分数阶Fourier变换理论及应用
分数阶FOURIER变换在信号处理领域的研究进展_陶然
中国科学E辑信息科学 2006, 36(2): 113~136 113分数阶Fourier变换在信号处理领域的研究进展*陶然1**邓兵1,2王越1(1.北京理工大学电子工程系, 北京 100081; 2. 海军航空工程学院电子工程系, 烟台 264001)摘要分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广. 最早由Namias以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用. 而其在信号处理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘. 尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier变换更具有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征. 从信号处理的角度对分数阶Fourier变换的研究进展作全面的总结和系统的归纳, 力图将分数阶Fourier变换从定义到应用的全程都清晰地刻画出来, 既能为相关的专业研究人员提供参考, 又可以为感兴趣的读者提供入门的阶梯.关键词分数阶Fourier变换信号处理时频分析自从法国科学家Fourier在1807年为了得到热传导方程简便解法首次提出Fourier分析技术以来, Fourier变换迅速得到了广泛应用, 在科学研究与工程技术的几乎所有领域发挥着重要的作用. 但随着研究对象和研究范围的不断扩展, 也逐步暴露了Fourier变换在研究某些问题的局限性. 这种局限性主要体现在: 它是一种全局性变换, 得到的是信号的整体频谱, 因而无法表述信号的时频局部特性, 而这种特性正是非平稳信号的最根本和最关键的性质. 为了分析和处理非平稳信号, 人们提出并发展了一系列新的信号分析理论: 分数阶Fourier变换、短时Fourier变换、Wigner分布、Gabor变换、小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等. 而分数阶Fourier变换作为Fourier变换的广义形式, 由于其独有的特点(本文后续部分将逐步展开阐述)而受到了众多科研人员的青睐, 近10年来关收稿日期: 2005-05-23; 接受日期: 2005-10-18*国家自然科学基金资助项目(批准号: 60572094)和高校青年教师奖资助项目及国家部委基金资助项目(6140445) ** E-mail: rantao@114 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷于分数阶Fourier 变换理论与应用的研究成果层出不穷, 掀起了一个不小的高潮.1980年Namias 从特征值和特征函数的角度, 以纯数学的方式提出了分数阶Fourier 变换(fractional Fourier transform, FRFT)的概念[1], 用于微分方程求解. 其后, McBride 等用积分形式为分数阶Fourier 变换作出了更为严格的数学定义[2], 为其后从光学角度提出分数阶Fourier 变换的概念奠定了基础. 1993年Mendlovic 和Ozaktas 给出了分数阶Fourier 变换的光学实现, 并将之应用于光学信息处理[3,4]. 由于分数阶Fourier 变换采用光学设备容易实现, 所以在光学领域很快便得到了广泛应用[5]. 尽管在信号处理领域分数阶Fourier 变换具有潜在的用途, 但是由于缺乏有效的物理解释和快速算法, 使得分数阶Fourier 变换在信号处理领域迟迟未得到应有的认识. 直到1993年Almeida 指出分数阶Fourier 变换可以理解为时频平面的旋转, 1996年Ozaktas 等提出了一种计算量与FFT 相当的离散算法后, 分数阶Fourier 变换才吸引了越来越多信号处理领域学者的注意, 并出现了大量的相关研究文章. 国内开始分数阶Fourier 变换的研究并不算晚, 但是从发表的论文数量和质量来看, 尚处于起步阶段[6]. 尽管国内1996年便有过关于分数阶Fourier 变换的综述文章[7,8], 但是那时分数阶Fourier 变换在信号处理领域的潜力才刚刚得到挖掘. 而迄今国际上也未有从信号处理角度对分数阶Fourier 变换的综述. 本文的目的是总结近年来分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究成果, 从基础、应用基础、应用三个层面对分数阶Fourier 变换的理论体系进行阐述, 供相关研究人员参考.本文组织如下: 首先介绍了分数阶Fourier 变换的定义及其含义: 第二部分阐述了分数阶Fourier 变换的基本性质及分数阶Fourier 变换与传统时频分析工具的关系, 认为分数阶Fourier 域可以理解为一种统一的时频变换域, 并给出了其不确定性原理; 第三部分对基于分数阶Fourier 变换而定义的一些信号分析工具作了系统归纳; 第四部分给出了基于分数阶Fourier 变换的采样定理, 并总结了分数阶Fourier 变换的离散定义和算法; 有关分数阶Fourier 变换在信号处理领域中的应用放在第五部分进行阐述; 最后, 总结了全文.1 分数阶Fourier 变换定义接下来给出分数阶Fourier 变换的定义式:[]()()()(,)d ,p p p X u F x u x t K t u t +∞−∞==∫ (1)其中()()22j πcot 2csc cot , π, (,)(), 2π, (), 21π,t ut u p n K t u t u n t u n ααααδαδα−+≠=−=+=±⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ (2)第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 115其中πp α= p 为分数阶Fourier 变换的阶数, F p 表示分数阶Fourier 变换算子, 本文后续部分将沿用这种表达. 可以发现分数阶Fourier 变换以4为周期, 且当p = 4n +1 (即2ππ2n α=+)时, 分数阶Fourier 变换便成了Fourier 变换.经变量代换u =和t = (1)式可以化为[]22j cot j cot csc 22()d , π, ()()(), 2π, (), u t jut p p x t e t n X u F x u x u n x u ααααα−+∞−∞≠===−∫() 21π,n α⎧⎪⎪⎪⎨⎪=±⎪⎪⎩ (3)由(3)式可以看出分数阶Fourier 变换分解为如下三步[9]:1) 乘以chirp 信号, ()2j cot 2();t g t x t α=2) Fourier 变换(自变量存在尺度转变), ()()csc ,pX u G u α=% 其中G (u )= ()j d ;ut g t e t +∞−−∞∫3) 乘以chirp 信号, 2j cot 2()().u p pX u e X u α=% 可以发现信号()x t 存在分数阶Fourier 变换与存在Fourier 变换的条件是相同的. 也就是说, 如果()X ω存在, 则()p X u 也存在. 利用上述分解步骤, Zayed 等得到了分数阶Fourier 域的带限信号采样定理[10]; Erseghe 等基于chirp 周期(chirp-periodicity)信号将Fourier 变换所具有的时、频域连续和离散的四种对应关系推广到了时域、分数阶Fourier 域连续和离散的四种对应关系, 也同样得到了分数阶Fourier 域的带限信号采样定理[11].分数阶Fourier 变换也可以理解为chirp 基分解[9], 因为分数阶Fourier 变换的逆变换如()()()(,)d .p p p p x t F X t X u K t u u +∞−−−∞⎡⎤==⎣⎦∫ (4)可以发现()x t 由一组权系数为()p X u 的正交基函数(,)p K t u −所表征, 这些基函数是线性调频的复指数函数. 不同u 值的基函数间存在着不同的时移和相位因子 2j tan 2(,)(sec ,0).u p p K t u e K t u αα−=− (5)116 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷2 分数阶Fourier 变换的主要性质2.1 主要性质由于分数阶Fourier 变换是Fourier 变换的推广形式, 所以Fourier 变换的大部分性质在分数阶Fourier 变换都具有相应的推广, 分数阶Fourier 变换的基本性质请参看附录A. 注意到Fourier 变换中的一个重要性质——卷积定理并没有出现在附录A 中, 这是因为该性质并不能简单地推广过来, 感兴趣的读者可以参看文献[12, 13].接下来介绍一个十分重要的性质: 分数阶Fourier 变换是角度为α的时频面旋转. 这个性质建立起分数阶Fourier 变换与时频分布间的直接联系, 并且为分数阶Fourier 域理解为一种统一的时频变换域奠定了理论基础, 同时也为分数阶Fourier 变换在信号处理领域中的应用提供了有利条件. 以Wigner 分布为例, 令R φ表征二维函数作角度为φ的顺时针旋转算子, 即[]()()cos sin sin cos ,R y t,y t ,t φωφωφφωφ=+−+(6)那么存在如下关系: ()[](),x u W t,R W t,αωω=(7) 其中()j d ,22τu p p ττW t,X t X t e τωω+∞∗−−∞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ ()22x ττW t,x t x t ω+∞∗−∞⎛⎞⎛⎞=+−⋅⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ j d τe τω−分别表征(),p X u ()x t 的Wigner 分布. 类似的关系对于模糊函数、修正的短时Fourier 变换和谱图依然成立[9]. Lohmann 将(7)式作了进一步推广, 得出分数阶Fourier 变换的模平方与Radon-Wigner 变换间的关系[14]:[]()()2,x p W u X u αℜ= (8) 其中αℜ为Radon 变换算子, 表征二维函数对与t 轴夹角为π2p α=的坐标轴的积分投影算子. (8)式也可以理解为坐标旋转α 后的边缘积分, 即()()2cos sin sin cos d , π2.x p W u v ,u v v X u ϕϕϕϕϕα+∞−∞−+==+∫ (9) 既然分数阶Fourier 变换与这些常用的时频表示存在上述关系, 那么是否存在更具普遍意义的表达形式呢？令()()()d d ,x x t,f t τ,f θW ,τθξψτθτθ=−−∫∫ (10) 其中()t,f ψ为变换核, ()x W ,τθ为()x t 的Wigner 分布, ()x t,f ξ表征()x t 的Cohen 类时频分布. 那么只要变换核()t,f ψ关于原点旋转对称, 则()x t,f ξ与分数阶Fourier 变换一样, 也满足上述时频旋转关系[15]. 需要留意的是(10)式与基于模糊第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 117函数的Cohen 类时频分布定义(见(27)式)不尽相同.由上述分数阶Fourier 变换与时频分布的关系可以看出, 分数阶Fourier 变换提供了信号从时域到频域全过程的综合描述, 随着阶数从0连续增长到1, 分数阶Fourier 变换展示出信号从时域逐步变化到频域的所有变化特征(如图1). 可见, 分数阶Fourier 变换实际上体现了一种统一的时频观, 是介于时域和频域之间的信号时频分析方法, 可以为信号的时频分析提供更大的选择余地[6,16].图1 矩形脉冲信号的分数阶Fourier 变换2.2 不确定性原理既然分数阶Fourier 域是一个统一的时频变换域[17], 那么时频域的不确定性原理扩展到分数阶Fourier 域会是什么呢？利用第1节中分数阶Fourier 变换的三步分解法及传统时频域的不确定性原理, 可以得到信号的两个不同阶数分数阶Fourier 变换间不确定性原理如下: ()2221sin ,4u u αβαβΔΔ−≥(11) 其中()()2202πd ,u u u X u u γγγ+∞−∞Δ=−∫ ()202πd ,u u X u u γγ+∞−∞=∫,.γαβ= Shinde 等在(11)式的基础上, 给出了更为严格的表示[18].分数阶Fourier 域的不确定性原理. 设()x t 为具有单位能量的实信号, 则()222222sin sin sin cos cos ,44u u t t αβαβαβαβ−⎛⎞ΔΔΔ++⎜⎟Δ⎝⎠≥ (12) 其中()()220d ,t t t x t t +∞−∞Δ=−∫ ()20d ,t t x t t +∞−∞=∫ 2,u αΔ 2u βΔ如(11)式所示. 