2019年高考数学导数压轴题专项训练(一)
精编新版2019高考数学《导数及其应用》专题完整考题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．设函数()()2,,f x ax bx c a b c R =++∈.若1x =-为函数()xf x e 的一个极值点，则下列图象不可能为()y f x =的图象是（ ）（2011浙江文10）2．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2-(2008全国1理)D.由()3212211,','|,2,21121x x y y y a a x x x =+==+=-=--==---- 二、填空题3．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)的导函数为f′(x )．对任意x ∈R ，不等式f (x )≥f′(x )恒成立，则b 2a 2+c 2的最大值为 ▲ ．4．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 5．已知曲线y=x 2 （x ＞0）在点P 处切线恰好与圆C ：x 2+（y+1）2=1相切，则点P 的坐标为 （，6） ．（3分）6． 如图，函数()y f x =的图像在点P 处的切线是l ，则(2)(2)f f '+= 。
xyO(2,0)P()y f x =()y f x '=1 （第10题7．函数y ＝x 3－3x 2＋1的单调递减区间为 ▲ ． 8． 函数21ln 2y x x =-的单调递减区间为 __________________. 9．关于x 的不等式(21)ln 0ax x -≥对任意(0,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的值为_____． 10．若函数32()4f x x x ax =+--在区间()1,1-恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为 。
专题05 用好导数,破解函数零点问题(第一篇)-2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(解析版)
一．方法综述近几年的高考数学试题中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化、综合化.处理函数零点问题时，我们不但要掌握零点存在性定理，还要充分运用等价转化、函数与方程、数形结合等思想方法，才能有效地找到解题的突破口．利用导数解决函数的零点问题，是近几年高考命题的热点题型，此类题一般属于压轴题，难度较大．本专题举例说明如何用好导数，破解函数零点问题.二．解题策略类型一 讨论函数零点的个数【例1】【吉林省通榆县第一中学2019届高三上期中】已知函数 . （1）求在处的切线方程； （2）试判断在区间上有没有零点？若有则判断零点的个数. 【答案】（1）； （2）2.【解析】 （1）由已知得 ，有， ∴在处的切线方程为：，化简得.【指点迷津】讨论函数零点的个数，可先利用函数的导数，判断函数的单调性，进一步讨论函数的取值情况，根据零点存在定理判断（证明）零点的存在性，确定函数零点的个数.【举一反三】【2015高考新课标1，理21】已知函数f （x ）=31,()ln 4x ax g x x ++=-. (Ⅰ)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x = 的切线；（Ⅱ）用min {},m n 表示m,n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x => ，讨论h （x ）零点的个数.【答案】（Ⅰ）34a =；（Ⅱ）当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. 学&科网【解析】（Ⅱ）当(1,)x ∈+∞时，()ln 0g x x =-<，从而()min{(),()}()0h x f x g x g x =≤<， ∴()h x 在（1，+∞）无零点.当x =1时，若54a ≥-，则5(1)04f a =+≥，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg g ===,故x =1是()h x 的零点；若54a <-，则5(1)04f a =+<，(1)min{(1),(1)}(1)0h fg f ==<,故x =1不是()h x 的零点.当(0,1)x ∈时，()ln 0g x x =->，所以只需考虑()f x 在（0,1）的零点个数.(ⅰ)若3a ≤-或0a ≥，则2()3f x x a '=+在（0,1）无零点，故()f x 在（0,1）单调，而1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当3a ≤-时，()f x 在（0，1）有一个零点；当a ≥0时，()f x 在（0，1）无零点.(ⅱ)若30a -<<，则()f x 在（0单调递减，在1）单调递增，故当x ()f x取的最小值，最小值为f 14.①若f ＞0，即34-＜a ＜0，()f x 在（0,1）无零点.②若f =0，即34a =-，则()f x 在（0,1）有唯一零点；③若f ＜0，即334a -<<-，由于1(0)4f =，5(1)4f a =+，所以当5344a -<<-时，()f x 在（0,1）有两个零点；当534a -<≤-时，()f x 在（0,1）有一个零点.…10分 综上，当34a >-或54a <-时，()h x 由一个零点；当34a =-或54a =-时，()h x 有两个零点；当5344a -<<-时，()h x 有三个零点. ……12分学*科网 类型二 已知函数在区间上有零点，求参数的取值范围【例2】【河北省衡水中学2019届高三上学期二调】已知函数(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数恰有2个零点，求实数的取值范围.【答案】（1） （2）【解析】 （2）由题意得，，所以.由，解得，故当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.所以.又，，结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则解得.所以实数的取值范围为.【例3】【2018年理数全国卷II】已知函数．（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求．【答案】（1）见解析（2）（2）设函数．在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．（i）当时，，没有零点；（ii）当时，．当时，；当时，．所以在单调递减，在单调递增．故是在的最小值．①若，即，在没有零点；②若，即，在只有一个零点；③若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，，所以．故在有一个零点，因此在有两个零点．综上，在只有一个零点时，．学*科网【指点迷津】已知区间上有零点，求参数的范围问题．往往因为含有超越函数式的函数图象较为复杂，也没有固定的形状特点，所以在研究此类问题时，可以从两个方面去思考：(1)根据区间上零点的个数情况，估计出函数图象的大致形状，从而推导出导数需要满足的条件，进而求出参数满足的条件；(2)也可以先求导，通过求导分析函数的单调情况，再依据函数在区间内的零点情况，推导出函数本身需要满足的条件，此时，由于函数比较复杂，常常需要构造新函数，借助导数研究函数的单调性、极值等，层层推理得解．【举一反三】【贵州省遵义航天高级中学2018届高三上第四次模】已知函数的两个零点为．（1）求实数m的取值范围；（2）求证：．【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）令，则，由题意知方程有两个根，即方程有两个根，不妨设，，令，则当时，单调递增，时，单调递减，综上可知，，要证，即证，即，即证，令，下面证对任意的恒成立，∵，∴，∴又∵，∴∴，则在单调递增∴，故原不等式成立．类型三已知存在零点，证明零点的性质【例4】【安徽省皖中名校联盟2019届10月联考】已知函数．（1）讨论的单调性；（2若函数有两个零点分别记为．①求的取值范围；②求证：．【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶见证明【解析】（1），（i）当时，，时，单调递减；时，单调递增．（iii）当时，恒成立，在上单增．（iv）当时，时，单调递增；时，单调递减，时，单调递增．学科/网综上所述：时，在上单调递减，上单调递增；时，在上单调递减，在上单调递增；时，在上单调递增；时，在上单调递减，上单调递增.（2）①，（i）当时，，只有一个零点，舍去；（ii）当时，在上单调递减，上单调递增，又，取且，则，存在两个零点．（iii）当时，在上单调递增，时，不可能有两个零点，舍去．（iv）当时，在上单调递增，不可能有两个零点，舍去．（v）当时，时，，又在单调递减，在上单调递增，因，不可能有两个零点，舍去．综上所述：．②由①知：，在上单调递减，在上单调递增，要证，即证，即证，令，则当时，单调递增．不妨设，则，即，又，，在上单调递减，，，原命题得证．学科#网【指点迷津】已知函数存在零点，需要证明零点满足某项性质时，实际上是需要对函数零点在数值上进行精确求解或估计，需要对零点进行更高要求的研究，为此，不妨结合已知条件和未知要求，构造新的函数，再次通过导数的相关知识对函数进行更进一步的分析研究，其中，需要灵活运用函数思想、化归思想等，同时也需要我们有较强的抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力．含参数的函数的单调性的讨论，合理分类讨论是关键，分类点的选择一般依据导数是否存在零点，若存在零点，则检验零点是否在给定的范围之中．【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设，函数（1）若无零点，求实数的取值范围；（2）若有两个相异零点，求证：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】(1)①若时，则是区间上的增函数，∵∴，函数在区间有唯一零点；②若，有唯一零点；③若，令，得，在区间上，，函数是增函数；在区间故在区间三．强化训练1．【2018年理新课标I卷】已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是( )A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C2．【山西省太原市第五中学2019届10月月考】已知，又，若满足的有四个，则的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】令y=xe x ，则y'=（1+x ）e x ，由y'=0，得x=﹣1， 当x ∈（﹣∞，﹣1）时，y'＜0，函数y 单调递减，当x ∈（﹣1，+∞）时，y'＞0，函数y 单调递增．作出y=xe x 图象， 利用图象变换得f （x ）=|xe x |图象，学&科网 令f （x ）=m ，则关于m 方程h （m ）=m 2﹣tm+1=0两根分别在时，满足g （x ）=﹣1的x 有4个，由，解得．故选：B ．学科￥网3．【山东省安丘市2019届10月检测】若存在正实数m ，使得关于x 的方程有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】4.【江西省南昌市2018届二轮测试卷（一）】设，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】5.【四川省攀枝花市第十二中学2019届10月月考】已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围为( )A．(2，＋∞) B．(－∞，－2) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)【答案】B【解析】函数则，令则⑴当时，，存在两个零点，不符合题意，故⑶当时，，在，上单调递减，在上单调递增是的极小值点，是的极大值点，要使函数仅有一正零点，结合函数图像，可知，代入可得：，解得综上，则的取值范围为故选学$科网6.【江苏省淮安市淮海中学2019届高三上学期第二阶段测试】若方程有且仅有6个不相等的实数根，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】7.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数其中为自然对数的底数，若函数与的图象恰有一个公共点，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】因为，所以函数在区间上单调递增，且所以当时，与有一个公共点；当时，令，即有一个解即可.设，则得.因为当时，当时，所以当时，有唯一的极小值，即有最小值，所以当时，有一个公共点.综上，实数的取值范围是.8.【陕西省西安市长安区第五中学2019届高三上期中】已知函数.(1)若直线过点（1，0），并且与曲线相切，求直线的方程；(2)设函数在[1,e]上有且只有一个零点，求的取值范围.(其中∈R，e为自然对数的底数)【答案】（1）；（2）或.【解析】（2）因为g（x）=xlnx-a（x-1），注意到g（1）=0，所以所求问题等价于函数g（x）=xlnx-a（x-1）在（1，e]上没有零点.因为.所以由lnx+1-a<00<x<e a-1,x>e a-1,所以g（x）在（0，e a-1）上单调递减，在（e a-1，）上单调递增.①当e a-1≤1，即a≤1时，g（x）在（1,e]上单调递增，所以g（x）>g(1)=0.此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，②当1<e a-1<e,即1<a<2时，g（x）在[1,e a-1)上单调递减，在（e a-1,e]上单调递增，又因为g（1）=0，g（e）=e-ae+a，g（x）在(1,e]上的最小值为g（e a-1）=a-e a-1，所以（i）当1<a≤时，g（x）在[1,e]上的最大值g（e）≥0，即此时函数g（x）在(1,e]上有零点.（ii）当<a<2时，g（e）＜0，即此时函数g（x）在（1,e]上没有零点，③当e≤e a-1即a≥2时，g（x）在[1,e]上单调递减，所以g（x）在[1,e]上满足g（x）<g(1)=0，此时函数g（x）在(1,e]上没有零点.综上，所求的a的取值范围是或.学%科网9.【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】函数（）的导函数的图象如图所示：（1）求的值并写出的单调区间；（2）若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】(2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c，函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数，在(－1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c，极小值为f(2)＝c－.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得－＜c＜.所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是.学科&网10．【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数.(1)若函数在上为增函数，求的取值范围；(2)若函数有两个不同的极值点，记作，且，证明：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（2）由题得，则因为有两个极值点，所以欲证等价于证，即，所以因为，所以原不等式等价于 .由可得，则②. 由①②可知，原不等式等价于，即设，则，则上式等价于.令，则因为，所以，所以在区间上单调递增，所以当时，，即，所以原不等式成立，即.。
2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用
23.已知函数()3223log 32a f x x x x =-+（0a >且1a ≠）． （Ⅰ）若()f x 为定义域上的增函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）令a e =，设函数()()324ln 63g x f x x x x =--+，且()()120g x g x +=，求证：122x x +≥24.已知函数()2x f x e x ax =--. (1)R x ∈时，证明：1->x e x；(2)当2a =时，直线1y kx =+和曲线()y f x =切于点()(),1A m n m <，求实数k 的值； (3)当10<<x 时，不等式()0>x f 恒成立，求实数a 的取值范围.25.已知函数()ln af x a x x x=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. (1)求实数a 的取值范围；(2)记()f x 的两个不同的极值点分别为12,x x ，若不等式()()()21212f x f x x x l +>+恒成立，求实数l 的取值范围.26.已知函数()1ln f x ax x =--（a ∈R ）.（1）讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若1x ∀>，()2xf x ax ax a <-+恒成立，求a 的最大整数值.27.已知函数()()()()221,2ln 1f x x x g x a x a R =-+=-∈. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）当0a >时，若存在实数,k m 使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立，求实数a 的取值范围.28.设()y f x =是二次函数，方程()0f x =有两个相等的实根，且()22f x x '=+. （1）求()y f x =的表达式；（2）若直线()01x t t =-<<，把()y f x =的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t 的值.29.已知函数()1ln 2f x x x =+（a ∈R ）.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线经过点()2,3，求a 的值； （2）若()f x 在区间1,14⎛⎫⎪⎝⎭上存在极值点，判断该极值点是极大值点还是极小值点，并求a 的取值范围；（3）若当0x >时，()0f x >恒成立，求a 的取值范围.30.已知函数()ln f x x a =+，()(),bg x x a b R x=-?. (1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在点()()1,1f 处的切线方程相同，求实数,a b 的值； (2)若()()x g x f ≥恒成立，求证：当2≠a 时，1≠b .31.()2xf x e ax =--，其中e 是自然对数的底数，a R ∈.（1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若k 为整数，1a =，且当0x >时，()11k xf x x -'<+恒成立，其中()f x '为()f x 的导函数，求k 的最大值.32.已知f （x ）=2x ln x ，g （x ）=﹣x 2+ax ﹣3． （1）求函数f （x ）的单调区间；（2）若存在x ∈（0，+∞），使f （x ）≤g （x ）成立，求实数a 的取值范围．33.已知数列{x n }按如下方式构成：x n ∈（0，1）（n ∈N *），函数f （x ）=ln （x x-+11）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴交点的横坐标为x n +1 （Ⅰ）证明：当x ∈（0，1）时，f （x ）＞2x （Ⅱ）证明：x n +1＜x n 3（Ⅲ）若x 1∈（0，a ），a ∈（0，1），求证：对任意的正整数m ，都有log n x a +log 1+n x a +…+log m n x +a ＜21•（31）n ﹣2（n ∈N *）34.已知函数f （x ）= ⎪⎩⎪⎨⎧∈--∈-]3,1[),1(55]1,0[,2x x f x x x（Ⅰ）求f （25）及x ∈[2，3]时函数f （x ）的解析式 （Ⅱ）若f （x ）≤xk对任意x ∈（0，3]恒成立，求实数k 的最小值．35.已知函数1()(2)a f x a x x a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，其中0a ≠． （Ⅰ）若1a =，求()f x 在区间[0,3]上的最大值和最小值．（Ⅱ）解关于x 的不等式()0f x >．36.若实数x ，y ，m 满足x m y m-<-，则称x 比y 靠近m ．（Ⅰ）若1x +比x -靠近1-，求实数x 有取值范围．（Ⅱ）（i ）对0x >，比较ln(1)x +和x 哪一个更靠近0，并说明理由． （ii ）已知函数{}n a 的通项公式为112n n a -=+，证明：1232e n a a a a <L ．37.已知函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-（e 是自然对数的底数，a 为常数）． （1）若函数1()()()2g x f x x f x '=-⋅，在区间[1,+∞)上单调递减，求a 的取值范围．（2）当(e 2,1)a ∈-时，判断函数()f x 在(0,1)上是否有零点，并说明理由．38.已知函数()ln f x x x =． （1）求函数()f x 的极值点．（2）设函数()()(1)g x f x a x =--，其中a ∈R ，求函数()g x 在[1,e]上的最小值．39.已知函数1()ln 2f x x x=-，(0,)x ∈+∞． （1）求函数()f x 的图象在点(2,(2))f 处的切线方程． （2）求函数()f x 的单调递增区间．40.设m ∈R ，函数f （x ）=e x ﹣m （x +1）+41m 2（其中e 为自然对数的底数）（Ⅰ）若m =2，求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅱ）已知实数x 1，x 2满足x 1+x 2=1，对任意的m ＜0，不等式f （x 1）+f （0）＞f （x 2）+f （1）恒成立，求x 1的取值范围；（Ⅲ）若函数f （x ）有一个极小值点为x 0，求证f （x 0）＞﹣3，（参考数据ln6≈）41.