人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案
《函数的奇偶性》说课稿
《函数的奇偶性》说课稿《函数的奇偶性》说课稿1一、教材分析函数是中学数学的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。
因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
二。
教学目标1.知识目标：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性。
2.能力目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。
3.情感目标：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
三。
教学重点和难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。
四、教学方法为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取：1、通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，激发学生求知欲，()调动学生主体参与的积极性。
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。
五、学习方法1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
六。
教学程序（一）创设情景，揭示课题"对称"是大自然的一种美，这种"对称美"在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。
f（_）= _2 f（_）=__通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数f （_）=_是定义域为全体实数的直线；各函数之间的共性为图象关于轴对称。
【高中数学】高一数学《函数的奇偶性》教案
【高中数学】高一数学《函数的奇偶性》教案课题：1.3.2函数的奇偶性一、 3D目标：与技能：使理解奇函数、偶函数的概念，学会运用定义判断函数的奇偶性。
过程与方法：通过设置问题情境，培养学生的判断和推理能力。
情感态度与价值观：通过绘制和展示优美的函数图象来陶冶学生的情操.通过组织学生分组讨论，培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性和一般性之间的关系，培养学生善于探索的品质。
二、重点和难点：重点：函数的奇偶性的概念。
难点：功能对等的判断。
三、学法指导：学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对功能对等的全面体验和理解。
采用教学与实践相结合的方式，使学生在实践中学习，并及时巩固。
四、知识链接：1.学习轴对称图形和中心对称图形的定义：2.分别画出函数f(x)=x3与g(x)=x2的图象,并说出图象的对称性。
五、学习过程：函数的奇偶性：（1）对于函数，其域与原点对称：如果______________________________________，那么函数为奇函数；如果，那么函数是偶数函数。
（2）奇函数的图象关于__________对称，偶函数的图象关于_________对称。
（3）对称区间上奇函数的增减；对称区间偶函数的增减。
六、达标训练：A1。
判断下列函数的奇偶性。
（1）f（x）＝x4；（2）f（x）＝x5；（3） f（x）＝x＋（4） f＝a2、二次函数()是偶函数,则b=___________.B3。
已知，常数在哪里，如果是，那么_______.B4。
如果该函数是R上定义的奇数函数，则该函数的映像约为（）（a）轴对称（b）轴对称（c）原点对称（d）以上均不对B5。
如果区间上定义的函数是奇数函数，则=__c6、若函数是定义在r上的奇函数，且当时，，那么当什么时候___d7、设是上的奇函数，，当时高中化学，，则等于（）（a） 0.5（b）（c）1.5（d）d8、定义在上的奇函数，则常数____,_____.七、学习总结：本节主要学习了函数的奇偶性，判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称。
函数的奇偶性教学设计
1.3.2函数的奇偶性一、教材分析本节课是高普通高中课程标准试验教科书人教A版数学必修一第一章第三节第二小节函数的奇偶性。
本节内容属于函数领域的知识,是学生学过的函数概念的延续和拓展,又是后续研究其他具体函数的基础,是在高中数学起承上启下作用的核心知识之一。
二、学情分析在此之前，学生已经学习了图形的轴对称和中心对称，以及函数的单调性，这为本节课的学习起着铺垫作用。
从学生思维发展来看，高一学生的思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变，但是抽象概括能力比较薄弱，这对构造奇偶性的概念造成了一定的难度。
三、教学目标1.知识与技能：（1）理解偶函数和奇函数的概念（2）掌握用定义判断函数的奇偶性2.过程与方法：讲授法和观察法：通过师生共同探究，体会数学知识的形成，学会应用数学知识来解决问题。
3.情感态度与价值观：通过对函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力力，渗透数形结合的数学思想。
四、教学重难点教学重点：奇偶函数的定义，用定义判断函数的奇偶性。
教学难点：弄清f(x)和f(−x)的关系，用定义判断函数的奇偶性。
五、教法学法教法：探究式、启发式、多媒体辅助学法：自主探究、合作交流六、教学过程1. 课题引入（1）生活中具有对称性的例子（2）根据对称性将函数图像分类(请同学回答) 2. 探究新知 （1）函数图像将以上函数图像分成两类，一类关于y 轴对称，一类关于原点对称。
（2）根据分类，完成函数值对应表，观察函数值特点关于y 轴对称x… -3 -2 -1 0 1 2 3 … f (x )=x 2 … 9 41 0 1 4 9 …x… -3 -2 -1 0 1 2 3 …f (x )=|x | … 3 210 1 2 3 …课课题引入引发学生兴趣f (x )=x 2f (−x )=x 2=f (x )Oxy||)(x x f f (−x )=|x |=f (x )yyOOxx课探究新知 课问题解决课小结 课作业布置 感受数学探究魅巩固深化学习内知识系统化举一反三灵活应偶函数的定义：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(−x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数。
【公开课】高中数学人教A版(2019) 必修第一册第三章《函数的奇偶性》教案
3.2.2函数奇偶性的教学设计一、教材分析《奇偶性》位于高中数学人教A版（2019）必修第一册第三章3.3.2节。
本节课是在学生学习函数单调性之后，教材从学生熟悉的函数图象情境出发，让学生从形的角度认识函数的奇偶性，从数的角度探究函数奇偶性的本质，再通过数形结合来解决函数的相应问题。
二、学情分析本节课是面对普通班的学生进行讲解的,他们数学基础相对一般，但部分同学思维比较敏捷，大多数同学对数学比较热爱。
学生对函数及对称图形有一定的知识储备，在前面经历过探究和学习函数单调性的过程，对于根据函数的图象转化为数字特征并抽象为数学概念有了初步认识，但是由于初步接触，有一定的困难，为了让大部分学生掌握本节课的知识与方法，能够实现教学目标，突出重点、突破难点，我制定了后面的教学方案。
三、教学目标（一）学科目标1.知识与技能：了解函数的奇偶性的概念和几何意义；学会判断函数的奇偶性；学会运用奇偶性研究函数的图象。
