一平行线等分线段定理
平行线等分线段定理及证实[精华]
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平行线等分线段定理及证明
附图
定理内容
如果一组等距的平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
经过三角形一边中点且与另一边平行的直线必平分第三边
经过梯形一腰的中点且与底边平行的直线必平分另一腰
第二条定理也做：三角形过一边中点的直线平行第二边平分第三边。
也称“一二三定理”。
第二第三条即常说的“中位线定理”。
定理证明过程
证明如下：
已知：AB∥CD∥EF,GI,JL交AB,CD,EF于点G,J,H,K,I,L.（如右图)
求证：GH:HI=JK:KL
证明：
过点K作G'I'∥GI交AB ,CD ,EF于点G',H' I'.
∵ AB∥CD∥EF,G'I'∥GI
∴ 四边形GHKG',HII'H‘,GII'G是平行四边形（平行四边形判定定理），∠BJK=∠KLI,∠JG'I'=∠G'I'F（内错角相等）
∴△JG'K∽△I'LK,（相似三角形判定），GH=G'H',HI=H'I'（平行四边形对边相等）
∵G'H':H'I'=JK:KL(相似三角形性质）
∴GH:HI=JK:KL（等量代换）
推论1：过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边
推论2：过梯形一腰中点且平行于底边的直线必过另一腰中点。
22.1.4相似形-平行线分线段成比例定理
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一
条直线上截得的线段相等，
A
那么在其他直线上截得的
线段也相等。
B
如图a//b//c，若AB=BC，
C
则DE=EF。
D
a
E
b
F
c
推论 经过三角形一边的
A
中点与另一边平行的直
线必平分第三边。
E
F
在△ABC中，
∵AE=EB，且EF//BC， B
C
∴AF=FC。
平行线等分线段定理的条件
B
C
例2 如图所示,在△ABC中,E,F分别是AB和AC上 的点,且EF∥BC.
(1)如果AE=7,EB=5,FC=4, 那么AF的长是多少?
(2)如果AB=10,AE=6,AF=5, 那么FC的长是多少?
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线截三角形, 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
例1、如图所示,已知AB∥CD∥EF,那么下列结论 正确的是 ( )
A. AD = BC B. BC = DF DF CE CE AD
C. CD = BC D. CD = AD
EF BEEF AF练习：如图，直线 l1∥l2∥l3 ，直线AC、
相邻的两条平行线间的距离相等
一组平行线中相邻两条平行 线间距离不相等,结论如何?
l
三条距离不相等的平行线
A
截两条直线会有什么结果?
B
猜 想 ：
20-21版：一 平行线等分线段定理（创新设计）
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3.推论2
文字 经过梯形一腰的中点且与底边平__行__的直线必平分另一腰 语言
符号 在梯形ABCD中，AD∥BC，E为AB的中点，过E作 语言 EF∥BC，交CD于F，则F_平__分__CD
图形 语言 作用 证明线段相等，求线段的长度
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要点一 平行线等分线段定理
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ课堂讲义
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规律方法 这是平行线等分线段定理在空间 的推广，即：如果一组平行平面在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得 的线段也相等.
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跟踪演练 3 如图所示，四边形 ABCD 中，AB＝ CD，E，F 分别是 BC，AD 的中点，BA，CD 的 延长线分别与 EF 的延长线交于点 M，N. 求证：∠AME＝∠CNE.
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1.如图所示，l1∥l2∥l3，直线 AB 与 l1，l2，l3 相
交于 A，E，B，直线 CD 与 l1，l2，l3 相交于 C，
E，D，AE＝EB，则有( )
A.AE＝CE
B.BE＝DE
C.CE＝DE
D.CE>DE
解析 由平行线等分线段定理知CE＝ED.
答案 C
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(2)当 l1 与 l2 异面时，如图， 在直线 l2 上取一点 G，过点 G 作 l3∥l1，设 l3
与平面 α，β，γ分别相交于 P，Q，R.
