人教A版《三角函数的应用》优秀课件1
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高中数学人教A版必修第一册 5.7三角函数的应用 ppt
t
+60
3
2
C.y＝50sin
2
t +60
2
3
D.y＝50sin
2
t +10
2
3
如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件，
利用三角函数知识建立数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的数学
模型——三角函数模型.
（2）由题意可知ω＝ 3 2 ＝ ，由（1）知∠MOP0＝ ，
60
10
6
∴ 所求函数的解析式为h＝ 4 sin
10
答案：（1）
（ 2 3 +2）m
t
+2.
6
（2）h＝ 4 sin
10
t
+2
6
2. ［2020·黑龙江哈三中高三期末］如图，某摩天轮上一点P在t时刻距离地面高
2
2
2
∴ h＝4.8sin(θ- )+4.8+0.8＝-4.8cos θ+5.6；
2
当0<θ≤ 时，上述解析式也成立.
2
故h与θ之间的函数解析式为h＝5.6-4.8cos θ.
（2）由题意知观览车逆时针运动的角速度是 rad/s，
30
∴ t秒转过的弧度数为 t，∴ h＝5.6-4.8cos
这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可.
（2）对于函数y＝Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0），最大值为A+b，最
小值为b-A.
+60
3
2
C.y＝50sin
2
t +60
2
3
D.y＝50sin
2
t +10
2
3
如果某种现象的变化具有周期性，那么我们可以根据这一现象的特征和条件，
利用三角函数知识建立数学模型，从而把这一具体现象转化为一个特定的数学
模型——三角函数模型.
（2）由题意可知ω＝ 3 2 ＝ ，由（1）知∠MOP0＝ ，
60
10
6
∴ 所求函数的解析式为h＝ 4 sin
10
答案：（1）
（ 2 3 +2）m
t
+2.
6
（2）h＝ 4 sin
10
t
+2
6
2. ［2020·黑龙江哈三中高三期末］如图，某摩天轮上一点P在t时刻距离地面高
2
2
2
∴ h＝4.8sin(θ- )+4.8+0.8＝-4.8cos θ+5.6；
2
当0<θ≤ 时，上述解析式也成立.
2
故h与θ之间的函数解析式为h＝5.6-4.8cos θ.
（2）由题意知观览车逆时针运动的角速度是 rad/s，
30
∴ t秒转过的弧度数为 t，∴ h＝5.6-4.8cos
这样的题只需根据已知条件确定参数，求出函数解析式，再代入计算即可.
（2）对于函数y＝Asin（ωx+φ）+b（A>0，ω>0），最大值为A+b，最
小值为b-A.
三角函数的应用课件高一上学期数学人教A版
t 0.35 0.40 0.45 0.50 y 17.7 10.3 0.1 -10.1
0.20 10.3
0.55 -17.8
0.25 0.30 17.7 20.0
0.60 -20.0
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间 的关系，给出整点时水深的近似值（精确到0.01m）.
y sin(x )+h
解：（1）以时间 x（单位：h）为横坐标，水深 y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中 画出散点图.
根据图象，可以考虑用函数 y sin(x )+h 刻画
水深与时间的对应关系，从数据和图象可以得出：= 7.5 - 2.5 =2.5，h= 7.5+2.5 =5，T =12.4，
第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
新课导入
周期现象——自然界中常见的现象
现实生活中有很多现象 在进行周而复始地变化，用 数学语言可以说这些现象具 有周期性，而我们所学的三 角函数就是刻画周期变化的 典型函数模型，比如下列现 象就可以用正弦型函数模型 来研究，这节课我们就来探 讨三角函数模型的简单应用.
新知探究
在物理中的应用
问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成 一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与 位移y（单位：mm)之间的对应数据如下 表所示。试根据这些数据确定这个振子的 位移关于时间的函数解析式。
t 0.00 0.05 0.10 0.15 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1
0.20 10.3
0.55 -17.8
0.25 0.30 17.7 20.0
0.60 -20.0
t 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1 10.3 17.7 20.0 17.7 10.3 0.1 -10.1 -17.8 -20.0
（1）选用一个函数来近似描述这一天该港口的水深与时间 的关系，给出整点时水深的近似值（精确到0.01m）.
y sin(x )+h
解：（1）以时间 x（单位：h）为横坐标，水深 y（单位：m）为纵坐标，在直角坐标系中 画出散点图.