2.过程与方法：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合、分类讨论的思想。
3.情感态度与价值观：展示优美的函数图象加强学生对数学美的体验。
（二）核心素养目标1.数学抽象：函数的奇偶性的定义及图象的对称性；2.逻辑推理：根据偶函数的探究过程，探究和总结奇函数的概念；3.数学运算：判断函数奇偶性过程中的运算；4.直观想象：根据函数解析式画出函数图象、根据函数关于y轴对称画出大致图像研究函数的性质。
5.数学建模：通过具体函数实例，培养学生发现问题解决问题的能力。
四、教学重难点（一）重点：函数奇偶性的概念、简单性质及应用。
（二）难点：感悟数学奇偶性含义的数学抽象过程。
五、教学策略分析（一）.通过观察所展示的函数图象及动态图象演示，让学生形成对奇（偶）函数的直观认识；通过数量关系刻画函数的对称性，得出奇（偶）函数的定义。
是学生在函数奇偶性的数学抽象过程中在轻松愉快的环境下掌握，从而突破教学难点。
人教A版高中数学必修一《函数的奇偶性》教案
函数的奇偶性人教A版必修一第一章第三节课题函数的奇偶性课型新授课课时安排一课时教学目标1、知识目标：〔1〕理解函数奇偶性的概念，掌握推断一些简单函数的奇偶性的方法；〔2〕能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。
2、能力目标：(1)重视根底知识的教学、根本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发觉问题和提出问题，特长独立思考，学会分析问题和制造性地解决问题；(3)通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、德育目标：通过自主探究，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
教学重点函数奇偶性的概念及函数奇偶性的推断教学难点对函数奇偶性定义的掌握和灵敏运用教学方法1、教法依据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采纳以引导发觉法为主，直观演示法、设疑诱导法、类比法为辅的教学方法。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探究问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法让学生在“观察一归纳一应用〞的学习过程中，自主参与知识的产生、开展、形成的过程，使学生掌握知识。
教学过程教学内容师生活动教学设计意图一、创设情境引入观察下面两张图片：①麦当劳的标志②风车问题1：图像有何共同特点？直观感受生活中的对称美。
通过让学生观察图片导入新课，让学生感受到数学来源于生活，数学与生活是紧密相关的，从而激发学生浓厚的学习兴趣。
新课二、师生互动探究新知问题2：你能回忆几类常见函数及图像吗？请找出哪些关于轴对称，哪些关于原点成中心对称。
O①()f x x=②1()f xx=O③2)(xxf=④axf=)(⑤xxf=)(问题3：如何从数学角度，用数学言语来描述这种对称性呢？1、探究定义请作出2)(xxf=的图像，求)(),(),2(),2(),1(),1(afafffff---。
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
《函数的奇偶性》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《函数的奇偶性》教学设计本节讨论函数的奇偶性是描述函数整体性质的。
教材沿用了处理函数单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图像，让学生通过图像直观获得函数奇偶性的认识，然后利用表格探究数量变化特征，通过代数运算，验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立，最后在这个基础上建立了奇（偶）函数的概念。
因此教学时，充分利用信息技术创设教学情景，会使数与形的结合更加自然。
【知识与能力目标】1、使学生从形与数两个方面理解函数奇偶性的概念、图像和性质；2、判断一些简单函数的奇偶性。
【过程与方法目标】1、设置问题情境培养学生判断、观察、归纳、推理的能力。
在概念形成的过程中，渗透数形结合和特殊到一般的数学思想方法；2、通过对函数单调性定义的探究，培养学生的抽象思维的能力。
【情感态度价值观目标】经过探究过程，培养学生严谨论证的良好思维习惯；使学生经历从具体到抽象，从特殊到一般的理性认知过程。
【教学重点】函数奇偶性的概念及其判断。
【教学难点】函数奇偶性的掌握和灵活运用。
通过本节导学案的使用，引导学生对函数奇偶性有个初步的认识，带着问题学习。
(一)创设情景，揭示课题1、实践操作：（也可借助计算机演示）取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图像的图形，然后按如下操作并回答相应问题：○1以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于y轴对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等。
○2以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图像，若能请说出该图像具有什么特殊的性质？函数图像上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图像，并且它的图像关于原点对称；（2）若点（x，f(x)）在函数图像上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图像上，即函数图像上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 知识与技能：理解函数奇偶性的概念，能够判断函数的奇偶性；学会运用函数的奇偶性解决一些简单问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，探索函数奇偶性的性质及其判断方法。
3. 情感态度价值观：培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学的兴趣。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义2. 函数奇偶性的判断方法3. 函数奇偶性的性质三、教学重点与难点：1. 教学重点：函数奇偶性的定义及其判断方法。
2. 教学难点：函数奇偶性的性质及其应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究函数奇偶性的性质；2. 通过实例分析，让学生掌握函数奇偶性的判断方法；3. 利用小组讨论，培养学生的合作能力。
五、教学过程：1. 导入：回顾上一节课的内容，引导学生思考函数的奇偶性与什么有关。
2. 新课讲解：（1）介绍函数奇偶性的定义；（2）讲解函数奇偶性的判断方法；（3）分析函数奇偶性的性质。
3. 例题解析：选取典型例题，分析解题思路，引导学生运用函数奇偶性解决问题。
4. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学内容。
5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置适量作业，巩固所学知识。
注意：在教学过程中，要关注学生的学习反馈，及时调整教学方法和节奏，确保学生能够掌握函数奇偶性的相关知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对函数奇偶性的理解程度，及时发现并解决学生学习中存在的问题。
2. 练习题解答：检查学生完成练习题的情况，评估学生对函数奇偶性知识的掌握情况。