已知函数f （x ）=x 2﹣x 3，g （x ）=e x﹣1（e 为自然对数的底数）． （1）求证：当x ≥0时，g （x ）≥x +21x 2； （2）记使得kf （x ）≤g （x ）在区间[0，1]恒成立的最大实数k 为n 0，求证：n 0∈[4，6]．42.设函数3211()(3)332f x x ax a x =++++，其中a R ∈，函数()f x 有两个极值点12,x x ，且101x ≤<．（1）求实数a 的取值范围；（2）设函数'1()()()x f x a x x ϕ=--，当12x x x <<时，求证：|()|9x ϕ<．43.已知14)(2+-=x tx x f 的两个极值点为α，β，记A （α，f （α）），B （β，f （β））（Ⅰ）若函数f （x ）的零点为γ，证明：α+β=2γ． （Ⅱ） 设点 C (m t -4,0)，D (m t+4,0)，是否存在实数t ，对任意m ＞0，四边形ACBD 均为平行四边形．若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由．44.已知函数ln (),xf x x=() (0)=>g x kx k ，函数{}()max (),(),F x f x g x =其中{}max ,a b ,,,.a ab b a b ≥⎧=⎨<⎩ （Ⅰ）求()f x 的极值；（Ⅱ）求()F x 在[]1, e 上的最大值(e 为自然对数底数).45.已知函数2()2ln ,f x x a x a R =+∈．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极值，求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式()0f x >对任意[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.参考答案23.（Ⅰ）()2123ln f x x x x a'=-+， 由()f x 为增函数可得，()0f x '≥恒成立，则由21230ln x x x a -+≥32123ln x x a⇒-≥-⇒，设()3223m x x x =-，则 ()266m x x x '=-，若由()()610m x x x '=->和()()610m x x x '=-<可知 ()m x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，所以()()min 11m x m ==-，所以11ln a-≥-， 当1a >时，易知a e ≤，当01a <<时，则10ln a <，这与11ln a≤矛盾， 从而不能使()0f x '≥恒成立，所以1a e <≤． （Ⅱ）()322332g x x x =-+32ln 4ln 63x x x x --+233ln 62x x x =--+，因为()()120g x g x +=，所以211133ln 62x x x --++22223(3ln 6)02x x x --+=，所以 221212123()3ln()6()02x x x x x x -+-++=， 212121[()2]2x x x x -+--1212ln()2+=0x x x x +（）， 212121()+2x x x x -+1212ln()2()0x x x x -++=， 所以212121()+2()2x x x x -++1212ln()x x x x =-， 令12x x t =，()ln g t t t =-，()111tg t tt-'=-=，()g t 在()0,1上增，在()1,+∞上减， ()()11g t g ≤=-，所以212121()2()12x x x x -+++≤-，整理得21212()4()20x x x x +-+-≥，解得122x x +≥122x x +≤（舍），所以122x x +≥24.(1)记()1x F x e x =--， ∵()'1x F x e =-， 令()'0F x =得0x =， 当(),0x ??，()'0F x <，()F x 递减；当()0,x ??，()'0F x >，()F x 递增，∴()()min 00F x F ==， ()10x F x e x =--?，得1x e x ?.(2)切点为(),A m n ，()1m <，则21222m m n km n e m m k e m ì=+ïï=--íïï=--î，∴()2110m m e m --+=， ∵1m <，∴10m e m --=由(1)得0m =. 所以1k =-.(3)由题意可得20x e x ax --?恒成立，所以2x e x a x-£，下求()2x e x G x x -=的最小值，()()()()()22221111111'xxx x e x x e x x e x G x x xx 轾----------臌===，由(1)1x e x ?知10x e x --?且1x £. 所以()'0G x <，()G x 递减， ∵1x £，∴()()11G x G e ?-.所以1a e ?.25.(1)()()22'0x ax af x x x -+=>.由函数()ln af x a x x x=-+-(a 为常数)有两个不同的极值点. 即方程20x ax a -+=有两个不相等的正实根.∴121220040x x a x x a a a ì+=>ïï=>íïïD=->î，∴4a >.(2)由(1)知12x x a +=，12x x a =，4a >， ∴()()()2121212121212ln x x f x f x a x x x x a x x x x l ++=-++->+， 所以ln aal <-恒成立. 令()ln aF a a=-，4a >. ∵()2ln 1'0a F a a-=>，()F a 递增， ∴()()ln 242F a F >=-， ln 22l ?.26.（1）()f x 的定义域为()0,+∞，且()11ax f x a x x-'=-=. 当0a ≤时，()0f x '≤在()0,+∞上恒成立，函数()f x 在()0,+∞上单调递减. ∴()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，令()0f x '=得()10,x a=∈+∞； 列表所以当1x a=时，()f x 取得极小值. 综上，当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上没有极值点； 当0a >时，()f x 在()0,+∞上有一个极值点.（2）对1x ∀>，()2xf x ax ax a <-+恒成立等价于ln 1x x xa x +<-对1x ∀>恒成立，设函数()ln 1x x x g x x +=-（1x >），则()()2ln 21x x g x x --'=-（1x >），令函数()ln 2x x x =--ϕ，则()11x x'=-ϕ（1x >）， 当1x >时，()110x x'=->ϕ，所以()x ϕ在()1,+∞上是增函数， 又()31ln30=-<ϕ，()42ln 40=->ϕ，所以存在()03,4x ∈，使得()00x =ϕ，即()00g x '=，且当()01,x x ∈时，()0x <ϕ，即()0g x <，故()g x 在()01,x 在上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()0x >ϕ，即()0g x >，故()g x 在()0,x +∞上单调递增； 所以当()1,x ∈+∞时，()g x 有最小值()00000ln 1x x x g x x +=-，由()00x =ϕ得00ln 20x x --=，即00ln 2x x =-， 所以()()00000021x x x g x x x -+==-，所以0a x <，又()03,4x ∈，所以实数a 的最大整数值为3.27.（I ）由题意得2()(1)2ln(1)h x x a x =---，1x >，∴22[(1)]'()1x a h x x --=-，①当0a ≤时，则'()0h x >，此时()h x 无极值；②当0a >时，令'()0h x <，则11x a <<+；令'()0h x >，则1x a >+； ∴()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a ++∞上递增； ∴()h x 有极小值(1)(1ln )h a a a =-，无极大值；（II ）当0a >时，由（1）知，()h x 在(1,1]a +上递减，在(1,)a ++∞上递增，且有极小值(1)(1ln )h a a a =-.①当a e >时，(1)(1ln )0h a a a =-<，∴(1)(1f a g a <+， 此时，不存在实数k ，m ，使得不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立； ②当0a e <≤时，(1)(1ln )0h a a a =-≥，2()21f x x x =-+在1x a =+(2)y ax a a =-，令()()(2)]u x f x ax a a =--，1x >，则2()[(1)]0u x x a =-+≥，∴2(2)()ax a a f x -≤，令()2(2)()v x ax a a g x =-+-=2(2)2ln(1)ax a a a x -+--，1x >， 则2[(1)]'()a x a v x -+=，令'()0v x <，则11x a <<+；令'()0v x >，则1x a >+；∴()(1)v x v a ≥+=(1ln )0a a -≥，∴()2(2)g x ax a a ≤-+， ∴()2(2)()g x ax a a f x ≤-+≤，当2k a =，2m a a =--时，不等式()()g x kx m f x ≤+≤恒成立， ∴0a e <≤符合题意. 由①，②得实数a 的取值范围为(0,]e . 28.（I ）设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则()2f x ax b '=+． 由已知()22f x x '=+，得1a =，2b =．2()2f x x x c ∴=++．又方程220x x c ++=有两个相等的实数根，440c ∴∆=-=，即1c =．故2()21f x x x =++；（II ）依题意，得221(21)(21)ttx x dx x x dx ---++=++⎰⎰，3232011133ttx x x x x x ---⎛⎫⎛⎫∴++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理，得3226610t t t -+-=，即32(1)10t -+=，312t ∴=29.（1）对()f x 求导，得()1122f x xx'=+-. 因此()1122af '=+.又()11f a =+， 所以，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()11122a y a x ⎛⎫-+=+- ⎪⎝⎭. 将2x =，3y =代入，得()13122aa -+=+.解得1a =. （2）()f x 的定义域为()0,+∞.()112f x x'=+-212x x +=.设()f x 的一个极值点为m，则210m +=，即a =- 所以()f x '==.当()0,x m ∈时，()0f x '<；当(),x m ∈+∞时，()0f x '>. 因此()f x 在()0,m 上为减函数，在(),m +∞上为增函数. 所以m 是()f x 的唯一的极值点，且为极小值点. 由题设可知1,14m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.因为函数a =-1,14⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，a -<<11a -<<. 所以a 的取值范围是()1,1-.（3）当0x >时，()0f x >恒成立，则1ln 02x x +>恒成立，即1ln x x a ->0x ∀>恒成立.设()1ln x x g x -=()11ln x xg x --'=.设()11ln 2h x x x =--（0x >），显然()h x 在()0,+∞上为减函数. 又()10h =，则当01x <<时，()()10h x h >=，从而()0g x '>； 当1x >时，()()10h x h <=，从而()0g x '<. 所以()g x 在()0,1上是增函数，在()1,+∞上是减函数.所以()()max 11g x g ==-，所以1a >-，即a 的取值范围为()1,-+∞. 30.(1)由()1'f x x =，()2'1bg x x=--. 得()()()()'1'111f g f g ì=ïíï=î，解得3a =-，2b =-.(2)证明：设()()()ln bh x f x g x x a x x=-=+-+， 则()()2221'10b x x bh x x x x x ++=++=>，①当0b ³时，()'0h x >，函数()h x 在()0,+?上单调递增，不满足()()f x g x ³恒成立.②当0b <时，令20x x b ++=，由140b D=->，得0x >，或0x <(舍去)，设0x ()y h x =在()00,x 上单调递减，在()0,x +?上单调递增，故()()0min 0h x h x =?，即000ln 0b x a x x +-+?，得000ln b a x x x ?-.又由2000x x b ++=，得200b x x =--， 所以()2200000000ln 1ln ba b x x x x x x x x -?----=---+，令()21ln t x x x x =---+，()()()2211121'21x x x x t x x x x x+---=--==. 当()0,1x Î时，()'0t x <，函数()t x 单调慈善 当()1,x ??时，()'0t x >，函数()t x 单调递增；所以()()min 11t x t ==-，1a b -?即1b a -?， 故当2a ?时，得1b ?. 31.（1）()xf x e a '=-，x R ∈若0a ≤，则()0f x '>恒成立，所以()f x 在区间(),-∞+∞上单调递增 若0a >，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在()ln ,a +∞上单调递增 （2）由于1a =，所以()11k xf x x -'<⇔+()()11x k x e x --<+，当0x >时，10x e ->故()()11x k x e x --<+11x x k x e +⇔<+-，令()11x x g x x e +=+-（0x >） 则()()2111x xxe g x e-+'=+=-()()221x x xe e x e---函数()2x f x e x =--在()0,+∞上单调递增，而()10h <，()20h >， 所以()h x 在()0,+∞上存在唯一的零点. 故()g x '在()0,+∞上存在唯一的零点. 设此零点为0x ，则()01,2x ∈.当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>； 所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()0g x ，由于()00g x '=，可得002x e x =+所以()()0012,3g x x =+∈，所以整数k 的最大值为2. 32.【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题等价于a≥（2ln x+x+）min ，记h （x ）=2ln x+x+，x∈（0，+∞），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（1）f （x ）的定义域为（0，+∞），f′（x ）=2（ln x+1）， 令f′（x ）=0，得x=，当x∈时，f′（x ）＜0，当x∈时，f′（x ）＞0， 所以f （x ）在上单调递减；在上单调递增．（2）存在x∈（0，+∞），使f （x ）≤g（x ）成立， 即2xln x≤﹣x 2+ax ﹣3在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥2ln x+x+在x∈（0，+∞）能成立， 等价于a≥（2ln x+x+）min ．记h （x ）=2ln x+x+，x∈（0，+∞）， 则h′（x ）=+1﹣==．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，所以当x=1时，h（x）取最小值为4，故a≥4．33.【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列与函数的综合．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，根据函数的单调性求出f（x）＞2x即可；（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，求出曲线方程，得到x n+1=ln（﹣1）+x n，从而证出结论即可；（Ⅲ）得到b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，问题转化为b0＜，根据（Ⅱ）证出即可．【解答】证明：（Ⅰ）设g（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）﹣2x，则g′（x）=，故x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，1）递增，∴g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞2x；（Ⅱ）由f′（x）=+=，故曲线在点（x n，f（x n））处的切线方程是：y=（x﹣x n）+f（x n），令y=0，则x n+1=x n+f（x n）（﹣1），则x n+1=ln（﹣1）+x n，由（Ⅰ）及﹣1＜0得：x n+1＜（2x n）•（﹣1）+x n=x n3；（Ⅲ）令=b k，（k=0，1，2，…，m），∵x n+k＜，且a∈（0，1），x n∈（0，1），∴log a x n+k＞log a，从而b k=＜a=b k﹣1＜b k﹣2＜…＜b0，∴log a+log a+…+log a=b0+b1+…+b m＜b0（1+++）=b0（1﹣）＜b0，要证log a+log a+…+log a＜•（）n﹣2（n∈N*），只需b0＜，即证b0＜⇔a＜⇔x n＜，由（Ⅱ）以及x1∈（0，a）得：x n＜＜＜…＜＜，故原结论成立．34.【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由x∈[2，3]⇒x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=．当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）= [（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）．（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2，则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立⇒k≥（x2﹣x3）max，令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴h（x）max=h（）=；②当x∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，所以f （x ）=﹣ [（x ﹣1）﹣（x ﹣1）2]≤恒成立 ⇔k≥（x 3﹣3x 2+2x ），x∈（1，2]．令t （x ）=x 3﹣3x 2+2x ，x∈（1，2]．则t′（x ）=3x 2﹣6x+2=3（x ﹣1）2﹣1， 当x∈（1，1+）时，t （x ）单调递减，当x∈（1+，2]时，t （x ）单调递增，t （x ）max =t （2）=0，∴k≥0（当且仅当x=2时取“=”）；③当x∈（2，3]时，x ﹣2∈[0，1]，令x ﹣2=t∈（0，1]， 则k≥（t+2）（t ﹣t 2）=g （t ），在t∈（0，1]恒成立．g′（t ）=﹣（3t 2+2t ﹣2）=0可得，存在t 0∈[，1]，函数在t=t 0时取得最大值． 而t 0∈[，1]时，h （t ）﹣g （t ）=（t 2﹣t 3）+（t+2）（t 2﹣t ）=t （1﹣t ）（2t ﹣1）＞0，所以，h （t ）max ＞g （t ）max ， 当k≥时，k≥h（t ）max ＞g （t ）max 成立，综上所述，k≥0，即k min =0． 35.见解析（Ⅰ）1a =，2()(2)(1)1f x x x x =-=--，()22f x x '=-， ∴x(0,1) 1 (1,3) ()f x ' -+()f x↓ 极小 ↑∴min (1)1f f ==-， max max[(3),(0)]f f f =，而(3)3(0)f f =>， ∴max 3f =． （Ⅱ）0a >时， 1(2)0a x x a -⎛⎫--> ⎪⎝⎭，∵1120a a a a-+-=>， ∴12a a-<， 此时()0f x >解集为：[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦， 0a <时，1(2)0a x x a -⎛⎫--< ⎪⎝⎭．①10a -<<，则12a a-<， ()0f x >解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦．②1a =-，无解．③1a <-，解集为1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 综上：0a >，[|2x x >或1a x a -⎤<⎥⎦． 10a -<<，1|2a x x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦1a =-，∅．1a <-，12a x a -⎡⎤<<⎢⎥⎣⎦． 36.（1）|1(1)||(1)|x x --<---+ 22|2||1|(2)(1)x x x x <-⇔<-++， ∴12x <-．（2）①∵0x >，∴ln(1)0x >+， ∴|ln(1)0||0|ln(1)x x x x ---=-++， 记()ln(1)f x x x =-+， (0)0f =． 1()1011x f x x x-'=-=<++， ∴()f x 在(0,)∞+单减．∴()2(0)0f x f =，即ln(1)x x <+， ∴ln(1)x +比x 靠近0．