则 l1 与 l3 确定一个平面π1，l3 与 l2 确定一个平 面π2.在平面π1 中，连接 AP，BQ，CR，则由 面面平行的性质可知 AP∥BQ∥CR.由 AB＝ BC，得 PQ＝QR；同理在平面π2 中，就可证 明 DE＝EF.综上，DE＝EF.
平行线等分线段定理 课件
图 1－1－4
【思路探究】
【自主解答】 在△AEC 中， ∵AF＝FC，GF∥EC， ∴AG＝GE. ∵CE∥FB， ∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E. 又 BD＝DC， ∴△BDG≌△CDE. 故 DG＝DE，即 GE＝2DE， 因此 AG＝2DE.
1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位 线定理来解决问题．
图 1－1－3
【证明】 ∵▱ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O， ∴OA＝OC，OB＝OD. ∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a， ∴AA′∥OO′∥CC′. ∴O′A′＝O′C′， 同理：O′D′＝O′B′， ∴A′D′＝B′C′.
如图 1－1－4，在△ABC 中，AD，BF 为中线， AD，BF 交于 G，CE∥FB 交 AD 的延长线于 E.
2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构 造平行线等分线段定理的推论 2 的基本图形，进而进行几何 证明或计算．
如图 1－1－7，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，BC＝2AD， E，F 分别是 AB，CD 的中点，EF 交 BD 于 G，交 AC 于 H. 求证：EG＝GH＝HF.
图 1－1－7
平行线等分线段定理
1．平行线等分线段定理 (1)文字语言：如果一组平行线在 一条直线 上截得的线 段相等，那么在 其他直线 上截得的线段也 相等 ．
(2)图形语言
图 1－1－1 如图 1－1－1，l1∥l2∥l3，l 分别交 l1，l2，l3 于 A， B，C，l′分别交 l1，l2，l3 于 A1，B1，C1，若 AB＝BC， 则 A1B1＝B1C1 .
1．本题中由 AC⊥AB，DB⊥AB 知 AC∥DB，联想到作 OE⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点 E 是 AB 的中点．
(4)平行线分线段成比例
G
4 如图,已知直线 a∥b∥c,直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、
C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则 DF 等于( A.7 C.8 B.4.5 D.8.5
)
活动六：小结
平行线分线段成比例定理： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
A B C D E F a b c C A (D ) B E F a b c
E F
b
b
c
C
F
c
活动四：用一用
例1 .已知： a∥b∥c 则:
AB BC AB DE
( DE ) ( EF )
BC AC
(AC )
( EF ) ( DF)
F
A B
D
E
a b
( BC) ( EF)
C c
( DF )
例2.教材第71页例题
M
A E
N
D
B
C
E E
M
F D
A
A
N
推论：
B B
C
平行于三角形一边的直线截其他两边 （或两边延长线），所得的对应线段成比例
复习引入
1.平行线等分线段定理
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条 直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截 得的线段也相等
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 直线，必平分另一腰。
推论2
经过三角形一边的中点与另一 边平行的直线，必平分第三边。
A E
D
？
A F
？ E C ？F ？ B C
B
图1
符号语言：
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC， AE=EB ∴DF=FC
平行线等分线段定理
l1
A
l2
B
l3
C
A1 B1 C1
平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线
上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
AD
A
E ？F
E ？F
？
？
B
图4
C
B
图5
C
推论1 经过梯形一腰的中点与底平行的 推论2 经过三角形一边的中点与另一
直线，必平分另一腰。
边平行的直线，必平分第三边。
符号语言：
1）已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=90。M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB于点E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC A ∴AE=EB
B E
易证ME是AB的垂直平分线
2）如图 ，已知AC AB，DB AB，O为CD中点，
求证：OA=AB
D
证明：过O做OE AB于E
A FH
GB
E
C
证明： 四边形ABCD是平行四边形
AD//BC AD=BC
DF=1/2AD
BE=1/2BC
四边形FDEB是平行四边形
BF//DE AF=DF
AH=HG 同理CG=HG
AH=HG=CG
练习题
辅助线点滴： 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 平行线等分线段定理 及推论的基本图形。
符号语言
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB
∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB
∴DF=FC
∴AF=FC
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。
作法：１）作射线ＡＣ。
初中数学—平行线等分线段定理
求证: B1B2=B2B3. 证明: (1) 当 l//l 时 (如图), ∵l1//l2//l3,
l l
A1 B1
l1
∴ A1A2B2B1, A2A3B3B2
A2 B2
l2
都是平行四边形, ∴ A1A2=B1B2, A2A3=B2B3,
A3
B3
l3
又∵A1A2=A2A3, ∴B1B2=B2B3.
