第三章连续信源及信源熵
第三章 信道与信道容量 习题解答
，
，求
，
，
和
；
（2） 求该信道的信道容量及其达到信道容量时的输入概率分布。
解：
（1）先写出
：
根据公式
计算联合概率：
信宿端符号分布概率：
根据公式
计算：
3
求各熵： 信源熵：
比特/消息
信宿熵：
比特/消息
可疑度：
平均互信息量： 噪声熵： （2）二元对称离散信道的信道容量：
比特/消息 比特/消息
比特/秒
信源等概分布时（
解：设下标 1为原状况，下标 2为改变后状况。由
可得：
，
倍
如果功率节省一半则
倍 ，为 了 使 功 率 节 省 一 半 又 不 损 失 信 息 量 I，根 据
，可以： （1） 加大信道带宽 W，用带宽换取信噪比
，
，
7
缺点是对设备要求高。 （2） 加大传输时间 T，用传输时间换取信噪比，同理可得：
缺点是传输速度降低了。
噪声熵：
（5）平均互信息量：
2．有一个生产 A、B、C、D四种消息的信源其出现的概率相等，通过某一通信系统传输时，B和 C无误，A 以 1/4概率传为 A，以 1/4概率误传为 B、C、D，而 D以 1/2概率正确传输，以 1/2概率误传为 C，
（1）试求其可疑度？（2）收到的信号中哪一个最可靠？（3）散布度为多少？ 解：（1）
，
将各数据代入： 解得：
如果
则
将各数据代入： 解得：
14.在理想系统中，若信道带宽与消息带宽的比为 10，当接收机输入端功率信噪比分别为 0.1和 10时，试
比较输出端功率信噪比的改善程度，并说明
与
之间是否存在阀值效应。
连续信源的最大熵与最大熵条件
青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。
2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。
3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。
2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。
3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。
4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。
发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。
信息与编码第3章 信源及信源熵4
p(si ) p(s j | si ) log2 p(s j | si )
ij
说明：P( Si )为状态极限概率
Hm1
p(si ) p(s j | si ) log2 p(s j | si )
ij
i
p(si )
j
p(s j
| si ) log2
1 p(s j | si )
p(si )H (S | si )
X X1X 2 X3 X m1X m X m1X m2 X m3
这里X1=X2=X3=···=X，下标表示时刻。
2、马尔科夫信源的熵率求法
对于m 阶马尔科夫信源，利用条件熵的极限求熵率， 同时，利用了信源的马尔科夫性和信源的平稳性。
H
lim
N
H
(
X
N
/
X1 X 2 X N 1 )
lim
这时状态的概率分布称为状态的极限概率分布 或平稳分布、稳态分布。
定理A.1
在马尔科夫链的极限概率分布存在时， Wj p(si )
是满足方程组
W
P W和
Wj
0,
nБайду номын сангаас
Wj
1
的唯一解。
j 1
其中：P为状态转移概率矩阵,p(si)为状态极限概率分布。
此定理给出了在平稳遍历的马尔科夫信源中， 其状态极限概率分布的求法。
0：0.25
0
s2
1
1：0.5
0：0.5
图3.2 一阶马尔可夫信源状态转移图
例3.5
设一个二元二阶马尔可夫信源，信源符号集为X 0, 1 ，
输出符号的条件概率为
p(0 | 00) p(1|11) 0.8, p(0 | 01) p(0 |10) p(1| 01) p(1|10) 0.5, p(1| 00) p(0 |11) 0.2
信源和信息熵
注意：任何无源处理总是丢失信息的，至多保持原来 的信息，这是信息不可增性的一种表现。
二、离散平稳信源的极限熵 设信源输出一系列符号序列X1,X2, ‥XN 概率分布： 联合熵：
定义序列的平均符号熵＝总和/序列长度，即：
• 平均符号熵就是信源符号序列中平均每个信 源符号所携带的信息量。
信源和信息熵
2.1 信源的数学模型及分类
通信系统模型及信息传输模型：
一、信源输出是单个符号的消息
例：扔一颗质地均匀的正方体骰子，研究其下落后， 朝上一面的点数。每次试验结果必然是1点、2点、3点、 4点、5点、6点中的某一个面朝上。每次试验只随机出 现其中一种消息，不可能出现这个集合以外的消息， 考察此事件信源的数学模型。