根据图象，可以考虑用函数 y sin(x )+h 刻画
水深与时间的对应关系，从数据和图象可以得出：= 7.5 - 2.5 =2.5，h= 7.5+2.5 =5，T =12.4，
第五章 三角函数
5.7 三角函数的应用
新课导入
周期现象——自然界中常见的现象
现实生活中有很多现象 在进行周而复始地变化，用 数学语言可以说这些现象具 有周期性，而我们所学的三 角函数就是刻画周期变化的 典型函数模型，比如下列现 象就可以用正弦型函数模型 来研究，这节课我们就来探 讨三角函数模型的简单应用.
新知探究
在物理中的应用
问题1:某个弹簧振子（简称振子）在完成 一次全振动的过程中，时间t(单位：s)与 位移y（单位：mm)之间的对应数据如下 表所示。试根据这些数据确定这个振子的 位移关于时间的函数解析式。
t 0.00 0.05 0.10 0.15 y -20.0 -17.8 -10.1 0.1
新教材人教A版5.7三角函数的应用课件(38张)
答案：1 s
探究一 三角函数在物理中的应用 [例 1] [教材 P242 拓展探究] (1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s) 的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并 回答下列问题． ①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ ②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ ③经过多长时间小球往复振动一次？
已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0≤t≤24，记 y＝f(t)，下 表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数 y＝Acos ω t＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断 一天内的 8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
(2)依题意，当 f(t)＞11 时实验室需要降温． 由(1)得 f(t)＝10－2sin1π2t＋π3， 故有 10－2sin1π2t＋π3＞11， 即 sin1π2t＋π3＜－12. 又 0≤t＜24，所以76π＜1π2t＋π3＜116π， 即 10＜t＜18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温．
解析：(1)因为 f(t)＝10－2sin1π2t＋π3， 又 0≤t＜24， 所以π3≤1π2t＋π3＜73π， －1≤sin1π2t＋π3≤1. 当 t＝2 时，sin1π2t＋π3＝1； 当 t＝14 时，sin1π2t＋π3＝－1. 于是 f(t)在[0,24]上的最大值为 12，最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃.
探究一 三角函数在物理中的应用 [例 1] [教材 P242 拓展探究] (1)已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移 s(cm)随时间 t(s) 的变化规律为 s＝4sin2t＋π3，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并 回答下列问题． ①小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？ ②小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？ ③经过多长时间小球往复振动一次？
已知某海滨浴场的海浪高度 y(米)是时间 t(时)的函数，其中 0≤t≤24，记 y＝f(t)，下 表是某日各时的浪高数据：
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的图象可近似地看成是函数 y＝Acos ω t＋b 的图象． (1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式； (2)根据规定，当海浪高度大于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断 一天内的 8：00 到 20：00 之间，有多少时间可供冲浪者进行活动？
(2)依题意，当 f(t)＞11 时实验室需要降温． 由(1)得 f(t)＝10－2sin1π2t＋π3， 故有 10－2sin1π2t＋π3＞11， 即 sin1π2t＋π3＜－12. 又 0≤t＜24，所以76π＜1π2t＋π3＜116π， 即 10＜t＜18.故在 10 时至 18 时实验室需要降温．
解析：(1)因为 f(t)＝10－2sin1π2t＋π3， 又 0≤t＜24， 所以π3≤1π2t＋π3＜73π， －1≤sin1π2t＋π3≤1. 当 t＝2 时，sin1π2t＋π3＝1； 当 t＝14 时，sin1π2t＋π3＝－1. 于是 f(t)在[0,24]上的最大值为 12，最小值为 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃.
新教材人教A版5.7三角函数的应用课件(42张)
由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5;
由 t=3,y=1.0,得 b=1.故 A=0.5,b=1.
所以 y=cost+1.
