自动控制原理-自动控制原理-2-1控制系统的时域数学模型2017
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3、将输出的象函数表达式展开成部分分式。 4、对部分分式进行拉氏反变换，即得微分方程 的全解。
4、线性微分方程式的求解
解：用一将个方例程子两边来求说拉明氏采变用换拉得氏：变换法 解线性s定2C常(s)微+ 分2s方C(程s) 的+ 2方C(法s)。= R(s)
例 已知系统的R微(s分) =方1程式，求系统的 求拉氏C反输dd2(cst变出2)(t=)换响+s得应22 +：。dd21cts(t+) 2+=2(cs+(t1)1)=2 +r(1t)
E uc (t ) max c (t ) kc (t )
u (t) ur (t) uc (t) k[r (t) c (t)]
ua (t) kau(t)
Tm
d
2m (t) dt 2
dm (t ) dt
kmua (t )
ut (t)
kt
dm (t) dt
1 c(t) i m(t)
3、 线性系统的基本特性
i(t)dt
i(t)= C du(t)
dt
i(t)=
1 L
u(t)dt
u(t)=
Ld
i (t)
dt
RLC无源网络,弹簧质量阻尼器
di( t ) 1 L dt C i )t )dt Ri( t ) ui ( t )
1 uo ( t ) C i( t )dt
LC
d
2uo ( dt 2
t
)
F( t ) kx( t ) f
m
dt
dt 2
d 2 x( t ) dx( t )
m
f
kx( t ) F( t )
dt 2
dt
电枢控制直流电机
电枢回路电压平衡方程：
ua (
t
)
La
dia ( t dt
)
Raia ( t
)
Ea
电枢反电势：Ea C em ( t )
电磁转矩方程：Mm ( t ) Cmia ( t )
)
Ra Mc (
t
)
忽略La可得下式：
Tm 电机的时间常数
K1 电机的传递源自文库数
Tm
dm ( t dt
)
m (
t
)
K1ua ( t
)
K2 Mc (
t
)
减速器
两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同
M11 M22
r11 r22
齿数与半径成正比 r1 Z1 r2 Z2
速比i Z2 Z1
以1为输入,2为输出的微分方程：
电机轴上转矩平衡方程：
Jm fm
电机轴上总的转动惯量
J
电机轴上总的粘性摩擦系数
m
dm ( t dt
)
fmm ( t
)
Mm ( t
)
Mc ( t
)
La J m
d 2m ( dt 2
t
)
(
La
fm
Ra J m
)
dm ( t dt
)
(
Ra
fm
CmCe
)m ( t
)
Cmua ( t
)
La
dMc ( dt
t
r(t) =δ(t),c(tc)(=0)e=–ct's(i0n) t= 0
输出响应曲线
r(t) c(t)
0 r(t) c(t)
t
5、非线性微分方程的线性化
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。
对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
Tm
d dt
k g
dui dt
kgui
kc Mc
Mc 负载扰动力矩
操纵手柄
W1 电位器对 W2位置随动系统原理图(补充)
r
c
r
E
Ra La
uε
u 放大器 ua
+ _
if
m Z1
SM
ut
方块图的绘制
测速电机 TG
电机
+ _
Z2
减速器
c
J L fL
负载
r
操纵手柄 W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
2( t
)
Z1 Z2
1( t
)
1 i 1( t
)
2、 控制系统微分方程的建立
（2）一个建系立统初通始常微是分由方一程些组环。节连接而成 的根，据将系各统环中节的所每遵个循环的节基的本微物分理方规程律求，出分 来 别列，写便出可相求应出的整微个分系方统程的，微并分构方成程微。分方 程组。
（列3）写消系除统中微间分变方量程，的将一式般子步标骤准：化。 边（将，1）与与确输输定入出系量量统有有的关关输的的入项项变写写量在在和等方输号程出的式变左等量边号。。右
线性系统具有叠加性和齐次性。
叠加齐性次：性：x1(tx)(t)
RC
duo ( dt
t
)
uo (
t
)
ui
(
t
)
牛顿定律 F ma
加速度a
d
2 x( t dt 2