②120n ->， 由①得：2323ln()ln ln ln n n a a a a a a =+++L L12111ln(12)ln(12)ln(12)22n n -----=+++<L L +++++111112(12)211212n ------=<=--，∴23e n a a a <L ． 又∵12a =， ∴1232e n a a a a <L ． 37.见解析．解：（1）由2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-得()e 2(e 1)x f x ax a '=-+-+， ∴211()()()e (e 1)1[e 2e 1]22x x g x f x x f x ax a x x ax a '=-⋅=-+-+---+-+，即11()1e (e 1)122x g x x a x ⎛⎫=-+-+- ⎪⎝⎭，∴11()(1)e (e 1)22xg x x a '=-+-+，∴1()e 2xg x x ''=-，[1,)x ∈+∞；∴()0g x ''<，∴()g x '在[1,)+∞上单调递减， 又()g x 在[1,)+∞上单调递减； ∴1()(1)(e 1)02g x g a ''=-+≤≤，∴e 1a -≤，即实数a 的取值范围是(,e 1]-∞-．（2）假设函数()f x 在区间(0,1)上有零点，即存在(0,1)x ∈，使得2e (e 1)10x ax a x -+-+-=，即2e (1e)1x x a x x +--=-，记2e (1e)1()x x h x x x+--=-．①若()1h x <，则2e (1e)110x x x x +---<-，即22e (2e)10x x x x x -+--<-， 由于(0,1)x ∈，有20x x -<，即证2e (2e)10x x x -+-->在(0,1)x ∈上恒成立， 令2()e (2e)1x H x x x =-+--，(0,1)x ∈， 则()e 22e x H x x '=-+-，()e 2x H x ''=-， 当(0,ln2)x ∈时，()0H x ''<， 当(ln2,1)x ∈时，()0H x ''>， ∴当(0,ln2)x ∈时，()H x '单调递减， 当(ln2,1)x ∈时，()H x '单调递增．而(0)102e 0H '=-+->，(1)e 22e 0H '=-+-=，ln 2(ln 2)e 2ln 22e 4e 2ln 20H '=-+-=--<，∴在(0,ln2)上存在唯一的实数0x ，使得0()0H x '=， ∴在0(0,)x 上()H x 单调递增，在0(,1)x 上()H x 单调递减， 而(0)0H =，(1)0H =，∴()0H x >在(0,1)上恒成立，即2e (1e)1()1x x h x x x+--=<-恒成立， ②若()e 2h x >-，则2e (1e)1(e 2)0x x x x +---->-，即22e (e 2)10x x x x x ---->-， 由于(0,1)x ∈，有20x x -<，即证2e (e 2)10x x x ----<在(0,1)x ∈恒成立， 令2()e (e 2)1x H x x x =----，则()e 2(e 2)1x H x x '=---，()e 2(e 2)x H x ''=--， 当(0,ln2(e 2))x ∈-，()0H x ''<，()H x '单调递减； 当(ln2(e 2),1)x ∈-，()0H x ''>，()H x '单调递增， 而(0)0H '=，(1)3e 0H '=->，∴在(ln2(e 2),1)-上存在唯一的实数x ，使得0()0H x '=， ∴在0(0,)x 上()H x 单调递减，在0(,1)x 上()H x 单调递增， 又(0)0H =，(1)0H =，故()0H x <在(0,1)上成立，即2e (1e)1()e 2x x h x x x+--=>--成立， 综上所述，当(e 2,1)a ∈-时，函数2()e (e 1)1x f x ax a x =-+-+-在区间(0,1)上有零点． 38.见解析．解：（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()ln 1f x x '=+，∴令()ln 10f x x '=+>，得1e x >，令()0f x '<，得10ex <<， ∴函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，∴1ex =是函数()f x 的极小值点，极大值点不存在． （2）由题意得()()(1)ln (1)g x f x a x x x a x =--=--， ∴()ln 1g x x a '=+-， 令()0g x '=得1e a x -=．①当1e 1a -<时，即1a <时，()g x 在[1,e]上单调递增， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为(1)0g =；②当11e e a -≤≤，即12a ≤≤时，()g x 在1[1,e ]a -上单调递减，在1[e ,e]a -上单调递增， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为11111(e )e lne e e a a a a a g a a a -----=-+=-； ③当1e e a ->，即2a >时，()g x 在区间[1,e]上单调递减， ∴()g x 在[1,e]上的最小值为(e)e (e 1)e e g a a a =--=-+， 综上所述，当1a <时，()g x 的最小值为0； 当12a ≤≤时，()g x 的最小值为1e a a --； 当2a >时，()g x 的最小值为e e a a -+． 39.见解析．解：（1）1()ln 2f x x x =-，得11()2f x x '=-，∴(2)ln21f =-，(2)0f '=，∴函数()f x 在(2,(2))f 处的切线方程为ln21y =-． （2）∵112()22xf x x x-'=-=，令()0f x '>，得2x <，令()0f x '<，得2x >， 又()f x 的定义域是(0,)+∞， ∴函数()f x 的单调增区间为(0,2)． 40.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可； （Ⅱ）问题转化为2（x 1﹣1）m ﹣（﹣）+e ﹣1＜0对任意m ＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1，得到关于x1的不等式组，解出即可；（Ⅲ）求出f（x0）的解析式，记h（m）=m2﹣mlnm，m＞0，根据函数的单调性求出h （m）的取值范围，从而求出f（x0）的范围，证明结论即可．【解答】解：（Ⅰ）m=2时，f（x）=e x﹣2x﹣1，f′（x）=e x﹣2，令f′（x）＞0，解得：x＞ln2，故函数f（x）在[ln2，+∞）递增；（Ⅱ）∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，x1+x2=1，∴2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1＜0对任意m＜0恒成立，令g（m）=2（x1﹣1）m﹣（﹣）+e﹣1，当2（x1﹣1）=0时，g（m）=0＜0不成立，则，解得：x1＞1；（Ⅲ）由题意得f′（x）=e x﹣m，f′（x0）=0，故=m，f（x0）=﹣m（x0+1）+m2=m2﹣mlnm，m＞0，记h（m）=m2﹣mlnm，m＞0，h′（m）=m﹣lnm﹣1，h′′（m）=﹣，当0＜m＜2时，h′′（m）＜0，当m＞2时，h′′（m）＞0，故函数h′（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，如图所示：[h′（m）]min=h′（2）=﹣ln2＜0，又当m→0时，h′（m）＞0，m→+∞，h′（m）＞0，故函数h′（m）=0有2个根，记为m1，m2（m1＜2＜m2＜6），（h′（6）＞0），故h（m）在（0，m1）递增，在（m1，m2）递减，在（m2，+∞）递增，又当m→0时，h（m）＞0，h（m）在m2处取极小值，由h′（m2）=0， m2﹣lnm2﹣1=0，lnm2=m2﹣1，故h（m2）=﹣m2lnm2=﹣m2（m2﹣1）=﹣+m2=﹣+1∈（﹣3，1），故f（x0）＞﹣3．41.【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）构造函数h（x）=g（x）﹣x﹣，求出函数导函数，对导函数求导后可得导函数的单调性，进一步确定导函数的符号，得到函数h（x）的单调性，可得h（x）≥h（0）=0得答案；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立，然后利用分析法证明当x∈[0，1]时，4f（x），当k≥6时，取特值x=说明不等式kf（x）≤g（x）在区间[0，1]上不恒成立，从而说明n0∈[4，6]．【解答】证明：（1）设h（x）=g（x）﹣x﹣，即h（x）=，则h′（x）=e x﹣1﹣x，h″（x）=e x﹣1，当x≥0时，h″（x）≥0，h′（x）为增函数，又h′（0）=0，∴h′（x）≥0．∴h（x）在[0，+∞）上为增函数，则h（x）≥h（0）=0，∴g（x）≥x+；（2）由（1）知，当kf（x）时，必有kf（x）≤g（x）成立．下面先证：当x∈[0，1]时，4f（x），当x=0或1时，上式显然成立；当x∈（0，1）时，要证4f（x），即证4（x﹣x2），也就是证8x2﹣7x+2≥0．∵＞0．∴当k≤4时，必有kf（x）≤g（x）成立．∴n0≥4；另一方面，当k≥6时，取x=，kf（x）﹣g（x）=＞0，∴当k≥6时，kf（x）≤g（x）不恒成立．∴n0≤6．综上，n0∈[4，6]．【点评】本题考查利用等式研究函数的单调性，训练了分析法证明函数不等式，体现了特值思想方法的应用，是中档题．42.（1）;（2）见解析.试题解析：（1），由题可知：为的两个根，且，得或.而由（1）（2）得：，设，有而在上为减函数，则，即，即，综上，.（2）证明：由，，知，，由（1）可知，所以，所以.点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.43.（Ⅰ）求出函数的导数，根据二次函数的性质证明即可；（Ⅱ）求出f（α）+f（β）的解析式，根据二次函数的性质以及ACBD均为平行四边形，求出t的值即可．解：（Ⅰ）证明：，即﹣4x2+2tx+4=0，△=4t2+64＞0，∴，，即4x﹣t=0，则零点，∴得证．（Ⅱ）要使构成平行四边形，由得，只需f（α）+f（β）=0，∴===，所以t=0．44.(Ⅰ) 解： 因为21ln ()xf x x -'=由 ()0f x '=，解得：e x =……………………………………………………3分 因为x (0, e) e (e, +)∞()f x '+-()f xZ1e]所以 ()f x 的极大值为1e，无极小值．………………………………………7分 (Ⅱ) 因为()f x 在[1, e]上是增函数， 所以 max 1()(e)ef x f ==……………………………………………………10分 ()g x 在[1, e]上是增函数所以 max ()(e)e g x g k ==……………………………………………………13分所以 2max211, 0<,e e ()1e, .e k F x k k ⎧<⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩……………………………………………15分 45.（Ⅰ）2'22()()2a x a f x x x x+=+=由'(1)220f a =+=，得1a =-. 经检验，当1a =-时取到极小值，故1a =-.（Ⅱ）由()0f x >，即22ln 0,x a x +>对任意[1,)x ∈+∞恒成立.（1）当1x =时，有a R ∈；（2）当1x >时，22ln 0,x a x +>得22ln x a x>-令2()(1)2ln x g x x x =->，得'2(2ln 1)()2ln x x g x x-=-；若1x <<，则'()0g x >；若x >'()0g x <.得()g x在上递增，在)+∞上递减。
2017-2019年高考真题导数压轴题全集(含详细解析)
2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）1．（2019•全国）已知函数2())f x x ax -． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23-，求a ．2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当03a <<时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．4．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =0x >． （Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e ∈，)+∞均有()f x …，求a 的取值范围． 注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．5．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．6．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <…，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M …． 7．（2019•天津）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<，()i 证明()f x 恰有两个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．8．（2019•天津）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．9．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0x ∈，]π时，()f x ax …，求a 的取值范围． 10．（2019•新课标Ⅱ）已知函数1()1x f x lnx x +=--． （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线．11．（2019•北京）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值．12．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()sin (1)f x x ln x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．13．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 14．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．15．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．16．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()1x f x ae lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e…时，()0f x …．17．（2018•新课标Ⅲ）已知函数21()xax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a …时，()0f x e +…．18．（2018•新课标Ⅱ）已知函数2()x f x e ax =-． （1）若1a =，证明：当0x …时，()1f x …； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ．19．（2018•浙江）已知函数()f x lnx ．（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()882f x f x ln +>-；（Ⅱ）若342a ln -…，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 20．（2018•天津）已知函数()x f x a =，()log a g x x =，其中1a >． （Ⅰ）求函数()()h x f x xlna =-的单调区间；（Ⅱ）若曲线()y f x =在点1(x ，1())f x 处的切线与曲线()y g x =在点2(x ，2())g x 处的切线平行，证明122()lnlnax g x lna+=-； （Ⅲ）证明当1ea e …时，存在直线l ，使l 是曲线()y f x =的切线，也是曲线()y g x =的切线． 21．（2018•江苏）记()f x '，()g x '分别为函数()f x ，()g x 的导函数．若存在0x R ∈，满足00()()f x g x =且00()()f x g x '='，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”． （1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()g x lnx =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，()xbe g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 22．（2018•新课标Ⅱ）已知函数321()(1)3f x x a x x =-++．（1）若3a =，求()f x 的单调区间； （2）证明：()f x 只有一个零点． 23．（2018•新课标Ⅰ）已知函数1()f x x alnx x=-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：1212()()2f x f x a x x -<--．24．（2017•全国）已知函数32()3(1)12f x ax a x x =-++． （1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a …时，讨论方程()0f x =实根的个数． 25．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()()x x f x e e a a x =--． （1）讨论()f x 的单调性； （2）若()0f x …，求a 的取值范围．26．（2017•天津）设a Z ∈，已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()g x 的单调区间；（Ⅱ）设[1m ∈，00)(x x ⋃，2]，函数0()()()()h x g x m x f m =--，求证：0()()0h m h x <； （Ⅲ）求证：存在大于0的常数A ，使得对于任意的正整数p ，q ，且[1pq∈，00)(x x ⋃，2]，满足041||p x q Aq-…． 27．（2017•新课标Ⅱ）设函数2()(1)x f x x e =-． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x …时，()1f x ax +…，求a 的取值范围． 28．（2017•山东）已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中2.71828e ≈⋯是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程；（Ⅱ）令()h x g =()x a -()()f x a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．29．（2017•天津）设a ，b R ∈，||1a …．已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()x g x e f x =． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点0(x ，0)y 处有相同的切线， ()i 求证：()f x 在0x x =处的导数等于0；()ii 若关于x 的不等式()x g x e …在区间0[1x -，01]x +上恒成立，求b 的取值范围．30．（2017•江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：23b a >；（Ⅲ）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求实数a 的取值范围．31．（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．32．（2017•新课标Ⅱ）已知函数2()f x ax ax xlnx =--，且()0f x …． （1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．33．（2017•浙江）已知函数1()(()2x f x x e x -=…．（1）求()f x 的导函数；（2）求()f x 在区间1[2，)+∞上的取值范围．34．（2017•新课标Ⅲ）已知函数2()(21)f x lnx ax a x =+++． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当0a <时，证明3()24f x a--…． 35．（2017•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)x x f x ae a e x =+--．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围． 36．（2017•新课标Ⅲ）已知函数()1f x x alnx =--． （1）若()0f x …，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222n m ++⋯+<，求m 的最小值．37．（2017•山东）已知函数3211()32f x x ax =-，a R ∈，（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(3，f （3）)处的切线方程；（2）设函数()()()cos sin g x f x x a x x =+--，讨论()g x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．38．