(完整版)一元二次方程根与系数的关系的关系(含答案)

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系

A基础知识详解——————————————

☆知识点一元二次方程根与系数的关系

B重难点解读—————————

☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值

○随堂例题

例1 已知关于x的方程x2+（2k-1）x+k2-1=0有两个实数根x1、x2．（1）求实数k的取值范围；

（2）若x1、x2满足x12+x22=16+x1•x2，求实数k的值．

（2）∵关于x 的方程x +（2k-1）x+k -1=0有两

个实数根x 1，x 2，∴x 1+x 2=1-2k ，x 1•x 2=k 2

-1．

∵x 12+x 22=（x 1+x 2）2

-2x 1•x 2=16+x 1•x 2，

∴（1-2k ）2-2×（k 2-1）=16+（k 2-1），即k 2

-4k-12=0， 解得k=-2或k=6（不符合题意，舍去）． ∴实数k 的值为-2．

【一中名师点拨】题目中提到两个实数根，即隐含着根的判别式大于等于0；当根据方程中两根的关系确定方程中字母的值，关键是把这种关系式转化为含x 1+x 2及x 1x 2的形式. ○随堂训练

1.（2017烟台）若x 1，x 2是方程x 2-2mx+m 2

-m-1=0的两个根，且x 1+x 2=1-x 1x 2，则m 的值为（ D ）

A ．-1或2

B ．1或-2

C ．-2

D ．1

2.已知关于x 的一元二次方程x 2

+（m+2）x+m=0， （1）求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）若x 1，x 2是原方程的两根，且

2

1

1

1

x x +

=-2，

求m 的值.

解：（1）△=（m+2）2-4m=m 2

+4＞0，∴无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2）∵x 1，x 2是原方程的两根， ∴x 1+x 2=-（m+2），x 1x 2=m ． ∵

2

1

1

1

x x +

=

2121x x x x +=-m

m 2

+=-2，

解得m=2，经检验，m=2是分式方程的解，且符合

题意，∴m 的值为2．

课后达标

基础训练

1.（2017呼和浩特）关于x 的一元二次方程x 2+（a 2

-2a ）x+a-1=0的两个实数根互为相反数，则a 的值为（ B ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．2或0

2.（2017新疆）已知关于x 的方程x 2

+x-a=0的一个根为2，则另一个根是（ A ） A ．-3 B ．-2 C ．3 D ．6

3.已知m ，n 是一元二次方程x 2

-4x-3=0的两个实数根，则代数式（m+1）（n+1）的值为（ D ） A ．-6 B ．-2 C ．0 D ．2

4.已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=11，x 1x 2=30，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ A ）

A ．x 2-11x+30=0

B ．x 2

+11x+30=0

C ．x 2+11x-30=0

D ．x 2

-11x-30=0

5.已知x 1、x 2是方程2x 2+3x-4=0的两根，那么x 1+ x 2= 23- ；x 1·x 2= 2 ；11x +2

1x = 43- ；x 12+ x 22

=

47-

；21x x -= 4

23

-

. 6.已知关于x 的方程x 2

+ax+b+1=0的解为x 1=x 2=2，则a+b 的值为 -1 .

7.以3+2和3-28.已知方程5x 2

+mx-10=0的一根是-5，求方程的另一根及m 的值. 解：设方程的另一个根为k ， 则-5k=-2，解得52k =

，又k-5=5

m -，得m=23.

9.已知关于x 的一元二次方程kx 2

+x-2=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k 的取值范围；

（2）设方程两个实数根分别为x 1，x 2，且满足x 12+x 22

+3x 1•x 2=3，求k 的值．

12（1）求实数m 的取值范围；

（2）若x 1+x 2=6-x 1x 2，求（x 1-x 2）2

+3x 1x 2-5的值． 解：（1）△=（2m-3）2

-4m 2

=4m 2

-12m+9-4m 2

=-12m+9，∵△≥0，∴-12m+9≥0，∴m ≤

4

3； （2）由题意可得x 1+x 2=-（2m-3）=3-2m ，x 1x 2=m 2

，又∵x 1+x 2=6-x 1x 2，∴3-2m=6-m 2

，∴m 2

-2m-3=0，∴m 1=3，m 2=-1，又∵m ≤

4

3，∴m=-1，∴x 1+x 2=5，x 1x 2=1，∴（x 1-x 2）2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2

-4x 1x 2+3x 1x 2-5=（x 1+x 2）2

-x 1x 2-5=52

-1-5=19．

能力提升

11.（2017仙桃）若α、β为方程2x 2-5x-1=0的两个实数根，则2α2

+3αβ+5β的值为（ B ） A ．-13 B ．12 C ．14 D ．15

12.若非零实数a ，b （a ≠0）满足a 2-a-2018=0,b 2

-b-2018=0，则b

a 11+= 2018

1-

. 13.已知关于x 的方程x 2

-（k+1）x+

4

1k 2

+1=0的两根是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为5，求k= 2 .

14.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x+k 2

-2=0的两根为x 1和x 2，且(x 1-2)(x 1-x 2)=0，则k 的值是 -2或-4

.

15.（2017黄石）已知关于x 的一元二次方程x 2-4x-m 2

=0. （1）求证：该方程有两个不等的实根；

（2）若该方程的两实根x 1、x 2满足x 1+2x 2=9，求m 的值．