当()()214221,πt x t e σσ−= (13)118 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷σ 为任取的实常数时, (12)式等号成立.3 分数阶算子及变换因为分数阶Fourier 变换是一种统一的时频分析方法, 可以理解为角度α 的时频面旋转, 因此依据分数阶Fourier 变换可以定义一些有用的分数阶算子和变换[19~32].3.1 分数阶算子卷积和相关是常用的两种信号处理算子, 文献[19, 20]分别从时域和变换域的角度定义了分数阶卷积和分数阶相关, 前者定义如(14)式所示[19], 适于信号检测和参数估计, 后者定义如(15)式所示[20], 适于滤波器设计、波束形成、模式识别.[]()()()[]()()()22j πcos sin j2πsin conv j πcos sin j2πsin corr ,cos d ,,cos d ,p rμr p μx y r e x μy r e x y e x μy e αααηααηαΓαμμΓημηαμ−∗−=−=−∫∫ π2,p α= (14) [][]123312conv ,,corr ,()(),,()().p p pP p p p p p P x y u F X Y u x y u F X Y u ΓΓ−∗⎡⎤=⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⎣⎦%% (15)在时频分析理论中, 酉算子和Hermite 算子是比较重要的两类算子, 酉性是设计变换算子时经常需要考虑的要素之一, 而不同的变换域表示往往能够通过某种Hermite 算子联系起来, 因此, 推导分数阶酉算子和Hermite 算子也吸引了人们的浓厚兴趣. 基于时移算子和频移算子的概念(这是两种基本的酉算子), Akay 定义了分数阶位移算子,,τT φ 即分数阶酉算子[21], 如[]()()2j πcos sin j2πsin cos τt τ,τT x t x t e φφφφτφ−+=− (16) 所示. 然后利用Stone’s Theorem 可以得到分数阶Hermite 算子, 如[]()()()j d cos sin 2πd Z x t tx t x t tφφφ−=+⋅ (17) 所示.分数阶酉算子,τT φ对信号的作用既有时移分量cos ,τφ 又有频移分量sin ,τφ 它是将信号在时频平面上沿着角度为φ的轴移动径向距离,τ 所以将之称为分数阶位移算子. 它与分数阶Fourier 变换的关系, 如(18)式所示, 可以看出信号范数保持不变. 对比(14)和(16)式不难发现, (14)式所定义的分数阶卷积和分数阶相关与算子,τT φ的关系如(19)式所示, 这个关系将在第5节应用部分的一种无源雷达动目标检测新算法中用到.第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 119[]()[]()[]()[]()j2π11,,u p ,τp p ,τp F T x u e F x u F T x u F x u τφφτ−++==− π2,p φ= (18) []()[]()[]*conv 2corr ,,(),,,(),p ,τp ,τx y r x T F y u x y x T y u φφΓΓη⎡⎤=⎣⎦= π2,p φ= (19)(19)式中符号,⋅⋅表示内积.3.2 分数阶变换本节所研究的分数阶变换是指基于分数阶Fourier 变换而定义的一些信号分析工具, 主要包含两大类, 一类是利用分数阶Fourier 变换是Fourier 变换的广义形式, 而将原来基于Fourier 变换的信号分析工具作了相应的推广; 另一类是利用分数阶Fourier 变换的时频旋转性质来设计新的时频分析工具. 接下来对主要的分数阶变换做了总结, 阐述了其各自的特点和优势.3.2.1 基于Fourier 变换的广义形式Hilbert 变换是一种重要的信号处理工具, 已经在通信调制、图像边缘检测等领域得到了广泛应用. 通过将Hilbert 变换的频域传递函数推广到分数阶Fourier 域, 便得到了分数阶Hilbert 变换[22]:[]()Hil (),p p p P x t F X H t Γ−⎡⎤=⋅⎣⎦ (20) 其中Hil p Γ为p 阶分数阶Hilbert 变换算子, j π2j π2, 0 (). , 0p P p e u H u eu −⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ 其实质仍然是对负谱的抑制, 只是谱由频谱扩展为分数阶Fourier 谱. 在此基础上, Pei 利用分数阶Fourier 变换的特征分解型离散算法给出了分数阶Hilbert 变换的一种离散表达形式[23], 并对数字图像的边缘检测做了仿真验证. 在文献[24]中, 有关分数阶Hilbert 变换器的设计和应用问题得到了进一步的探讨, 提出了多种FIR 和IIR 分数阶Hilbert 变换器的设计方法, 并基于分数阶Hilbert 变换对信号分数阶Fourier 变换负谱分量的抑制, 提出了一种单边带(SSB)通信系统, 利用分数阶Hilbert 变换的变换阶数作为解调密钥来实现安全通信.正弦变换、余弦变换和Hartley 变换都属于酉变换, 已经在图像压缩和自适应滤波方面得到了广泛应用, 利用它们与Fourier 变换的关系, 我们可以得到分数阶的正弦变换、余弦变换和Hartley 变换[6,25]. 需要注意的是: 第一, 与分数阶Fourier 变换周期为4不同, 分数阶正弦变换、余弦变换和Hartley 变换的周期都是2; 第二, 分数阶正弦变换没有偶特征函数, 而分数阶余弦变换没有奇特征函数, 因此, 最好用分数阶正弦变换来处理奇函数, 而用分数阶余弦变换来处理偶函数.120 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷[]()[]()[]()()j π21,2p p p p S x u e F x u F x u =−− (21) []()[]()[]()()1,2p p p C x u F x u F x u =+− (22) []()[]()[]()j πj π2211,22p p p p p e e Ψx u F x u F x u +−=+− (23),p S ,p C p Ψ依次表示分数阶的正弦变换、余弦变换和Hartley 变换算子.短时Fourier 变换和模糊函数是比较常用的两种时频工具, 通过对定义式进行直观的替换, 我们就得到了两种新的时频工具[26,27], 如(24)和(25)式所示, 本文中称之为短时分数阶Fourier 变换和分数阶模糊函数, 两者都适于处理多项式相位信号. 其中, 分数阶模糊函数对三次相位信息十分敏感, 在某阶分数阶Fourier 域三次相位信息将形成一个冲激[27], 而短时分数阶Fourier 变换是线性变换, 没有交叉项, 且不会对原时频结构在解线调时产生压缩扭曲, 因此, 适于解析信号的时频结构. 但前提条件是信号局部需要相似于chirp 信号, 这个问题在一定程度上可以通过选择合适的窗函数来解决.[]()()()()()()()()()S I ,d ,p p p ST x t,u X t,u F x w t t,u x t F X t,u w t t t,t t σσ∗−⎡⎤==⋅−⎣⎦′′′=⋅−⎡⎤⎣⎦∫ ()()S I d 1,w t w t t ∗=∫ (24) []()(,)d ,22p p ττAF x u,τx t x t K t u t +∞∗−∞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ (25) (24)式给出了短时分数阶Fourier 正变换和反变换及完全重构条件表达式, p ST 表示短时分数阶Fourier 变换算子. (25)式是分数阶模糊函数的定义式, (,)p K t u 是分数阶Fourier 变换核.3.2.2 基于时频旋转性质Alieva 等人利用分数阶Fourier 变换的时频旋转性对传统二次型时频工具(Cohen 类时频分布和S 法时频分布[28])的核函数作时频旋转来减少交叉项而极少降低自项的聚集性[29,30]. 实质上他们所做的努力就是确定合适的分数阶Fourier 域使得信号的分数阶Fourier 谱宽度最小, 再在该域上用传统的二次型时频工具进行分析就能够在一定程度上减少交叉项而不怎么损失自项聚集性. 仿真结果来看, 时频旋转S 法时频分布[30]的效果要好于时频旋转Cohen 类时频分布[29], 且都好于相应的不旋转的结果. 但是, 如果信号没有明显的谱聚集分数阶Fourier 域或存在不止一个这样的分数阶Fourier 域, 那么, 时频旋转所获得的好处将极为有限. 此外, 为了确定分数阶Fourier 谱聚集域的阶数ˆ,p他们提出了一种基于分数第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 121阶Fourier 变换二阶矩极值点的方法, 对分数阶Fourier 变换二阶矩以阶数p 求一次导的零值来确定ˆp[29]:()()0.501012ˆtan π,w w w p w w −+=− (26)[]()2222010ππ()d cos sin sin π,22p p p p w F x u u u w w p μ+∞−∞⎛⎞⎛⎞==++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ (27) 其中p w 表示p 阶分数阶Fourier 变换二阶矩, p μ表示p 阶分数阶Fourier 变换二阶中心矩[29]. 从(27)式不难看出, 对p w 求一次导, 并令其等于零, 再将(27)式中0.5p =所得到的()00.5012w w w μ=−+代入, 我们便得到了ˆp如(26)式. 通过比较()ˆcos πp和10μμ−的符号可以确定ˆp 阶分数阶Fourier 域是谱聚集域还是谱发散域[30].利用(8)式所展示的分数阶Fourier 变换与Radon-Wigner 变换间的关系, 容易想到: 当Wigner 分布不好直接求取时, 通过对信号的分数阶Fourier 变换做逆Radon 变换就可能成为分析信号时频结构的一种有效方法. Zhang 等就对该问 题作了仔细研究, 提出了一种新的时频分析方法——TTFT(tomography time-fre- quency transform), 并通过分数阶Fourier 域的自适应滤波来抑制交叉项[31].自适应信号扩展是把信号扩展到一组有限的、具有较好时频局部化的基函数上. 该方法具有较好的时频分辨率, 且无窗效应、交叉项干扰. 文献[32]研究了以Gauss 函数的分数阶Fourier 变换为基函数的信号扩展方法, 之所以选择Gauss 函数, 是因为它可以满足时-频域不确定性原理的边界条件(时宽带宽积最小). 而分数阶Fourier 变换的介入, 可以通过阶数的变化使得基函数的选择更为灵活, 也就能够更为准确地描述信号的时频特征.时频分布所希望的数学性质之一就是边缘特性, Xia 将(9)式定义为广义边缘特性, 并推导了相应具有广义边缘特性的Cohen 类时频分布(如(28)式所示)的充要条件为: 任取实数τ, 均有()sin cos 1.τ,τψϕϕ−= 显而易见, 传统的时域、频域边缘特性就成为了广义边缘特性0,π2ϕ=的两个特例, 而Wigner-Ville 分布满足所有角度的广义边缘特性. 需要满足的广义边缘特性越多, 则对核函数的选择限制越多, 极限情况下的核函数是1, 所得到的分布就是Wigner-Ville 分布. 依据上述充要条件, 不难得到满足角度,1,2,,k k N ϕ=L 的广义边缘特性的Cohen 类时频分布, 限于篇幅, 本文不再一一列出, 感兴趣的读者可以查阅文献[33].()()()()j2πd d ,t ντf x z νt,f τ,A τ,e τξψνντν−+=∫∫ (28) 其中()z A τ,ν表示模糊函数, ()τ,ψν为核函数.122 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷4 离散分数阶Fourier 变换随着数字信号处理在工程应用中的蓬勃发展, 采样和离散算法已经成为了分数阶Fourier 变换应用于工程实践中一个难以回避的问题.4.1 分数阶Fourier 域的采样定理[34]设模拟信号()x t 被一冲激脉冲串以采样周期s T 均匀采样, 则()()(),s s n x t x t t nT δ+∞=−∞=−∑ (29)22cot cot j j 2212πsin []()(),u u p s p s n F x t e X u e u n T T αααδ+∞−=−∞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=∗−⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑ (30) 其中∗表示卷积算子, π2.p α= 由(30)式可以看到, 在分数阶Fourier 域上, 2cot j 2()u p X u e α−以周期2πsin s T α延拓. 如果信号()x t 是分数阶Fourier 域上的带限信号, 即,,l h ΩΩ∃ 且0l h ΩΩ<≤使得()0,p X u = h u Ω> 或 .l u Ω< (31) 那么就能在1int h l N ΩΩ⎛⎞⎜⎟⎝⎠≤≤范围内选择到合适的N , ()int ⋅表示取整, 使得下式成立:2πsin 2,h s N T αΩ≥ ()2πsin 12.l s N T αΩ−≤ (32) 这样采样后信号的分数阶Fourier 谱就不会发生混叠。