（2016•山东）设2()(21)f x xlnx ax a x =-+-，a R ∈． （1）令()()g x f x ='，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求正实数a 的取值范围． 39．（2016•天津）设函数3()f x x ax b =--，x R ∈，其中a ，b R ∈． （1）求()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在极值点0x ，且10()()f x f x =，其中10x x ≠，求证：1020x x +=； （3）设0a >，函数()|()|g x f x =，求证：()g x 在区间[1-，1]上的最大值不小于14． 40．（2016•新课标Ⅲ）设函数()1f x lnx x =-+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当(1,)x ∈+∞时，11x x lnx-<<； （3）设1c >，证明当(0,1)x ∈时，1(1)x c x c +->． 41．（2016•北京）设函数32()f x x ax bx c =+++． （1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围； （3）求证：230a b ->是()f x 有三个不同零点的必要而不充分条件．42．（2016•新课标Ⅲ）设函数()cos2(1)(cos 1)f x a x a x =+-+，其中0a >，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '； （Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明：|()|2f x A '…．43．（2016•山东）已知221()()x f x a x lnx x -=-+，a R ∈． ()I 讨论()f x 的单调性；()II 当1a =时，证明3()()2f x f x >'+对于任意的[1x ∈，2]成立． 44．（2016•四川）设函数2()f x ax a lnx =--，1()x eg x x e=-，其中a R ∈， 2.718e ⋯=为自然对数的底数． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明：当1x >时，()0g x >；（3）确定a 的所有可能取值，使得()()f x g x >在区间(1,)+∞内恒成立． 45．（2016•江苏）已知函数()(0x x f x a b a =+>，0b >，1a ≠，1)b ≠． （1）设2a =，12b =． ①求方程()2f x =的根；②若对于任意x R ∈，不等式(2)()6f x mf x -…恒成立，求实数m 的最大值； （2）若01a <<，1b >，函数()()2g x f x =-有且只有1个零点，求ab 的值． 46．（2016•新课标Ⅱ）已知函数()(1)(1)f x x lnx a x =+--． （Ⅰ）当4a =时，求曲线()y f x =在(1，f （1）)处的切线方程； （Ⅱ）若当(1,)x ∈+∞时，()0f x >，求a 的取值范围． 47．（2016•新课标Ⅱ）（Ⅰ）讨论函数2()2xx f x e x -=+的单调性，并证明当0x >时，(2)20x x e x -++>；（Ⅱ）证明：当[0a ∈，1)时，函数2()(0)x e ax a g x x x--=>有最小值．设()g x 的最小值为h （a ），求函数h （a ）的值域．48．（2016•北京）设函数()a x f x xe bx -=+，曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线方程为(1)4y e x =-+， （Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）求()f x 的单调区间．49．（2016•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；（Ⅱ）设1x ，2x 是()f x 的两个零点，证明：122x x +<． 50．（2016•新课标Ⅰ）已知函数2()(2)(1)x f x x e a x =-+-． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•全国）已知函数2())f x x ax -． （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）若()f x 在区间[0，2]的最小值为23-，求a ．【解答】解：（1）当1a =时，2())f x x x =-， 则5322()(0)f x x x x '=-…，令()0f x '=，则35x =， ∴当305x <<时，()0f x '<；当35x >时，()0f x '>． ()f x ∴的单调递减区间为3(0,)5，单调递增区间为3(,)5+∞；（2）312253()(02)22f x x ax x '=-剟，令()0f x '=，则35a x =， 当0a …时，()0f x '>，()f x ∴在[0，2]上单调递增，∴2()(0)03min f x f ==≠-，不符合条件； 当1003a <…时，3025a <…，则当305a x <<时，()0f x '<；当325ax <<时，()0f x >，()f x ∴在3(0,)5a 上单调递减，在3(,2)5a上单调递增，∴53223332()()()()5553min a a a f x f a ==-=-，53a ∴=，符合条件；当103a >时，1023>，则当02x <<时，()0f x '<，()f x ∴在(0,2)上单调递减，∴2()(2)2)3min f x f a ==-=-，2a ∴=，不符合条件．()f x ∴在区间[0，2]的最小值为23-，a 的值为53．2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()2f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）2()626()3af x x ax x x '=-=-．令()6()03a f x x x '=-=，解得0x =，或3a．①0a =时，2()60f x x '=…，函数()f x 在R 上单调递增． ②0a >时，函数()f x 在(,0)-∞，(3a，)+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减．③0a <时，函数()f x 在(,)3a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(3a，0)上单调递减．（2）由（1）可得：①0a …时，函数()f x 在[0，1]上单调递增．则(0)1f b ==-，f （1）21a b =-+=，解得1b =-，0a =，满足条件．②0a >时，函数()f x 在[0，]3a上单调递减．13a…，即3a …时，函数()f x 在[0，1]上单调递减．则(0)1f b ==，f （1）21a b =-+=-，解得1b =，4a =，满足条件． ③013a <<，即03a <<时，函数()f x 在[0，)3a 上单调递减，在(3a，1]上单调递增．则最小值32()2()()1333a a af a b =⨯-⨯+=-，化为：3127a b -+=-．而(0)f b =，f （1）2a b =-+，∴最大值为b 或2a b -+．若：3127a b -+=-，1b =，解得3a =，矛盾，舍去．若：3127a b -+=-，21a b -+=，解得a =±0，矛盾，舍去．综上可得：存在a ，b ，使得()f x 在区间[0，1]的最小值为1-且最大值为1．a ，b 的所有值为：01a b =⎧⎨=-⎩，或41a b =⎧⎨=⎩． 3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数32()22f x x ax =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）当03a <<时，记()f x 在区间[0，1]的最大值为M ，最小值为m ，求M m -的取值范围．【解答】解：（1）2()622(3)f x x ax x x a '=-=-， 令()0f x '=，得0x =或3ax =．若0a >，则当(x ∈-∞，0)(,)3a +∞时，()0f x '>；当(0,)3ax ∈时，()0f x '<． 故()f x 在(,0)-∞，(,)3a+∞上单调递增，在(0,)3a 上单调递减；若0a =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；若0a <，则当(x ∈-∞，)(03a ⋃，)+∞时，()0f x '>；当(3ax ∈，0)时，()0f x '<．故()f x 在(,)3a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(3a，0)上单调递减；（2）当03a <<时，由（1）知，()f x 在(0,)3a 上单调递减，在(3a，1)上单调递增，()f x ∴在区间[0，1]的最小值为3()2327a a f =-+，最大值为(0)2f =或f （1）4a =-．于是，3227a m =-+，4,022,23a a M a -<<⎧=⎨<⎩…．332,0227,2327a a a M m a a ⎧-+<<⎪⎪∴-=⎨⎪<⎪⎩…． 当02a <<时，可知3227a a -+单调递减，M m ∴-的取值范围是8(,2)27；当23a <…时，327a 单调递增，M m ∴-的取值范围是8[27，1)．综上，M m -的取值范围8[27，2)．4．（2019•浙江）已知实数0a ≠，设函数()f x alnx =0x >． （Ⅰ）当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意21[x e∈，)+∞均有()f x …，求a 的取值范围． 注： 2.71828e =⋯为自然对数的底数．【解答】解：（1）当34a =-时，3()4f x lnx =-+0x >，3()4f x x '=-+=， ∴函数()f x 的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)+∞．（2）由f （1）12a…，得0a <…，当04a <…时，()f x…20lnx -…，令1t a=，则t …设()22g t t lnx =-，t …，则2()2g t t lnx=--，()i 当1[7x ∈，)+∞则()2g x g lnx =…，记()p x lnx =，17x …，则1()p x x '=-==，列表讨论：()p x p ∴…（1）0=，()2()2()0g t g p x p x ∴==厖．()ii 当211[,)7x e ∈时，()g t g =…，令()(1)q x x =++，21[x e ∈，1]7， 则()10q x'=+>，故()q x 在21[e ，1]7上单调递增，1()()7q x q ∴…，由()i 得11()()77q p p =<（1）0=，()0q x ∴<，()0g t g ∴=>…，由()()i ii 知对任意21[x e∈，)+∞，t ∈，)+∞，()0g t …，即对任意21[x e ∈，)+∞，均有()f x …，综上所述，所求的a 的取值范围是(0． 5．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解答】证明：（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11()1x f x lnx lnx x x-'=+-=-， y lnx =单调递增，1y x=单调递减，()f x ∴'单调递增， 又f '（1）10=-<，f '（2）1412022ln ln -=-=>， ∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0f x '=．当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴存在唯一的极值点．（2）由（1）知0()f x f <（1）2=-， 又22()30f e e =->，()0f x ∴=在0(x ，)+∞内存在唯一的根x a =，由01a x >>，得011x a<<， 1111()()(1)10f a f ln a a a a a=---=-=， ∴1a是()0f x =在0(0,)x 的唯一根， 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．6．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <…，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M …．【解答】解：（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---． 令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=． ()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去． 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去． 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去． 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去． 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，． 因此3a =，3b =-，213a bA +=∈， 可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-． （3）证明：0a =，01b <…，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++． △22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+…．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：11(0,]3x =，2x =．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，可得：2111[(22)]3x b x b =+-，1111()()(1)M f x x x b x ==--222211111111(22)1()()()()[(21)2]33b x b x b x x x b x b x b x b +-=--=--=--+2222111(22)11[(21)2][(222)]339b x b b b x b b b x b b +-=--+=-+-++， 22132222()022b b b -+-=---<，M ∴在1(0x ∈，1]3上单调递减，2221222524()932727b b b b M b b -+-+-∴++=剟． 427M ∴…． 7．（2019•天津）设函数()(1)x f x lnx a x e =--，其中a R ∈． （Ⅰ）若0a …，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）若10a e<<， ()i 证明()f x 恰有两个零点；()ii 设0x 为()f x 的极值点，1x 为()f x 的零点，且10x x >，证明0132x x ->．【解答】()I 解：211()[(1)]x x xax e f x ae a x e x x-'=-+-=，(0,)x ∈+∞．0a …时，()0f x '>，∴函数()f x 在(0,)x ∈+∞上单调递增．()II 证明：()i 由()I 可知：21()xax e f x x-'=，(0,)x ∈+∞． 令2()1x g x ax e =-，10a e<<，可知：()g x 在(0,)x ∈+∞上单调递减，又g （1）10ae =->．且221111()1()1()0g ln a ln ln a a a a =-=-<，()g x ∴存在唯一解01(1,)x ln a∈．即函数()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞单调递减． 0x ∴是函数()f x 的唯一极值点．令()1h x lnx x =-+，(0)x >，1()xh x x-'=， 可得()h x h …（1）0=，1x ∴>时，1lnx x <-．111111()()(1)()(1)0ln a f ln ln ln a ln e ln ln ln a a a a a=--=--<．0()f x f >（1）0=．∴函数()f x 在0(x ，)+∞上存在唯一零点．又函数()f x 在0(0,)x 上有唯一零点1． 因此函数()f x 恰有两个零点；()ii 由题意可得：0()0f x '=，1()0f x =，即0201x ax e =，111(1)x lnx a x e =-， 1011201x x x lnx ex --∴=，即1020111x x x lnx e x -=-， 1x >，可得1lnx x <-．又101x x >>， 故10220101(1)1x x x x ex x --<=-，取对数可得：100022(1)x x lnx x -<<-， 化为：0132x x ->．8．（2019•天津）设函数()cos x f x e x =，()g x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）求()f x 的单调区间； （Ⅱ）当[4x π∈，]2π时，证明()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）设n x 为函数()()1u x f x =-在区间(24n ππ+，2)2n ππ+内的零点，其中n N ∈，证明20022sin cos n n e n x x x πππ-+-<-．【解答】（Ⅰ）解：由已知，()(cos sin )x f x e x x '=-，因此， 当(24x k ππ∈+，52)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x >，得()0f x '<，()f x 单调递减；当3(24x k ππ∈-，2)()4k k Z ππ+∈时，有sin cos x x <，得()0f x '>，()f x 单调递增． ()f x ∴的单调增区间为3[24k ππ-，2]()4k k Z ππ+∈，单调减区间为[，52]()4k k Z ππ+∈； （Ⅱ）证明：记()()()()2h x f x g x x π=+-，依题意及（Ⅰ）， 有()(cos sin )x g x e x x =-，从而()()()()()(1)()()022h x f x g x x g x g x x ππ'='+'-+-='-<．因此，()h x 在区间[4π，]2π上单调递减，有()()()022h x h f ππ==…．∴当[4x π∈，]2π时，()()()02f xg x x π+-…； （Ⅲ）证明：依题意，()()10n n u x f x =-=，即cos 1n x n e x =．记2n n y x n π=-，则(,)42n y ππ∈，且22()cos cos(2)()n n y x n n n n n f y e y e x n e x N πππ--==-=∈．由20()1()n n f y e f y π-==…及（Ⅰ），得0n y y …，由（Ⅱ）知，当(4x π∈，)2π时，()0g x '<，()g x ∴在[4π，]2π上为减函数，因此，0()()()04n g y g y g π<=…， 又由（Ⅱ）知，()()()02n n n f y g y y π+-…，故0222200000()2()()()sin cos (sin cos )n n n n n n y n n f y e e e e y g y g y g y x x e y y πππππ------=--=<--剟． 20022sin cos n n e n x x x πππ-∴+-<-．9．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()2sin cos f x x x x x =--，()f x '为()f x 的导数． （1）证明：()f x '在区间(0,)π存在唯一零点； （2）若[0x ∈，]π时，()f x ax …，求a 的取值范围． 【解答】解：（1）证明：()2sin cos f x x x x x =--，()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x ∴'=-+-=+-，令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++=，当(0,)2x π∈时，cos 0x x >，当(,)2x ππ∈时，cos 0x x <，∴当2x π=时，极大值为()1022g ππ=->， 又(0)0g =，()2g π=-，()g x ∴在(0,)π上有唯一零点，即()f x '在(0,)π上有唯一零点；（2）由（1）知，()f x '在(0,)π上有唯一零点0x ， 使得0()0f x '=，且()f x '在0(0,)x 为正，在0(x ，)π为负， ()f x ∴在[0，0]x 递增，在0[x ，]π递减，结合(0)0f =，()0f π=，可知()f x 在[0，]π上非负， 令()h x ax =，()()f x h x …，根据()f x 和()h x 的图象可知，0a ∴…， a ∴的取值范围是(-∞，0]．10．（2019•新课标Ⅱ）已知函数1()1x f x lnx x +=--． （1）讨论()f x 的单调性，并证明()f x 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()f x 的一个零点，证明曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线．【解答】解析：（1）函数1()1x f x lnx x +=--．