，最大值和最小值．解：sin y x x =这种形式我们在前面见过，1sin 2sin 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()s i n y A xωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．小结：此节虽只安排一到两个课时的时间，但也是非常重要的内容，我们要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业：。
3.2简单的三角恒等变换
数学C1版课件人教版必修4 第三章3.2 简单的三角恒等变换优思教辅共享课件分享人：教员–黄钟吕CONTENTS 半角公式的应用01积化和差、和差划积公式的应用02三角恒等式的证明03目录角的构造技巧与公式的灵活运用0405向量与三角知识的综合运用3．2简单的三角恒等变换重点：①半角的正弦、余弦、正切公式及推导．②积化和差公式及和差化积公式的推导．难点：公式的运用．1．半角公式、和积互化公式不要求记忆，要求能够结合题目特点选用公式．若想记忆公式可参照下列口诀：(1)半角公式无理半角常戴帽，半角确定帽前号；数1余弦加减连，余弦用加正弦减，半角正切不用记，同角弦切有关系．若要不用符号式，分母正弦分子减．(2)和差化积公式正和正余弦、正差正后迁、余加余弦积、余减反正弦．(3)积化和差公式正余正弦和，余正正弦差，余积余弦和，正积反余差．注：“反”即添负号换名称．2．倍角公式、半角公式与和(差)角公式的内在联系：3．注意下列问题(1)应用半角公式注意正负号的确定，半角公式根号前的正负号由α2所在的象限确定，能避免开方的尽量避免．(2)注意理解简单的三角变换的思路：①观察不同三角函数式结构形式方面的差异；②观察不同三角函数式所包含的角的差异，以及这些角的三角函数种类方面的差异．③依据“差异”选取变换途径及公式．(3)根据实际问题选用公式时，应从以下几个方面加以考虑：①运用公式之后，能否出现特殊角；②运用公式之后，能否进行提取公因式，能否约分，能否合并或消项；③运用公式之后，能否使三角函数式结构更加简单，各种关系更加明显，从而为下一步选用公式进行变换创造条件．(4)在应用和差化积公式时，必须是一次同名三角函数方可施行，若是异名，必须用诱导公式化为同名，若是高次函数，必须用降幂公式降为一次．对于三角函数的和差化积，有时因使用公式不同或选择解题的思路不同，化积结果可能不一致．引入辅助角公式也是一种化积公式，在解题中有广泛应用．[例1] 化简：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＋1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ.[解析] 解法一：∵tan θ2＝1－cos θsin θ＝sin θ1＋cos θ＝1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ， ∴1tan θ2＝1＋sin θ＋cos θ1＋sin θ－cos θ∴原式＝tan θ2＋1tan θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法二：原式＝2sin 2θ2＋2sin θ2cosθ22cos 2θ2＋2sin θ2cosθ2＋2cos 2θ2＋2sin θ2cos θ22sin 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2cos θ2＋cos θ2sin θ2＝1cos θ2sin θ2＝2sin θ.解法三：原式＝(1＋sin θ－cos θ)2＋(1＋sin θ＋cos θ)2(1＋sin θ＋cos θ)(1＋sin θ－cos θ)＝2(1＋sin θ)2＋2cos 2θ(1＋sin θ)2－cos 2θ＝4＋4sin θ2sin θ＋2sin 2θ＝2sin θ.已知3π2<θ<2π，化简1＋sin θ－1－sin θ＝______.[解析] 原式＝|sin θ2＋cos θ2|－|sin θ2－cos θ2|，∵3π2<θ<2π，∴3π4<θ2<π，从而sin θ2＋cos θ2<0，sin θ2－cos θ2>0， 则原式＝－(sin θ2＋cos θ2)－(sin θ2－cos θ2) ＝－2sin θ2.[例2] 已知cos α＝35，α的终边在第四象限，求sin α2，cos α2，tan α2的值．[解析] 因为α是第四象限的角，所以 2k π＋3π2<α<2k π＋2π(k ∈Z )k π＋3π4<α2<k π＋π(k ∈Z )， 当k 为偶数时，α2是第二象限角， 此时，sin α2＝1－cos α2＝55，cos α2＝－1＋cos α2＝－255； tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12；当k 为奇数时，α2是第四象限角，此时， sin α2＝－1－cos α2＝－55， cos α2＝1＋cos α2＝255， tan α2＝－1－cos α1＋cos α＝－12.已知|cos θ|＝35，且5π2<θ<3π，则sin θ2＝________，cosθ2＝________，tan θ2＝________.[答案] －255 －552[解析] ∵|cos θ|＝35，5π2<θ<3π， ∴cos θ＝－35，5π4<θ2<3π2. ∵cos θ＝1－2sin 2θ2，∴sin θ2＝－1－cos θ2＝－1＋352＝－255. 