H（1,0）＝H（0,1）＝H（1,0,0, ‥）＝‥＝0 说明：从熵的不确定概念来说，确知信源的不确定度 应该为0。
5、可加性： 二个随机变量X和Y不独立时： H(XY)=H(X)+H(Y/X)=H(Y)+H(X/Y) 二个随机变量X和Y独立时： H(XY)=H(X)+H(Y) 6、极值性：
H(p1,p2, ‥,pq) ≤－∑pilogqi，当pi＝1/q时，
解：数学模型为：
且满足：
§离散信源：信源输出是单一符号的消息，其符号集 的取值是有限的或可数的。
一维离散信源数学模型就是离散型的概率空间：
且满足：
§连续信源的无
限
数学模型是连续型的概率空间： 值。
实数集（－∞，＋∞）
X的概率 密度函数
r进制信息熵与二进制信息熵的关系：
熵的物理含义： 信息熵H(x)是表示信源输出后，每个消息(或符号)所提 供的平均信息量；信息熵H(x)是表示信源输出前，信源 的平均不确定性；用信息熵H(x)来表征变量X的随机 性。 注意：信息熵是信源的平均不确定的描述。一般情况 下，它并不等于平均获得的信息量，获得的信息量是两 熵之差，并不是信息熵本身。
2.6连续信源的熵
2.6连续信源的熵所谓连续信源就是指其输出在时间上和取值上都是连续的信源。
见图2.6.1。
各采样值的概率可用其概率分布密度函数来确定。
图2.6.2表示一个连续信源输出的幅度和其概率分布密度的关系。
设各种采样值之间无相关性，信源熵可写成：])(log[)(dx x p dx x p i ii ∑[例2.6.1]一连续信源，其输出信号的概率分布密度如图2.6.3所示，试计算其熵。
连续信源的熵不再具有非负性，这与离散信源显然不同。
同样可以定义两个连续变量的联合熵：⎰⎰-=dxdy xy lbp xy p XY H )()()(以及定义两个连续变量的条件熵；⎰⎰-=dxdy y x lbp xy p Y X H )/()()/( ⎰⎰-=dxdy x y lbp xy p X Y H )/()()/(连续信源的共熵、条件熵、单独熵之间也存在如下关系：)()()(Y H X H XY H +≤2.6.1三种特定连续信源的最大熵与离散信源不同，求连续信源的最大熵需要附加条件，常见的有三种。
1．输出幅度范围受限（或瞬时功率受限）的信源2．输出平均功率受限的信源 3．输出幅度平均值受限的信源 (1)限峰值功率的最大熵定理若代表信源的N 维随机变量的取值被限制在一定的范围之内，则在有限的定义域内，均匀分布的连续信源具有最大熵。
设N 维随机变量∏=∈Ni iib a X 1),( iia b>其均匀分布的概率密度函数为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∉-∈-=∏∏∏===Ni i i Ni i i Ni i i a b x a b x a b x p 111)(0)()(1)(除均匀分布以外的其他任意概率密度函数记为)(x q ，并用[]X x p H c),(和[]X x q H c),(分别表示均匀分布和任意非均匀分布连续信源的熵。
在1)()(11112121==⎰⎰⎰⎰N b a b a N b a b a dx dx dxx q dx dx dxx p N NN N的条件下有[]⎰⎰-=1112)(log)(),(b a Nb ac dx dx x q x q X x q H NN⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∙=111111121212)()(log)()(log)()()()(1log )(b a Nb a b a N b a b a Nb a dx dx x q x p x q dx dx x p x q dx dx x p x p x q x q NNNNN N令0,)()(≥=z x q x p z显然运用著名不等式1ln -≤z z 0>z 则]),([11)(log1)()()()(1log)(]),([1211121111X x p H a bdx dx x q x p x q dx dx a bx q X x q H c Ni i ib a Nb a b a N Ni i ib ac N N NN=-+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--≤∏⎰⎰⎰∏⎰==则证明了，在定义域有限的条件下，以均匀分布的熵为最大。
第三章连续信源的信息熵
where, R is the domain of x . 为什么说相对熵反映连续变量的客观存在的平均不定度？首 先一个随机变量，当它的概率分布一旦确定，则它的不定性就该 给定，而不能随划分精度的变化而变化。第二，由于信息量的概 念是不定度的解除量，如果在相同划分精度下，再讨论两者之差 时,H()将会消失。所以我们可看到仅从Hc(X)上就可真正反映出 信息的全部属性 (包括非负性) 。因此，我们只要相对熵的定义就 足够了。同时我们也能给出两个连续变量的互信息问题：
