等差数列的判断方法

等差数列的判断方法

徐福贵

（吉林省东辽县职业高中）

我们虽然知道什么是等差数列，但对于等差数列的判断还没有很好的方法。本人根据多年教学实践总结出了一系列等差数列的判断方法，对于等差数列又有了更深的认识。

定理1 已知数列{

a}的通项n a，若n a－1n a-的差是一个与n 无关

n

的常数，则数列{

a}为等差数列（证明略）

n

推论1 若数列{

a}的通项n a为常数，则{n a}为等差数列，且公差

n

为0。（证明略）。

推论2数列{

a}的通项n a是关于项数n的一次函数，则数列{n a}

n

是等差数列，且公差为一次项的系数（证明略）

定理2 若{

a}的通项n a既不是常数，也不是关于项数n的一次函

n

数，则数列{

a}不是等差数列（证明略）

n

定理3 已知数列{

a}的前n项和n S为0 ，则数列{n a}为等差数

n

列

证明 数列{

a}的前n项和n S为0，

n

∴此数列为0,0, 0，---, 0,---，

∴数列{

a}为等差数列。

n

定理4 已知数列{

a}的前n项和n S，若n S是关于项数n的一次函

n

数，且常数项为0，则数列{

a}是等差数列，且公差为0。

n

证明：

S是关于项数n的一次函数，且常数项为0，设n S＝An

n

（A为常数，且A≠0）

∴当n ≥2时，n a ＝n S －1n S -=An －A(n －1)=A, ∴n a －1n a -=0（n ≥2） 又1a ＝1S =A,

2212a S S A A A =-=-=,

∴2110()n n a a a a n N -+-=-=∈

∴数列{n a }是等差数列，且公差为0。

定理5 已知数列{n a }的前n 项和n S ，若n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，则数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。

证明： n S 是关于项数n 的二次函数，且常数项为0，设

2(0n S An Bn A =+≠）。

当n ≥2时，n a ＝n S －1n S -

＝Ａ2n +Bn －Ａ(n －１)2－Ｂ（n －１） ＝２Ａn+B －Ａ( n ≥2)

∴2...n a a a ３

，，...，，为等差数列，公差为２A 。 又1a ＝1S ＝Ａ+Ｂ，221a S S =-

=４Ａ+２Ｂ－Ａ－Ｂ =３Ａ+Ｂ

212a a A -=。∴数列{n a }是等差数列，且公差为二次项系数的2倍。 定理６ 若数列{n a }的前n 项和n S ≠０，且n S 既不是关于项数n 的一次函数，也不是关于项数n 的二次函数，则数列{n a }不是等差数列（证明略）

例１ 已知数列{n a }满足下列条件，判断数列{n a }是否为等差数列？若是等差数列，请指出公差是多少？ (１)n a ＝n+1 (2) n a =2n (3)

n S =n

(4)

n S =2n +n

(5)

n S =3n

解：（１）是等差数列，公差为１。 （2）不是等差数列。

（３）是等差数列，公差为０。 （4）是等差数列，公差为2。 （5）不是等差数列。

例2 在等差数列{n a }、{n b }中， n n S T 、分别为的等差数列{n a }、

{n b }的前n 项和，

723

n n

S n T n +=+，求

55

a b

解： n n S T 、分别为等差数列{n a }、{n b }的前n 项和， 且

723

n n

S n T n +=+ ∴可以令(72)(3)n n S An n T An n =+=+，

∴{n a }的首项为9A,公差为1d ＝14A, {n b }的首项为4A,公差为2d ＝2A, ∴51151249566544812a a d A A A b b d A A A =+=+==+=+=， ∴55

a b =

65651212

A A

=

由此可见，掌握了等差数列的判断方法，就能根据已知条件判断某个数列是不是等差数列，若是等差数列，不通过计算就可判断公差是多少，节省了做题时间。因此掌握等差数列的判断方法是十分重要的。