思想: 借助平行四
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
画法: (1) 连接 AB; (2) 在钢板上另作一射线
AC; (3) 在 AC 上取 AD=DE
=EF=FG;
B PQ R A DE F G C
(4) 连接 GB;
(5) 分别过点 D, E, F 作 GB 的平行线, 交 AB
通过证明
例 1. 如图, 要在一块钢板上的 A、B 两个小孔
间再钻三个小孔, 使这些小孔都在直线 AB 上, 并且
每两个相邻的小孔中心的距离相等, 如果只有圆规和
无刻度直尺, 应当怎样确定小孔的中心位置?
思路: 工具中直尺无刻度,
B
不便于度量 AB 的长度.
因为平行线可以等分线段, A
所以考虑过 A 作一条不与 AB 重合的射线 AC, 在 AC 上则可
交
A1 A2
又∴∵∠AB11AB22=CA1=2A∠3,B2B3C2; ③ A3
∴由B①1C②1=③B得2C△2. B1C①1B2≌△B2C2B3,
l3于C2.
l l 思想B1: l1
为平变行CC1非.2 B平B2 3行ll23
∴B1B2=B2B3.
结论: 如果一条直线被三条平行直线截得的线段相等, 那么这三条平行线截其他直线所得的线段也相等.
平行截割定理-高中数学知识点讲解
平行截割定理1．平行截割定理【知识点的知识】1、平行线等分线段定理定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．推论 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．推论 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．2、平行线分线段成比例定理定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．3、相似三角形的判定定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形．相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．4、两个直角三角形相似的判定定理：①如果两个直角三角形的一个锐角对应相等，那么它们相似．②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．5、相似三角形的性质性质定理：①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；②相似三角形周长的比等于相似比；③相似三角形面积的比等于相似比的平方；④相似三角形外接圆（或内切圆）的直径比、周长比等于相似比，外接圆（或内切圆）的面积比等于相似比的平方．6、直角三角形的射影定理直角三角形的斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项；两条直角边分别是他们在斜边上射影与斜边的比例中项．。
平行线分线段成比例定理
如图，有一块形状为直角梯形的草地，周围均为水泥 如图，有一块形状为直角梯形的草地， 直道，两个拐角A 处均为直角， 直道，两个拐角A、B处均为直角，草地中间另有一条水泥 直道EF垂直于AB 垂足为E.已知AE EF垂直于AB， E.已知AE长 EB长 DF长 直道EF垂直于AB，垂足为E.已知AE长a米，EB长b米，DF长 c米.求CF.