H c ( X ) H c ( X Y ) H c (Y ) H c (Y X ) H c ( X ) H c (Y ) H c ( XY )
第三章. 连续信源的信息熵 §3. 3 相对熵的性质
( The Properties of Differential Entropy)
H c ( X ) H ()
def b
信息散度 D( p//q ) (relative entropy)
称为相对熵 Differential entropy 称为绝对熵 absolute entropy
where : and
H c ( X ) p ( x ) log p ( x )dx
a
H ( ) lim(log ) 0
n
def
§3. 2 连续变量的相对熵
在取极限的过程中由于n→∞ 相当于 →0，此时这个离散变 量越来越逼近一个连续变量；而离散集合中的信息熵Hn(X)就分解 为两项，其中一项与划分精度无关，趋于一个常量——Hc(X)。 而另一项，随着 →0最终趋于一个无穷大的量。很显然这与取极 限之前的离散熵差别很大，那么这种极限形式能否表达出信源平 均不定度的概念吗？ 由于表达形式的不同，则它的物理意义也应有所不同。所以 我们不能以离散熵的概念来理解上述表达式，特别是当某些离散 熵的数学性质不在继续保持的情况下，如：非负性、对称性、扩 展性等。但值得庆幸，上式中将熵函数中最能反映信源的固有属 性的数学性质如可加性、极值性和上凸性仍旧依然保持着。因此 有可能上述表达式的某些部分仍能代表连续信源的某些物理属性。 （但我们要深入讨论离散向连续逼近时，物理属性的变化。）
信息论与编码2-信源及信源熵
实例3
随机天气状况信源，其中晴天、雨天、雪天出现的概率分别是0.7、0.2、0.1。
实例1
随机二进制信源，其中每个二进制符号（0或1）出现的概率为0.5。
离散无记忆信源的实例
离散有记忆信源
03
离散有记忆信源是输出符号序列中符号与符号之间存在记忆关系的离散随机序列。
应用场景
广泛应用于网络通信、金融交易、军事通信等领域，保障信息安全和隐私。
加密通信
03
应用景
广泛应用于通信系统、数据存储等领域，如CD、DVD、硬盘等存储设备的纠错编码。
01
纠错原理
通过在数据中添加冗余信息，检测和纠正数据传输过程中的错误。
02
常见纠错编码
如奇偶校验码、海明码、循环冗余校验码等，这些编码利用数学原理对数据进行校验，确保数据的正确性。
纠错编码
THANKS
感谢观看
离散有记忆信源的输出符号之间存在统计依赖关系，这种关系会影响信息熵的计算。
定义
性质
离散有记忆信源的定义与性质
计算方法
条件熵
联合熵
离散有记忆信源熵的计算
离散有记忆信源熵是描述信源不确定性的度量，可以通过统计模型来计算。具体计算方法包括条件熵和联合熵等。
条件熵是在给定前一个或多个符号条件下，输出符号的熵。
应用场景
广泛应用于文件存储、网络传输、多媒体处理等领域，如JPEG图片压缩、MP3音频压缩等。
数据压缩原理
通过去除数据中的冗余信息，将数据压缩至更小的存储空间，提高存储和传输效率。
数据压缩
加密原理
通过特定的加密算法将明文转换为密文，确保信息在传输过程中的保密性。
第三章 信息论基础知识(Part2)
信息论基础知识主要内容：信源的数学模型 信源编码定理 信源编码算法 信道容量 通信的容限第 1 页 2011-2-21引言一、信息论的研究范畴 信息论是研究信息的基本性质及度量方法，研究信息的获取、传输、存储和处理的一般规律的科学。
狭义信息论：通信的数学理论，主要研究信息的度量方 法，各种信源、信道的描述和信源、信道的编码定理。
实用信息论：信息传输和处理问题，也就是狭义信息 论方法在调制解调、编码译码以及检测理论等领域的应用。
广义信息论，包括信息论在自然和社会中的新的应用， 如模式识别、机器翻译、自学习自组织系统、心理学、生物 学、经济学、社会学等一切与信息问题有关的领域。
第 2 页 2011-2-21二、信息论回答的问题通信信道中，信息能够可靠传 输的最高速率是多少？噪声信道编码定理 噪声信道编码定理信息进行压缩后，依然可以从已压 缩信息中以无差错或低差错恢复的 最低速率是多少？香农信源编码理论 香农信源编码理论最佳系统的复杂度是多少？第 3 页2011-2-21三、香农的贡献香农(Claude Elwood Shannon,1916～2001年)， 美国数学家，信息论的创始人。
创造性的采用概率论的方法来研究通信中的问题，并且对 信息给予了科学的定量描述，第一次提出了信息熵的概念。
1948年，《通信的数学理论》(A mathematical theory of communication ) 以及1949年，《噪声下的通信》标志了信息论的创立。
1949年，《保密通信的信息理论》，用信息论的观点对信息保密问题做了 全面的论述，奠定了密码学的基础。
1959年，《保真度准则下的离散信源编码定理》，它是数据压缩的数学基 础，为信源编码的研究奠定了基础。