分数阶Fourier变换在数字水印中的应用
ＳＵＮ Ｉ ｅ —ｈ ， ＨＥＮ Ｇ Ｗ ｅｉ ＣＨＥＮ Ｙａｎ —ｓ Ｃ ｕｉ Ｃ ， ｈａｎ． Ａｐｐｌｃ ｆｏ ｉ ａ ｎ ｏ ｆ ａ ｔｏ ｌ ｏｒ ｒ Ｆｏ ｉｒ ｔ ａ ｆ ｒ ｉ ｗ ａ ｅ ｍ ａｒ ｉ ． ｉ ｆ ｒ ｃ ｉ ｎａ ｄｅ ｕｒｅ ｒ ｎｓ ｏ ｍ ｎ ｔｒ ｋ ｎｇ
Ｃ ｍ ｕｅ ｎｉ ｅｉ ｎ ｐ ｌａｉ ｓ计算机 工程 与应用 ｏ ｐ ｔ Ｅ ｇｎ ｒ ｇ ａｄ Ａ ｐｉ ｔ ｎ ｒ ｅ ｎ ｃ ｏ
２ １ ，６ １ ） １９ ０ ０ ４ （应用 ｏｒ ｒ ｅ
孙 克辉 ， 程 巍， 陈艳 山
Ｓ ＵＮ Ｋｅ ｈ ， — ｕｉ ＣＨＥＮＧ ｅ ， Ｗ ｉ ＣＨＥＮ Ｙａ ｓ ｎ ｎ— ｈａ
中南大学 物理科学与技术学院 ， 长沙 ４ ０ ８ １０ ３
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ｔ ｉ ａｇ ｒ ｈ ｉ ｏ ｕ ｔｔ Ｐ ｈ ｓ ｌｏ ｔ ｍ ｓ ｒ ｂ ｓ ｏ Ｊ ＥＧ ｏ ｒ ｓ ｉｎ， ｌ ｒ ｇ ｎ ｉ ｎ ｔ ｅ ｕ ｃ ｓ ｉ ｃ ｍｐ ｅ ｓ ｏ ｆ ｔｉ ， ｏｓ ａ ｄ ｏ ｈ ｒ ａ ａ ｋ ． ｉ ｅｎ ｅ
Ｋ ｅ ｗ ｏ ｄｓ： ｄｉｉａ ｗａ ｅ ａ ｋ；ｒ ｃｉ ｎ ｌ ｏ ｄ ｒ Ｆ ｕ ｅ ｒ ｎ ｆｒ ； ｈ ｏｉ ｃ ａ ｌ ｇ ｙ ｒ ｇ ｔｌ ｔ ｒ ｒ ｆａ ｔｏ ａ ｒ ｅ ｏ ｒ ｒ ｔ ｓｏ ｍ ｉ ａ ｍ ｃ ａ ｔ ｓｒｍ ｉ ｃ ｂ ｎ
1.5 Fourier变换的应用
例如一根细长杆上的温度分布问题和声波在介 质中传播的问题等， 质中传播的问题等，研究这些物理量的变化规律就 会获得含有未知的多变量函数及其偏导数的关系式， 会获得含有未知的多变量函数及其偏导数的关系式， 即称之为偏微分方程或数学物理方程； 即称之为偏微分方程或数学物理方程；还要说明的 偏微分方程或数学物理方程 是，如果要确定一个物理模型中某一物理量的具体 的运动规律，除方程外，还需要附加一些条件，因 的运动规律，除方程外，还需要附加一些条件， 为方程仅反映该物理模型中物理量的共同规律， 为方程仅反映该物理模型中物理量的共同规律，而 实际中提出的物理模型都有特定的“环境” 实际中提出的物理模型都有特定的“环境”和“初 始状态” 这在数学上就称为边界条件 初始条件， 边界条件和 始状态”，这在数学上就称为边界条件和初始条件， 它们统称为定解条件。 它们统称为定解条件。 定解条件
变换公式可得， 变换公式可得，
利用Fourier变换，解积分方程： 变换， 例 利用 变换 解积分方程： ，其中 解
例2 求解积分方程 为已知函数， 其中 h (t)，f (t) 为已知函数，且 g (t)，h (t) 和 f (t) ， ， 变换都存在。 的Fourier变换都存在。 变换都存在 解 设 由卷积定义知， 由卷积定义知，积分方程右端第二项等于 f (t ) ∗ g(t ) 因些上述积分方程两端取 Fourier 变换，由卷积定理 变换， 可得
§1.5 Fourier变换的应用 变换的应用
1 微分、积分方程的Fourier变换解法 微分、积分方程的 变换解法 2* 偏微分方程的 偏微分方程的Fourier变换解法 变换解法
对一个系统进行分析和研究， 对一个系统进行分析和研究，首先要知道该系 统的数学模型， 统的数学模型，也就是要建立该系统特性的数学表 达式。所谓线性系统，在许多场合下， 达式。所谓线性系统，在许多场合下，它的数学模 型可以用一个线性的微分方程、积分方程、 型可以用一个线性的微分方程、积分方程、微分积 分方程（这三类方程统称为微分、积分方程） 分方程（这三类方程统称为微分、积分方程）乃至 于偏微分方程来描述，或者说凡是满足叠加原理的 于偏微分方程来描述， 一类系统可称为线性系统。 一类系统可称为线性系统。这一类系统无论是在振 动力学、电工学、无线电技术、 动力学、电工学、无线电技术、自动控制理论或其 它学科及工程技术领域的研究中， 它学科及工程技术领域的研究中，都占有很重要的 地位。本节将应用 变换来求解这类线性方程。 地位。本节将应用Fourier变换来求解这类线性方程。 变换来求解这类线性方程
分数阶Fourier变换的基本原理与应用
电子科技大学
硕士学位论文
分数阶Fourier变换的基本原理与应用
姓名：郭斌
申请学位级别：硕士
专业：信号与信息处理
指导教师：张红雨
20060401
电子科技大学硕士学位论文
ＭＡＴＬＡＢ程序实现二维ＤＦＲＦＦ。
下面给出该程序的仿真实例，其中二维矩形窗是一个３７×３７的离散信号。
当一４５ｚｓ４，－－４ｓｙｓ４，．ｆｆｘ，ｙ）＝１；其余情况，舷∥）＝０。
该二维矩形窗信号的二维ＤＦＲＦＩ＂仿真结果如图３－６所示。
图３－６中，Ｘ、ｙ辖表示表示二维信号取样点个数，ｚ轴表示变换值的幅值的模。
仅一Ⅱ｝６，ｐ＝０ａ＝蓐｝６，８＝Ⅱ／６
第三章离散分数阶Ｆｏｕｒｉｅｒ变换及其数值计算
ｏｃ＝Ⅱ／３，０＝冗／３ａ＝兀／３，８＝ｙＬ＂｝２
电子科技大学硕士学位论文
图３－６矩形窗信号不同变换角度时的二维ＤＦＲＦＦ模的幅值。
分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展
中国科学E辑信息科学 2006, 36(2): 113~136 113分数阶Fourier变换在信号处理领域的研究进展*陶然1**邓兵1,2王越1(1.北京理工大学电子工程系, 北京 100081; 2. 海军航空工程学院电子工程系, 烟台 264001)摘要分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广. 最早由Namias以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用. 而其在信号处理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘. 尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier变换更具有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征. 从信号处理的角度对分数阶Fourier变换的研究进展作全面的总结和系统的归纳, 力图将分数阶Fourier变换从定义到应用的全程都清晰地刻画出来, 既能为相关的专业研究人员提供参考, 又可以为感兴趣的读者提供入门的阶梯.关键词分数阶Fourier变换信号处理时频分析自从法国科学家Fourier在1807年为了得到热传导方程简便解法首次提出Fourier分析技术以来, Fourier变换迅速得到了广泛应用, 在科学研究与工程技术的几乎所有领域发挥着重要的作用. 但随着研究对象和研究范围的不断扩展, 也逐步暴露了Fourier变换在研究某些问题的局限性. 这种局限性主要体现在: 它是一种全局性变换, 得到的是信号的整体频谱, 因而无法表述信号的时频局部特性, 而这种特性正是非平稳信号的最根本和最关键的性质. 为了分析和处理非平稳信号, 人们提出并发展了一系列新的信号分析理论: 分数阶Fourier变换、短时Fourier变换、Wigner分布、Gabor变换、小波变换、循环统计量理论和调幅-调频信号分析等. 而分数阶Fourier变换作为Fourier变换的广义形式, 由于其独有的特点(本文后续部分将逐步展开阐述)而受到了众多科研人员的青睐, 近10年来关收稿日期: 2005-05-23; 接受日期: 2005-10-18*国家自然科学基金资助项目(批准号: 60572094)和高校青年教师奖资助项目及国家部委基金资助项目(6140445) ** E-mail: rantao@114 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷于分数阶Fourier 变换理论与应用的研究成果层出不穷, 掀起了一个不小的高潮.1980年Namias 从特征值和特征函数的角度, 以纯数学的方式提出了分数阶Fourier 变换(fractional Fourier transform, FRFT)的概念[1], 用于微分方程求解. 其后, McBride 等用积分形式为分数阶Fourier 变换作出了更为严格的数学定义[2], 为其后从光学角度提出分数阶Fourier 变换的概念奠定了基础. 1993年Mendlovic 和Ozaktas 给出了分数阶Fourier 变换的光学实现, 并将之应用于光学信息处理[3,4]. 由于分数阶Fourier 变换采用光学设备容易实现, 所以在光学领域很快便得到了广泛应用[5]. 尽管在信号处理领域分数阶Fourier 变换具有潜在的用途, 但是由于缺乏有效的物理解释和快速算法, 使得分数阶Fourier 变换在信号处理领域迟迟未得到应有的认识. 直到1993年Almeida 指出分数阶Fourier 变换可以理解为时频平面的旋转, 1996年Ozaktas 等提出了一种计算量与FFT 相当的离散算法后, 分数阶Fourier 变换才吸引了越来越多信号处理领域学者的注意, 并出现了大量的相关研究文章. 国内开始分数阶Fourier 变换的研究并不算晚, 但是从发表的论文数量和质量来看, 尚处于起步阶段[6]. 尽管国内1996年便有过关于分数阶Fourier 变换的综述文章[7,8], 但是那时分数阶Fourier 变换在信号处理领域的潜力才刚刚得到挖掘. 而迄今国际上也未有从信号处理角度对分数阶Fourier 变换的综述. 本文的目的是总结近年来分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究成果, 从基础、应用基础、应用三个层面对分数阶Fourier 变换的理论体系进行阐述, 供相关研究人员参考.本文组织如下: 首先介绍了分数阶Fourier 变换的定义及其含义: 第二部分阐述了分数阶Fourier 变换的基本性质及分数阶Fourier 变换与传统时频分析工具的关系, 认为分数阶Fourier 域可以理解为一种统一的时频变换域, 并给出了其不确定性原理; 第三部分对基于分数阶Fourier 变换而定义的一些信号分析工具作了系统归纳; 第四部分给出了基于分数阶Fourier 变换的采样定理, 并总结了分数阶Fourier 变换的离散定义和算法; 有关分数阶Fourier 变换在信号处理领域中的应用放在第五部分进行阐述; 最后, 总结了全文.1 分数阶Fourier 变换定义接下来给出分数阶Fourier 变换的定义式:[]()()()(,)d ,p p p X u F x u x t K t u t +∞−∞==∫ (1)其中()()22j πcot 2csc cot , π, (,)(), 2π, (), 21π,t ut u p n K t u t u n t u n ααααδαδα−+≠=−=+=±⎨⎪⎪⎩(2)第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 115其中π2,p α= p 为分数阶Fourier 变换的阶数, F p 表示分数阶Fourier 变换算子, 本文后续部分将沿用这种表达. 可以发现分数阶Fourier 变换以4为周期, 且当p = 4n +1 (即2ππ2n α=+)时, 分数阶Fourier 变换便成了Fourier 变换.经变量代换u =和t = (1)式可以化为[]22j cot j cot csc 22()d , π, ()()(), 2π, (), u t jut p p x t e t n X u F x u x u n x u ααααα−+∞−∞≠===−∫() 21π,n α⎨⎪=±⎪⎪⎩ (3)由(3)式可以看出分数阶Fourier 变换分解为如下三步[9]:1) 乘以chirp 信号, ()2j cot 2();t g t α=x t2) Fourier 变换(自变量存在尺度转变), ()()csc ,pX u G u α= 其中G (u )= ()j d ;ut g t e t +∞−−∞3) 乘以chirp 信号, 2j cot 2()().u p pX u e X u α= 可以发现信号()x t 存在分数阶Fourier 变换与存在Fourier 变换的条件是相同的. 也就是说, 如果()X ω存在, 则()p X u 也存在. 