要熟悉该定理的几种基本图形
A B C D B C A E F E D D E F C A B B C C E D B A E F A B E D
F D
C A
16 16 8 CF = DE = , BF = 8= . 3 3 3
B
F
C
例2:三角形内角平分线分对边成两线 三角形内角平分线分对边成两线 这两线段和相邻的两边成比例. 段,这两线段和相邻的两边成比例 这两线段和相邻的两边成比例
A
4 3
E
已知： 是 已知：AD是△ABC中∠A的平 中 的平 分线， 分线， BD AB 求证： 求证：DC
课 堂 小 结
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？ 定理有何联系？
A B D E
AB 当 =1 BC AB 当 ≠1 BC
A B
D E
C
F
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！ 结论：后者是前者的一种特殊情况！ 平行线分线段成比例定理： 平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 对应线段成比例 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
l4
l5
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 如何不通过测量，运用所学知识， 子分成两部分，使这两部分之比是2:3? 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
平行线等分线段定理
一、平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 二、平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．例1．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连结AE 交CD 于F ，FG ∥AD 交DE 于G . 求证：FC =FG .证明：在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE. ∴CF AB ＝FGAD .∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG .例2．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交 AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA=3∶1，BC=10，则AE 的 长为_________.解：∵AE ∥BC,∴△BGF ∽△AGE.∴BF ∶AE=BG ∶GA=3∶1. ∵D 为AC 中点，1AE ADCF DC∴== ∴AE=CF.∴BC ∶AE=2∶1.∵BC=10,∴AE=5.三、相似三角形的判定及性质判定定理判定定理1 两角对应相等的两个三角形相似；判定定理2 三边对应成比例的两个三角形相似；判定定理3 两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似.性质定理1 相似三角形对应边上的高、中线和它们周长的比都等于相似比；性质定理2 相似三角形的面积比等于相似比的平方．推论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方．射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项.。
人教版数学高二A版选修4-1教材梳理第一讲一平行线等分线段定理
庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线等分线段定理1.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么这组平行线在其他直线上截得的线段也相等.用符号语言表述是:已知a∥b∥c，直线m、n分别与a、b、c 交于点A、B、C和A′、B′、C′(如图1-1-2)，如果AB=BC，那么A′B′=B′C′.图1-1-2 图1-1-32.对于定理的证明，如图1-1-3所示，分m∥n和m不平行于n两种情况证明.当m∥n时，直接运用平行四边形加以证明；当m不平行于n时，利用辅助线构造相似三角形，进而得到关系式.3.定理的条件是a、b、c互相平行，构成一组平行线，m与n可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a、b、c相交，即被平行线a、b、c所截.平行线的条数还可以更多.方法点拨定理图形的变式:对于3条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化(如图1-1-4):如果已知l1∥l2∥l3，AB=BC，那么根据定理就可以直接得到其他直线上的线段相等.也就是说，直线DE的位置变化不影响定理的结论.图1-1-44.定理的作用：利用本定理可将一线段分成n等分，也可以证明线段相等或转移线段的位置.图1-1-5误区警示平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行.