又cos θ＝2cos 2θ2－1，有cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55.∴tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2.[例3]化简求值(1)求sin10°·sin30°·sin50°·sin70°的值；(2)求sin75°－sin15°的值．[解析](1)解法一：原式＝－14(cos60°－cos40°)sin70°＝－18sin70°＋14sin70°cos40°＝－18sin70°＋18(sin110°＋sin30°)＝－18sin70°＋18sin70°＋116＝116.解法二：原式＝12cos20°cos40°cos80°＝sin20°cos20°cos40°cos80°2sin20°＝sin40°cos40°cos80°4sin20° ＝sin80°cos80°8sin20°＝sin160°16sin20°＝116.(2)解法一：sin75°－sin15°＝2cos45°sin30° ＝2×22×12＝22.解法二：sin75°－sin15°＝cos15°－sin15° ＝2⎝⎛⎭⎪⎪⎫cos15°×22－sin15°×22 ＝2cos(15°＋45°)＝2cos60°＝2×12＝22.已知cos α－cos β＝12，sin α－sin β＝－13，则sin(α＋β)的值为________．[答案] 1213[分析] 对于这类题目，前面我们曾用两边平方相加减产生过cos(α±β)，但sin(α＋β)的展开式为异名积，因此不能用前面用过的方法．如果两个等式分别用和差化积公式变形，再相除可得tan α＋β2的值，进而可求sin(α＋β)的值．[解析] ∵cos α－cos β＝12，∴－2sin α＋β2sin α－β2＝12.①∵sin α－sin β＝－13，∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13.②①÷②得－tan α＋β2＝－32.∴tan α＋β2＝32. ∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos α＋β2sin 2α＋β2＋cos 2α＋β2＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β2＝2×321＋94＝1213.[例4] 证明：tan 3x 2－tan x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .[解析] 解法一：2sin x cos x ＋cos2x ＝sin xcos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sinx 2cos x 2＝tan 3x 2－tan x 2.解法二：tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2·cos x 2－cos 3x 2·sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin xcos x ＋cos2x .求证：cos2x ＋cos2y 1＋cos2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y ).[证明] 左边＝2cos(x ＋y )cos(x －y )2cos 2(x ＋y )＝cos(x －y )cos(x ＋y )＝右边.[例5]设A、B、C是△ABC的三个内角，求证：sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sin A sin B sin C.[分析]左和右积，故考虑和差化积，然后利用A＋B＝π－C转化．[证明]∵A＋B＋C＝π，∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)．∴原式左边＝2sin(A＋B)cos(A－B)＋sin2[π－(A＋B)]＝2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝2sin C·(－2)sin A·sin(－B)＝4sin A sin B sin C＝右边．在△ABC中，求证：cos A＋cos B＋cos C＝1＋4sin A2sinB2sinC2.[证明] ∵A ＋B ＝π－C ， ∴cos A ＋B 2＝sin C 2，cos(A ＋B )＝－cos C ，左边＝2cos A ＋B 2cos A －B 2－cos(A ＋B )＝2cos A ＋B 2(cos A －B 2－cos A ＋B 2)＋1＝1＋2sin C 2·(－2)·sin A 2·sin(－B 2) ＝1＋4sin A 2sin B 2sin C 2＝右边．[例6]求sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°的值．[分析]从不同的观察角度入手，可产生不同的解题思路．①从特殊角入手，∵40°＝30°＋10°，这样整个式子中只含10°角的正余弦，便于化简有解法一．②从平方关系sin2α＋cos2α＝1入手，可构造对偶式，这样两式相加减都容易化简，有解法二．