利用上述分解步骤, Zayed 等得到了分数阶Fourier 域的带限信号采样定理[10]; Erseghe 等基于chirp 周期(chirp-periodicity)信号将Fourier 变换所具有的时、频域连续和离散的四种对应关系推广到了时域、分数阶Fourier 域连续和离散的四种对应关系, 也同样得到了分数阶Fourier 域的带限信号采样定理[11].分数阶Fourier 变换也可以理解为chirp 基分解[9], 因为分数阶Fourier 变换的逆变换如()()()(,)d .p p p p x t F X t X u K t u u +∞−−−∞⎡⎤==⎣⎦∫ (4)可以发现()x t 由一组权系数为()p X u 的正交基函数所表征, 这些基函数是线性调频的复指数函数. 不同u 值的基函数间存在着不同的时移和相位因子 (,)p K t u − 2j tan 2(,)(sec ,0).u p p K t u e K t u αα−=− (5)116 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷2 分数阶Fourier 变换的主要性质2.1 主要性质由于分数阶Fourier 变换是Fourier 变换的推广形式, 所以Fourier 变换的大部分性质在分数阶Fourier 变换都具有相应的推广, 分数阶Fourier 变换的基本性质请参看附录A. 注意到Fourier 变换中的一个重要性质——卷积定理并没有出现在附录A 中, 这是因为该性质并不能简单地推广过来, 感兴趣的读者可以参看文献[12, 13].接下来介绍一个十分重要的性质: 分数阶Fourier 变换是角度为α的时频面旋转. 这个性质建立起分数阶Fourier 变换与时频分布间的直接联系, 并且为分数阶Fourier 域理解为一种统一的时频变换域奠定了理论基础, 同时也为分数阶Fourier 变换在信号处理领域中的应用提供了有利条件. 以Wigner 分布为例, 令R φ表征二维函数作角度为φ的顺时针旋转算子, 即[]()()cos sin sin cos ,R y t,y t ,t φωφωφφωφ=+−+(6)那么存在如下关系:()[](),x u W t,R W t,αωω= (7) 其中()j d ,22τu p p ττW t,X t X t e τωω+∞∗−−∞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ ()22x ττW t,x t x t ω+∞∗−∞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎝⎠⎝∫⋅⎟⎠ 分别表征j d τe τω−(),p X u ()x t 的Wigner 分布. 类似的关系对于模糊函数、修正的短时Fourier 变换和谱图依然成立[9]. Lohmann 将(7)式作了进一步推广, 得出分数阶Fourier 变换的模平方与Radon-Wigner 变换间的关系[14]:[]()()2,x p W u X u αℜ=(8) 其中αℜ为Radon 变换算子, 表征二维函数对与t 轴夹角为πp α=的坐标轴的积分投影算子. (8)式也可以理解为坐标旋转α 后的边缘积分, 即 ()()2cos sin sin cos d , πx p W u v ,u v v X u ϕϕϕϕϕα+∞−∞−+==+∫ (9) 既然分数阶Fourier 变换与这些常用的时频表示存在上述关系, 那么是否存在更具普遍意义的表达形式呢？令()()()d d ,x x t,f t τ,f θW ,τθξψτθ=−−∫∫τθ (10) 其中()t,f ψ为变换核, ()x W ,τθ为()x t 的Wigner 分布, ()x t,f ξ表征()x t 的Cohen 类时频分布. 那么只要变换核()t,f ψ关于原点旋转对称, 则()x t,f ξ与分数阶Fourier 变换一样, 也满足上述时频旋转关系[15]. 需要留意的是(10)式与基于模糊第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 117函数的Cohen 类时频分布定义(见(27)式)不尽相同.由上述分数阶Fourier 变换与时频分布的关系可以看出, 分数阶Fourier 变换提供了信号从时域到频域全过程的综合描述, 随着阶数从0连续增长到1, 分数阶Fourier 变换展示出信号从时域逐步变化到频域的所有变化特征(如图1). 可见, 分数阶Fourier 变换实际上体现了一种统一的时频观, 是介于时域和频域之间的信号时频分析方法, 可以为信号的时频分析提供更大的选择余地[6,16].图1 矩形脉冲信号的分数阶Fourier 变换2.2 不确定性原理既然分数阶Fourier 域是一个统一的时频变换域[17], 那么时频域的不确定性原理扩展到分数阶Fourier 域会是什么呢？利用第1节中分数阶Fourier 变换的三步分解法及传统时频域的不确定性原理, 可以得到信号的两个不同阶数分数阶Fourier 变换间不确定性原理如下:()2221sin ,4u u αβαβΔΔ−≥ (11)其中()()2202πd ,u u u X u u γγγ+∞−∞Δ=−∫ ()202πd ,u u X u γγ+∞−∞=∫u ,.γαβ= Shinde等在(11)式的基础上, 给出了更为严格的表示[18].分数阶Fourier 域的不确定性原理. 设()x t 为具有单位能量的实信号, 则 ()22222sin sin sin cos cos ,44u u t t αβαβαβαβ−⎛⎞ΔΔΔ++⎜⎟Δ⎝⎠≥(12) 其中()()220d ,t t t x t t +∞−∞Δ=−∫() 20d ,t t x t +∞−∞=∫2,u αΔt 2u βΔ如(11)式所示. 当 ()()214221,πt x t e σσ−= (13)118 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷σ 为任取的实常数时, (12)式等号成立.3 分数阶算子及变换因为分数阶Fourier 变换是一种统一的时频分析方法, 可以理解为角度α 的时频面旋转, 因此依据分数阶Fourier 变换可以定义一些有用的分数阶算子和变换[19~32].3.1 分数阶算子卷积和相关是常用的两种信号处理算子, 文献[19, 20]分别从时域和变换域的角度定义了分数阶卷积和分数阶相关, 前者定义如(14)式所示[19], 适于信号检测和参数估计, 后者定义如(15)式所示[20], 适于滤波器设计、波束形成、模式识别.[]()()()[]()()()22j πcos sin j2πsin conv j πcos sin j2πsin corr ,cos d ,μμ,cos d ,p rμr p μx y r e x μy r e x y e x μy e αααηααηαΓαμΓημηα−∗−=−=−∫∫π2,p α= (14) [][]123312conv ,,corr ,()(),,()().p p p P p p p p p P x y u F X Y u x y u F X Y u ΓΓ−∗⎡⎤=⋅⎣⎦⎡⎤=⋅⎣⎦ (15)在时频分析理论中, 酉算子和Hermite 算子是比较重要的两类算子, 酉性是设计变换算子时经常需要考虑的要素之一, 而不同的变换域表示往往能够通过某种Hermite 算子联系起来, 因此, 推导分数阶酉算子和Hermite 算子也吸引了人们的浓厚兴趣. 基于时移算子和频移算子的概念(这是两种基本的酉算子), Akay 定义了分数阶位移算子 即分数阶酉算子,,τT φ[21], 如[]()()2j πcos sin j2πsin cos τt τ,τT x t x t e φφφτφ−+=−φ (16) 所示. 然后利用Stone’s Theorem 可以得到分数阶Hermite 算子, 如[]()()()j d cos sin 2πd Z x t tx t x t tφφφ−=+⋅ (17) 所示.分数阶酉算子,τT φ对信号的作用既有时移分量cos ,τφ 又有频移分量sin ,τφ 它是将信号在时频平面上沿着角度为φ的轴移动径向距离,τ 所以将之称为分数阶位移算子. 它与分数阶Fourier 变换的关系, 如(18)式所示, 可以看出信号范数保持不变. 对比(14)和(16)式不难发现, (14)式所定义的分数阶卷积和分数阶相关与算子,τT φ的关系如(19)式所示, 这个关系将在第5节应用部分的一种无源雷达动目标检测新算法中用到.第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 119[]()[]()[]()[]()j2π11,,u p ,τp p ,τp F T x u e F x u F T x u F x u τφφτ−++==− π2,p φ= (18) []()[]()[]*conv 2corr ,,(,,(),p ,τp ,τ),x y r x T F y u x y x T y u φφΓΓη⎡⎤=⎣⎦= π2,p φ= (19)(19)式中符号,⋅⋅表示内积.3.2 分数阶变换本节所研究的分数阶变换是指基于分数阶Fourier 变换而定义的一些信号分析工具, 主要包含两大类, 一类是利用分数阶Fourier 变换是Fourier 变换的广义形式, 而将原来基于Fourier 变换的信号分析工具作了相应的推广; 另一类是利用分数阶Fourier 变换的时频旋转性质来设计新的时频分析工具. 接下来对主要的分数阶变换做了总结, 阐述了其各自的特点和优势.3.2.1 基于Fourier 变换的广义形式Hilbert 变换是一种重要的信号处理工具, 已经在通信调制、图像边缘检测等领域得到了广泛应用. 通过将Hilbert 变换的频域传递函数推广到分数阶Fourier 域, 便得到了分数阶Hilbert 变换[22]:[]()Hil (),p p p P x t F X H t Γ−⎡⎤=⋅⎣⎦ (20) 其中为p 阶分数阶Hilbert 变换算子, Hil p Γj π2j π2, 0 (). , 0p P p e u H u e u −⎧⎪=⎨<⎪⎩≥ 其实质仍然是对负谱的抑制, 只是谱由频谱扩展为分数阶Fourier 谱. 在此基础上, Pei 利用分数阶Fourier 变换的特征分解型离散算法给出了分数阶Hilbert 变换的一种离散表达形式[23], 并对数字图像的边缘检测做了仿真验证. 在文献[24]中, 有关分数阶Hilbert 变换器的设计和应用问题得到了进一步的探讨, 提出了多种FIR 和IIR 分数阶Hilbert 变换器的设计方法, 并基于分数阶Hilbert 变换对信号分数阶Fourier 变换负谱分量的抑制, 提出了一种单边带(SSB)通信系统, 利用分数阶Hilbert 变换的变换阶数作为解调密钥来实现安全通信.正弦变换、余弦变换和Hartley 变换都属于酉变换, 已经在图像压缩和自适应滤波方面得到了广泛应用, 利用它们与Fourier 变换的关系, 我们可以得到分数阶的正弦变换、余弦变换和Hartley 变换[6,25]. 需要注意的是: 第一, 与分数阶Fourier 变换周期为4不同, 分数阶正弦变换、余弦变换和Hartley 变换的周期都是2; 第二, 分数阶正弦变换没有偶特征函数, 而分数阶余弦变换没有奇特征函数, 因此, 最好用分数阶正弦变换来处理奇函数, 而用分数阶余弦变换来处理偶函数.120 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷[]()[]()[]()(j π21,2p p p p S x u e F x u F x u =−)− (21) []()[]()[]()(1,2p p p C x u F x u F x u =+)− (22) []()[]()[]()j πj π2211,22p p p p p e e Ψx u F x u F x +−=+u − (23),p S ,p C p Ψ依次表示分数阶的正弦变换、余弦变换和Hartley 变换算子.短时Fourier 变换和模糊函数是比较常用的两种时频工具, 通过对定义式进行直观的替换, 我们就得到了两种新的时频工具[26,27], 如(24)和(25)式所示, 本文中称之为短时分数阶Fourier 变换和分数阶模糊函数, 两者都适于处理多项式相位信号. 其中, 分数阶模糊函数对三次相位信息十分敏感, 在某阶分数阶Fourier 域三次相位信息将形成一个冲激[27], 而短时分数阶Fourier 变换是线性变换, 没有交叉项, 且不会对原时频结构在解线调时产生压缩扭曲, 因此, 适于解析信号的时频结构. 但前提条件是信号局部需要相似于chirp 信号, 这个问题在一定程度上可以通过选择合适的窗函数来解决.