高等数学-利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分-9-5
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将 zdv 表为柱面坐标下的三次积分_________,
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或二重积分______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________.
为常数 为常数
圆柱面； 半平面；
z 为常数
平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
• M (x, y, z)
z
o
• P(, )
y
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
dv d ddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)d ddz.
r • M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
2、( x 2 y 2 )dv,其中 由不等式
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0所确定.
3、
x2 (
y2
z 2 )dxdydz,
a2 b2 c2
其中
(
x,
y, z)
x2 a2
Hale Waihona Puke Baidu
y2 b2
z2 c2
1
.
三、求曲面z 5 x 2 y 2 及x 2 y 2 4z 所围成的立
1
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所
围,则三重积分 f ( x, y, z)dv 表示成直角坐标下
的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 2、若 由 曲 面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 所 围,
4、若由不等式 x2 y2 (z a)2 a2,x2 y2 z2
所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分:
1、 ( x 2 y 2 )dv,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
1 :
0 4
,
2
2
z
8
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 2
.
2
2
z
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1
I1 d d
§3.3 利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,,，则这样的三
个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 , ( )
z .
• M(x, y,z)
o
•
y
P(, )
x
如图，三坐标面分别为
例５ 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
4 (
2 1)a3 .
0
3
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
（3） 对称性简化运算
思考题
I
2
d
0
3
d
0
4 2
2 zdz
3
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x cos
解
由
y
sin
,
z z
知交线为
2 z2 4
2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
:
2
z
4 2，
3
0 3,
0 2 .
练习题答案
一、1、
2
dx
4 x2
dy
16 x2 y2
f ( x, y, z)dz
2 4 x2
3( x2 y2 )
2
dx
4 x2 dy 3( x2 y2 ) f ( x, y, z)dz ,
2 4 x2
16 x2 y2
2
2
16 r 2
d rdr
f (r cos , r sin , z)dz
若为R3中关于xy面对称的有界闭区域，f ( x, y, z)为 上的连续函数,则
z 当f ( x, y, z)关于____为奇函数时, f ( x, y, z)dv 0; z
当f ( x, y, z)关于____为偶函数时,
2 f ( x, y, z)dv ___ f ( x, y, z)dv
体的体积. 四、曲面 x 2 y 2 az 4a 2 将球体 x 2 y 2 z 2 4az 分
成两部分,试求两部分的体积之比.
五、求由曲面z x 2 y 2 , x y a, x 0, y 0, z 0
所围成立体的重心(设密度 1).
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数 为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
2
1
2、 d rdr
2r2 zdz ,7 ；
0
0
r2
12
3、 dv , (2a x 2 y 2 x 2 y 2 )dxdy,
D
a
2
a
2ar
0
d
rdr
0
r2
dz ；
a
4、
2
d
4 sin cos d
2acos r 3dr, 7 a4.
0
0
0
6
二、1、8 ；
2、4 ( A5 a5 )； 15
dxdydz
0.
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中 是由抛物
面 z x2 y2和球面x2 y2 z2 2所围成的空 间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
且 关于zox 面对称, ( xy yz)dv 0,
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
0
4 5 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
0
0
3r
2
2
3r
d rdr
f (r cos , r sin , z)dz,
0
0
16r2
2
4
d 6 d f (r sin cos ,
0
0
0
r sin sin , r cos )r 2 sindr
2
4
0 d 5 d 0 f (r sin cos ,
6
r sin sin , r cos )r 2 sin dr ；
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
3、4 abc . 5
三、2 (5 5 4) . 3
四、V1
37 a3 6
37 .
V2 27 a3 27
6
五、(2 a, 2 a, 7 a 2 ).
5 5 30
六、 M (a2 h2 ) (其中M a2h为圆柱体的质量).