(2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪爱好者开放,故cost+1>1,
解得 cost>0,故 2kπ- < t<2kπ+(k∈Z),
,
此时 F(t)=50+4sin是单调递增函数,即车流量在增加.
答案:C
2.一质点做简谐运动的图象如图所示,则下列结论正确的是
(
)
A.该质点的运动周期为0.7 s
B.该质点的振幅为5 cm
C.该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大
D.该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零
答案:B
3.已知简谐运动 f(x)=2sin
和-4 cm.
(3)因为函数s的周期是π,所以小球往复振动一次所用的时间
是π s.
反思感悟
三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中,其中
对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多,解决这类问
题时尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的
意义和表示方法.
【变式训练 1】 单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置的距离
(2)因为当 t=0 时,s=6sin=3,所以此时单摆离开平衡位置 3 cm.
(3)当单摆摆动到最右边时,离开平衡位置 6 cm.
(4)因为 T= =1,所以单摆来回摆动一次所需的时间为 1 s.
(2)因为当 t=0 时,s=6sin=3,所以此时单摆离开平衡位置 3 cm.
新人教A版高中数学必修一5.7.1《三角函数的应用(第1课时)》课件
从散点图中我们可以直观形象地看到函数值的最高点
和最低点，同时可以看到随着自变量的变化，相应的函数
值 变化的趋 势 ，也就 是这些 点 的位置先 升高再降 低 ，并且 具有周 期
性．有利于我们进一步研究函数的性质．
二、学以致用
我们知道，弹簧振子成周期变化，那么它的一个最小正周
期又是多少呢？我们怎么能通过散点图得到呢？
频率为50Hz，即
2
= 50，解得ω=100π；再由初始状态(t=0)的
0.866，因此约为 ．（因为这
3
电流约为4.33Ａ，可得sin =
里是个实际问题，所以我们都是取近似值。）
五、综合应用
所以
电 流 i 随 时 间 变 化 的 函 数 解 析 式 = 5 sin ቀ100 +
六、画龙点睛
经过本节课的学习，我们认识到三角函数模型是描述周期变化的重要
数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；同时在问题
研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强了我们的应
用意识，感受了数学的应用价值；同时在实际问题的解决过程中感受信息
技术处理数据的优势， 提升了我们的数学建模素养.
新人教A版 高中数学 必修一
一、温故知新
我们前面学习了角与弧度、三角函数概念与性质、同角三角
函数的基本关系式、三角恒等变换的内容，今天我们一起来学
习三角函数的应用．
一、温故知新
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现
象，例如地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮
2
2
− 1，因此 = − +2k k ∈ ，取 = − ．
和最低点，同时可以看到随着自变量的变化，相应的函数
值 变化的趋 势 ，也就 是这些 点 的位置先 升高再降 低 ，并且 具有周 期
性．有利于我们进一步研究函数的性质．
二、学以致用
我们知道，弹簧振子成周期变化，那么它的一个最小正周
期又是多少呢？我们怎么能通过散点图得到呢？
频率为50Hz，即
2
= 50，解得ω=100π；再由初始状态(t=0)的
0.866，因此约为 ．（因为这
3
电流约为4.33Ａ，可得sin =
里是个实际问题，所以我们都是取近似值。）
五、综合应用
所以
电 流 i 随 时 间 变 化 的 函 数 解 析 式 = 5 sin ቀ100 +
六、画龙点睛
经过本节课的学习，我们认识到三角函数模型是描述周期变化的重要
数学模型，主要了解简谐运动的函数模型中参数的物理意义；同时在问题
研究过程中体验三角函数与日常生活和其他学科的联系，增强了我们的应
用意识，感受了数学的应用价值；同时在实际问题的解决过程中感受信息
技术处理数据的优势， 提升了我们的数学建模素养.
新人教A版 高中数学 必修一
一、温故知新
我们前面学习了角与弧度、三角函数概念与性质、同角三角
函数的基本关系式、三角恒等变换的内容，今天我们一起来学
习三角函数的应用．
一、温故知新
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现
象，例如地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化，月亮
2
2
− 1，因此 = − +2k k ∈ ，取 = − ．
数学人教A版(2019)必修第一册5.7三角函数的应用(共16张ppt)
反思感悟
方法总结
处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等,其共同的特点是具有周期性.(2)明确物理概念的意义,此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念,因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.