)
1.外力F( t ),方向见图
2.弹簧恢复力与位移成正比kx( t ),方向与x( t )相反
3.阻尼器阻力与位移速度成正比f dx( t ) ,方向与x( t )相反 dt
dx( t ) d 2 x( t )
封 面
2-1控制系统的时域数学模型
系统微分方程的建立 3、线性系统的基本特性 4、线性定常微分方程的求解 5、非线性微分方程的线性化
数学模型：描述系统输入，输出变量以及内部各 变量之间关系的数学表达式。
分类 静态数学模型：变量的各阶导数为0。 动态数学模型：变量的各阶导数不为0。
动态数学模型
微分方程
+
R2
R
R1
ui
R1 k1 u1
c
k2 u2
功 放
ua
SM
ω 负m
载
R1
速度控制系统
ut
TG
运放1 : u1 k1( ui ut ) k1ue
运放2
:
u2
k2(
du1 dt
u1
)
功放 : ua k3u2 直流电机 : Tm
齿轮系
:
1 i
m
测速发电机 :
dm
dt
ut
m
kt
km ua
kc Mc
叠加性和均匀性（或齐次性）
对线性系统进行分析和设计时，如果有几 个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处 理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输 出，然后将它们叠加。
4、线性微分方程的求解
方法
解析法 拉普拉斯变换
步骤：
1、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变 量的代数方程。
2、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表 达式。
差分方程 时域中常用
状态方程
传递函数 结构图
复数域中用
频率特性——频域中用
建立数学模型的方法：解析法、实验法。
1、线性元件的微分方程
电阻、电容、电感(补充)
+ i(t) R u(t)
– u(t)= i (t)·R
u(t)
i(t)= R
i(t) C
+
–
u(t)
i(t) +
u(t)
L
–
u(t)=
1 C
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
位W1置随动W系2 统结构图绘制
r
c
rr
操纵手柄
W1
ur
uE ε uε
uc ut
u 放大器 uaRa uut放大器 测ua速电机_+
La 电机
if
减 mm速器Z1
SM
c
JLfL
W2
TG
+ _
c
Z2
J L fL
ur
(t)
E max
r
(t)
kr
(t)
u(t) u (t) ut (t)
4、线性微分方程式的求解
解：用一将个方例程子两边来求说拉明氏采变用换拉得氏：变换法 解线性s定2C常(s)微+ 分2s方C(程s) 的+ 2方C(法s)。= R(s)
例 已知系统的R微(s分) =方1程式，求系统的 求拉氏C反输dd2(cst变出2)(t=)换响+s得应22 +：。dd21cts(t+) 2+=2(cs+(t1)1)=2 +r(1t)
E uc (t ) max c (t ) kc (t )
u (t) ur (t) uc (t) k[r (t) c (t)]
ua (t) kau(t)
Tm
d
2m (t) dt 2
dm (t ) dt
kmua (t )
ut (t)
kt
dm (t) dt
1 c(t) i m(t)
3、 线性系统的基本特性
i(t)dt
i(t)= C du(t)
dt
i(t)=
1 L
u(t)dt
u(t)=
Ld
i (t)
dt
RLC无源网络,弹簧质量阻尼器
di( t ) 1 L dt C i )t )dt Ri( t ) ui ( t )
1 uo ( t ) C i( t )dt
LC
d
2uo ( dt 2
t
)
F( t ) kx( t ) f
m
dt
dt 2
d 2 x( t ) dx( t )
m
f
kx( t ) F( t )
dt 2
dt
电枢控制直流电机
电枢回路电压平衡方程：
ua (
t
)
La
dia ( t dt
)
Raia ( t
)
Ea
电枢反电势：Ea C em ( t )
电磁转矩方程：Mm ( t ) Cmia ( t )
)
Ra Mc (
t
)
忽略La可得下式：
Tm 电机的时间常数
K1 电机的传递源自文库数
Tm
dm ( t dt
)
m (
t
)
K1ua ( t
)
K2 Mc (
t
)
减速器
两个啮合齿轮的线速度相同，传送的功率相同