1961年发表“双路通信信道”，开拓了多用户信息理论（网络信息论）的研 究；第 4 页 2011-2-21四、信息论发展历史1924年 奈奎斯特(Nyquist,H.)总结了信号带宽和信息速率之 间的关系。
信息与编码第3章 信源及信源熵5
解：为了计算方便，假设每类中汉字出现 是等概的，得表
类别 1 2 3 4
汉字个数 140 625-140=485 2400-625=1775 7600
所占概率 0.5 0.85-0.5=0.35 0.997-0.85=0.147 0.003
每个汉字的概率 0.5/140 0.35/485 0.147/1775 0.003/7600
H1=H(X) =9.773 bit/汉字 H0=13.288 bit/汉字
1 H1 0.264
H0
分析
该例题是求在不考虑符号间相关性的条件下求 剩余度，所以只要求出信源熵和极大熵即可。
总结
1、信源的相关性 2、信源的利用率和剩余度
第三章 信源及信源熵
主要学习内容
一、信源的分类及其数学模型 二、离散单符号信源、离散多符号信源的概念
及其信源熵 三、离散平稳无记忆信源、离散平稳有记忆信
源的概念及其信源熵 四、马尔科夫信源及其信源熵 五、信源的相关性、利用率和剩余度
1、信源的相关性
含义：也就是信源输出符号间的相互依赖关系 如何度量：用信源符号的利用率和剩余度
剩余度产生的原因
1）信源符号间的相关性，相关度越大，符号间的依 赖关系就越大，信源的极限熵H∞就越小，剩余度就 越大。
2）信源输出消息的不等概分布使信源的极限熵H∞减 小。
当信源输出符号间不存在相关性，且输出符号的概 率分布为等概分布时，信源的极限熵H∞达到最大， 等于H0
英文信源
H0=4.76 H1=4.03 H2=3.32 H3=3.1
H5=1.65
H =1.4
H 1.4 0.29
H0 4.76
1 0.71
5种文字在不同近似程度下的熵
信息论课件 2-1.3马尔科夫信源
x3:1/2 s3
相通
s4
x2:1/2 x3:1/2
x4:1 x5:1
s2 x2:1/2
非周期性的：对于 pii(k)＞0的所有k值， 其最大公约数为1。
x2:1/2 x1:1/4
过渡态
s1
s6
x6:1
x6:1/4
吸收态
x4:1/4
s5
周期性的：在常返态中, 有些状态仅当k能被某整
数d＞1整除时才有pii(k)＞16 0, 图中的周期为2；
0.3W1 0.7W1
0.2W2 0.8W2
W0 W1
W2
W0 W1 W2 1
W0 0.3571, W1 0.1429, W2 0.5
0/0.4
1/0.6
so
1/0.2
s1
0/0.3 1/0.7
s2
0/0.8
0.6 0.4 0 p(sj | si ) 0.3 0 0.7
0.2 0 0.8
21
1
1
W
W
21
23
W 1
1
3
W
W p i ij
W j
i
4 1
1W
W 43 1W
W 2
W
32
54
3
2 W
32
4W 54
W 4
W W W W 1
1
2
3
4
• 稳态分布概率
W1
3 35
,
W2
6 35
,
W3
6 35
,
W4
4 7
• 稳态后的符号概率分布
p(a1)
i
p(a1
|
si
信息论第3章信源及信息熵
举例
数学描述
离散信源 （数字信源）
连续信号
文字、数据、 离散化图象
离散随机变量 序列
跳远比赛的结果、语音 连续随机变量
信号抽样以后
序列
波形信源 （模拟信源）
语音、音乐、热噪声、 图形、图象
不常见
随机过程
表3.1 信源的分类
3.1 信源的分类及其数学模型
我们还可以根据各维随机变量的概率分布是否随时间的推移 而变化将信源分为平稳信源和非平稳信源，根据随机变量间 是否统计独立将信源分为有记忆信源和无记忆信源。
定义3.2 随机变量序列中，对前N个随机变量的联合熵求平
均：
HN
(X)
1 N
H ( X1X 2
XN)
称为平均符号熵。如果当N
时上式极限存在，则
lim
N
H
N
(X)
称为熵率，或称为极限熵，记为
def
H
lim
N
H
N
(
X
)
3.3.1 离散平稳无记忆信源
离散平稳无记忆信源输出的符号序列是平稳随机序列，并且
H(X ) H(X1X2 XN ) H ( X1) H ( X2 | X1) H ( X3 | X1X 2 ) H ( X N | X1X 2 X N1)
定理3.1 对于离散平稳信源，有以下几个结论：
（1）条件熵 H (X N | X1X 2 X N1) 随N的增加是递减的；
（2）N给定时平均符号熵大于等于条件熵，即
s1
si p(s j
| si )
s q
m
状态空间由所有状态及状态间的状态转移概率组成。通过引
入状态转移概率，可以将对马尔可夫信源的研究转化为对马 尔可夫链的研究。
连续信源的最大熵与最大熵条件解析