③平方可降幂，积可化和差，然后由变形后的式子考虑下步变形方法有解法三．④从a 2＋b 2＋ab 入手考虑完全平方式(a ＋b )2，化同名，和差化积可产生特殊角，故有解法四．[解析] 解法一：因为40°＝30°＋10°，于是原式＝sin 210°＋cos 2(30°＋10°)＋sin10°cos(30°＋10°)＝sin 210°＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°2＋sin10° ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32cos10°－12sin10°＝34(sin 210°＋cos 210°)＝34.解法二：设x ＝sin 210°＋cos 240°＋sin10°cos40°，y ＝cos 210°＋sin 240°＋cos10°sin40°，则x ＋y ＝1＋1＋sin10°cos40°＋cos10°sin40°＝2＋sin50°＝2＋cos40°x －y ＝cos80°－cos20°－12＝－sin50°－12＝－cos40°－12，因此，2x ＝32，x ＝34.解法三：原式＝1－cos20°2＋1＋cos80°2＋12(sin50°－sin30°)＝1＋12(cos80°－cos20°)＋12sin50°－14＝34＋12(－2sin50°sin30°)＋12sin50°＝34.解法四：原式＝(sin10°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(cos80°＋cos40°)2－sin10°·cos40°＝(2cos60°·cos20°)2－12(sin50°－sin30°)＝1＋cos40°2－12cos40°＋14＝34.解法五：令sin10°＝a ＋b ，cos40°＝a －b ，则a ＝12(sin10°＋cos40°)＝12(sin10°＋sin50°)＝sin30°cos20°＝12cos20°，b ＝12(sin10°－cos40°)＝12(sin10°－sin50°)＝cos30°sin(－20°)＝－32sin20°.原式＝(a ＋b )2＋(a －b )2＋(a ＋b )(a －b )＝3a 2＋b 2＝34cos 220°＋34sin 220°＝34.[点评]解法一：通过对该题中两个角的特点分析，巧妙地避开了和差化积与积化和差公式．当然运用降次、和积互化也是一般方法．解法二：利用正余弦函数的互余对偶，构造对偶式，组成方程组，解法简明．解法五：运用代数中方程的方法，将三角问题代数化处理，解法新颖别致，不拘一格，体现了数学的内在美．在此基础上，通过分析三角函数式中的角度数之间的特定关系，作推广创新．求值：sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°＝________.[答案]1 4[解析]令x＝sin220°＋cos280°＋3sin20°cos80°y＝cos220°＋sin280°＋3cos20°sin80°，则x＋y＝2＋3sin100°，x －y ＝－cos40°＋cos160°－32＝－2sin100°sin60°－32＝－3sin100°－32，∴x ＝14.自己试解下列各题并总结你的解题体会． ①求sin 220°＋cos 250°＋sin20°cos50°的值； 求cos 273°＋cos 247°＋cos47°cos73°的值；②求sin 2α＋cos 2(α＋30°)＋sin αcos(α＋30°)的值； 求cos 2α＋sin 2(α＋30°)－cos αsin(α＋30°)的值；③求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)的值；求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosαsin(α＋60°)的值；④若x＋y＝2kπ＋π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y＋sin x sin y为定值3 4；若x＋y＝2kπ＋2π3(k∈Z)，则sin2x＋sin2y－sin x sin y为定值34；⑤若sin(β－α)＝a2或sin(α＋β)＝－a2，则sin2α＋cos2β＋a sinαcosβ＝1－14a 2.。
高中数学新人教A版必修4课件：第3章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换6
思路点拨：三角函数问题，一般利用两角和与差的正弦、余弦公 式、二倍角公式化为一个角的一个三角函数，然后利用正弦函数(或 余弦函数)的性质得出结论．
[解] (1)∵f(x)＝cosπ3＋xcosπ3－x－12sin 2x＋14 ＝12cos x－ 23sin x12cos x＋ 23sin x－12sin 2x＋14
(4)比较法：设法证明“左边－右边＝0”或“左边/右边＝1”； (5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条 件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立．
2．求证：
（sin
x＋cos
2sin xcos x x－1）（sin
x－cos
x＋1）＝1＋sincoxs
x .