这一命题是错误的，如图1-1-5.二、平行线等分线段定理的推论1.平行线等分线段定理的推论有两个，其中一个是经过三角形一边的中点，与另一边平行的直线必平分第三边；另一个是经过梯形一腰的中点，与底边平行的直线必平分另一腰.2.两个推论的证明如下:推论1:如图1-1-6(1)，在△ACC′中，AB=BC，BB′∥CC′,交AC′于B′点，求证:B′是AC′的中点.证明:如图1-1-6(2)，过A作BB′与CC′的平行线，∵a∥b∥c，AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有AB′=B′C′，即B′是AC′的中点.图1-1–6推论2:如图1-1-7(1)，已知在梯形ACC′A′中，AA′∥CC′，AB=BC，BB′∥CC′，图1-1-7求证:B′是A′C′的中点.证明:∵梯形ACC′A′中AA′∥CC′，BB′∥CC′，∴AA′∥BB′∥CC′.又∵AB=BC，∴由平行线等分线段定理，有A′B′=B′C′，即B′是A′C′的中点.问题·探究问题 1 平行线等分线段定理与它的两个推论之间有着密切的联系，那么如何理解这种联系？思路:只要将平行线等分线段定理的图形中的直线只留下交点之间的部分，即可产生两个推论的图形，或者将两个推论中的线段延长成为直线，也可变成平行线等分线段定理的图形. 探究:平行线等分线段定理与它的两个推论之间的关系可以直观地表示如图1-1-8:图1-1-8问题2 三角形中位线是三角形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明三角形中位线定理呢？思路:连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，这里要明确三角形的中位线和三角形的中线不同(如图1-1-9).三角形中位线定理的内容是:三角形中位线平行于第三边，并且等于它的一半.图1-1-9探究:证明:如图1-1-9，DE 是中位线，E 是AC 的中点，过点D 作DE′∥BC ，则E′也是AC 的中点，所以E 与E′重合，DE′与DE 重合.所以DE ∥BC.同理，过点D 作DF ∥AC ，交BC 于F ，则BF=FC.因为DE ∥FC ，DF ∥EC ，所以四边形DFCE 是平行四边形.所以DE=FC.又因为FC=21BC ，所以DE=21BC. 上述过程中，DE′与DE 重合是定理证明的关键一步，本推理过程中应用了同一法思想.该定理的证明，关键在于添加辅助线，如图1-1-10所示的几种辅助线代表几种不同的证法.（1）(1)延长中位线DE 到F,使EF=DE.（2）(2)延长中位线DE 到F,使EF=DE 得ADCF.(3)作CF ∥AB 与DE 的延长线交于点F.图1-1-10三角形中位线定理是三角形的一个重要的性质定理，其特点是:同一题设，两个结论.一个结论是表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用时不一定同时需要两个关系，有时需要平行关系，有时要求倍分关系，可由具体情况按需选用.事实上，平行线等分线段定理的推论1:经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边，即三角形中位线判定定理.问题3 梯形中位线是梯形中的重要线段，它的性质可以为许多问题的证明和求解提供依据，在几何中有着举足轻重的地位，那么如何证明梯形中位线定理呢？梯形中位线定理与三角形中位线定理有什么内在联系？思路:梯形中位线的定义是：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.这里要强调梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底中点的线段.梯形中位线定理的内容是:梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.该定理证明的关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化成三角形的中位线.探究:设法把梯形中位线转化为三角形中位线.图1-1-11如图1-1-11，欲使MN 成为某一个三角形的中位线，则梯形的一腰一定是三角形的一边，而三角形的另一边一定过梯形另一腰的中点.梯形的一个底应在三角形的第三边上，若连结AN 并延长交BC 的延长线于E(梯形的这种辅助线也经常用到)，就能得到这样的△ABE.这时只要证明AN=EN ，AD=EC ，问题就解决了.关于梯形中位线与三角形中位线的一致性:由梯形中位线公式MN=21(BC ＋AD)，可知当AD 退缩为一点时,其长度为零,则公式变为MN=21BC.这就是三角形的中位线公式,这体现了梯形中位线和三角形中位线的联系和一致性，反映了它们之间的辩证关系.平行线等分线段定理的推论2“过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰”，即梯形中位线.或说成“过梯形一腰的中点与底边平行的直线为梯形的中位线”，利用它可以判定某一线段为梯形中位线.典题·热题例1如图11-1-2，已知在△ABC 中，D 是AC 的中点，DE ∥BC 交AB 于点E ，EF ∥AC 交BC 于点F.求证:BF=CF.