新知运用
跟踪训练1 一根细线的一端固定,另一端悬挂一个小球,当小球来回摆动时,离开平衡位置的位移(单位：)与时间(单位：)的函数关系是.(1)画出它的图象.(2)回答以下问题：①当小球开始摆动(即=0)时,离开平衡位置的距离是多少?②当小球摆动时,离开平衡位置的最大距离是多少?③小球来回摆动一次需要多少时间?
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0
【解析】 (2) ①当小球开始摆动(即 )时,离开平衡位置的距离为 .②当小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是 .③小球来回摆动一次需要 (即周期).
二、三角函数在生活中的应用
例题2 如图,某地夏天8~14时用电量变化曲线近似满足函数，根据图象求函数解析式.
【解析】观察图象可知,从8~14时的图象是的半个周期的图象, ，，，，将 , 代入上式,解得 ,所求解析式为 , .
新知运用
跟踪训练3 一物体相对于某一固定位置的位移 (cm) 和时间 (s) 之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位置 和时间 之间的关系的一个三角函数式为___________.
【解析】设 ,从表中可以得到 , ,则 .又由 ,可得 ,可取 ,故 ,即 .
【解析】(1)根据散点图,可考虑用函数=cos+刻画与的函数关系.由表中数据,知最小正周期,.由,,得,由,,得,,,.
0
3
6
9
12
15
高一上学期数学人教A版必修第一册5.7三角函数的应用课件
π
因为 ω>0，所以令 k＝1，得 150ωπ＋ 4 ＝2π－的最小值为120 .
【解析】 由已知可得该函数的周期 T＝12，
2π π ∴ω＝ T ＝ 6 .
1 3
又∵当 t＝0 时，A2，
2
，
∴y＝sin π6 t＋π3 ，t∈[0，12].
可解得函数的单调递增区间是[0，1]和[7，12].
4．电流 I(单位：A)随时间 t(单位：s)变化的关系式是
I＝3sin 100πt＋π6 ，则当 t＝2100 时，电流 33
知识点二 函数y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)中参数的物理 意义
A
例1电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的关系式是I＝A
sin (ωt＋φ)
.
(1)若I＝A sin (ωt＋φ)在一个周期内的图象如图所示，试根据
图象写出I＝A sin (ωt＋φ)的解析式；
(2)为了使I＝A sin (ωt＋φ)中的t在任意一个 s的时间段内电 流强度I能同时取得最大值与最小值，那么正整数ω的最小值是
π
12t＋φ
＋6.
又 f(2)＝8sin 1π2×2＋φ ＋6＝－2，即 sin π6 ＋φ ＝－1，
故π6 ＋φ＝－π2 ＋2kπ，k∈Z．又|φ|<π，所以 φ＝－23π ，
所以函数解析式为 f(t)＝8sin π 12t－23π ＋6.
(2)当 t＝9
时，y＝8sin
π 12
＋6<8sin
π 6
＋6＝10，气温低于 10℃，
满足开空调的条件，所以应该开空调．
1．函数 y＝12 sin 31x＋π5 的周期、振幅、初相分别是( B ) A．3π，12 ，π5 1π B．6π，2 ， 5 π C．3π，3，－ 5 π
高中数学人教A版必修第一册 5.7三角函数的应用 课件
学角度来反映或近似地反映实际问题,所得出关于实际
问题的数学描述.
2.解决三角函数应用问题的一般步骤
(1)审题
阅读、理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、
问题的实质,初步预测所属数学模型.
(2)建模
将题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,设出
变量,画出散点图,列出数量关系——建立三角函数模型.
≈1 333.3(mm).
题型三
几何中的三角函数
[例 3] 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,P,Q 分别为边 AB,DA
上的点,线段 PQ 的长度为
.