[证明] 左边＝2sin2xcos2x－2s2isni2n2xxc2ossinx2xcos2x＋2sin22x
1．已知 180°＜α＜360°，则 cosα2的值等于( )
A．－
1－cos α 2
B．
1－cos α 2
C．－
1＋cos α 2
D．
1＋cos α 2
C [∵180°＜α＜360°，∴90°＜α2＜180°，
∴cos α2＜0，故应选 C.]
2．2sin θ＋2cos θ＝( )
A．sinθ＋π4 C．2 2sinθ＋π4
第三章 三角恒等变换
3.2 简单的三角恒等变换
学习目标
核心素养
1.能用二倍角公式推导出半角公式， 体会三角恒等变换的基本思想方法， 以及进行简单的应用．(重点) 2.了解三角恒等变换的特点、变换技 巧，掌握三角恒等变换的基本思想方 法．(重点) 3.能利用三角恒等变换的技巧进行三 角函数式的化简、求值以及证明，进 而进行简单的应用．(难点、易混点)
课件12：3.2 简单的三角恒等变换
3 6.
因此，当
α＝6π时，矩形
ABCD
的面积最大，最大面积为
3 6.
小结 从本例可以看到，通过三角变换，我们把形如 y＝asin x＋bcos x 的 函数转化为形如 y＝Asin(ωx＋φ)的函数，从而使问题得到简化，这个过程 蕴含了化归思想．
跟踪训练 3 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会标是以我国古代数学家赵爽的弦 图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图 所示)．如果小正方形的面积为 1，大正方形的面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 θ，
解 在 Rt△OBC 中，OB＝cos α，BC＝sin α.
在 Rt△OAD 中，DOAA＝tan 60°＝ 3，
∴OA＝
33DA＝
33BC＝
3 3 sin
α，
∴AB＝OB－OA＝cos
α－
3 3 sin
α.
设矩形 ABCD 的面积为 S，则 S＝AB·BC
＝cos
α－
3 3 sin
αsin
α＝sin
αcos
α－
33sin2α
＝12sin
2α－
63(1－cos
2α)＝12sin
2α＋
3 6 cos
2α－
3 6
＝
1 3
3 2 sin
2α＋12cos
2α－
63＝
13sin2α＋π6－
3 6.
由 0<α<3π，得π6<2α＋6π<56π，所以当 2α＋π6＝2π，
即
α＝6π时，S
＝ 最大
1－ 3
63＝
问题 2 请写出把 asin x＋bcos x 化成 Asin(ωx＋φ)形式的过程．
3.2简单的三角恒等变换
2 2
1 = cos 2 β − cos 2 β (sin 2 α + cos 2α ) 2 1 1 − cos 2 β cos 2α = (1 + cos 2 β ) − cos 2 β ( + ) 2 2 2
1.y=1-cos4x 所以周期 所以周期T=π/2 最小值为：0 最小值为：
2. y = 3 cos 2 x + sin 2 x
π = 2 sin(2 x + ） 3
例题讲解
y = sin 2 x + 2 sin x cos x + 3 cos 2 x 例1 求函数
的周期,最大值和最小值 的周期 最大值和最小值. 最大值和最小值 巩固练习
3 sin 2 x - 2 (1 + cos 2 x ) 2
3 = sin 2 x - 2 cos 2 x - 2 2
5 = sin ( 2 x - y) - 2 2
巩固练习 1.已知函数 y = 2 sin 2 x ,求它的周期及最 已知函数 求它的周期及最 小值. 小值
2
2.求函数 y = 3 cos 2 x + 2 sin x cos x 求函数 的单调递减区间. 的单调递减区间
π y = 1 + sin 2 x + 2 cos 2 x = 2 + 2 sin(2 x + ） 4
1 2 3 1 已知函数 y = 2 sin x + 2 sin x cos x − 4 , 求它的单调增区间. y = 1 sin(2 x - π ） 求它的单调增区间 2 6 求下列函数的最大值和最小值: 例2.求下列函数的最大值和最小值 求下列函数的最大值和最小值
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2sin sin 2sin cos .