青岛农业大学本科生课程论文论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件学生专业班级信息与计算科学 0902学生姓名（学号）指导教师吴慧完成时间 2012-6-25 2012 年 6 月 25 日课程论文任务书学生姓名指导教师吴慧论文题目连续信源的最大熵与最大熵条件论文内容（需明确列出研究的问题）：1简述连续信源的基本概要。
2 定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源。
3推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
资料、数据、技术水平等方面的要求：1概率论的均匀分布、高斯分布的相关知识。
2以及在这两种分布下的连续信源和高斯信源。
3在不同的约束条件下，求连续信源差熵的最大值一种是信源的输出值受限，另一种是信源的输出平均功率受限。
4 詹森不等式以及数学分析的定积分和反常积分、不定积分等数学公式。
发出任务书日期 2012-6-6 完成论文日期 2012-6-25 教研室意见（签字）院长意见（签字）连续信源的最大熵与最大熵条件信息与计算科学指导老师吴慧摘要：本文简述了连续信源的基本概要并定义了连续信源的差熵公式，分别介绍了满足均匀分布和高斯分布的两种特殊信源，推导了连续信源的最大熵值及最大熵条件。
关键词：连续信源最大熵均匀分布高斯分布功率受限The maximum entropy and maximum entropy conditionof consecutive letter of the sourceInformation and Computing Sciences Bian jiangTutor WuhuiAbstract：: On the base of continuous source this eassy describes the basic outline and define differential entropy formula, introduced a uniform distribution and Gaussian distribution of the two special source, derivation of a continuous source of maximum entropy and maximum entropy conditions.Keyword: Continuous source Maximum entropy Uniform distributionNormal distribution Power is limited引言：科学技术的发展使人类跨入了高度发展的信息化时代。
信息论复习提纲
信道传递概率可以用信道矩阵来表示：
x1 x2 P xr
y1 p( y1 | x1 ) p( y | x ) 1 2 p( y1 | xr )
y2 p( y2 | x1 )
p( y2 | x2 ) p( y2 | xr )
ys p( ys | x1 ) 1 p( ys | x2 ) p( ys | xr )
i
第四章：信道及信道容量
二、离散单符号信道及其信道容量
1.离散单符号信道的数学模型（续14）
例3：求二元删除信道的 H ( X )、H (Y )、H ( X | Y )和I ( X ;Y ) 。
已知
1 3 PX 4 4
1 1 2 2 0 P 1 2 0 3 3
3. 后验概率（后向概率）: 贝叶斯公式
p ( xi | y j ) p ( xi y j ) p( y j ) p ( xi ) p ( y j | xi )
p( x ) p( y
i 1 i
r
j
| xi )
（i =1，2，…，r;j =1，2，…，s）
且
p ( xi | y j ) 1
Y y2
ys
i 1, 2,..., r ; j 1, 2,..., s
满足： （1）0≤ p(yj|xi) ≤ 1 (i=1,2,…,r；j=1,2,…,s) （2）
p( y j | xi ) 1
j 1
s
(i=1,2,…,r)
第四章：信道及信道容量
二、离散单符号信道及其信道容量
1.离散单符号信道的数学模型（续2）
r s
第四章：信道及信道容量
信息论20153分析
3.1.1 熵速率与信道容量
这样，从数学模型化的角度看，熵速率就是平均交互信息量。熵速率既是 信源先验概率的函数，也是信道转移概率的函数。
为了专门描述某一个信道的统计特性对通信系统信息传输能力的影响，信 息论又定义了信道容量。
定义：信道容量是在给定信道条件下（即一定的信道转移概率），对于所有可能
R r I( X;Y ) r [H(X ) H(X /Y )] r [H(Y ) H(Y / X )]
在信息论中，定义熵速率及信道容量的目的是研究通信能力与信源和信道特性的关系，因此 参数r并没有多大理论意义，通常假定r=1，可表示为
R I (X ;Y ) [H(X ) H(X /Y )] [H(Y ) H(Y / X )]
第三章 信道容量与高斯信道