4
3
D1
8
2 fdz
2
2
d
0
2
4
d
0
8
2 2
2dz
45 3
,
I2 dd
D2
2
2 fdz
2
2
d
0
2
d
0
2
r2
2dz
2
25 , 6
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
dr
d r sin
r
o
d
x
r sin d rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r 2 sin drd d .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
同理 zx 是关于x 的奇函数,
且 关于yoz 面对称, xzdv 0,
由对称性知 x2dv y2dv ,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,
其值为_______.
3、若空间区域 为二曲面x 2 y 2 az 及 z 2a x 2 y 2 所围,则其体积可表为三重积分 _______________; 或二重积分______________; 或柱面坐标下的三次积分___________________.
为常数 为常数
圆柱面； 半平面；
z 为常数
平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x cos ,
y
sin
,
x
z z.
z
• M (x, y, z)
z
o
• P(, )
y
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
dv d ddz,
z
d
d
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f ( cos , sin , z)d ddz.
r • M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
o
则 OA x, AP y, PM z.
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
2、( x 2 y 2 )dv,其中 由不等式
0 a x 2 y 2 z 2 A, z 0所确定.
3、
x2 (
y2
z 2 )dxdydz,
a2 b2 c2
其中
(
x,
y, z)
x2 a2
Hale Waihona Puke Baidu
y2 b2
z2 c2
1
.
三、求曲面z 5 x 2 y 2 及x 2 y 2 4z 所围成的立
1
其中1为在xy面上方的部分.
练习题
一、填空题: 1、若 由曲面z 2 3( x 2 y 2 )和 x 2 y 2 z 2 16 所
围,则三重积分 f ( x, y, z)dv 表示成直角坐标下
的三次积分是_________________;在柱面坐标下 的三次积分是_________________;在球面坐标下 的三次积分是__________________. 2、若 由 曲 面 z 2 x 2 y 2 及 z x 2 y 2 所 围,
4、若由不等式 x2 y2 (z a)2 a2,x2 y2 z2
所确定,将 zdv 表为球面坐标下的三次积分为
_______________________；其值为__________.
二、计算下列三重积分:
1、 ( x 2 y 2 )dv,其中 是由曲面4z 2 25( x 2 y 2 ) 及平面z 5 所围成的闭区域.
所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2 y2 16,
0 2
1 :
0 4
,
2
2
z
8
D2 : x2 y2 4, 2 :
D1 D2
0 2
0 2
.
2
2
z
2
I I1 I2
( x2 y2 )dxdydz ( x2 y2 )dxdydz,
1
I1 d d
§3.3 利用柱面坐标计算三重积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,,，则这样的三
个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 ,
0 2 , ( )
z .
• M(x, y,z)
o
•
y
P(, )
x
如图，三坐标面分别为
例５ 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {( x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
4 (
2 1)a3 .
0
3
3
补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积分区域关于 xoy平面对称，且 被积函数 f ( x, y, z)是关于z的奇函数，则三重积分 为零，若被积函数 f ( x, y, z)是关于z的偶函数，则 三重积分为在 xoy平面上方的半个闭区域的三重 积分的两倍.
2
1
I d dr
2r2 r(2r2 cos2 z2 )dz
0
0
r2
(90 2 89). 60
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标 球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxdydz rdrddz
（2） 球面坐标的体积元素
dxdydz r2 sindrdd
（3） 对称性简化运算
思考题
I
2
d
0
3
d
0
4 2
2 zdz
3
13 . 4
例２ 计算 I ( x2 y2 )dxdydz， 其中
是曲线 y2 2z ，x 0 绕oz 轴旋转一周而成
的曲面与两平面z 2,z 8 所围的立体.
解
由
y
2
2z
绕 oz
轴旋转得，
x0
旋转面方程为 x2 y2 2z,
所围成的立体如图，
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x cos
解
由
y
sin
,
z z
知交线为
2 z2 4
2 3z
z 1, r 3,
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图，
:
2
z
4 2，
3
0 3,
0 2 .