定义域为：(0，1)(1⋃，)+∞； 212()0(1)f x x x '=+>-，(0x >且1)x ≠， ()f x ∴在(0,1)和(1,)+∞上单调递增，①在(0,1)区间取值有21e，1e 代入函数，由函数零点的定义得， 21()0f e <，1()0f e >，211()()0f f e e<， ()f x ∴在(0,1)有且仅有一个零点，②在(1,)+∞区间，区间取值有e ，2e 代入函数，由函数零点的定义得，又f （e ）0<，2()0f e >，f （e ）2()0f e <，()f x ∴在(1,)+∞上有且仅有一个零点，故()f x 在定义域内有且仅有两个零点； （2）0x 是()f x 的一个零点，则有00011x lnx x +=-， 曲线y lnx =，则有1y x'=； 由直线的点斜式可得曲线的切线方程，曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线方程为：0001()y lnx x x x -=-， 即：0011y x lnx x =-+，将00011x lnx x +=-代入， 即有：00121y x x x =+-， 而曲线x y e =的切线中，在点01(ln x ，1)x 处的切线方程为：00000011111()y x ln x lnx x x x x x -=-=+， 将00011x lnx x +=-代入化简，即：00121y x x x =+-， 故曲线y lnx =在点0(A x ，0)lnx 处的切线也是曲线x y e =的切线． 故得证．11．（2019•北京）已知函数321()4f x x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （Ⅱ）当[2x ∈-，4]时，求证：6()x f x x -剟；（Ⅲ）设()|()()|()F x f x x a a R =-+∈，记()F x 在区间[2-，4]上的最大值为M （a ）．当M （a ）最小时，求a 的值． 【解答】解：（Ⅰ）23()214f x x x '=-+， 由()1f x '=得8()03x x -=，得1280,3x x ==． 又(0)0f =，88()327f =，y x ∴=和88273y x -=-，即y x =和6427y x =-； （Ⅱ）证明：欲证6()x f x x -剟， 只需证6()0f x x --剟， 令321()()4g x f x x x x =-=-，[2x ∈-，4]， 则2338()2()443g x x x x x '=-=-， 可知()g x '在[2-，0]为正，在8(0,)3为负，在8[,4]3为正，()g x ∴在[2-，0]递增，在[0，8]3递减，在8[,4]3递增，又(2)6g -=-，(0)0g =，864()6327g =->-，g （4）0=，6()0g x ∴-剟， 6()x f x x ∴-剟；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得， ()|()()|F x f x x a =-+ |()|f x x a =-- |()|g x a =-在[2-，4]上，6()0g x -剟， 令()t g x =，()||h t t a =-，则问题转化为当[6t ∈-，0]时，()h t 的最大值M （a ）的问题了，①当3a -…时，M （a ）(0)||h a a ===-，此时3a -…，当3a =-时，M （a ）取得最小值3； ②当3a -…时，M （a ）(6)|6||6|h a a =-=--=+，63a +…，M ∴（a ）6a =+，也是3a =-时，M （a ）最小为3． 综上，当M （a ）取最小值时a 的值为3-．12．（2019•新课标Ⅰ）已知函数()sin (1)f x x ln x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．【解答】证明：（1）()f x 的定义域为(1,)-+∞， 1()cos 1f x x x'=-+，21()sin (1)f x x x ''=-++， 令21()sin (1)g x x x =-++，则32()cos 0(1)g x x x '=--<+在(1,)2π-恒成立，()f x ∴''在(1,)2π-上为减函数， 又(0)1f ''=，21()11102(1)2f ππ''=-+<-+=+，由零点存在定理可知， 函数()f x ''在(1,)2π-上存在唯一的零点0x ，结合单调性可得，()f x '在0(1,)x -上单调递增，在0(x ，)2π上单调递减，可得()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）由（1）知，当(1,0)x ∈-时，()f x '单调递增，()(0)0f x f '<'=，()f x 单调递减； 当0(0,)x x ∈时，()f x '单调递增，()(0)0f x f '>'=，()f x 单调递增；由于()f x '在0(x ，)2π上单调递减，且0()0f x '>，1()0212f ππ'=-<+， 由零点存在定理可知，函数()f x '在0(x ，)2π上存在唯一零点1x ，结合单调性可知，当0(x x ∈，1)x 时，()f x '单调递减，1()()0f x f x '>'=，()f x 单调递增； 当1(,)2x x π∈时，()f x '单调递减，1()()0f x f x '<'=，()f x 单调递减．当(2x π∈，)π时，cos 0x <，101x -<+，于是1()cos 01f x x x'=-<+，()f x 单调递减，其中 3.2()1(1)1(1)1 2.610222f ln ln ln lne ππ=-+>-+=->-=，()(1)30f ln ln ππ=-+<-<．于是可得下表：结合单调性可知，函数()f x 在(1-，]2π上有且只有一个零点0，由函数零点存在性定理可知，()f x 在(2π，)π上有且只有一个零点2x ，当[x π∈，)+∞时，()sin (1)1(1)130f x x ln x ln ln π=-+<-+<-<，因此函数()f x 在[π，)+∞上无零点．综上，()f x 有且仅有2个零点．13．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ； （Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(21)2]x f x ax a x e '=-++．由题意可得曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为0， 可得(212)0a a e --+=，且f （1）30e =≠， 解得1a =；（Ⅱ）()f x 的导数为2()[(21)2](2)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--， 若0a =则2x <时，()0f x '>，()f x 递增；2x >，()0f x '<，()f x 递减． 2x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且12a =，则21()(2)02x f x x e '=-…，()f x 递增，无极值； 若12a >，则12a <，()f x 在1(a，2)递减；在(2,)+∞，1(,)a -∞递增， 可得()f x 在2x =处取得极小值； 若102a <<，则12a >，()f x 在1(2,)a 递减；在1(a，)+∞，(,2)-∞递增， 可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意；若0a <，则12a <，()f x 在1(a，2)递增；在(2,)+∞，1(,)a -∞递减， 可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意． 综上可得，a 的范围是1(2，)+∞．14．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ； （Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(1)1]x f x ax a x e '=-++．曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0， 可得2(4221)0a a e --+=， 解得12a =； （Ⅱ）()f x 的导数为2()[(1)1](1)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--， 若0a =则1x <时，()0f x '>，()f x 递增；1x >，()0f x '<，()f x 递减． 1x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且1a =，则2()(1)0x f x x e '=-…，()f x 递增，无极值； 若1a >，则11a<，()f x 在1(a ，1)递减；在(1,)+∞，1(,)a -∞递增，可得()f x 在1x =处取得极小值； 若01a <<，则11a >，()f x 在1(1,)a递减；在1(a ，)+∞，(,1)-∞递增，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意； 若0a <，则11a<，()f x 在1(a ，1)递增；在(1,)+∞，1(,)a -∞递减，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意． 综上可得，a 的范围是(1,)+∞．15．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-． （1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【解答】（1）证明：当0a =时，()(2)(1)2f x x ln x x =++-，(1)x >-． ()(1)1xf x ln x x '=+-+，2()(1)x f x x ''=+，可得(1,0)x ∈-时，()0f x ''…，(0,)x ∈+∞时，()0f x ''… ()f x ∴'在(1,0)-递减，在(0,)+∞递增， ()(0)0f x f ∴''=…，()(2)(1)2f x x ln x x ∴=++-在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =．∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）解：由2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-，得222(12)(1)(1)()(12)(1)211x ax ax x ax x ln x f x ax ln x x x ++-++++'=+++-=++， 令2()(12)(1)(1)h x ax x ax x ln x =-++++， ()4(421)(1)h x ax ax a ln x '=++++．当0a …，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， ()(0)0h x h ∴>=，即()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，故0x =不是()f x 的极大值点，不符合题意．当0a <时，12()84(1)1ah x a aln x x -''=++++， 显然()h x ''单调递减， ①令(0)0h ''=，解得16a =-．∴当10x -<<时，()0h x ''>，当0x >时，()0h x ''<，()h x ∴'在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()(0)0h x h ∴''=…，()h x ∴单调递减，又(0)0h =，∴当10x -<<时，()0h x >，即()0f x '>，当0x >时，()0h x <，即()0f x '<，()f x ∴在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 0x ∴=是()f x 的极大值点，符合题意；②若106a -<<，则(0)160h a ''=+>，161644(1)(21)(1)0a a aah ea e++-''-=--<，()0h x ∴''=在(0,)+∞上有唯一一个零点，设为0x ，∴当00x x <<时，()0h x ''>，()h x '单调递增，()(0)0h x h ∴'>'=，即()0f x '>，()f x ∴在0(0,)x 上单调递增，不符合题意；③若16a <-，则(0)160h a ''=+<，221(1)(12)0h a e e''-=->，()0h x ∴''=在(1,0)-上有唯一一个零点，设为1x ，∴当10x x <<时，()0h x ''<，()h x '单调递减，()(0)0h x h ∴'>'=，()h x ∴单调递增， ()(0)0h x h ∴<=，即()0f x '<，()f x ∴在1(x ，0)上单调递减，不符合题意． 综上，16a =-．16．（2018•新课标Ⅰ）已知函数()1x f x ae lnx =--．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1a e…时，()0f x …．【解答】解：（1）函数()1x f x ae lnx =--． 0x ∴>，1()x f x ae x'=-， 2x =是()f x 的极值点，f ∴'（2）2102ae =-=，解得212a e=， 21()12x f x e lnx e ∴=--，211()2x f x e e x∴'=-，当02x <<时，()0f x '<，当2x >时，()0f x '>， ()f x ∴在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增．（2）证明：当1a e …时，()1x e f x lnx e --…，设()1x e g x lnx e =--，则1()x e g x e x '=-，由1()0x e g x e x'=-=，得1x =，当01x <<时，()0g x '<， 当1x >时，()0g x '>， 1x ∴=是()g x 的最小值点，故当0x >时，()g x g …（1）0=，∴当1a e…时，()0f x …．17．（2018•新课标Ⅲ）已知函数21()xax x f x e +-=．（1）求曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程； （2）证明：当1a …时，()0f x e +…．【解答】解：（1）22(21)(1)(1)(2)()()x x x xax e ax x e ax x f x e e +-+-+-'==-． (0)2f ∴'=，即曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线斜率2k =，∴曲线()y f x =在点(0,1)-处的切线方程方程为(1)2y x --=．即210x y --=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ，可得22(21)(1)(1)(2)()()x x x xax e ax x e ax x f x e e +-+-+-'==-． 令()0f x '=，可得1212,0x x a==-<，当1(,)x a ∈-∞-时，()0f x '<，1(,2)x a ∈-时，()0f x '>，(2,)x ∈+∞时，()0f x '<．()f x ∴在1(,)a -∞-，(2,)+∞递减，在1(a-，2)递增，注意到1a …时，函数2()1g x ax x =+-在(2,)+∞单调递增，且g （2）410a =+> 函数()f x 的图象如下：1a …，∴1(0,1]a∈，则11()a f e e a -=--…，1()aminf x e e ∴=--…，∴当1a …时，()0f x e +…．18．（2018•新课标Ⅱ）已知函数2()x f x e ax =-．（1）若1a =，证明：当0x …时，()1f x …； （2）若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a ． 【解答】证明：（1）当1a =时，函数2()x f x e x =-． 则()2x f x e x '=-，令()2x g x e x =-，则()2x g x e '=-， 令()0g x '=，得2x ln =．当(0,2)x ln ∈时，()0g x '<，当(2,)x ln ∈+∞时，()0g x '>，2()(2)222220ln g x g ln e ln ln ∴=-=->…， ()f x ∴在[0，)+∞单调递增，()(0)1f x f ∴=…， 解：（2）方法一、，()f x 在(0,)+∞只有一个零点⇔方程20x e ax -=在(0,)+∞只有一个根，2xe a x⇔=在(0,)+∞只有一个根，即函数y a =与2()xe G x x=的图象在(0,)+∞只有一个交点．3(2)()x e x G x x-'=， 当(0,2)x ∈时，()0G x '<，当(2,)∈+∞时，()0G x '>， ()G x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，当0→时，()G x →+∞，当→+∞时，()G x →+∞，()f x ∴在(0,)+∞只有一个零点时，a G =（2）24e =．方法二：①当0a …时，2()0x f x e ax =->，()f x 在(0,)+∞没有零点．．②当0a >时，设函数2()1x h x ax e -=-．()f x 在(0,)+∞只有一个零点()h x ⇔在(0,)+∞只有一个零点．()(2)x h x ax x e -'=-，当(0,2)x ∈时，()0h x '<，当(2,)x ∈+∞时，()0h x '>， ()h x ∴在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，∴24()(2)1min ah x h e ==-，(0)x …． 当h （2）0<时，即24e a >，由于(0)1h =，当0x >时，2x e x >，可得33342241616161(4)11110()(2)a a a a a h a e e a a=-=->-=->．()h x 在(0,)+∞有2个零点当h （2）0>时，即24e a <，()h x 在(0,)+∞没有零点，当h （2）0=时，即24e a =，()h x 在(0,)+∞只有一个零点，综上，()f x 在(0,)+∞只有一个零点时，24e a =．19．（2018•浙江）已知函数()f x lnx ．（Ⅰ）若()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，证明：12()()882f x f x ln +>-；（Ⅱ）若342a ln -…，证明：对于任意0k >，直线y kx a =+与曲线()y f x =有唯一公共点． 【解答】证明：（Ⅰ）函数()f x lnx =， 0x ∴>，1()f x x'=-， ()f x 在1x x =，212()x x x ≠处导数相等，∴1211x x =， 12x x ≠，∴12=，12x x ≠，12256x x ∴>，由题意得121212()()()f x f x lnx lnx ln x x +=，设()g x lnx，则1()4)4g x x'=， ∴列表讨论：()g x ∴在[256，)+∞上单调递增， 12()(256)882g x x g ln ∴>=-， 12()()882f x f x ln ∴+>-．（Ⅱ）令(||)a k m e -+=，2||1()1a n k+=+， 则()||0f m km a a k k a -->+--…，。
(完整)2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用(一)