[]()()()()()()()()()S I ,d ,p p p ST x t,u X t,u F x w t t,u x t F X t,u w t t t,t t σσ∗−⎡⎤==⋅−⎣⎦′′′=⋅−⎡⎤⎣⎦∫()()S I d 1,w t w t t ∗=∫ (24) []()(,)d ,22p ττAF x u,τp x t x t K t u +∞∗−∞⎛⎞⎛⎞=+−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫t (25) (24)式给出了短时分数阶Fourier 正变换和反变换及完全重构条件表达式, 表示短时分数阶Fourier 变换算子. (25)式是分数阶模糊函数的定义式, p ST (,)p K t u 是分数阶Fourier 变换核.3.2.2 基于时频旋转性质Alieva 等人利用分数阶Fourier 变换的时频旋转性对传统二次型时频工具(Cohen 类时频分布和S 法时频分布[28])的核函数作时频旋转来减少交叉项而极少降低自项的聚集性[29,30]. 实质上他们所做的努力就是确定合适的分数阶Fourier 域使得信号的分数阶Fourier 谱宽度最小, 再在该域上用传统的二次型时频工具进行分析就能够在一定程度上减少交叉项而不怎么损失自项聚集性. 仿真结果来看, 时频旋转S 法时频分布[30]的效果要好于时频旋转Cohen 类时频分布[29], 且都好于相应的不旋转的结果. 但是, 如果信号没有明显的谱聚集分数阶Fourier 域或存在不止一个这样的分数阶Fourier 域, 那么, 时频旋转所获得的好处将极为有限. 此外, 为了确定分数阶Fourier 谱聚集域的阶数 他们提出了一种基于分数阶ˆ,p第2期 陶 然等: 分数阶Fourier 变换在信号处理领域的研究进展 121Fourier 变换二阶矩极值点的方法, 对分数阶Fourier 变换二阶矩以阶数p 求一次导的零值来确定ˆp [29]:()()0.501012ˆtan π,w w w pw w −+=− (26) []()2222010ππ()d cos sin sin π,22p p p p w F x u u u w w p μ+∞−∞⎛⎞⎛⎞==++⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠∫ (27) 其中表示阶分数阶Fourier 变换二阶矩, p w p p μ表示阶分数阶Fourier 变换二阶中心矩p [29]. 从(27)式不难看出, 对求一次导, 并令其等于零, 再将(27)式中所得到的p w 0.5p =()00.5012w w w μ=−+代入, 我们便得到了如(26)式. 通过比较和ˆp()ˆcos πp10μμ−的符号可以确定阶分数阶Fourier 域是谱聚集域还是谱发散域ˆp [30].利用(8)式所展示的分数阶Fourier 变换与Radon-Wigner 变换间的关系, 容易想到: 当Wigner 分布不好直接求取时, 通过对信号的分数阶Fourier 变换做逆Radon 变换就可能成为分析信号时频结构的一种有效方法. Zhang 等就对该问 题作了仔细研究, 提出了一种新的时频分析方法——TTFT(tomography time-fre- quency transform), 并通过分数阶Fourier 域的自适应滤波来抑制交叉项[31].自适应信号扩展是把信号扩展到一组有限的、具有较好时频局部化的基函数上. 该方法具有较好的时频分辨率, 且无窗效应、交叉项干扰. 文献[32]研究了以Gauss 函数的分数阶Fourier 变换为基函数的信号扩展方法, 之所以选择Gauss 函数, 是因为它可以满足时-频域不确定性原理的边界条件(时宽带宽积最小). 而分数阶Fourier 变换的介入, 可以通过阶数的变化使得基函数的选择更为灵活, 也就能够更为准确地描述信号的时频特征.时频分布所希望的数学性质之一就是边缘特性, Xia 将(9)式定义为广义边缘特性, 并推导了相应具有广义边缘特性的Cohen 类时频分布(如(28)式所示)的充要条件为: 任取实数τ, 均有()sin cos 1.τ,τψϕϕ−= 显而易见, 传统的时域、频域边缘特性就成为了广义边缘特性0,π2ϕ=的两个特例, 而Wigner-Ville 分布满足所有角度的广义边缘特性. 需要满足的广义边缘特性越多, 则对核函数的选择限制越多, 极限情况下的核函数是1, 所得到的分布就是Wigner-Ville 分布. 依据上述充要条件, 不难得到满足角度,1,2,,k k N ϕ="的广义边缘特性的Cohen 类时频分布, 限于篇幅, 本文不再一一列出, 感兴趣的读者可以查阅文献[33].()()()()j2πd d ,t ντf x z νt,f τ,A τ,e τξψνντν−+=∫∫ (28) 其中(z A τ,)ν表示模糊函数, ()τ,ψν为核函数.122 中国科学 E 辑 信息科学 第36卷4 离散分数阶Fourier 变换 随着数字信号处理在工程应用中的蓬勃发展, 采样和离散算法已经成为了分数阶Fourier 变换应用于工程实践中一个难以回避的问题.4.1 分数阶Fourier 域的采样定理[34]设模拟信号()x t 被一冲激脉冲串以采样周期s T 均匀采样, 则()()(),s s n x t x t t nT δ+∞=−∞=−∑ (29)22cot cot j j 2212πsin []()(),u u p s p s n F x t e X u e u n T T αααδ+∞−=−∞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟=∗−⎜⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠∑⎟ (30) 其中∗表示卷积算子, π2.p α= 由(30)式可以看到, 在分数阶Fourier 域上, 2cot j 2()u p X u e α−以周期2πsin s T α延拓. 如果信号()x t 是分数阶Fourier 域上的带限信号, 即 且,l h ΩΩ∃,h 0l ΩΩ<≤使得()0,p X u = h u Ω> 或 .l u Ω< (31) 那么就能在1int hlN ΩΩ⎛⎞⎜⎝⎠≤≤⎟范围内选择到合适的N , ()int ⋅表示取整, 使得下式成立:2πsin 2,h s N T αΩ≥ ()2πsin 1l s N T α2.Ω−≤ (32) 这样采样后信号的分数阶Fourier 谱就不会发生混叠。
分数傅立叶变换
分数傅立叶变换
分数傅立叶变换（Fractional Fourier Transform，简称FrFT）是一种对信号和系统在时间域和频域进行有效描述的变换方法，又称为“分数频率傅立叶变换”。
它是由熊克特斯（Eckert）于1988年提出的。
它是一种漫射型的变换，此时傅里叶变换就叫做复数傅立叶变换（Complex Fourier Transform，简称CFT），而FrFT就是一种对复数傅里叶变换的一个改进，它以傅里叶变换为基础，以分数系数代替傅里叶变换中的实数系数，从而实现了信号或系统域转移的目的。
FrFT具有诸多优点，与普通的傅里叶变换（DFT）相比具有更好的数值性能，具有更宽的动态范围和更高的分辨率，可以有效的滤除噪音。
此外，它还可以快速实现非正交信号分析，将软件处理的复杂性和成本降低了至少一半。
基于kaiser窗的分数阶fourier变换
基于kaiser窗的分数阶fourier变换1. 引言1.1 概述本文旨在探讨基于Kaiser窗的分数阶Fourier变换方法，并分析其应用场景和优势。
随着科技的不断进步，分数阶信号处理成为了一项重要的研究领域。
传统的Fourier变换在处理经典信号时表现出色，然而在处理非平稳信号或者具有长尾特性的信号时存在局限性。
因此，引入分数阶Fourier变换成为一种有效的方法。
1.2 文章结构本文将按如下结构进行讨论：首先，在第2节中介绍分数阶Fourier变换的概念，并对Kaiser窗理论进行背景介绍；接着，在第3节中分析并探讨基于Kaiser窗的分数阶Fourier变换方法在实际应用中所展现出来的优势和效果；然后，在第4节中研究窗宽和参数选择策略对算法性能的影响，并提出优化方法和未来研究方向；最后，在第5节中总结回顾研究成果，并对未来研究方向给出展望和建议。
1.3 目的本文旨在深入探讨基于Kaiser窗的分数阶Fourier变换方法，以期为信号处理领域中的实际应用提供一种更加有效和准确的处理手段。
通过详细分析分数阶Fourier变换的概念和Kaiser窗的理论背景，我们将揭示其在处理非平稳信号或长尾特性信号时所展现出的优势，并对算法中窗宽和参数选择策略进行探讨与研究。
最后，本文还将总结回顾研究成果，并对未来研究方向给出展望和建议，以促进该领域未来发展。
2. 基于kaiser窗的分数阶Fourier变换2.1 分数阶Fourier变换概念介绍分数阶Fourier变换是一种在时频域上对信号进行分析和处理的方法。
传统的Fourier变换基于傅里叶级数展开，适用于处理周期性信号。
而分数阶Fourier 变换可以处理非周期性和非平稳信号，并且能够描述不完全可积系统产生的长记忆效应。
2.2 Kaiser窗理论背景Kaiser窗是一种常用的加权函数，用于将一个时间序列截断到有限长度，并控制其频谱衰减特性。
它可以通过参数来调节窗口的主瓣宽度和副瓣抑制程度。
【豆丁-精品】-分数阶四元数傅立叶变换及其应用
第8卷第3期2009年8月 淮阴师范学院学报(自然科学版)JOURNA L OF H UAIY IN TE ACHERS CO LLEGE (NAT URA L SCIE NCE E DITION )V ol 18N o 13Aug.2009分数阶四元数傅立叶变换及其应用郭立强1,王兴东2,常立秋2(1.中国科学院长春光学精密机械与物理研究所,吉林长春 133002;2.和龙市气象局,吉林延吉 133002)摘 要:在缩减双四元数代数系统上定义了分数阶四元数傅立叶变换.这一变换可以看成是缩减双四元数傅立叶变换的推广.同时推导了分数阶四元数傅立叶变换的帕塞瓦尔定理和卷积定理,给出了分数阶四元数傅立叶变换的快速算法,最后讨论了分数阶四元数傅立叶变换域滤波器的设计.关键词:分数阶四元数傅立叶变换;卷积;乘性滤波中图分类号:T N911.72 文献标识码:A 文章编号:167126876(2009)0320182205 收稿日期:2009207204 作者简介:郭立强(19822),男,吉林和龙人,博士研究生,研究方向为数字信号处理及目标识别与跟踪等.0 引言分数阶傅立叶变换是傅立叶变换的推广,目前已被应用到光学、数字信号处理等诸多领域[123].分数阶傅立叶变换作为重要的数字信号处理工具,它不但能处理标量信号,复信号(解析信号)[4],也能处理四元数信号[5].四元数信号作为标量信号,复信号的推广,已越来越收到学者们的重视[6,7].许多作者利用四元数理论定义了分数阶四元数傅立叶变换[4],但是,由于四元数对于乘法的不可交换性导致相关定理的结论有些复杂.例如,帕塞瓦尔等式所定义的分数阶四元数傅立叶变换[4]是不成立的,而且其卷积定理的表达式也有些复杂.为了克服以上缺点,本文基于缩减双四元数[9,10]代数系统重新给出了分数阶四元数傅立叶变换的定义.相应地,本文所定义的分数阶四元数傅立叶变换处理的对象不再是四元数信号,而是缩减双四元数信号.1 四元数信号与缩减双四元数信号四元数又称超复数,由哈密顿(Hamilton )于1843年提出.四元数是复数的推广,由一个实部和三个虚部构成: q =q r +q i ·i +q j ·j +q k ·k (1)其中q r ,q i ,q j ,q k ∈R ,三个虚部i ,j ,k 满足如下乘法规则: i 2=j 2=k 2=-1,ij =-ji =k ,jk =-kj =i ,ki =-ik =j(2)从以上规则可以看出,对于任意两个四元数p 和q ,p ·q ≠q ·p .即四元数乘法不满足交换律.相应地,四元数信号是复信号的推广[1] f (x ,y )=f r (x ,y )+f i (x ,y )·i +f j (x ,y )·j +f k (x ,y )·k(3)其中f r (x ,y ),f i (x ,y ),f j (x ,y ),f k (x ,y )∈R 2.一些数字信号处理工具可以处理四元数信号,例如:四元数傅立叶变换[10,11],四元数小波变换[12,13].由于四元数乘法不满足乘法交换律,这给四元数信号的处理带来了很大不便.为了克服这一缺点,T.A.E LL 定义了双2复代数(double 2complex algebra ),其形式与四元数类似,其乘法满足交换律.缩减双四元数的概念[8],它也满足乘法交换律.缩减双四元数与四元数的表达形式一样,区别就在于三个虚部i ,j ,k 的乘法规则.缩减双四元数的乘法规则如下: i 2=k 2=-1,j 2=1,ij =ji =k ,jk =kj =i ,ki =ik =-j (4)缩减双四元数还有如下表示形式: q =q 1+q 2·j ,其中 q 1=qr +q i ·i ,q 2=q j +q k ·i(5)有关缩减双四元数的另外一种表达形式是e 1-e 2格式: q =q 1+q 2·j ≡q 1+2e 1+q 1-2e 2(6)其中q 1+2=q 1+q 2,q 1-2=q 1-q 2,e 1=(1+j )/2,e 2=(1-j )/2.我们将用缩减双四元数的e 1-e 2格式来实现分数阶四元数傅立叶变换的快速算法.