(1)设∠APQ=θ,试写出△CPQ的面积S关于θ的函数解析
式S(θ);
解:(1)在△APQ 中,AP= cos θ,AQ= sin θ,
解得ω=
.
所以 y=20sin(
t+ ),因为 t=0 时,y=-20.0.所以 sin =-1,
=- +2kπ,k∈Z,因为 ∈[- , ],所以 =- .所以位移 y 关于时间 t
的函数解析式为 y=20sin(
t- ).
(2)在理想状态下,经过10 s,该弹簧振子的位移和路程分别是多少?(精
所以 4×+ =2kπ-,k∈Z.
所以 =2kπ- - =2kπ- ,k∈Z.
所以 可以取-π.
所以可以用 y=0.4sin(x- )+37(0≤x≤24)来近似描述体温与时
问题的数学描述.
2.解决三角函数应用问题的一般步骤
(1)审题
阅读、理解用文字语言表述的实际问题的类型、思想内涵、
问题的实质,初步预测所属数学模型.
(2)建模
将题中的非数学语言转化为数学语言,然后根据题意,设出
变量,画出散点图,列出数量关系——建立三角函数模型.
≈1 333.3(mm).
题型三
几何中的三角函数
[例 3] 如图,正方形 ABCD 的边长为 2,P,Q 分别为边 AB,DA
上的点,线段 PQ 的长度为
.
(1)设∠APQ=θ,试写出△CPQ的面积S关于θ的函数解析
式S(θ);
解:(1)在△APQ 中,AP= cos θ,AQ= sin θ,
解得ω=
.
所以 y=20sin(
t+ ),因为 t=0 时,y=-20.0.所以 sin =-1,
=- +2kπ,k∈Z,因为 ∈[- , ],所以 =- .所以位移 y 关于时间 t
的函数解析式为 y=20sin(
t- ).
(2)在理想状态下,经过10 s,该弹簧振子的位移和路程分别是多少?(精
所以 4×+ =2kπ-,k∈Z.
所以 =2kπ- - =2kπ- ,k∈Z.
所以 可以取-π.
所以可以用 y=0.4sin(x- )+37(0≤x≤24)来近似描述体温与时
人教A版数学《三角函数的应用》精品PPT1
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第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT) 第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT)
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第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT) 第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT)
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第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT) 第五章 5.7三角函数的应用-【新教材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件( 共128张 PPT)
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高中数学人教A版必修第一册课件5.7三角函数的应用课件(1)
水深/米
2.5 5.0 7.5
时刻
18:00 21:00 24:00
水深/米
5.0 2.5 5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， 给出整点时的水深的近似数值.（精确到0.001） （2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规 定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进 入港口？在港口能呆多久？ （3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始 卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必 须停止卸货，将船驶向较深的水域？
例2.海水受日月的引力，在一定的时候产生涨落的现象叫潮.一般 地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道， 靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每 天的时间与水深的关系表：
时刻
0:00 3:00 6:00
水深/米
5.0 7.5 5.0
时刻
9:00 12:00 15:00
简谐运动可以用函数 y Asin ωx φ，x [0， ) 来表示，其中A为
振幅（物体离开平衡位置的最远距离），T
2π ω
为周期，
f
1 为频 T
率． ωx φ 相位，ω为初相．
应用探究
问题2 图(1)是某次实验测得的交变电流i（单位：A）随时间 t(单位：s)变化的图象.将测得的图象放大，得到图(2).
xC 12 0.384 6 12.384 6, xD 12 5.615 4 17.615 4. 因此，货船可以在凌晨0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在 中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港，每次可以在港口停留5 小时左右.
5.7三角函数的应用课件高一上学期数学人教A版
模型解决问题.这也是本单元学习的知识明线,在解决问题的过程中培养数
学建模、数学抽象、数学运算等核心素养.本单元的内容结构图如下:
1.会用三角函数解决简单的实际问题.(数学运算)
学习目标 2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.(数学
建模)
基础落实·必备知识一遍过
知识点一:函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,各参数的物理意义
3
A.s1>s2
B.s1<s2
C.s1=s2
D.不能确定
解析 当
2π
4π
π
t= 时,s1=5sin
+
3
3
6
故 s1=s2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3π
4π
=5sin =-5,s2=10cos =10×
2
3
1
2
C )
=-5,
2.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数
y=3sin(
期
2π
T= =3,故
2π
ω= 3 ,由题意可知当
π
φ=2+2kπ,k∈Z,当
k=0
t=0 时,f(t)取得最大值 3,故 3sin φ=3,故
π
2π π
时,φ=2,x=3sin( 3 t+2).故选
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D.
