一平行线等分线段定理

第一讲 相似三角形的判定及有关性质
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一 平行线等分线段定理
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课程目标
1.能记住并掌握平行线等分线 段定理,认识它的变式图形. 2.能运用平行线等分线段定理 任意等分已知线段,能运用推论 进行简单的证明或计算. 3.进一步体会三角形中位线定 理的应用. 4.掌握平行线等分线段定理的 应用.
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2.推论 1
文字 语言
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边
符号 在△ABC 中,D 为 AB 的中点,过 D 作 DE∥BC,交 AC 于 E,则 E 平分 AC 语言
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图形 语言
作用 证明线段相等,求线段的长度
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总结三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边,并且
等于第三边的一半.
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语 A',B',C',且 AB=BC,则 A'B'=B'C'
言
图
形
语
言
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变式 图形
作用
证明同一直线上的线段相等
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∵AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5,
∴AA1=A1A2=A2A3=A3A4=A4B.
∴点 A1,A2,A3,A4 就是所求的线段 AB 的五等分点.
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点拨(1)平行线等分线段定理的条件是 a,b,c 互相平行,构成一组
平行线,m 与 n 可以平行,也可以相交,但它们必须与已知的平行线 a,b,c 相交, 即被平行线 a,b,c 所截. (2)平行线的条数还可以更多,可以推广.
(3)平行线等分线段定理的逆命题是:如果一组直线截另一组直线成相 等的线段,那么这组直线平行.可以证明这一命题是错误的.(如图)
规律小结本题是利用平行线等分线段定理求已知线段的
等分点,在等分已知线段时注意这类方法的运用.
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探究二 证明线段相等
平行线等分线段定理及其推论应在有线段的中点时应用,在没有线段 的中点时,要先构造线段的中点.
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探究一 任意等分已知线段
将已知线段 AB 分成 n 等份的步骤: (1)作射线 AC(与 AB 不共线); (2)在射线 AC 上以任意取定的长度顺次截取 AD1=D1D2=D2D3=…=Dn-1Dn; (3)连接 DnB; (4)分别过点 D1,D2,D3,…,Dn-2,Dn-1 作 DnB 的平行线,分别交 AB 于点 A1,A2,…,An-2,An-1,则点 A1,A2,…,An-2,An-1 将线段 AB 分成 n 等份.
学习脉络
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1.平行线等分线段定理
文
字
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么
语
在其他直线上截得的线段也相等
言
符
号
已知 a∥b∥c,直线 m,n 分别与 a,b,c 交于点 A,B,C 和
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3.推论 2
文
字 语
经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰
言
符 号 在梯形 ABCD 中,AD∥BC,E 为 AB 的中点,过 E 作 EF∥BC,交 CD 于 F,
语 言 则 F 平分 CD
图 形 语 言
作 用
证明线段相等,求线段的长度
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思考推论 2 有什么应用?
提示:平行线等分线段定理的推论 2“过梯形一腰的中点,且与底边平行 的直线平分另一腰”,即梯形中位线,或说成“过梯形一腰中点与底边平行的 线段为梯形的中位线”,利用它可以判定某一线段为梯形中位线.
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【典型例题 1】 如图所示,已知线段 AB,求作线段 AB 的五等分点,并予 以证明.
思路分析:利用平行线等分线段定理来作图.
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于点 A1,A2,A3,A4,则点 A1,A2,A3,A4 将线段 AB 五等分.
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证明:过点 A 作 MN∥D5B.
则 MN∥D4A4∥D3A3∥D2A2∥D1A1∥D5B.
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解:(1)作射线 AC;
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(2)在射线 AC 上以任意取定的长度顺次截取
AD1=D1D2=D2D3=D3D4=D4D5; (3)连接 D5B; (4)分别过 D1,D2,D3,D4 作 D5B 的平行线 D1A1,D2A2,D3A3,D4A4,分别交 AB