2019-2020年高考数学压轴题集锦——导数及其应用（一）1.已知函数2()ln (R)f x x ax x a =++∈. （1）讨论函数()f x 在[1,2]上的单调性； （2）令函数12()()x g x ex a f x -=++-，e =2.71828…是自然对数的底数，若函数()g x 有且只有一个零点m ，判断m 与e 的大小，并说明理由.2.已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值. （1）求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间； （2）若对[,1]x c ∈，不等式()2cf x <恒成立，求c 的取值范围.3.已知函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--. （1）证明'()2f x ≥；（2）如果()f x ax ≥对[0,1)x ∈恒成立，求a 的范围.4.已知函数1()xx f x e +=（e 为自然对数的底数）. （1）求函数()f x 的单调区间； （2）设函数1()()'()x x xf x tf x eϕ=++，存在实数1x ，2x [01]∈，，使得122()()x x ϕϕ<成立，求实数t 的取值范围.5.已知函数()x f x kx a =-，其中k R ∈，0a >且1a ≠ .（1）当a e =（e =2.71…为自然对数的底）时，讨论f (x )的单调性； （2）当1k =时，若函数f (x )存在最大值g (a )，求g (a )的最小值.6.已知函数()()2ln f x x ax x a R =-+-∈（1）当3a =时，求函数f (x )在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（2）函数f (x )既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围.7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()313f x x ax a R =+∈，且曲线f (x )在12x =处的切线与直线314y x =--平行 （1）求a 的值及函数f (x )的解析式；（2）若函数()y f x m =-在区间⎡-⎣上有三个零点，求实数m 的取值范围.8.已知函数(),0ln xf x ax a x=-> （1）若函数()y f x =在()1,+∞上减函数，求实数a 的最小值；（2）若存在212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立，求实数a 的取值范围.9.已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，①当0a >时，求函数f (x )的极值（用a 表示）；②若f (x )有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数f (x )图象上点A 处的切线1l 与f (x )的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a ，b 满足的关系式．10.已知函数()x xf x e e-=+，其中e 是自然对数的底数．（1）若关于x 的不等式()1xmf x e m -≤+-在(0,+∞)上恒成立，求实数m 的取值范围；（2）已知正数a 满足：存在0[1,)x ∈+∞，使得3000()(3)f x a x x <-+成立．试比较1a e-与1e a -的大小，并证明你的结论．11.已知函数()()ln 2axf x e x =+（e 为自然对数的底数）.（1）若a R ∈，()()'ax F x e f x -=，讨论()F x 的单调性； （2）若12a <，函数()()1g x f x x =--在(－1,+∞)内存在零点，求实数a 的范围.12.已知函数()(2)(1)2ln f x a x x =---（a R ∈）.（1）若函数()()g x f x x =+上带你(1,(1))g 处的切线过点(0,2)，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在1(0,)2上无零点，求a 的最小值.13.已知a R ∈，函数2()ln f x a x x=+. （1）若函数()f x 在区间(0,2)内单调递减，求实数a 的取值范围； （2）当0a >时，求函数()f x 的最小值()g a 的最大值；（3）设函数()()(2)h x f x a x =+-，[1,)x ∈+∞，求证：()2h x ≥.14.设函数22()ln ()f x a x x ax a R =-+-∈. （1）试讨论函数()f x 的单调性；（2）设2()2()ln x x a a x ϕ=+-，记()()()h x f x x ϕ=+，当0a >时，若方程()()h x m m R =∈有两个不相等的实根1x ，2x ，证明12'()02x x h +>.15.已知函数()(ln 1)(0)xf x e a x a =-+> .（1）f (x )在区间(0,2)上的极小值等于，求；（2）令()2112x g x mx x =-+-，设1212,()x x x x <是函数()()()()f x f x h x g x a'-=+的两个极值点，若m ≥，求12()()h x h x -的最小值.参考答案1.（1）由已知0x >，且2121()2x ax f x x a x x++'=++=①当280a ∆=-≤时，即当a -≤≤()0f x '≥则函数()f x 在[1,2]上单调递增…………………………………………………………1分②当280a ∆=->时，即a <-或a >2210x ax ++=有两个根，x =，因为0x >，所以x =1°当14a -≤时，令(1)30f a '=+≥，解得3a ≥-∴当3a -≤<-a >()f x 在[1,2]上单调递增…………………3分2°当12<<时，令(1)30f a '=+<，9(2)02f a '=+>， 解得932a -<<-∴当932a -<<-时，函数()f x 在[1,4a -+上单调递减，在2]上单调递增；…………………5分3°2≥时，令9(2)02f a '=+≤，解得92a ≤- ∴当92a ≤-时，函数()f x 在[1,2]上单调递减； ……………………………………6分（2）函数121()()ln x x g x e x a f x e x ax a --=++-=--+则11()()x g x e a h x x -'=--= 则121()0x h x ex-'=+>，所以()g x '在(0,)+∞上单调增 当0,(),,()x g x x g x →→-∞→+∞→+∞，所以()R g x '∈ 所以()g x '在(0,)+∞上有唯一零点1x当11(0,),()0,(,),()0x x g x x x g x ''∈<∈+∞>，所以1()g x 为()g x 的最小值由已知函数()g x 有且只有一个零点m ，则1m x =所以()0,()0,g m g m '==则111ln 0m m e a m e m am a --⎧--=⎪⎨⎪--+=⎩…………………………………9分 则11111ln ()()0m m m em e m e m m ------+-=，得11(2)ln 0m m m e m m----+= 令11()(2)ln (0)x x p x x e x x x--=--+>，所以()0,p m = 则121()(1)()x p x x ex-'=-+，所以(0,1),()0,(1,),()0x p x x p x ''∈>∈+∞< 所以()p x 在(1,)+∞单调递减， 因为1111(1)10,()(2)1(2)0e e e p p e e ee e e e---=>=--+=--< 所以()p x 在(1,)e 上有一个零点，在(,)e +∞无零点所以m e < …………………………………………………………………………………12分 2.解：（1）32'2(),()32f x x ax bx c f x x ax b =+++=++ 由'2124()0393f a b -=-+=，'(1)320f a b =++=得1,22a b =-=- '2()32(32)(1)f x x x x x =--=+-，随着x 变化时，()()f x f x ’，的变化情况如下表：所以函数()f x 的递增区间是(,)3-∞-与(1,)+∞,递减区间是(,1)3-； （2）321()22f x x x x c =--+， 当32-≤c 时，由（1）知)(x f 在[]1,c 上的最大值为222()327f c -=+所以只需要222()3272c f c -=+<，得4427c <- 当132<<-c 时，由（1）知)(x f 在[]1,c 上的最大值为323211()222f c c c c c c c c =--+=--所以只需要321()22c f c c c c =--<，解得3102c c <-<<或 所以01c <<综上所述，c 的取值范围为()1,02744,Y ⎪⎭⎫⎝⎛-∞- 3.解：（1）证明：()2112'111f x x x x =+=+-- 11<<-x Θ 故1102≤-<x()2'≥∴x f（2）由题意知()001f x ax x -≥≤<对恒成立， 设()(),01g x f x ax x =-≤<，则()22'()'1g x f x a a x=-=-- ()恒成立时，当0'2≥≤x g a ，[)()0,1g x 在上单调递增()()0g x g ≥=0,符合题意()得时，当0'2=>x g a a x=-212， 即212x a-=a x a x 21,212-=-=∴即(),0'210<-<<∴x g ax 时，)(x g 单调递减()()0g x g <=0,不合题意综上，a 的取值范围为(],2-∞4.解:(1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－xe x ，∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立， 则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝xex t x 1)1(2+-+， ∴()()()xx e x t x e t x t x x 1)1('2---=-++-=ϕ. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－2e>1； ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0； ③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减， 若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}， 即2·1t t e +<max{1，3te-}．(*) 由(1)知，g (t )＝2·1t t e+在[0,1]上单调递减， 故4e ≤2·1t t e +≤2，而2e ≤3t e -≤3e，∴不等式(*)无解． 综上所述，存在t ∈(－∞，3－2e)∪(3－2e，＋∞)，使得命题成立． 5.解：（1）由题()x f x kx e =- ()x f x k e '=- ，①当0k ≤，当()0f x '<，()f x 在R 上是减函数；②当0k >，当ln x k >，()0f x '<，()f x 在(ln )k +∞，上是减函数；当ln x k <，()0f x '> ，()f x 在(ln )k -∞， 上是增函数.即当0k ≤时，()f x 在()-∞+∞，上个递减；当0k >时，()f x 在(ln )k +∞，上递减，在(ln )k -∞，上递增. （2）当1k =，()x f x x a =-，()1ln x f x a a '=-.①当01a <<时，0x a >，ln 0a <，则()0f x '> ，()f x 在R 上为增函数，()f x 无极大值，也无最大值；②当1a >，设方程()0f x '=的根为t ，得1ln a a'=. 即1ln1ln log ln ln a a t a a==，所以()f x 在()t -∞，上为增函数，在()t +∞，上为减函数， 则()f x 的极大值为1ln1ln ()ln ln t a f t t a a a =-=-，10ln a>.令1ln1ln ()ln ln a g a a a=-，令()ln h x x x x =-，0x >.()ln h x x '=.当1x >时()0h x '>；当(01)x ∈，时()0h x '<，所以1x =为()h x 极小值也是最小值点. 且(1)1h =-，即()g a 的最小值为1-，此时a e =. 6.解：（1）当3a =时，()()()2211123123x x x x f x x x x x---+'=-+-=-=-，函数()f x 在区间1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值是()12f =，又()()15322ln 2ln 22ln 20244f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()122f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 故函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()22ln 2f =-.（2）若()f x 既有极大值又有极小值，则必须()0f x '=有两个不同正根12,x x ，即2210x ax -+=有两个不同正根，故a应满足：2080002a a aa ∆>⎧⎧->⎪⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎪⎩∴函数()f x 既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是a >7.解：（1）当0x >时，()2f x x a '=+，因为曲线()f x 在12x =处的切线与直线314y x =--平行，所以113244f a ⎛⎫'=+=-⎪⎝⎭，所以1a =-，则当0x >时，()313f x x x =-， 因为()f x 是定义在R 上的奇函数，可知()00f =， 设0x <，则0x ->，()313f x x x -=-+， 所以()()331133f x f x x x x x ⎛⎫=--=--+=- ⎪⎝⎭， 综上所述，函数()f x 的解析式为：()()313f x x x x R =-∈. （2）由()()313f x x x x R =-∈得：()21f x x '=-，令()0f x '=得：1x =± 当31x -<<-时，()0f x '>，()f x 单调递增，当11x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，当1x <<()0f x '>，()f x 单调递增，又()36f -=-，()213f -=，()213f =-，0f=函数()y f x m =-在区间⎡-⎣上有三个零点，等价于()f x 在⎡-⎣上的图像与y m =有三个公共点，结合()f x 在区间⎡-⎣上大致图像可知，实数m 的取值范围是3,02⎛⎤- ⎥⎝⎦. 8.解：因为()f x 在()1,+∞上是减函数，故()()2ln 10ln x f x a x -'=-≤在()1,+∞上恒成立，又()()()222ln 111111ln ln 24ln ln x f x a a a x x x x -⎛⎫'=-=-+-=--+- ⎪⎝⎭，故当11ln 2x =，即2x e =时，()max 14f x a '=-，所以104a -≤，于是14a ≥，故a 的最小值为14. （2）命题“若212,,x x e e ⎡⎤∃∈⎣⎦，使()()12f x f x a '≤+成立” 等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+” 由（1），当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，()max 14f x a '=-，所以()max 14f x a '+=. 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()min 14f x ≤” ①当14a ≥时，由（1），()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上是减函数，则()()222min 1124f x f e e ae ==-≤，故21124a e≥-②当14a <时，由于()2111ln 24f x a x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数， 于是()f x '的值域为()()2,f e f e ⎡⎤''⎣⎦，即1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 01.若0a -≥，即0a ≤，()0f x '≥，在2,e e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min 14f x f e e ae e ==-≥>，不合题意； 02.若0a -<，即104a <<，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一()20,x e e ∈，使()00f x '=，且满足当()0,x e x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，当()20,x x e ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()()()20000min 01,,ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈， 所以2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾，不合题意； 综上：a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.9.解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ， 得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<， 即332715a a <->或. 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23ax =-. 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=. 10.解：（1）由条件知(1)1xxx m e ee --+-≤-在(0,)+∞上恒成立，令xt e =（0x >），则1t >，所以21111111t m t t t t -≤-=--+-++-对于任意1t >成立．因为111131t t -++≥=-，∴1113111t t -≥--++-， 当且仅当2t =，即ln 2x =时等号成立． 因此实数m 的取值范围是1(,]3-∞-． （2）令函数31()(3)xx g x e a x x e =+--+，则21'()3(1)x xg x e a x e=-+-， 当1x ≥时，10xxe e->，210x -≥，又0a >，故'()0g x >， 所以()g x 是[1,)+∞上的单调递增函数，因此()g x 在[1,)+∞上的最小值是1(1)2g e e a -=+-． 由于存在0[1,)x ∈+∞，使00300(3)0xx e ea x x -+--+<成立，当且仅当最小值(1)0g <，故120e e a -+-<，即12e e a -+>．1a e -与1e a -均为正数，同取自然底数的对数，即比较(1)ln a e -与(1)ln e a -的大小，试比较ln 1e e -与ln 1aa -的大小．构造函数ln ()1x h x x =-（1x >），则211ln '()(1)xx h x x --=-，再设1()1ln m x x x =--，21'()xm x x-=，从而()m x 在(1,)+∞上单调递减， 此时()(1)0m x m <=，故'()0h x <在(1,)+∞上恒成立，则ln ()1xh x x =-在(1,+)∞上单调递减．综上所述，当1(,)2e e a e -+∈时，11a e e a --<； 当a e =时，11a e ea --=；当(,)a e ∈+∞时，11a e e a -->．11.（Ⅰ）(1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减； (2) 当0a >时,()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减,在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． （Ⅱ）a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U . 解：（I ）定义域为{}|2,x x >-()()()11'e ln 2e e ln 222ax ax ax f x a x a x x x ⎛⎫=⋅++⋅=++ ⎪++⎝⎭故()()()1e 'ln 22ax F x f x a x x -==+++ 则 ()()()22121'222a ax a F x x x x +-=-=+++ (1)若0a =，则()()'0,F x F x <在()2,-+∞ 上单调递减；…………………2分 (2)若0a ≠，令()1'02F x x a=⇒=-. ①当 0a <时，则122x a=-<-，因此在()2,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()2,-+∞ 上单调递减；②当0a >时，122x a =->-，因而在12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有()'0F x >；因此 ()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增.综上， (1) 当 0a ≤时，()F x 在()2,-+∞ 上单调递减； (2) 当0a >时， ()F x 在 12,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在12,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增． …………………5分（Ⅱ）设 ()()()()1ln 21,1,axg x f x x e x x x =--=+--∈-+∞,()()()()1''1ln 2112ax axg x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭，设()()()'1ax h x g x e F x ==-，则 ()()()()()22241''ln 22axaxax a h x e aF x F x e a x x ⎛⎫+- ⎪⎡⎤=+=++⎣⎦ ⎪+⎝⎭． (1) 若=0a ,()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞()()'1110,1,22x g x x x x --=-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分 (2)若0a < ,①当0x ≥时，01ax e <≤，由（1）知()ln 21x x +<+对任意()1,x ∈-+∞恒成立()()()ln 211)1(1()10ax ax ax g x e x x e x x x e ∴=+--<+--=+-≤，故 ()0g x <，对任意[)0,x ∈+∞恒成立， ②当10x -<<时,()'1,10a g e -->-=()1'0ln202g a =-<， 因此当10x -<<时()'g x 必有零点，记第一个零点为0x ， 当0(1,)x x ∈-时()'g x >，()g x 单调递增，()(1)0g x g >-=.由①②可知，当0a <时，()g x 必存在零点. …………………9分 (2)当102a <<，考察函数 ()'h x ，由于()()1222114'1e 210,'ln 20,22122a a h a h e a a a a -⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-<=++> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ()'h x ∴在 ()1,-+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()1,-+∞的第一个零点为1x ，则当()11,x x ∈-时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()11,x -上为减函数，又 ()()e110ah x h -=-<-<，所以当()11,x x ∈-时， ()'0g x <，从而 ()g x 在()11,x x ∈-上单调递减，故当()11,x x ∈-时恒有 ()()10g x g <-=.即()10g x < ，令'()1,()(1)ax axx e ax x a e ϕϕ=--=-，则()x ϕ在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)x ∈+∞单调递增.