3.1 离散信道的信道容量 3.2 串联信道的交互信息量 3.3 连续信源的熵 3.4 连续信源的最大熵 3.5 连续有噪声信道的信道容量
1
3.1 离散信道的信道容量
2
3.1.1 熵速率与信道容量
单符号离散无记忆信源与离散无记忆信道构成的通信系统模型如图。信道 输入随机变量X，信道数出随机变量Y，描述信道特性的参数是信道转移概 率矩阵。
0 1
i 1
其可疑度
nm
H ( X / Y ) p( xi , y j ) log p( xi / y j ) 0 i1 j1
因此有I(X,Y)=H(X)=H(Y)
根据信道容量的定义有 C max{I(X;Y )} max{H(X )} logn
P( X )
P( X )
这类信道是最基本得无噪声信道，其信道容量就等于信源的最大熵，也等于信宿的最大熵。
n
p(xi ) 1
信源及信源熵课件
编码的方式和格式取 决于应用场景和需求 。
编码的目的是为了便 于信息的存储、传输 和处理。
信源编码的原理
信源编码是对信源输出的符号或数据 进行压缩编码，以减少存储空间和传 输带宽。
信源编码的目标是在保证信息无损的 前提下，尽可能地减小编码后的数据 量。
差分编码
02
通过消除信号中的冗余信息，降低信号的复杂性，提高信号传
输的效率和可靠性。
深度学习在信源编码中的应用
03
利用深度学习算法对信源进行自动编码，提高编码的自适应性
和智能化水平。
信源熵的新应用
信息隐藏
利用信源熵将秘密信息隐 藏在普通数据中，实现隐 蔽通信和数据保护。
数据加密
通过改变数据熵值，增加 数据破解的难度，保护数 据的机密性和完整性。
LZ77编码
基于字典的压缩算法，通过查找已输出的字符串在字典中的匹配项， 替换为较短的指针，实现数据压缩。
BWT编码
将信源输出按字节进行排序并连接成一个字符序列，通过游程编码和 差分编码等技术实现数据压缩。
04
信源的应用
在通信系统中的应用
信源编码
通过将信源输出的消息转换为二进制 或其它形式的数字信号，实现数字通 信，提高通信系统的传输效率和可靠 性。
信源编码的原理基于信息论和概率统 计的知识，通过对信源输出的概率分 布进行分析，采用适当的编码方式实 现数据压缩。
常见信源编码方式
Huffman编码
基于信源符号出现概率的编码方式，通过为出现概率高的符号分配较 短的码字，实现数据压缩。
算术编码
将信源输出区间划分为若干个子区间，每个子区间对应一个符号，通 过小数形式的码字表示输出区间的范围，实现高压缩比。
信源及信源熵
i
是
xi
的函数，
I (xi ) xi
9
2.2.1 自信息量
b. 自信息量的单位的确定 • 在信息论中常用的对数底是2，信息量的单位为比特（bit）； • 若取自然对数，则信息量的单位为奈特（nat）； • 若以10为对数底，则信息量的单位为笛特（det）。
这三个信息量单位之间的转换关系如下： 1 nat＝log2e l.433 bit， l det＝log210 3.322 bit
10
2.2.1 自信息量
几个例子
i.
一个以等概率出现的二进制码元（0，1）所包含的自信息量为：
I（0）= I（1）= - log2 （1/2）=log22=1 bit
ii. 若是一个m位的二进制数，因为该数的每一位可从0, 1两个数字中任取一个，因此有2m个等 概率的可能组合。所以I= -log2(1/2m)=m bit，就是需要m比特的信息来指明这样的二进制数。
i 1
6
第二节 离散信源熵和互信息
问题： • 什么叫不确定度？ • 什么叫自信息量？ • 什么叫平均不确定度？ • 什么叫信源熵？ • 什么叫平均自信息量？ • 什么叫条件熵？ • 什么叫联合熵？ • 联合熵、条件熵和熵的关系是什么？
7
第二节 离散信源熵和互信息 • 什么叫后验概率？ • 什么叫互信息量？ • 什么叫平均互信息量？ • 什么叫疑义度？ • 什么叫噪声熵（或散布度）？ • 数据处理定理是如何描述的？ • 熵的性质有哪些？
信源及信源熵
第一节 信源的描述和分类
1. 连续信源 连续信源是指发出在时间和幅度上都是连续分布的连续消息（模拟消息）的信源，如语言 、图像、图形等都是连续消息。
2. 离散信源 离散信源是指发出在时间和幅度上都是离散分布的离散消息的信源，如文字、数字、数据 等符号都是离散消息。
第三章4连续信源及信源熵
(1) 均匀分布的连续信源的熵
一维连续随机变量X在[a,b]区间内均匀分布 时的熵为 Hc(X)=log2(b-a)
若N维矢量X=(X1X2…XN)中各分量彼此统计独 立，且分别在[a1,b1][a2,b2] …[aN,bN]的区域内 均匀分布，即
1
N
p(x)
(N
x (bi ai ) i 1
若一维随机变量X的取值区间是[0,∞)，其概 率密度函数为
p(x)
1 m
e
x m
(x 0) m是X的均值
E[X ] m
xp(x)dx
0
0
x
1 m
e
x m
dx
m
指数分布连续信源的熵为
Hc ( X ) 0 p(x) log2 p(x)dx