3. 课后作业：批改课后作业，了解学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学反思：1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面、深入，是否适合学生的认知水平。
2. 反思教学方法：根据学生的反馈，调整教学方法，提高教学效果。
3. 反思教学效果：总结本节课的教学成果，找出不足之处，为下一节课的教学做好准备。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。
2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。
2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断方法。
3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的4. 应用实例：分析生活中遇到的函数奇偶性问题，运用函数奇偶性解决问题。
教案示例：一、教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念，掌握判断函数奇偶性的方法。
2. 能够运用函数奇偶性的性质解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性的性质及应用3. 常见函数的奇偶性分析三、教学重点与难点：1. 函数奇偶性的定义与判断方法2. 函数奇偶性与图像的关系四、教学方法与手段：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探索函数奇偶性的性质。
2. 利用多媒体课件，展示函数奇偶性的图像，增强直观感受。
3. 开展小组讨论，促进学生之间的交流与合作。
五、教学过程：1. 导入新课：通过回顾初中阶段学习的函数图像，引导学生发现函数的奇偶性现象。
2. 讲解函数奇偶性的定义与判断方法：讲解函数奇偶性的定义，举例说明判断3. 探究函数奇偶性的性质：引导学生通过小组讨论，发现函数奇偶性与图像的关系。
函数的奇偶性教案
“1.3.2函数奇偶性”教学设计河北省保定市清苑中学 宋志永教材：人教A 版普通高中课程标准实验教科书《数学·必修1》教学目标1、知识目标：使学生理解奇偶性的概念,会利用定义判断简单函数的奇偶性.2、能力目标：在奇偶性概念形成过程中,培养学生的观察、归纳、 类比推理的能力，渗透数形结合、特殊与一般的思想.3、情感态度与价值观：（1）让学生感受数学中的美,激发学习兴趣,培养乐于求索的精神；（2）培养学生积极思考，合作交流的学习方式，理解研究数学问题的基本方法；（3）体验数学的人文价值.教学重点：函数奇偶性概念与函数奇偶性的判断. 教学难点：理解函数奇偶性的概念. 教学用具:多媒体教学方法: “启发式”问题教学法.为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，采用以启发引导的办法，给学生建立有效的思维支架；通过激趣设疑、直观演示触动学生思维；教学中精心设计多个层次分明、逻辑严密、富有实效、符合学生思维能力的问题，诱导学生主动探究思考，从而培养学生高级思维能力.教学基本流程：教学过程设计课堂教学是学生数学知识的获得、技能技巧的形成、智力、能力的发展以及思想品德的养成的主要途径。
（一） 新课导引首先让学生自己折叠纸飞机观察折痕，然后观察两组图形. 列举阴阳太极图的运动，扑克牌、雪花、山河、埃菲尔铁塔、展翅蝴蝶等问题：这些图片美丽吗？有什么共同特征？ 引导学生发现——对称性问题：我们学过的哪些对称？能否把六个图片分类说明一下？ 引导学生回忆轴对称和中心对称概念.让学生把图片分类说明.问题：我们如何用数学知识去研究这些美丽而又和谐的物体的对称性呢？师：启发学生思考数学研究问题的基本过程总结物体共性——抽象成数学模型——利用数学知识证明——解决实际问题 问题：数学中也有美丽的对称图形，请同学们回忆学过哪些图像对称的函数？ 师：引导学生回忆熟悉的对称函数图像，并提出本节课研究的核心问题。
高中数学教案《函数的奇偶性
高中数学教案《函数的奇偶性》章节一：函数奇偶性的概念引入教学目标：1. 理解函数奇偶性的概念；2. 学会判断函数的奇偶性；3. 掌握函数奇偶性的性质。
教学内容：1. 引入奇偶性的概念；2. 举例说明奇偶性的判断方法；3. 总结奇偶性的性质。
教学步骤：1. 引入奇偶性的概念，让学生思考日常生活中遇到的奇偶性例子；2. 给出函数奇偶性的定义，解释奇偶性的判断方法；3. 通过具体例子，让学生学会判断函数的奇偶性；4. 引导学生总结奇偶性的性质。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性概念的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性的判断方法。
章节二：奇函数和偶函数的性质教学目标：1. 理解奇函数和偶函数的性质；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍奇函数和偶函数的性质；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的应用。
教学步骤：1. 回顾奇偶性的概念，引导学生理解奇函数和偶函数的性质；2. 通过具体例子，让学生学会运用奇偶性解决实际问题；3. 总结奇偶性在实际问题中的应用。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对奇偶性性质的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用奇偶性解决实际问题。
章节三：函数奇偶性的判定定理教学目标：1. 理解函数奇偶性的判定定理；2. 学会运用判定定理判断函数的奇偶性。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性的判定定理；2. 举例说明判定定理的运用方法。
教学步骤：1. 引导学生理解函数奇偶性的判定定理；2. 通过具体例子，让学生学会运用判定定理判断函数的奇偶性；3. 总结判定定理的运用方法。
教学评估：1. 课堂提问，了解学生对判定定理的理解程度；2. 布置练习题，让学生运用判定定理判断函数的奇偶性。
章节四：函数奇偶性在实际问题中的应用教学目标：1. 理解函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 学会运用奇偶性解决实际问题。
教学内容：1. 介绍函数奇偶性在实际问题中的应用；2. 举例说明奇偶性在实际问题中的解决方法。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第三章函数概念与性质奇偶性函数奇偶性的概念教案