5.如图,某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数
分析它的变化趋势,确定它的
数学 问题,通过
周期 ,从而建立起适当的 三角
型,解决问题的一般程序如下:
(1)审题,先审清楚题目条件、要求、理解数学关系.
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高 人中 教数 A版学《人三教角A版函(数20的19应)必用修 》第 优一 秀册 PP《 T1 5.7三 角函数 的应用 （第二 课时） 》 课件
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新知探究
人教A版《三角函数的应用》优秀PPT1
新知探究
问题4 （2）中，货船需要的安全深度是多少？ 从函数的解析式来看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？ 从图象上看呢？
答案：
求得交点的横坐标分别为： xA 0.3975，xB 5.8025，xC 12.7975，xD 18.2025．
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解答：由题可知，三个节律曲线的函数模型为y＝Asin ωx的形式， 为了研究的方便，我们可以统一设A＝10， 由节律的时间周期分 别为23天，28天，33天可得相应解析式中的ω值分别为 2π，π ，2π ．
23 14 33 以出生日为自变量1， 计算从出生日到本学期期末考试三天的天 数得到三个自变量，观察相应变量区间的三个节律曲线的函数图 象进行分析．
（3）在11 h～19 h进行训练较为合适．
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从函数的解析式来看，满足 y≥5.5－0.3(x－2)， 即 2.5sin 5π x 5 ≥ 5.5 - 0.3(x - 2) 时，该船能够进入港口；
31 从图象上看，就是函数 y 2.5sin 5π x 5的图象在直线
31 y 5.5 0.3(x 2) 上方时，该船能够进入港口．
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解：（1）如图；
目标检测
（2）由散点图可知，选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b函数模型较为合适． y 2 sin πt 1(1≤ t ≤ 24). 56
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目标检测
练 某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y （m）随着时间t（0≤t≤24，单位：h）周期性变化．为了了解其变 化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值 如下表：
ω可以利用半周期为14－6＝8建立方程得解， φ可以利用特殊值求得． 所求解析式为 y 10sin( π x 3π ) 20，x [4，16] ．
84
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新知探究
例2 海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近 码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表是某港口某天的时刻与水深关 系的预报．
5.7 三角函数的应用
第二课时
新知探究
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y Asin(x ) b．
（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．
新知探究
问题1 如何根据温度变化曲线得到这一天6～14时的最大 温差？
曲线在自变量为6～14时， 图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵 坐标就是这一天6～14时的最大温差， 观察图形得出这段时间的最大温差为20℃．
练习2 从出生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变 化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律 三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期 又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日， 临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置 （平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力，情绪，智 力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会 有怎样的表现，需要注意哪些问题？
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新知探究
问题6 （3）中，设在x h时货船的安全水深为y m，y与时 间x满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件 时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？
设在x h时货船的安全水深为y m，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．
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新知探究
练习1 图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 1 2
周期后，乙点的位置将移至何处？
乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．
新知探究
问题8 通过本题的研究，你能概括出建立三角函数模型解 决实际问题的基本步骤和需要注意的问题吗？
建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤：