0
p(x) log2
1 m
e
x m
dx
随机变量X的方差E[( X m)2 ] E[ X 2 ] m2 P2 m2 2
当均值m 0时，平均功率P 2
对平均功率和均值的限制就等于对方差的限制；
把平均功率受限的问题变成方差受限的问题来讨 论；
把平均功率受限当成是m=0情况下，方差受限的 特例。
定义高斯分布的连续信源的熵记为Hc[p(x),X] 定义任意分布的连续信源的熵记为Hc[q(x),X] 已知Hc[p(x),X]=(1/2)log2(2πeσσ) 任意分布的连续信源的熵为
Hc (XY ) p(xy) log2 p(xy)dxdy R2
两个连续变量的条件熵
Hc (Y / X ) p(xy) log2 p( y / x)dxdy R2
Hc (X / Y ) p(xy) log2 p(x / y)dxdy R2
连续信源熵
Ic (X ;Y ) 0 Ic ( X ;Y ) Ic (Y ; X ) Ic (X ; Z) Ic(X ;Y )
u du a a
Su
1 a
pX
u a
log
1 a
pX
u a
log
a
du
pU u log pU u log a du
Su
Hc U log a
Hc aX log a
2.5 连续信源
离散信源
信源的数学模型
– 随机变量、随机序列
信源的信息测度
– 简单离散信源：H(X) – 离散无记忆信源：H ∞(X) = HL(X)=H(X) – 离散有记忆信源：H∞(X) ≤ HL(X) ≤ H(X)
连续信源的数学模型
输出消息取值上连续的信源，如语音，电视信源等，对 应的数学工具为连续型随机变量或随机过程。
2
2
2 2
p(x) ln q(x)dx
p(
x)
1 2
ln
2
2
(x m)2
2 2
dx
1 ln 2 2 1 1 ln 2 e 2
2
22
p(x) ln q(x)dx q(x) ln q(x)dx
信源熵的定义式
信源熵的定义式篇一信源熵，这玩意儿听起来挺高深莫测，其实理解起来也不难。
咱先说说信源熵的概念起源。
信息论这门学问，那可是在通信技术飞速发展的背景下诞生的。
人们发现，信息的传递和处理有很多规律可循。
于是乎，就有了信源熵这个概念。
信源熵的发展历程也挺有意思。
一开始，科学家们在研究通信系统的时候，发现信息的不确定性是个关键问题。
怎么衡量这个不确定性呢？经过一番探索，信源熵就应运而生了。
随着时间的推移，信源熵的理论不断完善，应用范围也越来越广。
现在咱来看看信源熵的定义式。
信源熵H(X)=-∑P(xi)logP(xi)。
这里面的参数都啥意思呢？P(xi)表示信源发出符号xi 的概率。
log 呢，一般是以2 为底。
这个定义式看起来有点复杂，咱举个例子就好懂了。
比如说，有个信源，它可能发出两个符号 A 和B。
A 出现的概率是0.6，B 出现的概率是0.4。
那信源熵H(X)=-(0.6×log0.6+0.4×log0.4)。
算出来这个值，就代表了这个信源的不确定性。
信源熵在信息论中的地位那可相当重要。
它是衡量信源不确定性的关键指标。
一个信源的不确定性越大，信源熵就越高。
反之，不确定性越小，信源熵就越低。
为啥信源熵这么重要呢？因为它能帮助我们更好地理解信息的本质。
比如说，在通信系统中，我们要想有效地传输信息，就需要了解信源的不确定性。
信源熵可以告诉我们，这个信源到底有多复杂，需要多少资源来传输信息。
再举个例子，在数据压缩中，信源熵也起着关键作用。
如果我们知道了信源熵，就可以根据它来设计压缩算法，尽可能地减少数据的冗余，提高传输效率。
信源熵是信息论中一个非常重要的概念。
它的定义式虽然看起来有点复杂，但通过具体的例子，我们可以很好地理解它的含义和计算方法。
信源熵的重要地位也不言而喻，它能帮助我们更好地理解信息的本质，提高通信和数据处理的效率。
咱可得好好研究研究这信源熵，说不定啥时候就能派上大用场呢！篇二信源熵是信息论中的一个重要概念，它用来衡量信源的不确定性。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
② 随机过程的分类
可以分为两类：根据统计特性，连续随机 过程可分为平稳与非平稳随机过程两大类。
(3) 通信系统中的信号
一般认为，通信系统中的信号都是平稳的 随机过程。
(4) 平稳遍历的随机过程
随机过程{x(t)}中某一样本函数x(t)的时间平均
值定义：
T
x(t)Tli m21T
x(t)dt
e)
(xm)2
22
dx
因为
p(x)dx 1,
p(x)
(xm)2
22
dx
1 2
所以
Hc(X) log2
22
3.6 连续信源及信源熵
3.6.1 一些基本概念 3.6.2 连续信源的熵 3.6.3 几种特殊连续信源的熵 3.6.4 连续熵的性质 3.6.5 最大连续熵定理
3.6.1 一些基本概念 (1) 连续信源定义 (2) 随机过程及其分类 (3) 通信系统中的信号 (4) 平稳遍历的随机过程
i1