文[9]还给出了缩减双四元数的范数和共轭的定义: |q |=[(q 2r +q 2i +q 2j +q 2k )2-4(q r q j +q i q k )2]1/4(7) q =|q |2·q-1(8)对于两个缩减双四元数q 1,q 2,q 1·q 2=q 1·q 2,其证明可参见文[9].缩减双四元数信号与四元数信号的形式一样,但其虚部i ,j ,k 的乘法规则满足(4)式.接下来,我们基于缩减双四元数系统来定义分数阶四元数傅立叶变换.2 分数阶四元数傅立叶变换定义1 对于缩减双四元数信号f (x ,y ),其分数阶四元数傅立叶变换定义如下: F α,βi ,k(μ,ν)>L α,βi ,k[f (x ,y )](μ,ν)=∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )Kα,i(x ,μ)K β,k (y ,ν)d x d y (9)其中,当α不是π的整数倍时 K α,i (x ,μ)=1-i ·cot α2πe i x2+μ22cot α-ix μcsc α(10)当α是2π的整数倍时,K α,i (x ,μ)=δ(x -μ);当α+π是2π的整数倍时,K α,i (x ,μ)=δ(x +μ);K β,k (y ,ν)与K α,i (x ,μ)的定义类似,把(10)中的α换成β即可.若α=β=π/2,分数阶四元数傅立叶变换将退化为缩减双四元数傅立叶变换[9,14];若f (x ,y )为复信号,积分核K α,i (x ,μ)与K β,k (y ,ν)采用相同的虚部,分数阶四元数傅立叶变换将退化为二维分数阶傅立叶变换.本文只讨论α,β不是π的整数倍的情况.分数阶四元数傅立叶变换的逆变换有如下形式: f (x ,y )=F -α,-βi ,k {F α,βi ,k (μ,ν)}(x ,y )(11)下面我们给出(11)的简单证明. F -α,-βi ,k {F α,βi ,k (μ,ν)}(x ,y )= ∫∞-∞∫∞-∞F α,βi ,k [f (x ,y )](μ,ν)K -α,i (s ,μ)K -β,k (t ,ν)d μd ν= ∫∞-∞∫∞-∞∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )K α,i(x ,μ)K β,k(y ,ν)d x d y K -α,i(s ,μ)K-β,k(t ,ν)d μd ν=∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )∫∞-∞K α,i (x ,μ)K -α,i(s ,μ)d μ∫∞-∞K β,k (y ,ν)K-β,k(t ,ν)d νd x d y =∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )δ(x -s )δ(y -t )d x d y =f (x ,y ).3 帕塞瓦尔定理定理1 对于任意的两个缩减双四元数信号f (x ,y )、g (x ,y ),若∫∞-∞∫∞-∞|f (x ,y )|2d x d y <∞,∫∞-∞∫∞-∞|g (x ,y )|2d x d y <∞,则有如下等式成立:∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )g (x ,y )d x d y =381第3期郭立强等:分数阶四元数傅立叶变换及其应用 |1+i ·cot α2π|2|1+k ·cot β2π|2∫∞-∞∫∞-∞F α,βi ,k (μ,ν)·G α,βi ,k (μ,ν)d μd ν(12)证明 ∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )g (x ,y )d x d y =∫∞-∞∫∞-∞∫∞-∞∫∞-∞F α,βi ,k(μ,ν)K -α,i(x ,μ)· K-β,k(y ,ν)d μd ν∫∞-∞∫∞-∞G α,βi ,k(s ,t )K -α,i (x ,s )K -β,k(y ,t )d s d t d x d y = |1+i ·cot α2π|2|1+k ·cot β2π|2∫∞-∞∫∞-∞F α,βi ,k (μ,ν)G α,βi ,k(μ,ν)e-iμ2-s22cot α e -kv 2-t22cot β∫∞-∞∫∞-∞e i (μ-s )x csc αe k (ν-t )y csc βd x d y d μd v d s d t = |1+i ·cot α2π|2|1+k ·cot β2π|2∫∞-∞∫∞-∞F α,βi ,k (μ,ν)G α,βi ,k(μ,ν)e-iμ2-s22cot α e -kv 2-t22cot βδ(μ-s )δ(ν-t )d s d t d μd v = |1+i ·cot α2π|2|1+k ·cot β2π|2∫∞-∞∫∞-∞F α,βi ,k (μ,ν)G α,βi ,k (μ,ν)d μd v 推论1 在定理1中,若f (x ,y )=g (x ,y ),有关分数阶四元数傅立叶变换的帕塞瓦尔定理:∫∞-∞∫∞-∞|f (x ,y )|2d x d y =|1+i ·cot α2π|2|1+k ·cot β2π|2∫∞-∞∫∞-∞|F α,βi ,k (μ,ν)|2d μd v 4 分数阶四元数卷积定理卷积运算在数字信号处理过程中起着重要的作用.目前,绝大多数数字信号处理工具都有其卷积定理.归结起来就是:两信号时域卷积的某一变换等于这两信号在相应变换域的乘积.本文在缩减双四元数代数系统上所定义的分数阶四元数傅立叶变换也有其卷积定理.下面我们先给出分数阶四元数卷积的定义:定义2 f (x ,y ),g (x ,y )是两个缩减双四元数信号,它们的分数阶四元数卷积表达式为:f (x ,y )Θg (x ,y )=(1-i ·cot α)(1-k ·cot β)2πe -i x 22cot αe-ky22cot β·ei x22cot αeky22cot βf (x ,y )3g (x ,y )e ix22cot αeky22cotβ(13)其中“3”是传统的卷积算子.若α=β=π/2分数阶四元数卷积将退化成传统的卷积运算.我们有如下的卷积定理:定理2 f (x ,y ),g (x ,y )是两个缩减双四元数信号,则 L α,βi ,k[f (x ,y )Θg (x ,y )]=e-iμ22cot αe-k ν22cot βF α,βi ,k(μ,ν)G α,βi ,k (μ,ν)(14)证明 L α,βi ,k[f (x ,y )Θg (x ,y )]=∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )Θg (x ,y )K α,i(x ,μ)Kβ,k(y ,ν)d x d y =∫∞-∞∫∞-∞1-i ·cot α2π1-k ·cot β2πe -i x22cot αe-ky22cot β∫∞-∞∫∞-∞ei τ22cot αek η22cot β f (τ,η)g (x -τ,y -η)e i(x -τ)22cot αek (y -η)22cot βd τd ηK α,i (x ,μ)K β,k (y ,ν)d x d y 作变量替换:s =x -τ,t =y -η,整理得L α,βi ,k[f (x ,y )Θg (x ,y )]=e-iμ22cot αe-k ν22cot β∫∞-∞∫∞-∞∫∞-∞∫∞-∞f (τ,η)Kα,i(τ,μ)K β,k (η,ν)d τd ηg (s ,t )K α,i (s ,μ)K β,k (t ,ν)d s d t =e -iμ22cot αe-k ν22cot βF α,βi ,k(μ,ν)G α,βi ,k (μ,ν)当α=β=π/2时,定理2就退化成缩减双四元数傅立叶变换的卷积定理.两个缩减双四元数信号的分数阶四元数卷积可由它们的分数阶四元数傅立叶变换的乘积然后经Chirp 信号调制后的形式给出,即:481淮阴师范学院学报(自然科学版)第8卷定理3 对于两个缩减双四元数信号f (x ,y ),g (x ,y ),如下等式成立: f (x ,y )Θg (x ,y )=L-α,-βi ,ke-iμ22cot αe-k ν22cot βF α,βi ,k(μ,ν)G α,βi ,k (μ,ν)(x ,y )(15)证明 (15)可由(10)和(14)直接得出.5 快速算法这节我们主要讨论分数阶四元数傅立叶变换的快速算法.在文[14]中,缩减双四元数傅立叶变换是通过二维傅立叶变换来实现的,即 f (x ,y )=f 1+2(x ,y )e 1+f 1-2(x ,y )e 2 RBFT[f (x ,y )](μ,ν)=F 1+2(μ,ν)e 1+F 1-2(μ,ν)e 2(16)其中RBFT[·]是f (x ,y )的缩减双四元数傅立叶变换,F 1+2(·)和F 1-2(·)分别是f 1+2(x ,y )和f 1-2(x ,y )的傅立叶变换.分数阶四元数傅立叶变换可以重新写成如下形式:F α,βi ,k(μ,ν)=(1-i ·cot α)(1-k ·cot β)2πe i μ22cot αe k ν22cot β∫∞-∞∫∞-∞f (x ,y )×eix22cot αeky22cot βe -ix μcsc αe -ky νcsc βd x d y设g (x ,y )=f (x ,y )ei x22cot αeky22cot βF α,βi ,k(μ,ν)=(1-i ·cot α)(1-k ·cot β)2πe i μ22cot αe k ν22cot β∫∞-∞∫∞-∞g (x ,y )×e-ix μcsc αe -ky νcsc βd x d y =(1-i ·cot α)(1-k ·cot β)2πe i μ22cot αe k ν22cot βRBFT[g (x ,y )](μcsc α,νcsc β)(17)这样,我们通过对信号g (x ,y )的RBFT 来实现信号f (x ,y )的分数阶四元数傅立叶变换.具体计算步骤如下:1)用公式(17)来计算g (x ,y );2)把g (x ,y )分解成e 1-e 2形式,即g (x ,y )=g 1+2(x ,y )e 1+g 1-2(x ,y )e 2;3)计算g 1+2(x ,y )和g 1-2(x ,y )的傅立叶变换得到G 1+2(μ,ν)和G 1-2(μ,ν);4)用如下等式计算F α,βi ,k (μ,ν): F α,βi ,k(μ,ν)=(1-i ·cot α)(1-k ·cot β)2πe i μ22cot αe k ν22cot β[G 1+2(μcsc α,νcsc β)e 1+G 1-2(μcsc α,νcsc β)e 2](18)最终我们可以通过两个2-DFFT 来实现分数阶四元数傅立叶变换.这样,分数阶四元数傅立叶变换的计算复杂度与FFT 的计算复杂度相当,更有利于实际的工程应用.6 应用以傅立叶变换为例,乘性滤波器设计是把混有噪声的信号变换到傅立叶域,再乘以一个窗函数,目的是把噪声对应的频率成分滤除掉,再把乘积的结果进行傅立叶反变换,最终实现对信号的滤波.本文提出分数阶四元数滤波器,是传统滤波器的推广.设混有噪声的缩减双四元数信号为f (x ,y ),g (x ,y )为滤波输出信号.h (x ,y )为分数阶四元数滤波器的冲激响应,则该滤波器的系统函数为H α,βi ,k (μ,ν)=L α,βi ,k [h (x ,y )](μ,ν),该分数阶四元数滤波器的有如下表达式: g (x ,y )=L -α,-βi ,k {F α,βi ,k (μ,ν)·H α,βi ,k (μ,ν)}(x ,y )(19)根据实际需要,系统函数H α,βi ,k (μ,ν)可以是低通,带通或者是高通.7 结论本文基于缩减双四元数代数系统上定义了分数阶四元数傅立叶变换,用来处理缩减双四元数信号,当然也能处理标量信号和复信号.我们推导了分数阶四元数傅立叶变换的帕塞瓦尔定理和卷积定理,这581第3期郭立强等:分数阶四元数傅立叶变换及其应用681淮阴师范学院学报(自然科学版)第8卷些定理都是缩减双四元数傅立叶变换相应定理的推广.另外,本文还给出了分数阶四元数傅立叶变换的快速算法.文章的最后给出了分数阶四元数滤波器的设计方法,这是对传统乘性滤波器更广泛意义上的推广.参考文献:[1] Ozaktas H M,K utay M A,Z alevsky Z.The Fractional F ourier T rans form with Applications in Optics and S ignal Processing[M].New Y ork,Wiley,2001,2232446.[2] Jin W,Ma L,Y an C.Real color fractional F ourier trans form holograms[J].Optics C ommunications,2006,259:5132516.[3] Barshan B,Ayruly B.Fractional F ourier trans form pre2processing for neural netw orks and its application to object recognition[J].Neural Netw orks,2002,15:1312140.[4] Z ayed A I.Hilbert trans form ass ociated with the fractional F ourier trans form[J].IEEE T rans S ignal Processing Letters,1998,5:2062208.[5] Xu GL,Wang X T,Xu X G.Fractional quaternion F ourier trans form,conv olution and correlation[J].S ignal Processing,2008,88:251122517.[6] Schtte H D,Wenzel 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orithms of fractional quaternion F ourier trans form was given.In the end, the design of multiplicative filter was proposed in this paper.K ey w ords: fractional quaternion F ourier trans form;conv olution;multiplicative filter[责任编辑:李春红]。