图1-1-12思路分析：根据D 是AC 的中点，利用平行，得到E 是AB 的中点，再利用平行即可得到F 是BC 的中点.证明：在△ABC 中，∵D 是AC 的中点，DE ∥BC ，∴E 是AB 的中点(经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边).又∵EF ∥AC 交BC 于F ，∴F 是BC 的中点，即BF=FC.深化升华 在三角形中，只要给了一边的中点和平行线，根据平行线等分线段定理的推论2，就可得出平行线与另一边的交点即是中点.本题也可以利用平行四边形和全等形来证明，但会显得麻烦.例2求证:在直角梯形中，两个直角顶点到对腰中点的距离相等.如图11-1-3，已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC=90°，E 是AB 边的中点，连结ED 、EC.求证:ED=EC.图1-1-13思路分析：在梯形中，若已知一腰的中点，一般过这点作底边的平行线即可得到另一腰的中点.所以由E是AB边的中点，作EF∥BC交DC于F，即可得EF⊥DC，从而利用线段中垂线的性质得到结论.证明：过E点作EF∥BC交DC于F.∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AD∥EF∥BC.∵E是AB的中点，∴F是DC的中点(经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰). ∵∠ADC=90°，∴∠DFE=90°.∴EF⊥DC于F.又F是DC中点，∴EF是DC的垂直平分线.∴ED=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等).方法归纳证明不在同一直线上的两条线段相等，可以根据等腰三角形的两腰相等，或者根据全等三角形对应边相等来证明.例3在ABCD中，E和F分别是BC和AD边的中点，BF和DE分别交AC于P、Q两点，求证:AP=PQ=QC.图1-1-14思路分析：在△ADQ中，F是AD的中点，只要证明FP∥DQ，即可由推论1得AP=PQ；同理在△CPB中，根据E是BC的中点，EQ∥BP，由推论1得CQ=PQ，由此得到结论.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、AD边上的中点，∴四边形BEDF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形).∵在△ADQ中，F是AD的中点，FP∥DQ，∴P是AQ的中点.∴AP=PQ.在△CPB中，E是BC的中点，EQ∥BP.∴Q是CP的中点.∴CQ=PQ.∴AP=PQ=QC.深化升华本题两次利用了E、F是中点的条件，在利用平行线等分线段定理或推论时要把平行和中点两个条件摆齐.例4已知在△ABC中，CD平分∠ACB，AE⊥CD于E，EF∥BC交AB于F.求证:AF=BF.图1-1-15思路分析：一般情况下，几何图形应具有对称的内在美，当感觉到图形有些缺点时，就要添加适当的辅助线，使其完善.本题中，AE⊥CE于E，恰在三角形内部，而Rt△AEC又不好用,所以延长AE使它与BC相交就势在必行了.证明：延长AE交BC于M.∵CD是∠ACB的平分线，AE⊥CE于E,∴在△AEC与△MEC中,EC=CE,∠AEC=∠MEC=90°，∠ACD=∠MCD.∴△AEC ≌△MEC.∴AE=ME.∴E 是AM 的中点.又在△ABM 中FE ∥BC,∴点F 是AB 边的中点.∴AF=BF.方法归纳 作辅助线的常用方法有延长某线段与另外的线段相交，连结两点，过一点作另外一条线段的平行线，过一点作另外一条线段的垂线等.例5如图11-1-6,以梯形ABCD 的对角线AC 及腰AD 为邻边作ACED ，DC 的延长线交BE 于F,求证:EF=BF.图1-1-16思路分析：在△EAB 中，OF ∥AB.要说明EF=BF ，只要说明O 是AE 的中点，而O 是平行四边形对角线的交点，根据平行四边形的对角线互相平分性质，可以知道O 是AE 的中点，于是问题得证.证明：连结AE 交DC 于O,∵四边形ACED 是平行四边形,∴O 是AE 的中点(平行四边形对角线互相平分).∵四边形ABCD 是梯形,∴DC ∥AB. 在△EAB 中，OF ∥AB,又O 是AE 的中点，∴F 是EB 的中点.∴EF=BF.深化升华 证题时，当一个条件有几个结论时,要选择与其有关联的结论.本题可延长EC ，在梯形ABCD 内构造平行四边形，或以AB 、BE 、AD 的延长线为边构造梯形也可以得证. 例6如图1-1-17，ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，OE ∥AB 交BC 于E ，AD ＝12，求BE 的长.图1-1-17思路分析：首先由平行四边形的性质得到O 是AC 的中点，利用平行得E 是BC 的中点，于是BE 应等于BC 的一半，BC 的长度可以由AD 获得.解：∵ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，BC ＝AD.∵AB ∥DC ，OE ∥AB ，∴DC ∥OE ∥AB.又∵AD ＝12，∴BE ＝EC ＝21BC ＝21AD ＝6.。
平行线等分线段定理
∵AC⊥AB,DB⊥AB,
∴OE∥AC∥DB.