考点学习目标核心素养函数奇偶性的判断结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，掌握判断函数奇偶性的方法数学抽象，逻辑推理奇、偶函数的图象了解函数奇偶性与函数图象对称性之间的关系直观想象奇、偶函数的应用会利用函数的奇偶性解决简单问题数学运算问题导学预习教材P8２—P8４，并思考以下问题：１．奇函数与偶函数的定义是什么？２．奇、偶函数的定义域有什么特点？３．奇、偶函数的图象有什么特征？１．偶函数（１）定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有—x∈I，且f（—x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数．（２）图象特征：图象关于y轴对称．２．奇函数（１）定义：一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果∀x∈I，都有—x∈I，且f（—x）＝—f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数．（２）图象特征：图象关于原点对称．■名师点拨（１）奇、偶函数定义域的特点由于f（x）和f（—x）须同时有意义，所以奇、偶函数的定义域关于原点对称．（２）奇、偶函数的对应关系的特点１奇函数有f（—x）＝—f（x）⇔f（—x）＋f（x）＝0⇔错误!＝—１（f（x）≠0）；２偶函数有f（—x）＝f（x）⇔f（—x）—f（x）＝0⇔错误!＝１（f（x）≠0）．（３）函数奇偶性的三个关注点１若奇函数在原点处有定义，则必有f（0）＝0．有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；２既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f（x）＝0，x∈I，其中定义域I是关于原点对称的非空集合；３函数根据奇偶性可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数．判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）奇、偶函数的定义域都关于原点对称．（）（２）函数f（x）＝x２的图象关于原点对称．（）（３）对于定义在R上的函数f（x），若f（—１）＝—f（１），则函数f（x）一定是奇函数．（）（４）若f（x）是定义在R上的奇函数，则f（—x）＋f（x）＝0.（）答案：（１）√（２）×（３）×（４）√下列函数为奇函数的是（）Ａ．y＝|x|Ｂ．y＝３—xＣ．y＝错误!Ｄ．y＝—x２＋１４解析：选Ｃ．A、D两项，函数均为偶函数，B项中函数为非奇非偶函数，而C项中函数为奇函数，故选Ｃ．若函数y＝f（x），x∈[—２，a]是偶函数，则a的值为（）A．—２B．２Ｃ．0D．不能确定解析：选Ｂ．因为偶函数的定义域关于原点对称，所以—２＋a＝0，所以a＝２．下列图象表示的函数是奇函数的是________，是偶函数的是________．（填序号）解析：１３关于y轴对称是偶函数，２４关于原点对称是奇函数．答案：２４１３若f（x）是定义在R上的奇函数，f（３）＝２，则f（—３）＝________，f（0）＝________．解析：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（—３）＝—f（３）＝—２，f（0）＝0．答案：—２0函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝|x＋１|—|x—１|；（２）f（x）＝错误!＋错误!；（３）f（x）＝错误!；（４）f（x）＝错误!【解】（１）因为x∈R，所以—x∈R，又因为f（—x）＝|—x＋１|—|—x—１|＝|x—１|—|x＋１|＝—（|x＋１|—|x—１|）＝—f（x），所以f（x）为奇函数．（２）因为函数f（x）的定义域为{—１，１}，关于原点对称，且f（x）＝0，所以f（—x）＝—f（x），f（—x）＝f（x），所以f（x）既是奇函数又是偶函数．（３）f（x）的定义域为[—１，0）∪（0，１]．即有—１≤x≤１且x≠0，则—１≤—x≤１，且—x≠0，又因为f（—x）＝错误!＝—错误!＝—f（x）．所以f（x）为奇函数．（４）f（x）的定义域是（—∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．当x>0时，—x<0，f（—x）＝１—（—x）＝１＋x＝f（x）；当x<0时，—x>0，f（—x）＝１＋（—x）＝１—x＝f（x）．综上可知，对于x∈（—∞，0）∪（0，＋∞），都有f（—x）＝f（x），所以f（x）为偶函数．错误!判断函数奇偶性的两种方法（１）定义法（２）图象法[注意] 对于分段函数奇偶性的判断，应分段讨论，要注意根据x的范围取相应的函数解析式．１．给定四个函数：１y＝x３＋错误!；２y＝错误!（x>0）；３y＝x３＋１；４y＝错误!.其中是奇函数的有（）Ａ．１个B．２个Ｃ．３个D．４个解析：选Ｂ．１函数的定义域为R，f（x）＝x３＋错误!，f（—x）＝—（x３＋错误!）＝—f（x），则函数f（x）是奇函数；２函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；３函数的定义域为R，f（0）＝0＋１＝１≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；４函数的定义域为（—∞，0）∪（0，＋∞），f（—x）＝错误!＝—错误!＝—f（x），则函数f（x）是奇函数．２．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）Ａ．y＝x＋f（x）B．y＝xf（x）Ｃ．y＝x２＋f（x）D．y＝x２f（x）解析：选Ｂ．因为f（x）是奇函数，所以f（—x）＝—f（x）．对于A，g（—x）＝—x＋f（—x）＝—x—f（x）＝—g（x），所以y＝x＋f（x）是奇函数．对于B，g（—x）＝—xf（—x）＝xf（x）＝g（x），所以y＝xf（x）是偶函数．对于C，g（—x）＝（—x）２＋f（—x）＝x２—f（x），所以y＝x２＋f（x）为非奇非偶函数．对于D，g（—x）＝（—x）２f（—x）＝—x２f（x）＝—g（x），所以y＝x２f（x）是奇函数．奇、偶函数的图象已知函数y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）＝x２＋２x.现已画出函数f （x）在y轴左侧的图象，如图所示．（１）请补出完整函数y＝f（x）的图象；（２）根据图象写出函数y＝f（x）的递增区间；（３）根据图象写出使f（x）<0的x的取值集合．【解】（１）由题意作出函数图象如图：（２）据图可知，单调递增区间为（—１，0），（１，＋∞）．（３）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（—２，0）∪（0，２）．１．（变问法）本例条件下，y取何值时，有四个不同的x值与之对应？解：结合图象可知，满足条件的y的取值范围是（—１，0）.２．（变条件）若将本例中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，如何解答本题？解：（１）由题意作出函数图象如图所示：（２）据图可知，单调递增区间为（—１，１）．（３）据图可知，使f（x）<0的x的取值集合为（—２，0）∪（２，＋∞）．错误!巧用奇偶性作函数图象的步骤（１）确定函数的奇偶性．（２）作出函数在[0，＋∞）（或（—∞，0]）上对应的图象．（３）根据奇（偶）函数关于原点（y轴）对称得出在（—∞，0]（或[0，＋∞））上对应的函数图象．[注意] 作对称图象时，可以先从点的对称出发，点（x0，y0）关于原点的对称点为（—x0，—y0），关于y轴的对称点为（—x0，y0）．已知函数y＝f（x）是偶函数，且图象与x轴有四个交点，则方程f（x）＝0的所有实根之和是（）Ａ．４Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0解析：选Ｄ．因为f（x）是偶函数，且图象与x轴有四个交点，所以这四个交点每组两个关于y轴一定是对称的，故所有实根之和为0．利用函数的奇偶性求参数（１）若函数f（x）＝ax２＋bx＋３a＋b是偶函数，且定义域为[a—１，２a]，则a＝________，b＝________．（２）若已知函数f（x）＝错误!是定义在（—１，１）上的奇函数，且f错误!＝错误!，求函数f（x）的解析式．【解】（１）因为偶函数的定义域关于原点对称，所以a—１＝—２a，解得a＝错误!.又函数f（x）＝错误!x２＋bx＋b＋１为二次函数，结合偶函数图象的特点，易得b＝0．故填错误!和0．（２）因为f（x）是定义在（—１，１）上的奇函数，所以f（0）＝0，即错误!＝0，所以b＝0．又因为f错误!＝错误!＝错误!，所以a＝１，所以f（x）＝错误!.错误!利用奇偶性求参数的常见类型及策略（１）定义域含参数：奇、偶函数f（x）的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b ＝0求参数．