分数阶Fourier变换在多分量信号谱图分析中的应用
分数阶Fourier变换在多分量信号谱图分析中的应用平殿发;赵培洪;邓兵【摘要】作为时频分析方法的一种,谱图对多分量信号分析时受交叉项影响,特别是当信号相隔很近时尤为严重,而且频率分辨率会受影响.给出了结合分数阶Fourier 变换(FrFT)时多分量信号进行谱图分析的方法.首先利用分数阶二阶矩极值点而找到相应的最优旋转阶数,对所给多分量信号按此阶数做分数阶Fourier变换,再在此基础上做谱图分析.仿真实例表明,该方法对初始频率、调频率很接近的多分量的chirp信号能有效识别,交叉项可得到较好的抑制.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2010(046)032【总页数】4页(P116-118,122)【关键词】谱图;分数阶Fourier变换;分数阶二阶矩【作者】平殿发;赵培洪;邓兵【作者单位】海军航空工程学院,电子信息工程系,山东,烟台,264001;海军航空工程学院,电子信息工程系,山东,烟台,264001;海军航空工程学院,电子信息工程系,山东,烟台,264001【正文语种】中文【中图分类】TN911.721 引言谱图，短时Fourier变换的模平方，描述了信号在时频平面上的能量分布，也能实现时频定位，但它和短时Fourier变换面临同样的问题，不能同时达到高的时间分辨率和频率分辨率。
由于它有加窗作用，在对多分量信号进行分析时对其交叉项有平滑作用。
若信号相距足够远，它们的谱图几乎没有重叠；若信号相隔很近时，谱图对辨别信号自项就非常困难。
换句话说，谱图方法可以消除远离自项的交叉项，但对自项附近的交叉项效果差[1]。
分数阶Fourier变换是从20世纪80年代才开始兴起的一种新的时频分析工具，因其可理解为时频平面任意角度的连续旋转变换[2-3]，因而被认为是一种广义Fourier变换，并成为一种新的时频分析工具而在信号处理领域中得到广泛应用[4-8]。
在时频面，信号时频分布的自项在某一个方向具有最小的宽度，若旋转时频平面至相应的角度，就可以很好地抑制多分量信号时频分布的交叉项。
分数阶Fourier变：在水声信号处理中的应用研究
分数阶Fourier变：在水声信号处理中的应用研究作者：冷龙龙肖业伟胡军来源：《计算技术与自动化》2019年第01期摘要：线性调频（IFM）信号瞬时频率随时间呈线性变化，当干扰噪声与其强耦合时，经典的滤波方法难以有效的滤除噪声。
针对水声通信中采用LFM信号作为载体时滤波效果不明显的问题，提出了一种改进的分数阶Folmer变换（FRFT）滤波方法。
水听器接收到的LFM 信号在最佳变换域经FRFT变换后，同时对期望信号进行FRFT变换，系数修正后再对信号进行窄带滤波处理。
仿真结果表明，在信噪比高于-12dB时，新算法能够有效的实现信噪分离，还原出信号。
关键词：线性调频信号;水声通信;分数阶Follrier变换;窄带滤波中图分类号：TB566文献标识码：A水声信道因其特殊的时空频变特性，水声通信的发展远远滞后。
对水声通信技术的研究已成为各国科学家和工程技术人员研究的热点。
水声信号提取优劣将会直接影响水下目标探测、定位、跟踪等技术的发展。
线性调频（LFM）信号瞬时频率随时间呈线性变化，将其作为载波信号应用于水声通信中，能够提高系统的抗噪声干扰、抗多径干扰和频率选择性衰减的能力[1]。
分数阶Fourier变换是近年来数字信号处理领域一种很重要的算法，一个LFM信号在某一特定阶次的分数阶傅里叶变换域上是一个函数。
因而将分数阶Fourier变换引入到水声信号处理方面，对于发展基于分数阶Fourier变换的水声通信技术具有积极的意义。
文献[2]提出了一种基于分段频率拟合的多阶分数阶傅里叶变换（FRFT）自适应滤波方法，通过拟合频率曲线来确定FRFT滤波算法的各个参数。
文献[3]提出了一种简洁的分数阶傅立叶变换（ CFRFT）方法，降低了分数阶Fourier變换滤波算法的复杂度。
文献[4]利用分数阶傅里叶变换在分析线性调频信号时的优良特性，在分数阶变换域上进行自适应滤波处理，提高信号检测估计效果。
文献[5]利用调频步进雷达的粗距离像信号为慢时间域的线性调频信号的特点，通过对若干个连续子脉冲串的分数阶傅里叶变换谱图进行等距滑动叠加的方法，解决了单个子脉冲串的FRFT谱图在被噪声淹没的问题。
分数阶傅立叶变换
FRFT的一般研究思路：
例如：分数阶傅立叶变换和Radon_Wigner变换的 关系。 信号分数阶傅立叶变换的模平方是信号在 该方向的Radon_Wigner变换。 利用这个结果可以研究基于分数阶傅立叶 变换的噪声背景下的线性调频信号检测方法。
FRFT的一般研究思路：
2.将FRFT视为时频面上的旋转算子
信号FRFT的时频分布是信号时频分布的一 个旋转。
可用于信号间的分离，噪声抑制。这是分 数阶傅立叶域滤波或扫频滤波的基本原理。进 一步提出分数阶傅立叶变换域的最佳滤波的概 念。
可以应用于多路复用技术。
FRFT的一般研究思路：
3.研究FRFT与其他时频分析方法的关系 研究与Wigner_Ville分布、小波变换、短
n
n
逆：
(F p )1 F p
分数阶傅立叶变换的性质：
可交换性：
F F p1 p2 F p2 F p1
可结合性：
(F p1 F p2 )F p3 F p1 (F p2 F p3 )
分数阶傅立叶变换的性质：
特征值与特征函数：
F p k
e jpk / 2 k
2
2
sin
例：
F p[s(t)](பைடு நூலகம்)
u cos（ d F p[s(t)](u)）＋（j2）sin （F p[s(t)](u)]）
dt
证明：
（F ps(u)) 1 j cot s(t) exp( j2 t2 u2 cot j2 tu )dt
主要研究方向和成果
FRFT的基本性质 FRFT与其他时频分析工具的关系 FRFT的光学实现技术和应用 FRFT的数值计算与快速算法 FRFT在信号处理中的应用 高维分数阶傅立叶变换的研究
分数阶傅里叶变换的幻灯片
得信号
dx(t) dt
jF 2[ X (u)u](t) 2
和
tx(t) F 0[ X 0(u)u](t)
j
dx(t) dt
1
2 sin
{F [ X
(u)u](t)
F[X
(u)u](t)}
tx(t)
1
2 cos
{F
[ X
(u)u](t)
F[X
F
2
[
X
2
(u)u](t)
j
dX dt
(t)
（7）
这就把
2
阶的FRFT 域的滤波表示为
阶
FRFT 的微分。
由FRFT 的性质可得：
F [x(u)u](t) (t cos j sin D)F[x(u)](t)（8）
F [x (u)u](t) (t cos j sin D)x(t)
3.分数阶Fourier 变换的优势
1)分数阶Fourier 变换是一种统一的时频变换, 随着阶数从0 连续增长到1,分数阶Fourier 变换展示出信号从时域逐步变 化到频域的所有变化特征, 可以为信号的时频分析提供更大 的选择余地；
2)分数阶Fourier 变换可以理解为chirp 基分解, 因此,它十分 适合处理chirp类信号。
分数阶傅立叶变换
分数阶傅立叶变换
分数阶Fourier 变换是对经典Fourier 变换的推广。 最早由Namias以数学形式提出, 并很快在光学 领域得到了广泛应用。而其在信号处理领域的 潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。 尽管分数阶Fourier 变换的定义式直观上看仅是 chirp 基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具 有时频旋转的特性, 它是一种统一的时频变换, 随着变换阶数从0连续增长到1而展示出信号从 时域逐步变化到频域的所有特征，可以为信号 的时频分析提供更大的选择余地。
数学分析中的Fourier级数和Fourier变换的应用
数学分析中的Fourier级数和Fourier变换是广泛应用于各个领域的重要数学工具。
无论是在工程领域还是物理领域，Fourier级数和Fourier变换都有着广泛的应用。
Fourier级数是指将任意函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
它可以将一个周期函数分解为一系列简单的正弦和余弦函数，每个正弦和余弦函数都有一个特定的振幅和角频率。
使用Fourier级数可以将复杂的周期函数表示为简单的波形，从而方便分析和处理。
Fourier变换则是将一个信号从时域转换到频域的数学操作。
它可以将一个时域上的函数表示为一系列复数的线性组合，其中每个复数对应于一个特定的频率成分。
通过Fourier变换，我们可以获得一个信号在频域上的频谱，从而方便分析信号的频率分布和频域特性。
Fourier级数和Fourier变换在信号处理中有着广泛的应用。
在通信领域中，Fourier变换可以用于信号调制和解调，以及频谱分析和滤波等操作。
通过将信号从时域转换到频域，我们可以更方便地进行信号的处理和分析，从而提高通信系统的性能。
在图像处理领域，Fourier变换也有着重要的应用。
通过将图像进行Fourier变换，我们可以获得图像在频域上的频谱，从而方便进行图像增强、去噪和压缩等操作。
Fourier变换在数字图像处理中是一种常用的技术，它可以帮助我们改善图像的质量和清晰度。
此外，Fourier级数和Fourier变换在物理学中也有着重要的应用。
在量子力学中，Fourier变换被广泛应用于波函数的表示和分析。
通过对波函数进行Fourier变换，我们可以获得粒子在动量空间上的波函数，从而方便进行动量分析和动量算符的计算。
总结起来，数学分析中的Fourier级数和Fourier变换是一种重要的数学工具，在各个领域都有着广泛的应用。
无论是在通信领域、图像处理领域还是物理学领域，Fourier级数和Fourier变换都能够帮助我们进行信号的处理、图像的分析和波函数的表示。
分数阶Fourier变换在通信中的应用
分数阶Fourier变换在通信中的应用分数阶Fourier变换是对经典Fourier变换的推广。
最早由Namias 以数学形式提出, 并很快在光学领域得到了广泛应用。
而其在信号处理领域的潜力直到20世纪90年代中期才逐渐得到发掘。
尽管分数阶Fourier变换的定义式直观上看仅是chirp基分解, 而实质上分数阶Fourier 变换更具有时频旋转的特性，它是一种统一的时频变换，随着变换阶数从0 连续增长到1 而展示出信号从时域逐步变化到频域的所有特征。
一、FRFT概述FRFT是一种重要的时频分析工具，其根本特点可以理解为对傅立叶变换特征值的分数化。
酉性、旋转相加性和对信号时频形式的统一性是FRFT的基本性质。
由于对特征值分数化方式的不同，以及对FRFT性质约束的宽泛性，使得FRFT具有很多种不同的定义形式。
根据这些定义各自的出发点和基本特征，可以大致将其划分为两类，即：经典类FRFT(CFRFT)和加权类FRFT(WFRFT)。
CFRFT是提出比较早的一种FRFT形式，目前CFRFT定义主要有三种不同形式：一种是V. Namias在1980年从傅立叶变换的特征值与特征函数的角度定义了分数傅立叶变换，数学上表示为“无穷级数和”的形式；另一种是1987年，A. C. Mcbride和F. H. Kerr基于Namias 的标准Chirp类分数傅立叶变换提出的“积分形式”；最后一种是A. W.Lohmann在1993年从Wigner分布函数相空间的角度定义的分数傅立叶变换。
三种定义形式研究角度不同，但可以证明是相互等价的。
由于经典FRFT具有chirp形式的正交基，因而经典类FRFT又被称为“chirp类FRFT”。
经典FRFT在求解微分方程、量子力学、信号分析和处理等科学研究中有着比较广泛的应用；工程技术方面，如光通信系统、光图像处理等光学相关领域是最早利用经典FRFT的，也是目前应用最成功的。