∵O为CD的中点,
∴E为AB的中点.
又OE⊥AB,∴OA=OB.
反思证明两线段相等,往往借助于平行线等分线段定理,转化为证
明其他线段相等.这种等价转化的思想要认真领会使用.
题型一
题型二
题型三
【变式训练2】 如图,已知在梯形ABCD
(3)连接D5B;
(4)分别过D1,D2,D3,D4作D5B的平行线D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别
交AB于点A1,A2,A3,A4,则点A1,A2,A3,A4将线段AB五等分.
题型一
题型二
题型三
证明:过点A作MN∥D5B.
则MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5.
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点A1,A2,A3,A4就是所求的线段AB的五等分点.
反思将已知线段AB分成n等份的解题步骤如下:
(1)作射线AC(与AB不共线);
(2)在射线AC上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn;
(3)连接DnB;
(4)分别过点D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1作DnB的平行线,分别交AB于点
【例3】 如图,在梯形ABCD中,AB∥DC,E为AD的中点,EF∥BC.求
证:BC=2EF.
分析:由于EF∥BC,联系所证明的结果是BC=2EF,由此想到三角
形中位线定理,过点A作BC的平行线即可证明.
题型一
题型二
题型三
证明:如图,过点A作BC的平行线AG,交DC于点G.
八年级上册数学-平行线等分线段
. .
B
D F . . H
G
A
例 3：
证 D 明 如图，在三角形ABC中，在CA的延 长线上取一点D，使DA=1/2CA，E 为BC的中点，DE交AB于F，过F引 FG垂直于DE与CB的延长线交于G。 求证：GD=GE
G B
A F H
E
C
证明： 四边形ABCD是平行四边形 AD//BC AD=BC DF=1/2AD BE=1/2BC 四边形FDEB是平行四边形 AH=HG 同理CG=HG BF//DE AF=DF
a
b
平行线等分线段定理：
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等，那么在其它直线上截 得的线段也相等。
思考：我们学过有关平行线的那些知识？
1 ）平行线的三线八角
。
2）平行线间的平行线段
。
已知：直线a//b//c,AB=BC. 求证：DE=EF D E F H
分析过程：
ＤＥ＝ＥＦ
G
a b c
A B C
ＥＧ＝ＥＨ
ＡＢ＝ＧＥ ＢＣ＝ＥＨ ＡＢ＝ＢＣ
Ａ A Ｅ E Ｂ B
Ｄ D Ｆ F Ｃ C
Ａ A Ｄ D B Ｂ Ｅ E ＣC
推论１： 经过梯ห้องสมุดไป่ตู้一腰中点与 底平行的直线，必平 分另一腰。
推论２： 经过三角形一边的中点与另 一边平行的直线必平分第三 边。
ＨＣ
例题讲解：
已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点。 作法：１）作射线ＡＣ。 Ｍ Ｄ Ａ Ｎ Ｅ
求证：OA=AB 证明：过O做OE AB于E AC AB DB AB AC//OE//BD OC=OD
AB，O为CD中点，
D
（2题） O
一-平行线等分线段定理
1、如图△ABC中点D、E三等分AB，
D
DF∥EG∥BC，DF、EG分别交AC于点 E
F、G，则点F、G三等分AC ( ) B
2、四边形ABCD中，点M、N分别在AB、
CD上若AM=BM、DN=CN 则
A
AD∥MN∥BC ( )
M
F G C D
N
3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 B
的距离都相等，则这组平行线能等分线
段。 ( )
A
4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么
B
AB=BC=DE=EF ( )
C
C
D l1
E l2 F l3
例 如图,要在一块钢板上 的A、B两个小孔间再钻 三个小孔，使这些小孔 都在直线AB上，并且每 两个小孔中心的距离相 等.如果只有圆规和无刻 度直尺,应当怎样确定小 孔的中心位置?
