割线定理,托勒密定理
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A. B.
C. D.
3，已知PA切⊙O于A，PBC交⊙O于B、C，且PB=BC，若PA=6，则PB长为（）
A. B. C. 3 D.
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
即：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
例1，证明“勾股定理”：
在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2
例2，如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
．
二、构造图形借助托勒密定理
例3，若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．
求证：ax＋by≤1．
五，割线定理的应用
例6，已知P为⊙O内一点， ，⊙O半径为 ，过P任作一弦AB，设 ， ，则 关于 的函数关系式为。
例7，如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。
例8，已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
三、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理
例4，已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．
分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
四、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例5，在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶Βιβλιοθήκη Baidu，
精锐教育学科教师辅导教案
学员编号： 年 级：年级课 时 数：
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
课程主题：
授课时间：
学习目标
教学内容
1，如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧 上任一点
(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．
2，如图，PT切⊙O于T，PBA、PDC为⊙O的割线，则下列等式成立的是（）
A． B． C． D．
1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。
2．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
4. PAB为⊙O的割线，PO交⊙O于C，若PC=CO，则PA=4，AB=5，则OC=（）
A. B. C. D. 6
5.如图，PA、PB切⊙O于A、B，AO延长线与PB延长线相交于C，若⊙O半径为3，BC=4，则 （）
例14，某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图2所示，塔高 米，塔所在的山高OB为220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线 ，且点P在直线 上， 与水平地面的夹角为 ， ，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角 最大（不计此人的身高）？
二、在求交点中的应用
例15，已知 的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（）
例12，如图，⊙O中直径AE⊥BF，M为OE中点，BM延长交⊙O于C，连AC，求 中三个内角的正切值。
例13，如图，已知 中 ，以C为圆心，作圆与AB相切于点D，且AD=9，BD=16
（1）求⊙C的半径
（2）求 的值
一、在求最值中的应用
许多题目如果能够使用该定理，可以改进解题过程，减少运算量，为考试赢得宝贵的答题时间，下面的例子略去了原来比较复杂的解答（如三角换元、利用基本不等式等），直接给出简略的解答，以说明切割线定理在解题中的作用．
证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT²=PB·PA
一、完善图形借助托勒密定理
例9，两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。
例10，P为弦AB上一点，C在圆O上，OP⊥PC，求证：
（1）
（2）若CM=MO=3，OP=4，求AP
例11，如图，AB切⊙O于B，OB交割线ACD于E，AC=CE=3，OE= ，求AB长。
托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
3.如图，AB切⊙O于B，OB交割线ACD于E，AC=CE=3，OE= ，求AB长。
4.如图，⊙O中直径AE⊥BF，M为OE中点，BM延长交⊙O于C，连AC，求 中三个内角的正切值。
5.如图，已知 中 ，以C为圆心，作圆与AB相切于点D，且AD=9，BD=16
（1）求⊙C的半径
（2）求 的值
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD
A. B. C. D.
6.已知PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，若PA= cm，PB=5cm，那么⊙O半径为（）
A. 15cm B. 10cm C. 5cm D. cm
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：若四边形ABCD内接于圆，则有BDAC=BCAD+CDAB．