()(0)0x ϕϕ≥=即1,axeax ≥+注意到1ax e ax ax a ≥+>+，因此()()()()()ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-，令10ax e =时，则有()11110(1)ln 21(1)ln 10aa a ag x e a e e a e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++->+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由零点存在定理可知函数 ()y g x =在 11,a x e ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，符合题意.综上可知， a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U . …………………12分 （Ⅱ）解法二：设()()()()1ln 21,1,axg x f x x e x x x =--=+--∈-+∞,()()()()1''1ln 2112ax axg x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭，(1) 若=0a ,()()()()1ln 21,1,g x f x x x x x =--=+--∈-+∞()()'1110,1,22x g x x x x --=-=<∈-+∞++ ()g x 在()1,x ∈-+∞单调递减，()()10g x g <-=故此时函数()g x 无零点， =0a 不合题意. …………………7分 (2)若0a < ,当10x -<<时,()'1,10a g e -->-=()1'0ln202g a =-<， 因此当10x -<<时()'g x 必有零点，记第一个零点为0x ，当0(1,)x x ∈-时()'0g x >，()g x 单调递增，()0(1)0g x g >-=又 ()()001ln210,g f =-=-<所以，当0a <时，()g x 在0(,0)x x ∈必存在零点. …………………9分 (3)当102a <<，由于 ()ln 2100g <-< ， 令'()1,()(1)ax axx e ax x a e ϕϕ=--=-，则()x ϕ在(1,0)x ∈-单调递减，在(0,)x ∈+∞单调递增.()(0)0x ϕϕ≥=即1,axeax ≥+注意到 1ax e ax ax a ≥+>+，因此()()()()()ln 21(1)ln 21(1)ln 21ax g x e x x a x x x x a x =+-->++--=++-，令10ax e =时，则有()11110(1)ln 21(1)ln 10aa a ag x e a e e a e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>++->+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由零点存在定理可知函数 ()y g x =在()00,x 上存在零点，符合题意. 综上可知，a 的取值范围是 1(,0)0,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U . …………………12分 12.（1）∵()(3)(2)2ln g x a x a x =----，∴2'()3g x a x=--， ∴'(1)1g a =-， 又(1)1g =，∴121110a --==--，解得2a =， 由22'()320x g x x x-=--=<，得02x <<， ∴()g x 的单调递减区间为(0,2). （2）若函数()f x 在1(0,)2上无零点，则()f x 在1(0,)2上()0f x <或()0f x >恒成立， 因为()0f x <在区间1(0,)2上恒成立不可能，故要使函数()f x 在1(0,)2上无零点，只要对任意的1(0,)2x ∈，()0f x >恒成立，即对1(0,)2x ∈，2ln 21xa x >--恒成立. 令2ln ()21x I x x =--，1(0,)2x ∈， 则2222(1)2ln 2ln 2'()(1)(1)x x x x x I x x x --+-=-=--， 再令2()2ln 2m x x x =+-，1(0,)2x ∈， 则22222(1)'()0x m x x x x -=-+=-<， 故()m x 在1(0,)2上为减函数，于是1()()22ln 202m x m >=->， 从而'()0I x >，于是()I x 在1(0,)2上为增函数， 所以1()()24ln 22I x I <=-， 故要使2ln 21x a x >--，1(0,)2x ∈恒成立，只要[24ln 2,)a ∈-+∞， 综上，若函数()f x 在1(0,)2上无零点，则a 的最小值为24ln 2-. 13.（1）函数()f x 在区间(0,2)内单调递减(0,2)x ⇔∀∈，恒有'()0f x ≤成立，而22'()0ax f x x -=≤， 故对(0,2)x ∀∈，恒有2a x≤成立， 而21x>，则1a ≤满足条件. 所以实数a 的取值范围为(,1]-∞. （2）当0a >时，222'()0ax f x x x a-==⇒=.随x 的变化，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以()f x 的最小值()ln g a f a a a a ⎛⎫==+⎪⎝⎭. '()ln 2ln 02g a a a =-=⇒=.随x 的变化，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：（3）因为[1,)x ∈+∞， 所以当2a ≥时，()()(2)h x f x a x =+-2ln (2)a x a x x=++-. 因为22'()20ax h x a x -=+-≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 故()(1)2h x h a ≥=≥.当2a <时，()()(2)h x f x a x =--2ln (2)a x a x x=+--， 由22'()2ax h x a x-=-+ [(2)2](1)0a x x x-+-==，解得202x a=-<-（舍去）或1x =. 又20a ->，故1x ≥时，'()0h x ≥， 所以()h x 在区间[1,)+∞内是增函数， 所以()(1)42h x h a ≥=->.综上所述，对[1,)x ∀∈+∞，()2h x ≥恒成立.14.（1）由22()ln f x a x x ax =-+-，可知2'()2a f x x a x =-+-222(2)()x ax a x a x a x x--+-==. 因为函数()f x 的定义域为(0,)+∞，所以，①若0a >时，当(0,)x a ∈时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)x a ∈+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增；②若0a =时，当'()20f x x =>在(0,)x ∈+∞内恒成立，函数()f x 单调递增； ③若0a <时，当(0,)2ax ∈-时，'()0f x <，函数()f x 单调递减，当(,)2a x ∈-+∞时，'()0f x >，函数()f x 单调递增.（2）证明：由题可知()()()h x f x x ϕ=+2(2)ln (0)x a x a x x =+-->， 所以'()2(2)a h x x a x=+--22(2)(2)(1)x a x a x a x x x +---+==. 所以当(0,)2ax ∈-时，'()0h x <；当(,)2a x ∈-+∞时，'()0h x >；当2a x =时，'()02a h =. 欲证12'()02x x h +>，只需证12'()'()22x x a h h +>，又2''()20a h x x=+>，即'()h x 单调递增，故只需证明1222x x a +>. 设1x ，2x 是方程()h x m =的两个不相等的实根，不妨设为120x x <<，则21112222(2)ln (2)ln x a x a x m x a x a x m⎧+--=⎪⎨+--=⎪⎩， 两式相减并整理得1212(ln ln )a x x x x -+-22121222x x x x =-+-， 从而221212121222ln ln x x x x a x x x x -+-=-+-， 故只需证明2212121212122222(ln ln )x x x x x x x x x x +-+->-+-， 即22121212121222ln ln x x x x x x x x x x -+-+=-+-. 因为1212ln ln 0x x x x -+-<，所以(*)式可化为12121222ln ln x x x x x x --<+， 即11212222ln 1x x x x x x -<+. 因为120x x <<，所以1201x x <<， 不妨令12x t x =，所以得到22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈. 设22()ln 1t R t t t -=-+，(0,1)t ∈，所以22214(1)'()0(1)(1)t R t t t t t -=-=≥++，当且仅当1t =时，等号成立，因此()R t 在(0,1)单调递增.又(1)0R =，因此()0R t <，(0,1)t ∈， 故22ln 1t t t -<+，(0,1)t ∈得证， 从而12'()02x x h +>得证.15.解：（1）因为0a >，所以()x a f x e x'=-在区间(0,2)上单调递增， 因为()0,0x f x '→<，由题意()f x 在区间(0,2)上有极小值，故()20f '>， 所以22022a e a e ->⇒<，设0x 为在区间(0,2)上的极小值点， 故000x a e x -=，所以000001()(ln 1)(ln 1)x f x e a x a x x =-+=--， 设()1(ln 1),(0,2)g x a x x x =--∈，则()2211(1)()a x g x a x x x +'=--=-， 所以()0g x '<，即()g x 在(0,2)上单调递减，易得出()10g =，故00()01f x x =⇒=，代入000x a e x -=，可得a e =，满足22a e <，故a e =. （2）()()()()2ln 2f x f x x h x g x mx x a '-=+=-+，因为()21x mx h x x-+'=， 令()0h x '=，即210x mx -+=，两根分别为12,x x ，则12121x x m x x +=⎧⎨=⎩， 又因为221211122211()()ln ln 22h x h x x mx x x mx x -=-+-+- 22222211121212122211()()ln ()()ln 22x x x x m x x x x x x x x =---+=---+ 2222111211212221222111ln ()ln ()n ()222x x x x x x x x x x x x x x x x-=+-=-=--， 令12x t x =，由于12x x <，所以01t <<，又因为3m ≥，2221216()3x x m -=>， 即212121221()2x x x x x x x x +=++，即11623t t ++≥， 所以231030t t -+≥，解得3t ≥或13t ≤，即103t <≤， 令111()ln ()(0)23h t t t t t =--<≤，2222211121(1)()02222t t t h t t t t t t ----'=--==< 所以1()(0,]3h t =上单调递减， min 11114()()ln (3)ln 332233h t h ==--=-+，所以12()()h x h x -的最小值4ln 33-+.。
精编新版2019高考数学《导数及其应用》专题考核题完整版(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ）（2007江苏9） A ．3B ．52 C ．2 D ．322．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为（ ） （A ）y ＝3x －4 （B ）y ＝－3x ＋2（C ）y ＝－4x ＋3 （D ）y ＝4x －5（2004全国2文）（3） 二、填空题3．已知A 是曲线C 1：y ＝ax －2 (a ＞0)与曲线C 2：x 2＋y 2＝5的一个公共点．若C 1在A 处的切线与C 2在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是 ▲ ．4．已知函数y ＝f (x )在定义域⎝⎛⎭⎫－32，3上可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )，则不等式xf ′(x )≤0的解集是______ __．5．已知2(),()(1),xf x xeg x x a ==-++若12,,x x R ∃∈使得21()()f x g x ≤成立，则实数a 的取值范围是 ▲6． 函数32()f x x x x a =--+的极小值为52-，则实数a 的值为 ▲ . 7．已知函数221()23ln 2f x x ex e x b =+--在0(,0)x 处的切线斜率为零，若函数()()aF x f x x'=+有最小值m ，且2m e >，则实数a 的取值范围是 ． 8．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则=max )(ab ________9．曲线x x y C In :=在点)e e,(M 处的切线方程为___________.10．如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f =2；0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答）答案 －211．曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是 。
2019届高三数学导数压轴小题汇编
导数压轴小题(01)12【图像法】设函数()(21)xf x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x 使得0()0f x <，则a 的取值范围是（ D ）A ．3[,1)2e -B ．33[,)24e -C ．33[,)24eD ．3[,1)2e图像法】已知函数()m +-=mx xe x f x，若()0<x f 的解集为（a,b ）,其中b<0;不等式在（a,b ）中有(03)16【切线应用】若函数),()(23R b a bx ax x x f ∈++=的图象与x 轴相切于一点)0)(0,(≠m m A ，且)(x f 的极大值为21，则m 的值为 .答案： 32{f ′(m )=0f (m )=0(04)12【导数的切线法】设函数与有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为( A ) 【此题也是多变量转化+等与不等转化】 f′(x )=g′(x) ⇒ x =aA ．B ．C ．D ． 构造F(b)=−12a 2−a 2lna (05)11【导数的切线法】若对于函数()()2ln 1f x x x =++图象上任意一点处的切线1l ，在函数()sin cos g xa x x x =-的图象上总存在一条切线2l ，使得12l l⊥，则实数a 的取值范围为(D ) −2+2√2≤∃k l 2<0 A．⎤⎥⎣⎦B ．1⎡-⎢⎣⎦C.⎛⎤-∞+∞ ⎥ ⎝⎦⎣⎦UD ．(][),11,-∞-+∞U(06)12【导数的切线法】已知实数满足，实数满足，则的最小值为（ A ） 【距离模型+转化法】A ．1B ．2C ．3D ．4 (07)12【导数的切线法】若直线kx −y −k +1=0 (k ∈R)和曲线E ：y =ax 3+bx 2+53(ab ≠0)的图像交于A( x 1 y 1 ) B ( x 2 y 2 ) C ( x 3 y 3 ) (x 1<x 2<x 3)三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行，则过点（b, a ）可作曲线E 的( B )条切线 (咋读题目一头雾水，无思路！) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3(08)16【导数的直接应用】若f(x)是定义在R 上的可导函数，且满足(x −1)f′(x)≥0，则必有（ D ） A ．f(0)+ f (2)<2f(1) B ．f(0)+ f (2)>2f(1)C ．f(0)+ f (2)≤2f(1)D ．f(0)+ f (2)≥2f(1) 【易选B 】 (09)12 【导数的直接应用】若函数f (x )=e x (sinx +acosx )在(π4，π2)上单调递增，则实数的取值范围是（ A ）(A) (B) (C) (D)()()02232>-=a ax xx f ()b x a x g +=ln 2221e 221e e 1223-e ,a b ln(1)30b a b ++-=,c d 20d c -+=22()()a c b d -+-a (],1-∞(),1-∞[)1,+∞()1,+∞(10)12【利用对称中心破题】已知函数, 则的值为（ B ） （A ） （B ） （C ） （D ）(11)12【利用对称中心破题】已知函数()1cos 212x f x x x π+⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ B ） （A ）2016 （B ）1008 （C ）504 （D ）0 (12)12【利用对称中心破题】已知函数()())221ln3cos 1x x x f x x ++=+，且()20172016f =，则()2017f -=( A )A ．2014-B ．2015-C ．2016-D ．2017-(13)12【利用对称中心破题】已知函数()2ln f x x x =-与()()()()21222g x x m m R x =-+-∈-的图象上存在关于()1,0对称的点，则实数m 的取值范围是( D ) 注意题干中是存在而不是任意 f (x )=−g (2−x ) A.(),1ln 2-∞- B.(],1ln 2-∞- C. ()1ln 2,-+∞ D.[)1ln 2,-+∞(14)16【通过构造函数破题】已知函数（为自然对数的底数），若对任意的正数，当时，都有成立，则实数m 的取值范围为 .答案：[0,+∞)(15)12【通过构造函数破题】已知函数2)1ln()(x x a x f -+=，在区间（0，1）内任取两个实数p ，q ，且q p <，若不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是( B ) A ．（15，)+∞ B ．[15，)+∞ C ．（-∞，6） D ．（-∞，6] (16)11【直接法】已知直线与函数的图象交于两点AB ，若中点为点，则的大小为（ B ） A.B. C. 1 D. 2 (17)12【函数性质+K 法】已知函数f(x)=x +sinx (x ∈R)，且f (y 2−2y +3)+f(x 2−4x +1)≤0，则当y ≥1时，y x+1的取值范围是（ A ） A ．B ．C ．D ．(18)12【考查函数性质】已知函数22()(8)12(0)f x x a x a a a =++++-<，且2(4)(28)f a f a -=-，则*()4()1f n an N n -∈+的最小值为（ A ） 提示： a 2−4+2a −8=0()32331248f x x x x =-++201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑050410082016()ln xf x e m x =+,m R e ∈12,x x 12x x >()()1212f x f x x x ->-l ())()ln ln 1f x x =--AB 1,2P m ⎛⎫⎪⎝⎭m 1312A.374B.358C.328D.274(19)12.【分离参数法+隐含零点】已知函数f (x )=x +xlnx ,若k ∈Z ,并且k(x −1)<f(x)对任意的x >1恒成立，则k 的最大值为（B ） 提示：隐含零点必然用到导函数的零点的等量代换A. 2B. 3C.4D.5(20)8【考查函数的零点＋嵌套函数】已知函数⎩⎨⎧≥+--<-=1,2)2(1,)1(log )(25x x x x x f ，则方程a x x f =-+)21(的实根个数不可能为(B) 考查作图能力＋双勾函数，特别要注意双勾函数的二个拐点，本题当a=0 有３个，a=1时有７个，一共有２.３．４．６．７．８六种情况B. A ．8个 B ．7个 C ．6个D ．5个(21)12【考查函数的零点】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且当[]1,2x ∈时，()ln 1f x x x =-+， 若函数()()g x f x mx =+有7个零点，则实数m 的取值范围为（ A ） 函数的性质－对称中心要掌握哦！画出图像A. 1ln 21ln 2ln 21ln 21(,)(,)8668----⋃ B. ln 21ln 21(,)68-- C. 1ln 21ln 2(,)86-- D. 1ln 2ln 21(,)86-- (22)10【考查函数的零点】设函数()21cos ,12,01x x f x x x π⎧+>⎪=⎨⎪<≤⎩，函数()()10g x x a x x =++>，若存在唯一的0x ，使得()()(){}min ,h x f x g x =的最小值为()0h x ，则实数a 的取值范围是( A ) 好好琢磨一下本题！A. 2a <-B. 2a ≤-C. 1a <-D. 1a ≤- 画出图像(23)12【考查函数的零点】已知函数()xe f x kx x=-（e 为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k 的取值范围是（ B ） 分参后求导画出图像（画图像注意x<0部分） A ．(0,2)B ．2(0,)4eC ．(0,)eD ．(0,)+∞ 【分离参数法】(24)16【转化法+零点】已知函数()2ln (6)f x a x x a x =++-在(0,3)上不是单调函数，则实数a 的取值范围是 (0,2) 本题还需注意是相交，相切不行！求导后，分离ａ，转化为双勾函数！(25)11【图像法+转化法+零点】函数()())ln 00x x f x x x ⎧>⎪=⎨-≤⎪⎩与()()112g x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ B ） 画出f(x)图像，再画出y =12|x |＋1图像 实际转化为ln(−x)=12(−x −a +1)有解 A ．(],32ln 2-∞- B ．[)32ln 2,-+∞ C.),e ⎡+∞⎣D ．