练习题答案
一、1、
2
dx
4 x2
dy
16 x2 y2
f ( x, y, z)dz
2 4 x2
3( x2 y2 )
2
dx
4 x2 dy 3( x2 y2 ) f ( x, y, z)dz ,
2 4 x2
16 x2 y2
2
2
16 r 2
d rdr
f (r cos , r sin , z)dz
若为R3中关于xy面对称的有界闭区域，f ( x, y, z)为 上的连续函数,则
z 当f ( x, y, z)关于____为奇函数时, f ( x, y, z)dv 0; z
当f ( x, y, z)关于____为偶函数时,
2 f ( x, y, z)dv ___ f ( x, y, z)dv
体的体积. 四、曲面 x 2 y 2 az 4a 2 将球体 x 2 y 2 z 2 4az 分
成两部分,试求两部分的体积之比.
五、求由曲面z x 2 y 2 , x y a, x 0, y 0, z 0
所围成立体的重心(设密度 1).
六、求半径为a ,高为h 的均匀圆柱体对于过中心而垂 直于母线的轴的转动惯量 (设密度 1) .
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定：
0 r , 0 , 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数 为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
2
1
2、 d rdr
2r2 zdz ,7 ；
0
0
r2
12
3、 dv , (2a x 2 y 2 x 2 y 2 )dxdy,
D
a
2
a
2ar
0
d
rdr
0
r2
dz ；
a
4、
2
d
4 sin cos d
2acos r 3dr, 7 a4.
0
0
0
6
二、1、8 ；
2、4 ( A5 a5 )； 15
dxdydz
0.
例 6 计算 ( x y z)2dxdydz其中 是由抛物
面 z x2 y2和球面x2 y2 z2 2所围成的空 间闭区域.
解 ( x y z)2
x2 y2 z2 2( xy yz zx)
其中 xy yz 是关于y 的奇函数,
且 关于zox 面对称, ( xy yz)dv 0,
x2 y2 z2 z r, D : x2 y2 a2,
: r z a, 0 r a, 0 2,
I
( x2 y2 )dxdydz
2
a
d rdr
a r 2dz
0
0
r
2 a r 3(a r)dr 2[a a4 a5 ] a5 .
0
4 5 10
例 4 求曲面 x2 y2 z2 2a2与z x2 y2 所围 成的立体体积.
0
0
3r
2
2
3r
d rdr
f (r cos , r sin , z)dz,
0
0
16r2
2
4
d 6 d f (r sin cos ,
0
0
0
r sin sin , r cos )r 2 sindr
2
4
0 d 5 d 0 f (r sin cos ,
6
r sin sin , r cos )r 2 sin dr ；
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
0
0
2
4 0
sin
3
1 5
(
a5 cos5
0)d
a5. 10
解 2 采用柱面坐标
3、4 abc . 5
三、2 (5 5 4) . 3
四、V1
37 a3 6
37 .
V2 27 a3 27
6
五、(2 a, 2 a, 7 a 2 ).
5 5 30
六、 M (a2 h2 ) (其中M a2h为圆柱体的质量).
4
3
D1
8
2 fdz
2
2
d
0
2
4
d
0
8
2 2
2dz
45 3
,
I2 dd
D2
2
2 fdz
2
2
d
0
2
d
0
2
r2
2dz
2
25 , 6
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
设 M(x, y, z) 为空间内一点，则点M 可用
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
dr
d r sin
r
o
d
x
r sin d rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r 2 sin drd d .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解 1 采用球面坐标
解 由锥面和球面围成， 采用球面坐标，
由 x 2 y2 z 2 2a 2
r 2a,
z x2 y2 ,
4 : 0 r 2a, 0 ,
4
0 2,
由三重积分的性质知 V dxdydz,
V
2
d
4 d
2a r 2 sin dr
0
0
0
2
4
sin
(
2a )3 d
同理 zx 是关于x 的奇函数,
且 关于yoz 面对称, xzdv 0,
由对称性知 x2dv y2dv ,
则I ( x y z)2dxdydz
(2x2 z2 )dxdydz,
在柱面坐标下：
0 2, 0 r 1, r2 z 2 r2 ,
投影区域 Dxy ：x2 y2 1,