①搜集数据，做出散点图；
②观察散点图并进行函数拟合，获得具体的函数模型；
③利用这个函数模型解决相应的实际问题．需要注意的是，从数学模 型中得到的答案还要根据实际情况检验它是否可行．
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新知探究
问题6 （3）中，设在x h时货船的安全水深为y m，y与时 间x满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件 时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？ 可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P， 求得P点的横坐标为xP≈7.016．
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新知探究
问题7 在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货可以吗？
为了安全，船停止卸货驶向安全水域的时间要比算出的时间提前一些． 因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．
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新知探究
问题5 可以将A，B，C，D点的横坐标作为进出港时间吗？ 为什么？
事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些， 出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域． 因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港； 或在下午13时左右进港，下午18时左右出港． 每次可以在港口停留5小时左右．
归纳小结
问题9 生活中哪类问题可以利用三角函数模型解决？利用三 角函数解决实际问题的一般步骤是怎样的？你能够将本节课所 学内容画出一个知识结构图吗？其中涉及到哪些数学思想？通 过本节课的学习，你还有哪些收获？
实际问题
收集数据画散 点图
周期性
三角函数模 型
周期性
观察图形函数 拟合
解决三角函数 问题
联系实际解决 问题
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作业布置
作业：教科书习题5.7第3，4题．
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目标检测
（1）试画出散点图；
（2）观察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt ＋φ）＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排合适的训练 时间段．
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新知探究
问题3 观察表1中的数据，你发现了什么规律？根据数据做出 散点图，观察图形，你可以用怎样的函数模型来刻画其中的规 律？请试着完成（1）的解答． 观察表格中数据可以看出， 水深的变化具有周期性， 根据表中数据画出散点图（如图）． 从散点图的形状可以判断， 这个港口的水深y与时间x的关系可以用形如 y＝Asin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画， 从数据和图形可以得出：
从图象上看呢？
答案：货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5 m． 从函数的解析式来看，满足y≥5.5即 2.5sin 5π x 5 ≥ 5.5 ，
31 该船能够进入港口； 从图象上看， 就是函数 y 2.5sin 5π x 5的图象在直线y＝5.5上方时，
31 该船能够进入港口．
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新知探究
问题2 如何求温度随时间的变化满足的函数关系
“ y Asin(ωx φ) b ”中A、 ω、 φ的值？
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问题4 （2）中，货船需要的安全深度是多少？ 从函数的解析式来看，满足怎样的条件时，该船能够进入港口？ 从图象上看呢？
答案：
求得交点的横坐标分别为： xA 0.3975，xB 5.8025，xC 12.7975，xD 18.2025．
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解答：由题可知，三个节律曲线的函数模型为y＝Asin ωx的形式， 为了研究的方便，我们可以统一设A＝10， 由节律的时间周期分 别为23天，28天，33天可得相应解析式中的ω值分别为 2π，π ，2π ．
23 14 33 以出生日为自变量1， 计算从出生日到本学期期末考试三天的天 数得到三个自变量，观察相应变量区间的三个节律曲线的函数图 象进行分析．
（3）在11 h～19 h进行训练较为合适．
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从函数的解析式来看，满足 y≥5.5－0.3(x－2)， 即 2.5sin 5π x 5 ≥ 5.5 - 0.3(x - 2) 时，该船能够进入港口；
31 从图象上看，就是函数 y 2.5sin 5π x 5的图象在直线
31 y 5.5 0.3(x 2) 上方时，该船能够进入港口．
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解：（1）如图；
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（2）由散点图可知，选择y＝Asin（ωt＋φ）＋b函数模型较为合适． y 2 sin πt 1(1≤ t ≤ 24). 56
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练 某“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y （m）随着时间t（0≤t≤24，单位：h）周期性变化．为了了解其变 化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值 如下表：