（２）解析式含参数：根据f（—x）＝—f（x）或f（—x）＝f（x）列式，比较系数即可求解．１．若f（x）＝（ax＋１）（x—a）为偶函数，且函数y＝f（x）在x∈（0，＋∞）上单调递增，则实数a的值为（）Ａ．±１Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．0解析：选Ｃ．因为f（x）＝（ax＋１）（x—a）＝ax２＋（１—a２）x—a为偶函数，所以１—a２＝0．所以a＝±１．当a＝１时，f（x）＝x２—１，在（0，＋∞）上单调递增，满足条件；当a＝—１时，f（x）＝—x ２＋１，在（0，＋∞）上单调递减，不满足．２．已知函数f（x）＝错误!是奇函数，则a＝________．解析：因为f（x）为奇函数，所以f（—１）＋f（１）＝0，即（a—１）＋（—１＋１）＝0，故a＝１．答案：１１．下列函数是偶函数的是（）Ａ．y＝xＢ．y＝２x２—３Ｃ．y＝错误!Ｄ．y＝x２，x∈（—１，１]解析：选Ｂ．对于A，定义域为R，f（—x）＝—x＝—f（x），是奇函数；对于B，定义域为R，满足f（x）＝f（—x），是偶函数；对于C和D，定义域不关于原点对称，则不是偶函数．２．函数f（x）＝错误!—x的图象关于（）Ａ．y轴对称Ｂ．直线y＝—x对称Ｃ．坐标原点对称Ｄ．直线y＝x对称解析：选Ｃ．函数f（x）＝错误!—x是奇函数，其图象关于坐标原点对称．３．已知函数f（x）为R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，则f（—１）＝________．解析：当x＞0时，f（x）＝x２＋错误!，所以f（１）＝１＋１＝２．又f（x）为奇函数，所以f（—１）＝—２．答案：—２４．根据题中函数的奇偶性及所给部分图象，作出函数在y轴另一侧的图象，并解决问题：（１）如图１是奇函数y＝f（x）的部分图象，求f（—４）·f（—２）；（２）如图２是偶函数y＝f（x）的部分图象，比较f（１）与f（３）的大小．解：（１）作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示，观察图象可知f（—４）＝—f（４）＝—２，f（—２）＝—f（２）＝—１，所以f（—４）·f（—２）＝（—２）×（—１）＝２．（２）作出函数在y轴另一侧的图象，如图所示．观察图象可知f（１）＝f（—１），f（３）＝f（—３），f（—１）<f（—３），所以f（１）<f（３）．[A 基础达标]１．下列函数为奇函数的是（）Ａ．y＝x２＋２B．y＝x，x∈（0，１]Ｃ．y＝x３＋x D．y＝x３＋１解析：选Ｃ．对于A，f（—x）＝（—x）２＋２＝x２＋２＝f（x），即f（x）为偶函数；对于B，定义域不关于原点对称，故f（x）既不是奇函数也不是偶函数；对于C，定义域为R，且f（—x）＝（—x）３＋（—x）＝—（x３＋x）＝—f（x），故f（x）为奇函数；对于D，f（—x）＝—x３＋１≠f（x）且f（—x）≠—f（x），故f（x）既不是奇函数，也不是偶函数．２．若函数f（x）＝（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）为偶函数，则m的值是（）Ａ．１B．２Ｃ．３D．４解析：选Ｂ．因为函数f（x）＝（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）为偶函数，所以f（—x）＝f（x），即（m—１）x２＋（m—２）x＋（m２—7m＋１２）＝（m—１）x２＋（—m＋２）x＋（m２—7m ＋１２），即m—２＝—m＋２，解得m＝２．３．设f（x）是定义在R上的一个函数，则函数F（x）＝f（x）—f（—x）在R上一定（）Ａ．是奇函数Ｂ．是偶函数Ｃ．既是奇函数又是偶函数Ｄ．既不是奇函数又不是偶函数解析：选Ａ．F（—x）＝f（—x）—f（x）＝—[f（x）—f（—x）]＝—F（x），符合奇函数的定义．４．如图，给出奇函数y＝f（x）的局部图象，则f（—２）＋f（—１）的值为（）Ａ．—２B．２Ｃ．１D．0解析：选Ａ．由题图知f（１）＝错误!，f（２）＝错误!，又f（x）为奇函数，所以f（—２）＋f（—１）＝—f（２）—f（１）＝—错误!—错误!＝—２．故选Ａ．５．如果函数y＝错误!是奇函数，则f（x）＝________．解析：设x<0，则—x>0，所以２×（—x）—３＝—２x—３．又原函数为奇函数，所以f（x）＝—（—２x—３）＝２x＋３．答案：２x＋３6．已知函数f（x）＝ax３＋bx＋错误!＋５，满足f（—３）＝２，则f（３）的值为________．解析：因为f（x）＝ax３＋bx＋错误!＋５，所以f（—x）＝—ax３—bx—错误!＋５，即f（x）＋f（—x）＝１0．所以f（—３）＋f（３）＝１0，又f（—３）＝２，所以f（３）＝8．答案：87．判断下列函数的奇偶性：（１）f（x）＝３，x∈R；（２）f（x）＝５x４—４x２＋7，x∈[—３，３]；（３）f（x）＝错误!解：（１）因为f（—x）＝３＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（２）因为x∈[—３，３]，f（—x）＝５（—x）４—４（—x）２＋7＝５x４—４x２＋7＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．（３）当x>0时，f（x）＝１—x２，此时—x<0，所以f（—x）＝（—x）２—１＝x２—１，所以f（—x）＝—f（x）；当x<0时，f（x）＝x２—１，此时—x>0，f（—x）＝１—（—x）２＝１—x２，所以f（—x）＝—f（x）；当x＝0时，f（—0）＝—f（0）＝0．综上，对x∈R，总有f（—x）＝—f（x），所以函数f（x）为R上的奇函数．8．定义在R上的奇函数f（x）在[0，＋∞）上的图象如图所示．（１）补全f（x）的图象；（２）解不等式xf（x）>0．解：（１）描出点（１，１），（２，0）关于原点的对称点（—１，—１），（—２，0），则可得f（x）的图象如图所示．（２）结合函数f（x）的图象，可知不等式xf（x）>0的解集是（—２，0）∪（0，２）．[B 能力提升]9．设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）Ａ．f（x）g（x）是偶函数Ｂ．|f（x）|g（x）是奇函数Ｃ．f（x）|g（x）|是奇函数Ｄ．|f（x）g（x）|是奇函数解析：选Ｃ．依题意得对任意x∈R，都有f（—x）＝—f（x），g（—x）＝g（x），因此，f（—x）·g （—x）＝—f（x）·g（x）＝—[f（x）·g（x）]，f（x）g（x）是奇函数，A错；|f（—x）|·g（—x）＝|—f （x）|·g（x）＝|f（x）|·g（x），|f（x）|·g（x）是偶函数，B错；f（—x）·|g（—x）|＝—f（x）·|g（x）|＝—[f（x）|g（x）|]，f（x）·|g（x）|是奇函数，C正确；|f（—x）·g（—x）|＝|—f（x）g（x）|＝|f （x）g（x）|，|f（x）g（x）|是偶函数，D错．故选C.１0．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）—g（x）＝x３＋x２＋１，则f（１）＋g（１）＝（）Ａ．—３Ｂ．—１Ｃ．１Ｄ．３解析：选Ｃ．因为f（x）—g（x）＝x３＋x２＋１，所以f（—x）—g（—x）＝—x３＋x２＋１，又由题意可知f（—x）＝f（x），g（—x）＝—g（x），所以f（x）＋g（x）＝—x３＋x２＋１，则f（１）＋g（１）＝１，故选Ｃ．１１．已知奇函数f（x）＝错误!（１）求实数m的值，并画出y＝f（x）的图象；（２）若函数f（x）在区间[—１，a—２]上单调递增，试确定a的取值范围．解：（１）当x<0时，—x>0，f（—x）＝—（—x）２＋２（—x）＝—x２—２x.又f（x）为奇函数，所以f（—x）＝—f（x）＝—x２—２x，所以f（x）＝x２＋２x，所以m＝２．y＝f（x）的图象如图所示．