2
2
解 (1) sin(+) ＝ sincos+cossin
sin(-) ＝ sincos-cossin
两式相加,得
sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos
sin
cos
1 2
sin
sin
(2) 由(1)可得 sin(+) + sin(-) ＝ 2sincos ①
5
44
则 tan( ) 3
4 22
6．化简：
1 sin2 2
cos 1 cos 3
2
2
sin 1 2
小结
对变换过程中体现的换元、逆向使用公式 等数学思想方法加深认识，学会灵活运用
的最小正周期为____最大值___34____
最小值____14____
分析：欲求最小正周期主最大最小值，首 先要将函数式化为单一函数．
f (x) sin4 x 2sin2 x cos2 x cos4 x sin2 x cos2 x 2 2sin x cos x
1 sin2 xcox2x 1
解 在Rt△OBC中,OB=cos,BC=sin 在Rt△OAD中, DA tan 60o 3 OA
OA 3 DA 3 BC 3 sin
3
3
3
AB OB OA cos 3 sin
3
设矩形ABCD的面积为S,则
S
AB • BC
cos
3 3
sin
sin
sin cos 3 sin2
(1 sin x cos x)
2(1 sin x cos x) 2
1 sin 2x 1
4
2
f ( x ) 的最小正周期为π，最大值为 3 ，最小值为 1 。
4
4
cos 400 cos 600 cos800 cos1600的值是( )
A．0
B． 3
2
C．1
2
D．－1
3.设
(0,
),
(
设 +=, -=
,
2
2
把,的值代入①,即得
sin sin 2sin cos
2
2
例２证明中用到换元思想， ①式是积化和差的形式， ②式是和差化积的形式；
在后面的练习当中还有六个关于积化和 差、和差化积的公式．
例3.求函数y sin x 3 cos x的周期， 最大值和最小值
2
cos 2 cos2 1
可表示为:
2
sin 1 cos
cos2
2
1
cos
2
2
② cos
2
2
1 cos
2
① 得 ②
tan 2 1 cos 2 1 cos
tan 1 cos 2 1 cos
称为半角公式, 符号
由 所在象限决定.
2
例2 求证
1sin cos 1 sin sin ;
分析：利用三角恒等变换，先把函数式 化简，再求相应的值.
例4
如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为 的扇形，C是扇形
3
弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形. 记COP ,求 当角取何值时, 矩形ABCD的面积最大?并求出最大面积.
分析:要求当角取何值时,矩形ABCD的面积 S最大, 可分二步进行. ①找出S与之间的函数关系; ②由得出的函数关系,求S的最大值.
3
1 sin 2 3 1 cos 2
2
6
通过三角变换
1 3
3 2
sin
2
1 2
cos
2
3 6
把形如 y=asinx+bcosx
1 3
sin
2
6
3 6
的函数转化为 形如 y=Asin(+)
由于0
3
, 所以当
2
6
2
,
的函数,从而使 问题得到简化
即
时,
6
S最大
13
3 6
3 6
练习
1.函数f (x) sin4 x cos4 x sin2 x cos2 x 2 sin 2x
,
),且 cos
1
,
2
2
3
sin( ) 7 则sin ( )
9
A．1
B．5
C．1
D．23
27
27
3
27
4.若f
(x)
2 sin 2
2sin
1
2
cos
, 则f
( )
12
(
)
22
A． 4 3
3
B． 4 3
C．4 3
D．6 3
5.已知 tan( ) 2 , tan( ) 1 ,
3.2 简单的三角恒等变换
例1 试用cos表示sin 2 , cos2 , tan2 .
2
2
2
解 是 的二倍角
2
在公式cos 2 1 2sin2 中,以代替2,以 代替,
2
cos 1 2sin2
2
sin 2 1 cos ①
2
2
在公式cos 2 2 cos2 1中,以代替2,以 代替