M11 M22
r11 r22
齿数与半径成正比 r1 Z1 r2 Z2
速比i Z2 Z1
以1为输入,2为输出的微分方程：
电机轴上转矩平衡方程：
Jm fm
电机轴上总的转动惯量
J
电机轴上总的粘性摩擦系数
m
dm ( t dt
)
fmm ( t
)
Mm ( t
)
Mc ( t
)
La J m
d 2m ( dt 2
t
)
(
La
fm
Ra J m
)
dm ( t dt
)
(
Ra
fm
CmCe
)m ( t
)
Cmua ( t
)
La
dMc ( dt
t
r(t) =δ(t),c(tc)(=0)e=–ct's(i0n) t= 0
输出响应曲线
r(t) c(t)
0 r(t) c(t)
t
5、非线性微分方程的线性化
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。
对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
Tm
d dt
k g
dui dt
kgui
kc Mc
Mc 负载扰动力矩
操纵手柄
W1 电位器对 W2位置随动系统原理图(补充)
r
c
r
E
Ra La
uε
u 放大器 ua
+ _
if
m Z1
SM
ut
方块图的绘制
测速电机 TG
电机
+ _
Z2
减速器
c
J L fL
负载
r
操纵手柄 W1
ur
uε
u
放大器
ua
电机 m
2( t
)
Z1 Z2
1( t
)
1 i 1( t
)
2、 控制系统微分方程的建立
（2）一个建系立统初通始常微是分由方一程些组环。节连接而成 的根，据将系各统环中节的所每遵个循环的节基的本微物分理方规程律求，出分 来 别列，写便出可相求应出的整微个分系方统程的，微并分构方成程微。分方 程组。
（列3）写消系除统中微间分变方量程，的将一式般子步标骤准：化。 边（将，1）与与确输输定入出系量量统有有的关关输的的入项项变写写量在在和等方输号程出的式变左等量边号。。右
线性系统具有叠加性和齐次性。
叠加齐性次：性：x1(tx)(t)
RC
duo ( dt
t
)
uo (
t
)
ui
(
t
)
牛顿定律 F ma
加速度a
d
2 x( t dt 2
)
1.外力F( t ),方向见图
2.弹簧恢复力与位移成正比kx( t ),方向与x( t )相反
3.阻尼器阻力与位移速度成正比f dx( t ) ,方向与x( t )相反 dt
dx( t ) d 2 x( t )
封 面
2-1控制系统的时域数学模型
系统微分方程的建立 3、线性系统的基本特性 4、线性定常微分方程的求解 5、非线性微分方程的线性化
数学模型：描述系统输入，输出变量以及内部各 变量之间关系的数学表达式。
分类 静态数学模型：变量的各阶导数为0。 动态数学模型：变量的各阶导数不为0。
动态数学模型
微分方程
+
R2
R
R1
ui
R1 k1 u1
c
k2 u2
功 放
ua
SM
ω 负m
载
R1
速度控制系统
ut
TG
运放1 : u1 k1( ui ut ) k1ue
运放2
:
u2
k2(
du1 dt
u1
)
功放 : ua k3u2 直流电机 : Tm
齿轮系
:
1 i
m
测速发电机 :
dm
dt
ut
m
kt
km ua
kc Mc
叠加性和均匀性（或齐次性）
对线性系统进行分析和设计时，如果有几 个外作用同时加于系统，则可以将它们分别处 理，依次求出各个外作用单独加入时系统的输 出，然后将它们叠加。
4、线性微分方程的求解
方法
解析法 拉普拉斯变换
步骤：
1、将系统微分方程进行拉氏变换，得到以s为变 量的代数方程。
2、解变换方程，求出系统输出变量的象函数表 达式。
差分方程 时域中常用
状态方程
传递函数 结构图
复数域中用
频率特性——频域中用
建立数学模型的方法：解析法、实验法。
1、线性元件的微分方程
电阻、电容、电感(补充)
+ i(t) R u(t)
– u(t)= i (t)·R
u(t)
i(t)= R
i(t) C
+
–
u(t)
i(t) +
u(t)
L
–
u(t)=
1 C
减 速
c
负载
ut uc
测速电机
器
W2
位W1置随动W系2 统结构图绘制
r
c
rr
操纵手柄
W1
ur
uE ε uε
uc ut
u 放大器 uaRa uut放大器 测ua速电机_+
La 电机
if
减 mm速器Z1
SM
c
JLfL
W2
TG
+ _
c
Z2
J L fL
ur
(t)
E max
r
(t)
kr
(t)
u(t) u (t) ut (t)