C. D.
3，已知PA切⊙O于A，PBC交⊙O于B、C，且PB=BC，若PA=6，则PB长为（）
A. B. C. 3 D.
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积(两对角线所包矩形的面积)等于两组对边乘积之和(一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和)．
即：
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
例1，证明“勾股定理”：
在Rt△ABC中，∠B=90°，求证：AC2=AB2＋BC2
例2，如图，在△ABC中，∠A的平分线交外接∠圆于D，连结BD，求证：AD·BC=BD(AB＋AC)．
．
二、构造图形借助托勒密定理
例3，若a、b、x、y是实数，且a2＋b2=1，x2＋y2=1．
求证：ax＋by≤1．
五，割线定理的应用
例6，已知P为⊙O内一点， ，⊙O半径为 ，过P任作一弦AB，设 ， ，则 关于 的函数关系式为。
例7，如图，AC=BD，CE、DF切⊙O于E、F两点，连EF，求证：CM=MD。
例8，已知PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。
三、巧变原式妙构图形，借助托勒密定理
例4，已知a、b、c是△ABC的三边，且a2=b(b＋c)，求证：∠A=2∠B．
分析：将a2=b(b＋c)变形为a·a=b·b＋bc，从而联想到托勒密定理，进而构造一个等腰梯形，使两腰为b，两对角线为a，一底边为c．
四、巧变形妙引线借肋托勒密定理
例5，在△ABC中，已知∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶Βιβλιοθήκη Baidu，
精锐教育学科教师辅导教案
学员编号： 年 级：年级课 时 数：
学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师：
课程主题：
授课时间：
学习目标
教学内容
1，如图2，P是正△ABC外接圆的劣弧 上任一点
(不与B、C重合)，求证：PA=PB＋PC．
2，如图，PT切⊙O于T，PBA、PDC为⊙O的割线，则下列等式成立的是（）
A． B． C． D．
1.已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。
2．已知正七边形A1A2A3A4A5A6A7。
求证：。
4. PAB为⊙O的割线，PO交⊙O于C，若PC=CO，则PA=4，AB=5，则OC=（）
A. B. C. D. 6
5.如图，PA、PB切⊙O于A、B，AO延长线与PB延长线相交于C，若⊙O半径为3，BC=4，则 （）
例14，某人在一山坡P处观看对面山顶上的一座铁塔，如图2所示，塔高 米，塔所在的山高OB为220米，OA=200米，图中所示的山坡可视为直线 ，且点P在直线 上， 与水平地面的夹角为 ， ，试问，此人距水平地面多高时，观看塔的视角 最大（不计此人的身高）？
二、在求交点中的应用
例15，已知 的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点的坐标是（）
例12，如图，⊙O中直径AE⊥BF，M为OE中点，BM延长交⊙O于C，连AC，求 中三个内角的正切值。
例13，如图，已知 中 ，以C为圆心，作圆与AB相切于点D，且AD=9，BD=16
（1）求⊙C的半径
（2）求 的值
一、在求最值中的应用
许多题目如果能够使用该定理，可以改进解题过程，减少运算量，为考试赢得宝贵的答题时间，下面的例子略去了原来比较复杂的解答（如三角换元、利用基本不等式等），直接给出简略的解答，以说明切割线定理在解题中的作用．
证明
切割线定理证明:
设ABP是⊙O的一条割线，PT是⊙O的一条切线，切点为T，则PT²=PA·PB
证明：连接AT, BT
∵∠PTB=∠PAT(弦切角定理)
∠P=∠P(公共角)
∴△PBT∽△PTA(两角对应相等,两三角形相似)
则PB：PT=PT：AP
即：PT²=PB·PA
一、完善图形借助托勒密定理
例9，两圆交于A、B，AC、AD切两圆于A，交两圆于C、D，连CB，延长交AD于E，圆于F，若BC=9，AE=6，DE=2，求AC长。
例10，P为弦AB上一点，C在圆O上，OP⊥PC，求证：
（1）
（2）若CM=MO=3，OP=4，求AP
例11，如图，AB切⊙O于B，OB交割线ACD于E，AC=CE=3，OE= ，求AB长。
托勒密定理的逆定理：如果凸四边形两组对边的积的和，等于两对角线的积，此四边形必内接于圆。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。是圆幂定理的一种。
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
3.如图，AB切⊙O于B，OB交割线ACD于E，AC=CE=3，OE= ，求AB长。
4.如图，⊙O中直径AE⊥BF，M为OE中点，BM延长交⊙O于C，连AC，求 中三个内角的正切值。
5.如图，已知 中 ，以C为圆心，作圆与AB相切于点D，且AD=9，BD=16
（1）求⊙C的半径
（2）求 的值
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT的平方=PA·PB（切割线定理）
推论：
从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD·PC=PA·PB（切割线定理推论）(割线定理）
由上可知:PT的平方=PA·PB=PC·PD
A. B. C. D.
6.已知PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于B，若PA= cm，PB=5cm，那么⊙O半径为（）
A. 15cm B. 10cm C. 5cm D. cm
托勒密定理：圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和．即：若四边形ABCD内接于圆，则有BDAC=BCAD+CDAB．