（２）由（１）知f（x）＝错误!由图象可知，f（x）在[—１，１]上单调递增，要使f（x）在[—１，a—２]上单调递增，只需错误!解得１<a≤３．１２．设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意a、b∈R，当a＋b≠0时，都有错误!>0．（１）若a>b，试比较f（a）与f（b）的大小关系；（２）若f（１＋m）＋f（３—２m）≥0，求实数m的取值范围．解：（１）因为a>b，所以a—b>0，由题意得错误!>0，所以f（a）＋f（—b）>0．又f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（—b）＝—f（b），所以f（a）—f（b）>0，即f（a）>f（b）．（２）由（１）知f（x）为R上的单调递增函数，因为f（１＋m）＋f（３—２m）≥0，所以f（１＋m）≥—f（３—２m），即f（１＋m）≥f（２m—３），所以１＋m≥２m—３，所以m≤４．所以实数m的取值范围为（—∞，４]．[C 拓展探究]１３．已知f（x）是定义在R上的函数，设g（x）＝错误!，h（x）＝错误!.（１）试判断g（x）与h（x）的奇偶性；（２）试判断g（x），h（x）与f（x）的关系；（３）由此你能猜想出什么样的结论？解：（１）因为g（—x）＝错误!＝g（x），h（—x）＝错误!＝—h（x），所以g（x）是偶函数，h （x）是奇函数．（２）g（x）＋h（x）＝错误!＋错误!＝f（x）．（３）如果一个函数的定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和．。
13《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修1)
13《函数的单调性与奇偶性》教学设计(人教A版必修1)【教学目标】1.理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；2.理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；3.理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.【导入新课】1.通过对函数y2某、y3某、y1某及y某的观察提出有关函数单调性的问题.22．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：①以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(某)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(某)的图象，并且它的图象关于y轴对称；（2）若点（某，f(某)）在函数图象上，则相应的点（－某，f(某)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.②以y轴为折痕将纸对折，然后以某轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(某)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？答案：（1）可以作为某个函数y=f(某)的图象，并且它的图象关于原点对称；（2）若点（某，f(某)）在函数图象上，则相应的点（－某，－f(某)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.新授课阶段一、函数的单调性增函数：设函数y=f(某)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量某1，某2，当某1<某2时，都有f(某1)<f(某2)，那么就说f(某)在区间D上是增函数；减函数：设函数y=f(某)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量某1，某2，当某1<某2时，都有f(某1)＞f(某2)，那么就说f(某)在区间D上是减函数.例1如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数yf(某)的图象，根据图象说出yf(某)的单调区间，及在每一单调区间上，yf(某)是增函数还是减函数.解：函数yf(某)的单调区间有5,2,2,1,1,其中yf(某)在区间5,2，1,32,1,3,5上是增函数.注意：1.单调区间的书写2．各单调区间之间的关系以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？例2证明函数f(某)3某2在R上是增函数.证明：设某1,某2是R上的任意两个实数，且某1某2，则某某1某20，yf(某1)f(某2)(3某12)(3某22)3(某1某2)3某0.所以，f(某)3某2在R上是增函数.例3证明函数f(某)1某在(0,)上是减函数.证明：设某1,某2是(0,)上的任意两个实数，且某1某2，则某某1某20yf(某1)f(某2)1某11某2某2某1某1某2.由某1,某2(0,)，得某1某20，且某2某1某0.于是y0.所以，f(某)1某在(0,)上是减函数.利用定义证明函数单调性的步骤：（1）取值；（2）计算某、y；（3）对比符号；（4）结论.二、奇函数、偶函数的概念：1．偶函数一般地，对于函数f(某)的定义域内的任意一个某，都有f(－某)=f(某)，那么f(某)就叫做偶函数.2．奇函数一般地，对于函数f(某)的定义域内的任意一个某，都有f(－某)=f(某)，那么f(某)就叫做奇函数.注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个某，则－某也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.（二）具有奇偶性的函数的图象的特征偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.例4（1）下面四个结论中，正确命题的个数是（A）①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数f(某)为奇函数的充要条件是f(0)0；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（某）=0（某∈R）.A．1B．21某2C．3D．4【提示】①不对，如函数f(某)是偶函数，但其图象与y轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（某）=0〔某∈（－a，a）〕，答案为A.2（2）已知函数f(某)a某b某3ab是偶函数，且其定义域为［a1,2a］，则（）A．a13，b＝0B．a1，b＝0C．a1，b＝0D．a3，b＝0【提示】由f(某)a某2b某3ab为偶函数，得b＝0.又定义域为［a1,2a］，∴(a1)2a0，∴a13．故答案为A.例5判断下列函数的奇偶性：（1）f(某)(某(2)f(某)2某某（3）f(某)2；（4）f(某)2|某2|2某某lg(1某2)(某0)(某0).解：（1）由1某1某0，得定义域为[1,1)，关于原点不对称，∴f(某)为非奇非偶函数. 21某0某21某1，∴f(某)0∴f(某)既是奇函数又是偶函数.(2)2某10222lg(1某)1某0lg(1某)（3）由2得定义域为(1,0)(0,1)，∴f(某)，22某(某2)2|某2|20∵f(某)lg[1(某)2](某)2lg(1某2)某2f(某)，∴f(某)为偶函数.（4）当某0时，某0，则f(某)(某)2某(某2某)f(某)，当某0时，某0，则f(某)(某)2某(某2某)f(某)，综上所述，对任意的某(,)f(某)f(某)，∴f(某)为奇函数.，都有例6若奇函数f(某)是定义在（1，1）上的增函数，试解关于a的不等式：f(a2)f(a24)0.222解：由已知得f(a2)f(a4)，因f(某)是奇函数，故f(a4)f(4a)，于是f(a2)f(4a2).