B1B2=B2B3
其它情况
图1
图2
图3
图4
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相 等,那么在其他直线上截得的线段也相等.
两相邻平 行线间的 距离相等
② ①
推论1
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边.
推论2
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线 平分另一腰.
A
分析：过M点作ME∥AD交AB
于又点∵E在梯形ABCD中，MD有=M线C段A 中点时E ，常B过
该点作平行线，构造
∴AE=EB
平行线等分线段定理
易证ME是AB的垂直平分线及推论的基本图形。
做一做 利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理
D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点. 求证:DE//BC且 DE 1 BC
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思考推论 2 有什么应用?
提示:平行线等分线段定理的推论 2“过梯形一腰的中点,且与底边平行 的直线平分另一腰”,即梯形中位线,或说成“过梯形一腰中点与底边平行的 线段为梯形的中位线”,利用它可以判定某一线段为梯形中位线.
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探究一 任意等分已知线段
将已知线段 AB 分成 n 等份的步骤: (1)作射线 AC(与 AB 不共线); (2)在射线 AC 上以任意取定的长度顺次截取 AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn; (3)连接 DnB; (4)分别过点 D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1 作 DnB 的平行线,分别交 AB 于点 A1,A2,…,An-2,An-1,则点 A1,A2,…,An-2,An-1 将线段 AB 分成 n 等份.
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【典型例题 1】 如图所示,已知线段 AB,求作线段 AB 的五等分点,并予 以证明.
思路分析:利用平行线等分线段定理来作图.
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图形 语言
作用 证明线段相等,求线段的长度
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总结三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且
等于第三边的一半.
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第一讲 相似三角形的判定及有关性质
-1-
一 平行线等分线段定理
-2-
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课程目标
1.能记住并掌握平行线等分线 段定理,认识它的变式图形. 2.能运用平行线等分线段定理 任意等分已知线段,能运用推论 进行简单的证明或计算. 3.进一步体会三角形中位线定 理的应用. 4.掌握平行线等分线段定理的 应用.
于点 A1,A2,A3,A4,则点 A1,A2,A3,A4 将线段 AB 五等分.
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证明:过点 A 作 MN∥D5B.
则 MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
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点拨(1)平行线等分线段定理的条件是 a,b,c 互相平行,构成一组
平行线,m 与 n 可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线 a,b,c 相交, 即被平行线 a,b,c 所截. (2)平行线的条数还可以更多,可以推广.
(3)平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相 等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(如图)
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语 A',B',C',且 AB=BC,则 A'B'=B'C'
言
图
形
语
言
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变式 图形
作用
证明同一直线上的线段相等
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规律小结本题是利用平行线等分线段定理求已知线段的
等分点,在等分已知线段时注意这类方法的运用.
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探究二 证明线段相等
平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用,在没有线段 的中点时,要先构造线段的中点.
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3.推论 2
文
字 语
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰
言
符 号 在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 AB 的中点,过 E 作 EF∥BC,交 CD 于 F,
语 言 则 F 平分 CD
图 形 语 言
作 用
证明线段相等,求线段的长度
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学习脉络
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点 HONGDIAN NANDIAN
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1.平行线等分线段定理
文
字
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么
语
在其他直线上截得的线段也相等
言
符
号
已知 a∥b∥c,直线 m,n 分别与 a,b,c 交于点 A,B,C 和
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2.推论 1
文字 语言
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
符号 在△ABC 中,D 为 AB 的中点,过 D 作 DE∥BC,交 AC 于 E,则 E 平分 AC 语言
∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5,
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点 A1,A2,A3,A4 就是所求的线段 AB 的五等分点.
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探究四
解:(1)作射线 AC;
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(2)在射线 AC 上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5; (3)连接 D5B; (4)分别过 D1,D2,D3,D4 作 D5B 的平行线 D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交 AB