ω可以利用半周期为14－6＝8建立方程得解， φ可以利用特殊值求得． 所求解析式为 y 10sin( π x 3π ) 20，x [4，16] ．
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例2 海水受日月的引力，在一定时候发生涨落的现象叫潮．一般地， 早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常的情况下，船在涨潮时驶进巷道，靠近 码头；卸货后，在落潮时返回海洋．表是某港口某天的时刻与水深关 系的预报．
5.7 三角函数的应用
第二课时
新知探究
例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数
y Asin(x ) b．
（1）求这一天6～14时的最大温差； （2）写出这段曲线的函数解析式．
新知探究
问题1 如何根据温度变化曲线得到这一天6～14时的最大 温差？
曲线在自变量为6～14时， 图形中的最高点的纵坐标减去最低点的纵 坐标就是这一天6～14时的最大温差， 观察图形得出这段时间的最大温差为20℃．
练习2 从出生之日起，人的情绪、体力、智力等状况就呈周期性变 化，根据心理学统计，人体节律分为体力节律，情绪节律，智力节律 三种，这些节律的时间周期分别为23天，28天，33天．每个节律周期 又分为高潮期，临界日，低潮期三个阶段．节律周期的半数为临界日， 临界日的前半期为高潮期，后半期为低潮期．生日前一天是起始位置 （平衡位置），请根据自己的出生日期，绘制自己的体力，情绪，智 力曲线，并预测本学期期末考试期间，你在体力，情绪，智力方面会 有怎样的表现，需要注意哪些问题？
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问题6 （3）中，设在x h时货船的安全水深为y m，y与时 间x满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件 时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？
设在x h时货船的安全水深为y m，那么y＝5.5－0.3(x－2)(x≥2)．
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练习1 图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过 1 2
周期后，乙点的位置将移至何处？
乙点的位置将移至它关于x轴的对称点处．
新知探究
问题8 通过本题的研究，你能概括出建立三角函数模型解 决实际问题的基本步骤和需要注意的问题吗？
建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤：
①搜集数据，做出散点图；
②观察散点图并进行函数拟合，获得具体的函数模型；
③利用这个函数模型解决相应的实际问题．需要注意的是，从数学模 型中得到的答案还要根据实际情况检验它是否可行．
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问题6 （3）中，设在x h时货船的安全水深为y m，y与时 间x满足怎样的函数关系？从解析式来看，满足怎样的条件 时，该船必须停止卸货？从图象上看呢？ 可以看到在6～8时之间两个函数只有一个交点P， 求得P点的横坐标为xP≈7.016．
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问题7 在船的安全水深正好等于港口水深时停止卸货可以吗？
为了安全，船停止卸货驶向安全水域的时间要比算出的时间提前一些． 因此为了安全，货船最好在6.6时停止卸货，将船驶向较深的水域．
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问题5 可以将A，B，C，D点的横坐标作为进出港时间吗？ 为什么？
事实上为了安全，进港时间要比算出的时间推后一些， 出港时间要比算出的时间提前一些，这样才能保证货船始终在安全水域． 因此，货船可以在零时30分左右进港，早晨5时45分左右出港； 或在下午13时左右进港，下午18时左右出港． 每次可以在港口停留5小时左右．
归纳小结
问题9 生活中哪类问题可以利用三角函数模型解决？利用三 角函数解决实际问题的一般步骤是怎样的？你能够将本节课所 学内容画出一个知识结构图吗？其中涉及到哪些数学思想？通 过本节课的学习，你还有哪些收获？
实际问题
收集数据画散 点图
周期性
三角函数模 型
周期性
观察图形函数 拟合
解决三角函数 问题
联系实际解决 问题
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作业布置
作业：教科书习题5.7第3，4题．
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目标检测
（1）试画出散点图；
（2）观察散点图，从y＝at＋b，y＝Asin（ωt＋φ）＋b，y＝Acos（ωt ＋φ）＋b中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；
（3）如果确定当浪高不低于0.8 m时才进行训练，试安排合适的训练 时间段．
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问题3 观察表1中的数据，你发现了什么规律？根据数据做出 散点图，观察图形，你可以用怎样的函数模型来刻画其中的规 律？请试着完成（1）的解答． 观察表格中数据可以看出， 水深的变化具有周期性， 根据表中数据画出散点图（如图）． 从散点图的形状可以判断， 这个港口的水深y与时间x的关系可以用形如 y＝Asin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画， 从数据和图形可以得出：
从图象上看呢？
答案：货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5 m． 从函数的解析式来看，满足y≥5.5即 2.5sin 5π x 5 ≥ 5.5 ，
31 该船能够进入港口； 从图象上看， 就是函数 y 2.5sin 5π x 5的图象在直线y＝5.5上方时，
31 该船能够进入港口．
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问题2 如何求温度随时间的变化满足的函数关系
“ y Asin(ωx φ) b ”中A、 ω、 φ的值？