又f(某)是定义在（1，1）上的增函数，从而a24a21a211a2413a21a3aaa2，即不等式的解集是2).例7已知定义在R上的函数f(某)对任意实数某、y，恒有f(某)f(y)f(某y)，且当某0时，f(某)0，又f(1)23.（1）求证：f(某)为奇函数；（2）求证：f(某)在R上是减函数；（3）求f(某)在[3，6]上的最大值与最小值.（1）证明：令某y0，可得f(0)f(0)f(00)f(0)，从而，f(0)=0.令y 某，可得f(某)f(某)f(某某)f(0)0，即f(某)f(某)，故f(某)为奇函数.（2）证明：设某1,某2∈R，且某1某2，则某1某20，于是f(某1某2)0．从而f(某1)f(某2)f[(某1某2)某2]f(某2)f(某1某2)f(某2)f(某2)f(某1某2)0.所以，f(某)为减函数.（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为f(3)，最小值为f(6).f(3)f(3)[f(2)f(1)][2f(1)f(1)]3f(1)2.，f(6)f(6)[f(3)f(3)]4.于是，f(某)在[-3，6]上的最大值为2，最小值为-4.课堂小结1.单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法.2.求函数最值的常用方法有：（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.3.判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.作业见同步练习部分拓展提升1.下列四个函数：①y某某122;②y某某；③y(某1);④y某1某2，其中在(-,0)上为减函数的是（）（A）①（B）④（C）①、④（D）①、②、④2.函数f(某)在(a,b)和(c,d)都是增函数，若某1(a,b),某2(c,d)，且某1某2那么（）A．f(某1)f(某2)B．f(某1)f(某2)C．f(某1)f(某2)D．无法确定3.已知函数f(某)是定义在(2,2)上的减函数，若f(m1)f(2m1)，实数m的取值范围为()A.m>0B.0<m<32C.-1<m<3D.12m324．下列命题中，真命题是（）A．函数y1某是奇函数，且在定义域内为减函数B．函数y某3(某1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C．函数y 某2是偶函数，且在（3，0）上为减函数D．函数ya某2c(ac0)是偶函数，且在（0，2）上为增函数5．若(某)，g(某)都是奇函数，f(某)a(某)bg(某)2在（0，＋∞）上有最大值5，则f(某)在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－36设函数f(某)(2a1)某b是R上的减函数,则a的范围为()A．a12B．a212C．a12D．a127．函数y某b某c(某[0,))是单调函数的充要条件是()A．b0B．b0C．b0D．b0a,bRab08．已知f(某)在区间(,)上是减函数，且，则下列表达正确的是（）A．f(a)f(b)[f(a)f(b)]B．f(a)f(b)f(a)f(b)C．f(a)f(b)[f(a)f(b) ]D．f(a)f(b)f(a)f(b)9．画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1）y某2|某|1（2）y|某2某3|2210．根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数．11.设f(某)是定义在R上的函数，对m、nR恒有f(mn)f(m)f(n)，且当某0时，0f(某)1.（1）求证：f(0)1；（2）证明：某R时恒有f(某)0；（3）求证：f(某)在R上是减函数；（4）若f(某)f(2某)1，求某的范围.参考答案1.A2.D3.B4.C【提示】A中，y1某在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当a0时，ya某2c(ac0)在（0，2）上为减函数，答案为C.5.C【提示】(某)、g(某)为奇函数，∴f(某)2a(某)bg(某)为奇函数.又f(某)有最大值5，∴－2在（0，＋∞）上有最大值3.∴f(某)－2在(,0)上有最小值－3，∴f(某)在(,0)上有最小值－1．答案为C.6.D【提示】2a1<0时该函数是R上的减函数.7.A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象.8.D【提示】ab0可转化为ab和ba在利用函数单调性可得.22某2某1(某0)(某1)2(某0)9.解：(1)y2即y2某2某1(某0)(某1)2(某0)如图所示，单调增区间为(,1]和[0,1]，单调减区间为[1,0]和[1,).（2）当某22某30,得1某3，函数y某22某3(某1)24当某22某30,得某1或某3，函数y某22某3(某1)24，2(某1)4(1某3).即y2(某1)4(某1或某3)如图所示，单调增区间为[1,1]和[3,]，单调减区间为(,1]和[1,3].(1)(2)10.证明：设某1,某2R且某1某2，，则f(某1)f(某2)某23某13(某2某1)(某22某1某2某12),因为某1某2所以某2某10，且在某1与某2中至少有一个不为0，不妨设某20，那么某22某1某2某12(某1某22)234某220，所以f(某1)f(某2)，故f(某)在(,)上为减函数.11.解：(1)取m=0，n=12则f(0)f()f(0)，因为f()0所以f(0)1.111222(2)设某0则某0，由条件可知f(某)0，又因为1f(0)f(某某)f(某)f(某)0，所以f(某)0.∴某R时，恒有f(某)0.（3）设某1某2则f(某1)f(某2)f(某1)f(某2某1某1)=f(某1)f(某2某1)f(某1)=f(某1)[1f(某2某1)].因为某1某2所以某2某10所以f(某2某1)1即1f(某2某1)0，又因为f(某1)0某)[1f，所以f(12某(某)，]所0以f(某1)f(某2)0，即该函数在R上是减函数.(4)因为f(某)f(2某)1，所以f(某)f(2某)f(2某某2)f(0)，所以2某某20，所以某的范围为某2或某0.。
函数的奇偶性 精品教案
课题：1.3.2函数的奇偶性一、教材内容分析“奇偶性”是人教A版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节，本节的主要内容是研究函数的又一条重要性质---函数的奇偶性。
教材从学生熟悉的特殊函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，比较系统地介绍了函数的奇偶性．从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又是为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。
因此，本节课起着承上启下的重要作用。
学习函数的奇偶性，能使学生再次体会到数形结合的思想，培养了学生观察、分析、归纳的能力；初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美。
二、学生学情分析学生是刚从初中进入高中的高一学生，虽然学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形，但由于这节课主要是将学生的直观认识提高为抽象理解，抽象的过程往往是高一学生感觉比较困难的地方。
我校是一所县城普通高中，学生基础非常薄弱，要让学生通过感官认识上升为概念的概括，这是一件很困难的问题，因此在教学设计上针对学生的特点，注意从特殊、直观方面出发，多角度引发学生的思考和探究。