当n , 0时，若极限存在，即得连续信源的熵为
n
n
limH(X)
n 0
lim n 0
i1
p(xi )log2
p(xi) lnim(log2
0
)
i1
p(xi )
b
b
a p(x)log2 p(x)dx lnim(log2 ) a p(x)dx
0
b
a p(x)log2 p(x)dx lnim(log2 )
4）这种定义可以与离散信源在形式上统一起 来；
5）在实际问题中常常讨论的是熵之间的差值 问题，如信息变差、平均互信息等。在讨 论熵差时，两个无限大量互相抵消。所以 熵差具有信息的特征；
(5) 连续信源的联合熵和条件熵
两个连续变量的联合熵
H c(X Y) p(xy)log2p(xy)dxdy R 2
R X: p(x)
并 满 足Rp(x)dx1
② 连续信源的熵
P a ( i 1 ) x a i a a ( ii 1 ) p (x )d x p x i
n
n
n
H(X) p(xi)log2 p(xi) p(xi)log2 p(xi) p(xi)log2
i1
i1
一维连续随机变量X在[a,b]区间内均匀分布 时的熵为 Hc(X)=log2(b-a)
若N维矢量X=(X1X2…XN)中各分量彼此统计独 立，且分别在[a1,b1][a2,b2] …[aN,bN]的区域内 均匀分布，即
1
N
p(x)
(bi i1
ai
)
0
N
x (bi ai ) i1
N
x (bi ai ) i1
第二种方法：通过时间抽样把连续消息变 换成时间离散的函数，它是未经幅度量化 的抽样脉冲序列，可看成是量化单位Δx趋 近于零的情况来定义和计算连续信源熵。
(2) 连续信源的熵 ① 单变量连续信源数学模型 ② 连续信源的熵 ③ 举例 ④ 连续信源熵的意义
① 单变量连续信源数学模型 单变量连续信源数学模型
两个连续变量的条件熵
Hc(Y/X)p(xy)log2 p(y/x)dxdy R2
Hc(X/Y)p(xy)log2 p(x/y)dxdy R2
3.6.3 几种特殊连续信源的熵 (1) 均匀分布的连续信源的熵 (2) 高斯分布的连续信源的熵 (3) 指数分布的连续信源的熵
(1) 均匀分布的连续信源的熵
1）连续信源熵并不是实际信源输出的绝对熵，是 相对熵
2）连续信源的绝对熵还有一项正的无限大量，虽 然log2(b-a)小于0，但两项相加还是正值，且一般 还是一个无限大量。因为连续信源的可能取值数 有无限多，若假定等概率，确知其输出值后所得 信息量也将为无限大；
3）Hc(X)不能代表信源的平均不确定度，也不能代 表连续信源输出的信息量
（1） 连续信源定义
连续信源：输出消息在时间和取值上都连 续的信源。
例子：语音、电视等。 连续信源输出的消息是随机的，与随机过 程{x(t)}相对应。可用有限维概率密度函数 描述。
(2) 随机过程及其分类
① 随机过程 ② 随机过程的分类
① 随机过程
随机过程定义：随机过程{x(t)}可以看成由 一系列时间函数xi(t)所组成，其中 i=1,2,3,…，并称xi(t)为样本函数。
H c(X1) H c(X 2) L H c(X N )
(2) 高斯分布的连续信源的熵
一维随机变量X的取值范围是整个实数轴R，概
率密度函数呈正态分布，即
p(x) e 1
( x2m2)2
22
m是X的均值
m E[X] xp(x)dx
2是X的方差 2 E[(X m)2] (xm)2 p(x)dx
T
统计平均值：
E(xti
)
xp(t)dx
遍历的随机过程：时间平均与统计平均相等，
即
x(t)E(xti )
3.6.2 连续信源的熵
(1) 计算连续信源熵的两种方法 (2) 连续信源的熵 (3) 连续信源的联合熵、条件熵
(1) 计算连续信源熵的两种方法
第一种方法：把连续消息经过时间抽样和 幅度量化变成离散消息，再用前面介绍的 计算离散信源的方法进行计算。即把连续 消息变成离散消息求信源熵
H c(X ) H c(X1X 2L X N )
L bN aN
b1 a1
p(x)
log 2
p ( x)dx1 L
dxN
L bN aN
b1
1
1
lo g d x L d x a1
N
(bi ai )
2N
1
(bi ai )
N
i1
i1
N
log 2 (bi ai ) i1
N
lo g 2 (bi a i ) i1
当m0时，2就是随机变量的平均功率 P x2p(x)dx
由这样随机变量X所代表的信源称为高斯分布的连续信源。
这个连续信源的熵为
Hc(X) p(x)log2 p(x)dx
p(x)log2
1
e dxog2
22 )dx
p(x)(log2
0
连续信源的熵
H c(X )Rp (x)lo g 2p (x)d x
③举 例
若连续信源的统计特性为均匀分布的概率密度
函数
p(x)b01a
axb xb,xa
则 Hc(X)－abb 1alog2b 1adxlog2(ba)
当(b-a)<1时，Hc(X)<0，为负值，即连续熵 不具备非负性。
④连续信源熵的意义