但是受限于经典FRFT的离散算法问题，其在通信领域的应用受到了比较大的限制。
分数阶Fourier变换理论及应用ppt课件
exp(-jct2/2)
exp(jct2/2)
x(t)
×
g(t)
×
y(t)
经过推导，可得信号x(t)与y(t)的分数阶傅里 叶变换为 Yp(u)Xp(u)G (ucsc )
G(w)为g(t)的傅里叶变换，可用于控制滤波器 通带
应用——多路传输(1/2)
任意完备变换域均可进行信号的多路传输（多路复 用），如时域、频域（FDMA）
这是一个非常有用的性质, 用它实现滤波具有更好的效果。
(2)算子可加性
FpFqFpq
特别
FP1[x(t)]F{FP[x(t)]}
FP1[x(t) ]F1{FP[x(t)]}
三、分数阶傅立叶变换基本性质
(3)恒等变换
F 0[x(t) ]F 4[x(t) ]x(t)
(4)标准Fourier变换
若n 若2n
(tu),
若(2n1)
其 中 ： p2
Xp(u)=
＝
1 jcot s(t)exp( j t2 u2 cot j tu )dt
2
2
sin
s(u)
n 2n
s(u)
(2n1)
2
= 1 s()ejdS()
2
F4[s(t)]F{F3[s(t)]} 1 S()ejtd
2
= 1 S()ejtds(t)
2
Fourier变换多次复合后有如下规律
F1[s(t)]F[s(t)]S() F3[s(t)]S()
F 4 [S ()] F 1 [s( t)]1 s( t)e j td t S () 2
当n为负整数是 F n 也有了定义。
分数阶Fourier变换在信号处理中的应用研究
分数阶Fourier变换在信号处理中的应用研究分数阶Fourier变换（FrFT）因其具有许多传统Fourier变换不具备的性质受到众多研究人员的关注，在很多科学研究和工程技术领域均有应用。
如量子力学[1-4]、光学系统和光信号处理[5-6]、光图像处理[7-9]等。
FrFT之所以首先在光信号处理中得到了应用，是因为光学实现相对比较容易，而直到20世纪90年代中期，由于提出了多种分数阶Fourier变换的离散化方法及其快速实现算法，才使得FrFT真正的在电信号处理领域中体现出其应用价值[10-12]。
FrFT作为一种新的信号分析工具，在信号处理领域中具有非常广泛的应用前景。
近几年，新的研究成果也不断涌现。
从处理方法的角度来分析，目前国内外对FrFT的应用研究主要围绕以下几种思想：（1）利用FrFT的聚焦性。
直接将传统Fourier变换的某些理论和应用推广到分数阶Fourier变换域。
传统的Fourier变换通常用于平稳信号的分析与处理，对于非平稳信号、时变信号的分析处理能力则失效，而FrFT对该类信号表现出良好的分析能力。
传统Fourier 变换可以理解为信号在一组完备正交的正弦基上的展开，因此正弦信号的Fourier变换是一个冲激函数；FrFT则可以理解为信号是在一组正交的Chirp基上的展开，相应的，Chirp 信号在某个特定阶次的FrFT也是一个冲激函数，我们称其为聚焦性。
聚焦性对分析和处理Chirp类信号是十分有利的，其直接应用就是对Chirp信号进行检测和参数估计。
正是由于Chirp信号广泛应用于通信、声纳、生物医学等领域中，尤其是现代雷达系统，因此基于FrFT的分析与处理算法被用于雷达信号处理中的多目标检测与跟踪、SAR与ISAR 成像、运动参数估计等技术中[13-17]。
（2）利用FrFT的时频旋转特性。
一个信号的FrFT的Wigner分布是原信号Wigner 分布的坐标旋转形式。
分数阶Fourier变换在数字水印中的应用
2010，46（11）1引言数字水印的不可感知性、鲁棒性和安全性等特点为数字媒体的信息安全和知识产权保护提供了技术支持。
数字水印技术根据其实现原理主要分为空域方法和变化域方法两大类[1]：空域方法是直接更改图像的某些像素值来嵌入水印，目前大都是基于最低有效位LSB（Least Significant Bit）[2]方法。
变换域方法是先将图像数据做某种变换，然后通过改变变换系数来嵌入水印，再进行反变换得到含水印的图像。
几种最常见的变换是离散傅里叶变换（DFT），离散余弦变换(DCT），离散小波变换（DWT）等。
在变换域嵌入的水印能量分布在空域的所有像素上，有利于保证水印的不可见性、保密性和鲁棒性。
为了保证水印信息可靠地通过载体传送，水印本身应该保持良好的透明和随机性，对于这一点，利用混沌系统对初值的敏感依赖性[3]的混沌加密可以很好地实现这一要求。
盛利元等总结了混沌安全的四个充分条件[4]，基于这些充分条件，构造了一类新的混沌系统，即切延迟椭圆反射腔映射系统（TD-ERCS），并采用TD-ERCS构造了一个结构简单的二值伪随机序列发生器[5]。
而分数阶傅里叶变换（fractiongal_order Fourier transform，FRFT）是一种在时频域内表示信号的新方法[6-7]，它兼有空域和频域的特性，分数阶傅里叶域的水印无疑是给水印的安全性又增加了一层保障。
在混沌置乱及离散分数阶Fourier变换的基础上，提出了基于分数阶Fourier变换的半盲数字水印算法。
该算法容易实现，具有较高的安全性，不可见性和水印鲁棒性。
2分数阶傅里叶变换原理近年来，一种新的时频分析工具———分数阶傅里叶变换，引起了人们的关注，它是对经典傅里叶变换的推广。
信号x（t）的角度α=pπ/2的定义为：X p（u）=∞-∞乙x（t）K p（T，u）d t（1）式中，FRFT的变换核K p（T，u）为：K p（T，u）=1-j cotα2π姨exp（j t2+u22cotα-tu cscα），α≠nπσ（t-u），α=2nπσ（t+u），σ=（2n±1）≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠≠π（2）式中，p为FRFT的阶数。
分数阶Fourier变换理论及其应用
六、应用
6.5 雷达、通信中的应用
[1] S. Jang, W. Choi, T.K. Sarkar, et al. Exploiting early time response using the fractional Fourier transform for analyzing transient radar returns. IEEE Tran. Antennas and Propagation, 2004, 52(11): 3109 3121 3109～3121 [2] I.I. Jouny. Radar Backscatter analysis using fractional Fourier transform. In: IEEE Antennas and Propagation Society Symposium. NJ, USA: IEEE, 2004. 2115-2119
六、应用
6.5 雷达、通信中的应用
对于快衰落信道，普通OFDM系统中子载波的正交性 易受到破坏，M. Martone提出用chirp信号基来匹配 快衰落信道，在实现上用分数阶Fourier变换来代替 FFT，仿真结果显示该方案能够较好地适应时变信道。 Y. Ju等对该FRFT-OFDM系统的峰均比进行了分析， 发现在子载波数目较少时，该方案优于传统OFDM系 统，而在子载波数目较多时，两者的区别不大，并将 传统OFDM系统中抑制峰均比的SLM（Selective Mapping）方法推广到了FRFT-OFDM系统。
六、应用
分数阶Fourier变换是一种统一的时频 变换，随着阶数从0连续增长到1，分 数阶Fourier变换展示出信号从时域逐 步变化到频域的所有变化特征，可以 为信号的时频分析提供更大的选择余 地； 分数阶Fourier变换可以理解为chirp 基分解，因此，它十分适合处理chirp 类信号；
分数阶Fourier变换在动目标检测和识别中的应用：回顾和展望
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= 1 s( )e j d S()
2
F 4[s(t)] F{F 3[s(t)]} 1 S()e jtd
2
= 1 S()e jtd s(t)
2
Fourier变换多次复合后有如下规律
F1[s(t)] F[s(t)] S()
s(u)
(2n 1)
其中： = p 2
注意： 当p=1时，即为傅立 叶变换； P=0，即为函数本身
核函数具有以下性质:
1.互换性
K p (t,u) K p (u,t)
2.p共轭对称性
K
p
(t,
u)
K
* p
(t,
u)
3.
K p (t,u) K p (t,u)
4.积分相加性（完备性）
F 4[S()] F 1[s(t)] 1 s(t)e jtdt S()
2
当n为负整数是 F n也有了定义。
旋转具备如下性质： (1)零度旋转对应于信号自身：F0=I (2)逆时针旋转π/2对应于Fourier变换：F
顺时针旋转π/2对应逆Fourier变换：F-1 (3)旋转具有连续可加性: FmFn = Fm+n
1980年，V.Namias 从特征值和特征函数的角度提出了 分数阶傅立叶变换的概念。定义为传统傅立叶变换的分 数幂形式。
1994年， L.B.Ameida将分数阶傅立叶变换解释为时频 面上的坐标轴旋转。
一、分数阶傅立叶变换“旋转”思想
Fourier变换的对称形式
S() F[s(t)] 1 s(t)e jtdt
2
s(t) F 1[S()] 1 S()e jtd
2
Fourier变换的多次复合运算
F 2[s(t)] F{F[s(t)]} 1 S()e jtd
2
= 1 S()e j(t)d s(t)
2
F 3[s(t)] F{F 2[s(t)]} 1 s(t)e jtdt
在旋转的同时变化信号的表示形式。
当n为非负整数时 F n均有了定义。
同理可引入“顺时针”旋转
F 1[S()] 1 S()e jtd s(t)
2
F 2[S()] F 1[s(t)] 1 s(t)e jtdt S()
2
F 3[S()] F 2[s(t)] F 1[S()] s(t)
注：变量u的尺度改变，函数幅值改变，旋转角改变。
(4)标准Fourier变换
F1[x(t)] F 5[x(t)] X ()
(5)时移性质
F
p [ x(t
)]
X
p (u
cos a) exp(
2
j 2
sin
a cos a
ju
sin
a)
(6)频移性质
F
p[x(t)e jvt ]
X
p (u
v sin
a) exp(
j
v2 2
这是一个非常有用的性质, 用它实现滤波具有更好的效果。
(2)算子可加性
F pF q F pq
特别
F P1[x(t)] F{F P[x(t)]}
F P1[x(t)] F 1{F P[x(t)]}
三、分数阶傅立叶变换基本性质
(3)恒等变换
F 0[x(t)] F 4[x(t)] x(t)
K p (t, z)K q (z, u)dz K pq (t, u)
5.正交性
K
p
(t , u) K
* p
(t , u' )dt
(u
u')
分数阶傅立叶变换变换对
X p (u) {F p[x(t)]}(u)
K p (t,u)x(t)dt
x(t) X p (u)K p (t, u)du
F 3[s(t)] S()
F 2[s(t)] s(t) F 4[s(t)] s(t)
规定： F 0[s(t)] s(t)
恒等算子 F 0 I
S ( )
当n为非负整数时有：
s(t)
s(t)
F n4 F n
S()
“ 旋转”思想的引入 每次的Fourier变换都可看作是坐标轴的π/2旋转，
下面给出几个常见信号的不同p下的傅立叶变换仿真图
北邮现代信号处理第六章演示图
3
2
1
0
-1 2
1
10
0
8 6
-1
4
2
-2 0
方波脉冲各分数阶下的傅立叶变换演示图
三、分数阶傅立叶变换基本性质
(1)线性性质 F p[c1 f (t) c2 g(t)] c1F p[ f (t)] c2F p[g(t)]
,
(t u),
若 n
若 2n 若 (2n 1)
其中： p 2
X p (u)=
＝
1 j cot s(t) exp( j t2 u2 cot j tu )dt
2
2
sin
s(u)
n 2n
分数阶Fourier变换理论及应用
小组成员：杜光龙、程海全、刘学锋、郭军伟
分数阶傅立叶变换概述
处理平稳信号
Fourier变换
全局谱
为了分析和处理非平稳信号，人们提出了一系列新 的信号分析理论：
分数阶Fourier变换、短时Fourier变换、Wigner分 布、Gabor变换、小波变换等
1929～1980 早期未被人们重视的研究。
sin
a cos a
juv
sin
a)
三、分数阶傅立叶变换基本性质
(7)尺度性质
F p[x(ct)]
1 j cot a
u2
cos2
sin
c2 j cot a exp( j 2 cot a[1 cos2 ])Xq (u csin a)
式中
arctan(c2 tan a) q 2
二、分数阶傅立叶变换定义
设p为任意实数，定义广义Fourier变换:
X p (u) {F p[x(t)]}(u)
K p (t,u)x(t)dt
其中
K
p
(t
,
u)
1 (t
j cot 2 u),
e
j
(
1 2
u2
cot
ut
csc
1 2
t
2
cot
)