三、教学目标知识目标：了解奇函数与偶函数的概念，会用函数的奇偶性定义来判断函数奇偶性。
能力目标：引导学生探究函数奇偶性的形式化定义的过程，培养学生抽象的概括能力和严谨的逻辑思维能力。
情感目标:通过自主探索，体会数形结合的思想，感受生活中的数学美。
教学重点形成函数奇偶性的形式化定义。
教学难点：利用函数的奇偶性定义判断函数的奇偶性。
四、教学策略设计在内容处理上，本节课充分利用画函数图像的过程(列表、描点、连线)，让学生通过观察图像特征，结合函数值对应表，具体可分为三个步骤：第一，学生动手列表、画图；第二，观察描绘函数的图像特征；第三，结合函数值对应表，利用函数解析式来描述这种变化特征。
教学中重视从学生熟悉的函数入手，从特殊到一般性质的概括过程。
由于函数图像是发现函数性质的直观载体，因此本节课充分借助信息技术创设教学情境，以利于学生通过观察函数图像特征，探究出其定义。
人教版高中数学必修1《函数的奇偶性》教案
§1．3．2函数的奇偶性（1）教学目标：知识目标——理解函数的奇偶性并能熟练应用数形结合的数学思想解决、推导问题；能应用奇偶性的知识解决简单的函数问题。
能力目标——通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想；培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
情感目标—— 通过构建和谐的课堂教学氛围,激发学生的学习兴趣,调动学习积极性；养成积极主动，勇于探索，不断创新的学习习惯和品质。
教学分析：教学重点：函数的奇偶性的概念及其建立过程，判断函数的奇偶性的步骤； 教学难点：对函数奇偶性概念的理解与认识 教学方法：诱思引探鼓励法 教学工具：多媒体课件 教学过程一、 创设情景，激发兴趣（多媒体投放图片） 二、 实例引入，初步感知请比较下列两组函数图象，从对称的角度，你发现了什么 ？2()f x x = ||)(x x f =y 轴对称师：再观察表1和表2，你看出了什么？ 表1x -3 -2 -1 0 1 2 3 f(x)=|x|321 0123表2生：当自变量x 取一对相反数时，相应的两个函数值相等。
三、实验体验，加以体会 【探究】图象关于轴对称的函数满足：对定义域内的任意一个,都有。
反之也成立吗？（超级链接几何画板演示）师：从以上的讨论，你能够得到什么？（师生讨论，共同完善，形成概念，老师板书偶函数定义）一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是偶函数；师：仿此请观察下面两组图象，你能给出关于原点对称的函数图象与式子之间的关系，进而给出奇函数的定义吗？一般地，如果对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么称函数是奇函数。
问题1：具有奇偶性函数的图象的对称如何？师：偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
问题2：函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？师：函数的奇偶性在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性 。
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函数的奇偶性
人教A版必修一第一章第三节
函数的奇偶性课型新授课课时安排一课时1、知识目标：
(1 )理解函数奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法；
(2)能利用函数的奇偶性简化函数图像的绘制过程。
2、能力目标：
(1) 重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
(2) 启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；
(3) 通过教师指导总结知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力。
3、德育目标：
通过自主探索，培养学生的动手实践能力，激发学生学习数学的兴趣，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
1、教法
根据本节教材内容和编排特点，为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体，训练为主线的指导思想，采用以引导发现法为主，直观演示法、设疑诱导法、类比法为辅的教学方式。
教学中，教师精心设计一个又一个带有启发性和思考性的问题，创设问题情景，诱导学生思考，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养思维能力。
2、学法
让学生在“观察一归纳一应用”的学习过程中，自主参与知识的产生、发展、形成的过程，使学生掌握知识。
教学内容师生活动教学设计意图观察下面两张图片:
创设情境引入
直观感受
生活中的对称
美。
①麦当劳的标志②风车
问题1:图像有何共同特点?
通过让学生观察
图片导入新课，让学生
感受到数学来源于生
活，数学与生活是密切
相关的，从而激发学生
浓厚的学习兴趣。
课题
教学
目标
教学函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断重点
教学
难点
对函数奇偶性定义的掌握和灵活运用
教学
方法
教学
过程
①定义
③ 举例 ④ 判断步骤 ⑤ 函数按奇偶性分类
教案设计说明:
本节课内容选自高中数学人教 A 版必修一第一章第三节，本节课主要引导 学生认识函数奇偶性的实质就是函数图像的对称性，它是研究函数性质的主要 方面。
如果我们已知一个函数的奇偶性，就可以推出它在整个定义域的图像和 性质。
在这一节中，数形有着密切的联系，因此，本节课没有一开始就给出定 义，而是通过给出图片让学生先有个直观认识。
为了引导学生由图形的直观认 识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组成的，找出其间的关 系后，建立奇偶函数的概念，再引导学生表述定义。
目的是为了培养学生的观 察、归纳、抽象的能力，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到 理性的认知过程，同时渗透数形结合的数学思想。
最后，通过例题和练习进一 步加深学生对定义的理解。
教学过程中每个环节环环相扣，层层深入。
符合学 生对新知识的认知过程。
教案的设计“以人为本，以学定教”
，教师始终扮演 的
是组织者、引导者、参与者的角色，通过问题教学法，变“教的课堂”为“学 的课堂”，
五、 课外 作业 提升 能力
1、 教材P40练习1.
附加：f(x) . 1—x
x ―1
2、 已知函数f(x)，定义域是x R , 且对任
意实数 a, b 都有
f(a b) f (a b) 2f (a) f (b)， 求证：f (x)
为偶函数。
3、 是否存在整数a,b,c 的值，使函数
2
1
f(x) ax ——1是奇函数，并且
bx c
f(1) 2, f(2) 3，若存在，求出它
们的值，不存在则说明理由。
4、 你能将任一个函数表示为一个奇函 数
与一个偶函数之和吗？
由学生课后独 立完成。
其中第 1题为必做题，
2、3、4题为选
做题。
通过分层作业使 学生进一步巩固本节 课所
学内容，并为学 有余力和学习兴趣浓 厚的学生提供进一步 学习的机会。
第4题 则为下节课作好了铺 垫。
函数的奇偶性
偶函数
奇函数
板书
设计
②特点
关系式 图像
屏幕投影
学生成为课堂学习真正的主人。
学习函数的奇偶性的目的是为了让学生掌握奇、偶函数的图像特征，会用定义判断函数的奇偶性，能利用函数的奇偶性解决一些与现实生活有关的综合问题。
通过对函数奇偶性的理论研究，增强学生对数学美的体验，培养学生乐于求索的精神，形成科学、严谨的研究态度。