高中数学“分类与整合思想”专题及专项训练

“分类与整合思想”专题及专项训练

一、大纲解读

分类与整合思想是数学中的一种重要思想,是历年高考考查的重点之一,此类试题具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点,在考试中的难度属中高档.

高考对分类与整合思想的考查,主要有四个方面:一是考查有没有分类意识,遇到应该分类的情况,是否想到要分类,什么样的问题需要分类;二是如何分类,即要科学地分类,分类标准要统一,不重不漏;三是分类之后解题如何展开;四是如何整合.

纵观近几年高考试题,通常是由参数的变化及变化过程需要一些条件限制而引起的分类讨论.归纳起来引起分类讨论的原因大致有五种:一是涉及的数学概念是分类定义的;二是运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的;三是求解的数学问题的结论有多种可能性;四是数学问题中含有参变量,这些参变量的不同取值会导致不同的结果;五是对较复杂或非常规的数学问题,需要采取分类讨论的解题策略来解决.

二、高考预测

预计2020年高考对分类与整合思想的考查可能会呈现以下趋势:试题将会在求解函数、数列、不等式、解析几何、立体几何、排列组合、概率等数学问题中出现,在解决含参数问题、绝对值问题、导数问题、最值问题上运用较多,在高考中所占的比重较大,且对理科要求较高,而对文科在这方面的要求可能相对较低.

三、重点剖析

重点1 对等比数列公比q 的分类讨论；对n 奇偶性的讨论；解分式不等式时分类讨论各因式的符号；运用比较法时对式子符号的讨论等等．

例1 设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0Λ=>n S n ．

(Ⅰ)求q 的取值范围；

(Ⅱ)设122

3

++-

=n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小． 分析：由于涉及等比数列的前n 项和公式的应用，须分1q =和1q ≠讨论．欲比较n S 与n T 的大小，只须求出n S 与n T 后，再用作差法比较．

解：(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时

1(1)11,0,0,(1,2,)11n n

n a q q q S n q q

--≠=>>=--L 当时即

上式等价于不等式组：),2,1(,0

1,

01Λ=⎩⎨⎧<-<-n q q n

① 或),2,1(,01,01Λ=⎩

⎨⎧>->-n q q n

② 解①式得q >1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1

(Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得.)2

3

(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=

于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(2

1

(-+=q q S n

又∵n S >0且－10．

①当1

12

q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S >； ②当1

22

q -

<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S <； ③当1

2

q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S =．

点评：该例中在使用等比数列的前n 项和公式n S ，须分1q =和1q ≠讨论，不要忽视

1q =的情况．在第二小问中，抓住213

2

n a n b a a ++=-，利用等比数列的通项公式，巧妙的

把n b 转化成.)23

(),23(22n n n n S q q T q q a b -=-=最后，作差比较n S 与n T ，即

)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(2

1

(-+=q q S n ，为确定差的符号，故对q 进行分类讨论．

重点2 指数函数(01)x

y a a a =>≠且和对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且的单调

性研究时对底数进行分类讨论

例2

如果函数22()(31)(01)x x f x a a a a a =-+>≠且在区间[)0+，∞上是增函数，那么

实数a 的取值范围是( )

Ａ．203⎛

⎤ ⎥⎝⎦

，

Ｂ．1⎫

⎪⎪

⎣⎭

Ｃ．(

Ｄ．3

2⎡⎫+⎪⎢⎣⎭

，

∞ 分析：本题在用复合函数单调性判断时，需要对底数a 进行分类讨论． 解：令x

u a =，则外层函数为22(31)y u a u =-+．

①若a >1，则内层函数x

u a =在[)0+，∞上是增函数，其值域是{|1}u u ≥，

要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，∞上是增函数，所以需要外层函数

22(31)y u a u =-+在[1,)u ∈+∞上是增函数，所以对称轴2

3112

a u +=

≤，21

3a ∴≤，这与a >1矛盾；

②若0

u a =在[)0+，

∞上是减函数，其值域是{|01}u u <≤．要使函数22()(31)x x f x a a a =-+在区间[)0+，

∞上是增函数，所以需要外层函数22(31)y u a u =-+在(0,1]u ∈上是减函数，所以对称轴23112

a u +=

≥，∴21

3a ≥，∴实数a 的取值范围是

，选B ． 点拔：复合函数单调性判断要注意四点：①内层函数x

u a =的值域是外层函数

22(31)y u a u =-+的定义域．②内层函数x

u a =与复合函数22()(31)x x f x a a a =-+定义域相

同，都是[)0+，

∞；③分类与整合的思想方法的运用；④一元二次函数单调性要依其图象对称轴的位置来判断．

重点3 对于含有参数函数问题，在研究导函数时往往要运用分类与整合的思想

例3

求函数323

()(1)3(1)2

f x ax a x x a x R =+

-->-∈，取极小值时x 的值． 分析：首先确定2'()33(1)3f x ax a x =+--是否为二次函数，故分0a =和0a ≠讨论，若0a ≠时，求f ′(x )=0的实根，进而划分其单调区间，确定极小值．

解：2'()33(1)3f x ax a x =+--.