(,e -∞(26)12【考查函数的零点】定义在(1，+∞)上的函数f(x)满足下列两个条件：(1)对任意的x ∈(1，+∞)恒有f(2x)=2 f(x)成立；(2)当x ∈(1，2]时，f(x)=2﹣x ；记函数g(x)= f(x)﹣k (x ﹣1)，若函数g (x )恰有两个零点，则实数k的取值范围是（ C ） A ．[1，2）B ．4[,2]3C ．4[,2)3D ．4(,2)3f(x)图像容易画错(27)12【多变量转化+等与不等转化】已知函数n x m x g x x f ++==)32()(,ln )(，若对任意的),0(+∞∈x ,总有)()(x g x f ≤恒成立，记n m )32(+的最小值为),(n m f ，则),(n m f 最大值为（ C ）A. 1B. e 1C.21e D. e1 (28)12【多变量转化+等与不等转化】已知不等式(2)2xe a x b -+≥- 恒成立，则52b a -+的最大值为( A ) A ． ln 3- B ．ln 2- C ．1ln3-- D ．1ln2--失败：直接求导f ′(x )=e x−(a +2)(x ∈R);一般要对原函数作一下处理！分a +2>< =0三种情况讨论(29)12【多变量转化+等与不等转化】对于任意0b >，a R ∈，不等式[][]222(2)ln (1)b a b a m m --+--≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ B ） 本质是平行线间距离A ．．2 C. e D ．3(30)11【嵌套函数+零点图像法】函数f (x )={|log 2|4x −1|| x ≠14 ,0 x =14 若方程af 2(x )+bf (x )+c =0有8个不同的实根，则此8个实根之和是（ D ） 适合高一学生做A. 52 B. 4 C.114D. 2(31)10【嵌套函数法】已知函数()132,1,1x e x f x x x x -⎧<=⎨+≥⎩，则()()2f f x <的解集为( B ) 适合高一学生做A ．(1−ln2 ,+∞)B ．(−∞ ,1−ln2 ) C. (1−ln2 ,1) D ．(1 ,1+ln2)(32)12【导数＋嵌套函数法+分离参数】函数22()3,()2xf x x x ag x x =-++=-,若[()]0f g x ≥对[0,1]x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是（ C ）A.[,)e -+∞B.[ln 2,)-+∞C.[2,)-+∞D.1(,0]2-(33)11【导数＋嵌套函数法＋定义域与值域的关系】已知函数2)(+⋅+=-xxe a e xf （R a ∈，e 为自然对数的底数），若)(x f g =与))((x f f y =的值域相同，则a 的取值范围是（ A ）A ．0<aB ．1-≤aC ． 40≤<aD ．0<a 或40≤<a (34)12【导数＋嵌套函数法+分离参数】已知函数)0()1(21)(2>++-+⋅=a a x a x a e e x f x ，其中e 为自然对数的底数.若函数)(x f y =与)]([x f f y =有相同的值域，则实数a 的最大值为（ B ）A ．eB ．2 C. 1 D ．2e (35)12【导数＋嵌套函数法＋导函数零点】已知函数()3213f x x ax bx c =-+++有两个极值点12,x x ，若()112x f x x <<，则关于x 方程()()()220f x af x b --=的实根个数不可能为（ D ）． 多研究研究 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 (36)12【导数＋嵌套函数法＋导函数零点】已知函数()3213f x x ax bx c =-+++有两个极值点12,x x ，若x 1=f(x 1)，则关于x 方程()()()220f x af x b --=的实根个数为（ B ）． 多研究研究 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5(37)12【嵌套函数法＋零点】已知偶函数f(x)满足f (x +4)=f(4−x)，且当x ∈(0,4]时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式f 2(x )+af (x )>0在[−200 ,200]则实数a 的取值范围是（ D ）A. 1(ln2,ln6)3--B. 1(ln2,ln6]3--C. 13ln2(ln6,)34--D.13ln2(ln6,]34--(38)12【导数极值点常规处理手段－转化法】已知函数()ln x f x x x ae =-（e 为自然对数的底数）有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()0,e C.1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．(),e -∞f ′(x )=1+lnx −ae x =0有2解⇔g (x )=a =1+lnx e x有2解 g’(x )=1x−1−lnx e x且g’(1)=0lim g (x )n →+∞=0(39)12【5点法+向量法】将函数34y x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图象向左平移3个单位，得函数()34y x πϕϕπ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象(如图) ，点,M N 分别是函数()f x 图象上y 轴两侧相邻的最高点和最低点，设MON θ∠=，则()tan ϕθ-的值为（ A ）A ．23-．23-13．13(40)12【分析法】已知函数f (x )＝e x −ax −1，g (x )=lnx −ax +a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)＜0，则实数a 的取值范围为（ ）A 、(ln2，e 2―12) B 、(ln2，e ―1) C 、[1，e ―1) D 、[1，e 2―12)(41)12【导函数构造法】设定义在R 上的可导函数f′(x)的导函，若f(3)=1，且 3 f(x)+x f′(x)＞ln(x +1)，则不等式(x −2017)3 f(x −2017)﹣27＞0的解集( D )A ．（2014，+∞）B ．（0，2014）C ．（0，2020）D ．（2020，+∞）(42)12【导函数2次构造法】已知()f x 是定义在R 上的可导函数，且满足(2)()'()0x f x xf x ++>，则（ A ）A.()0f x >B ．()0f x <C ．()f x 为减函数D ．()f x 为增函数(43)12【导函数2次构造法】定义在R 上的函数)(x f 满足：xe x xf x f •=-')()(，且21)0(=f ，则)()(x f x f '的最大值为（ D ）A ．0B ．21C ．1 D.2 (44)12【导函数构造法】已知偶函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()f x '，当0x <时有22()()f x xf x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++--<的解集为( B )A ．(),2012-∞-B ．()2016,2012--C ．(),2016-∞-D ．()20160-，(45)12【导函数构造法】设函数()f x 满足()()232'xx f x x f x e +=，()228e f =，则[)2,x ∈+∞时，()f x 的最小值为（ D ）A.22eB.232eC.24eD.28e 【导函数构造法，特殊1题】 (46)12【导函数构造法】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，其导函数为'()f x ，若对任意的正实数x ，都有'()2()0xf x f x +>恒成立，且1f =，则使2()2x f x <成立的实数x 的集合为（ C ）A．(,)-∞+∞U B．( C．(-∞ D．)+∞(47)10【导函数构造法】已知函数()f x 为R 上的可导函数，其导函数为'()f x ，且满足()'()1f x f x +<恒成立，(0)2018f =，则不等式()20171x f x e -<+的解集为（ A ）A ．(0,)+∞B ．(,0)-∞ C.(,)e +∞ D ．(,)e -∞(48)12【导函数构造法】已知定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为'()f x ，对任意实数x 均有(1)()'()0x f x xf x -+>成立，且(1)y f x e =+-是奇函数，则不等式()0x xf x e ->的解集是（ D ）A ．(,)e -∞B ．(,)e +∞ C. (,1)-∞ D ．(1,)+∞(49)12【导函数构造法】已知定义域为Ｒ的函数f(x)的导函数为f′(x) ，并且满足f ′(x )>f (x )+1，则下列正确的是（ A ） 构造为：g (x )=f(x)e x+e −xA . f (2018)−ef(2017)>e-1 B. f (2018)−ef(2017)<e-1 C. f (2018)−ef(2017)>e+1 D. f (2018)−ef(2017)<e+1(50)16【导函数类极值零点最值】.关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是 ．(51)12【导函数类极值零点最值】已知函数()(ln )f x x x ax =-有极值，则实数a 的取值范围是（ A ）x ()22174ln 0k x x k x-+-+=k ()4,7A ．1(,)2-∞B ．1(0,)2C ．1(,]2-∞ D ．1(0,]2 【转化法】(52)12【导函数类极值零点最值】已知函数()221x f x e ax bx =-+-，其中,,a b R e ∈为自然对数的底数.若()()10,f f x '=是()f x 的导函数，函数()f x '在区间()0,1内有两个零点，则a 的取值范围是（ A ）A ．()223,1e e -+ B ．()23,e -+∞C. ()2,22e-∞+ D ．()2226,22ee -+ 觉得有问题(53)12【导函数类极值零点最值】已知a R ∈，若1()()x f x a e x=+在区间(0,1)上有且只有一个极值点，则a 的取值范围是（ B ）A ．0a <B ．0a >C ．1a ≤D ．0a ≥ 【导数应用】 (54)12【分析结构+换元法】若存在正实数m ，使得关于x 的方程()()224ln ln 0x a x m ex x m x ++-+-=⎡⎤⎣⎦有两个不同的根，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是( D ) A ．(),0-∞ B ．），（e 210 C. ),21()0,(+∞-∞e Y D ．),21(+∞e(55)16【函数性质+单调性】定义在x R ∈上的函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，且()2f x -是偶函数，若对一切实数x ，不等式()()2sin 2sin 1f x f x m ->--恒成立，则实数m 的取值范围为____________． 答案：2m <-或4m >(56)11【函数性质法-单调性+奇偶性】已知函数，若，则实数的取值范围是（ D ）A ．B ． C. D ．(57)10【函数性质法】已知函数()f x 是偶函数，(1)f x +是奇函数，且对于任意1x ，2[0,1]x ∈，且12x x ≠，都有1212()[()()]0x x f x f x --<，设82()11a f =，50()9b f =-，24()7c f =，则下列结论正确的是（ B ） A ．a b c >> B ．b a c >> C.b c a >> D ．c a b >> (58)10【函数性质-周期函数法】设函数(0)()sin f x x =，定义(1)(0)()'()f x f f x ⎡⎤=⎣⎦，(2)(1)()'()f x f f x ⎡⎤=⎣⎦，…，()(1)()'()n n f x f f x -⎡⎤=⎣⎦，则(1)(2)(3)(2017)(15)(15)(15)(15)f f f f ︒+︒+︒++︒…的值是（ A ）ABC ．0D ．1(59)12【函数性质-周期函数法】若函数)(x f y =，M x ∈对于给定的非零实数a ，总存在非零常数T ，使得定义域M 内的任意实数x ，都有)()(T x f x af +=恒成立，此时T 为)(x f 的假周期，函数)(x f y =是M 上的a 级假周期函数，若函数)(x f y =是定义在区间[)∞+，0内的3级假周期且2=T ，当，)2,0[∈x ⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤≤-=)21)(2()10(221)(f 2x x f x x x 函()()()22ln 1,0ln 1,0x x x x f x x x x x ⎧++≥⎪=⎨--+<⎪⎩()()()21f a f a f -+≤a (][),11,-∞-+∞U []1,0-[]0,1[]1,1-数m x x x x g +++-=221ln 2)(，若[]8,61∈∃x ，)0(2∞+∈∃，x 使0)()(12≤-x f x g 成立，则实数m 的取值范围是（ C ）A ．]213,(-∞ B ．]12,(-∞ C ．]39,(-∞ D ．),12[+∞ (60)12【函数解析式】（文）若，则等于（ C ）A ．－2B ．－4C ．2D ．0 (61)11【函数解析式】已知函数()f x 满足()()1120f f x x x x x⎛⎫+-=≠ ⎪⎝⎭，则()2f -=( C ) A. 72-B. 92C. 72D.92-(62)11【函数解析式】已知函数满足，若在上为偶函数，且其解析式为，则的值为（ B ）A ．-1B ．0 C.D ． (63)11【函数性质法】已知单调函数()f x ，对任意的x R ∈都有[()2]6f f x x -=．则(2)f =( C )A ． 2B ． 4C ． 6D ． 8(64)12【三角函数】在锐角三角形ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ．若2sin a b C =，则tan A+ tan B+tan C的最小值是( C ) 【三角函数难题】A. 4B.(65)12【不等式法】记},,min{c b a 为c b a ,,中的最小值，若y x ,为任意正实数，则}1,1,2min{xy y x M +=的最大值是（ D ）A ．21+B ．2C ． 22+D ．3(66)16【图像+分析法】已知函数f (x )=sinx −acosx 图像的一条对称轴为x=34π,记函数f (x )的两个极值点分别为x 1,x 2;则⌈x 1+x 2⌉的最小值为_____π2 _______ (67)10【分析法】已知函数()1cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x L 满足12306n x x x x π≤<<<<≤L 且()()()()1223f x f x f x f x -+-+L ()()()1122,n n f x f x n n N *-+-=≥∈，则n 的最小值为（ C ）A. 6B. 10C. 8D. 12 (68)11【线性规划法+平行线】若对圆22(1)(1)1x y -+-=上任意一点(,)P x y ，|34||349|x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ D ） A. 4a ≤- B. 46a -≤≤ C. 4a ≤-或6a ≥ D. 6a ≥()y g x =(2)()g x g x +=-()y f x =(2,0)(2,0)--U 2log ,02()(),20x x f x g x x <<⎧=⎨-<<⎩(2017)g -1212-(69)10【泰勒四鬼法】（理）若,则下列不等式恒成立的是（ C ）A ．B ．C ．D ．(70)12【图像法+零点】已知(),01,0x x e ax x f x ax x e⎧+>⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 有四个零点，则实数a 的取值范围是( B )A. 1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. (),e -∞- C. (),e +∞ D. 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(71)12【图像法+零点】定义在R 上的函数f(x)，满足,01[,210[,2)(22⎪⎩⎪⎨⎧-∈-∈+=），），x x x x x f 且f(x+1)=f(x-1)，若g(x)=3-x 2log ，则函数F(x ）=f(x ）-g(x ）在()∞+，0内的零点个数有( B )A.3个B.2个C.1个D.0个(72)12【图像法+零点】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<++≥+=)0(12)0(1)(2x x x x e xx f x ，若函数1))((--=a x f f y 有三个零点，则实数a 的取值范围是（ B ）A ．]3,2()11,1(⋃+eB. }13{]3,2()11,1(ee +⋃⋃+C. }13{)3,2[)11,1(ee +⋃⋃+ D. ]3,2()21,1(⋃+e(73)12【图像法+零点】已知函数34)(,||)(2+-=+--=x x x g a a x x f ，若方程|)(|)(x g x f =恰有2个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ A ）A ．1313(,)(,+228∞U ）B．1135(,)+282⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭U C ．]813,23[]2135,21(Y - D ．)813,23[]2135,21(Y - (74)12【图像法+零点】定义在)1,1(-上的函数)(x f 满足1)1(1)(+-=x f x f ，当]0,1(-∈x 时， 111)(-+=x x f ，若函数m mx x f x g ---=21)()(在)1,1(-内恰有3个零点，则实数m 的取值范围是( C ) A ．)169,41( B ． )169,41[ C ．11[,)42 D ．11(,)42(75)16【图像法+零点】已知函数()222,0,4,0.3x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，函数()()()24g x f x f x ax a =+-+有三个零点，则实数a 的取值范围为 ．答案：44,913⎡⎫--⎪⎢⎣⎭(76)12【图像法+零点】设函数1222,2()1130,2x x f x x x x +⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若互不相等的实数,,,a b c d 满足()()()f a f b f c ===()f d ，则2222a b c d +++的取值范围是（ B ）A．2,146) B ．(98,146) C．2,266)D ．(98,266)(77)12【图像法+零点】设函数21,2()5,2xx f x x x ⎧-⎪=⎨-+>⎪⎩≤，若互不相等的实数,,a b c 满足()()()f a f b f c ==，则222a b c ++的取值范围是（ B ） 【图像法+均值不等式】 A ．(16,32) B ．(18,34)C ．(17,35)D ．(6,7)(78)12【图像法+零点】已知函数2,0()e ,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤0，()e x g x =（其中e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为( D )A ．1(1ln 2)2- B ．1ln 22+ C ．1ln2-D ． 1(1ln 2)2+(79)12【图像法+零点】已知函数2,0()e ,xx x f x x >⎧=⎨⎩≤0，()e x g x =（e 是自然对数的底数），若关于x 的方程(())0g f x m -=恰有两个不等实根1x 、2x ，且12x x <，则21x x -的最小值为 ( D )A ．1(1ln 2)2- B ．1ln 22+ C ．1ln2- D ．1(1ln 2)2+(80)12【图像法+零点】已知f (x )为偶函数，对任意x ∈R , f (x )=f (2−x )恒成立，且当０≤x ≤１时，f (x )＝2−2x 2;设函数g (x )= f (x )−log 3x 则g (x )的零点的个数为（ C ）A. 6B. 7C. 8D. 9(81)11【零点】已知函数h (x )=xlnx 与函数g (x )=kx −1的图像在区间[1e ,e]上有两个不同的交点，则实数k 的取值范围是（ B ）A. [1+1e ,e −1] B. (1, 1+12] C. (1, e-1) D. (1, +∞)林老师网络编辑整理 (82)12【导数＋零点】若函数2()ln ln x f x ax x x x=+--有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( A )A.1(1,)1e e e -- B.1[1,]1e e e -- C. 1(,1)1e e e --- D. 1[,1]1e e e --- (83)11【零点】已知函数2||33()()(3)(3)3x x f x g x b f x x x -≤⎧⎪==--⎨-->⎪⎩，，函数，，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则实数b 的取值范围是（ ） A. 11(,)4-+∞ B. 11(3,)4--C. 11(,)4-∞- D. (3,0)- (84)12【零点】已知关于的方程，，若对任意的，该方程总存在唯一的实数解，则实数a 的取值范围是（ B ） A.B.C.D.(85)12【零点】已知当x ∈(1,+∞)时；关于x 的方程xlnx+(2−k)xk=−1有唯一实数解，则k 值所在的范围（ A ）A.( 3,4 )B.( 4, 5 )C. ( 5 , 6 )D. ( 6, 7 )(86)10【零点】已知函数f (x )={2018x x ≥0–x x <0 则关于x 的方程f [f(x)]=t 给出下列五个命题：① 存在实数t 使得方程没有实数根 ② 存在实数t 使得方程恰有1个实数根③ 存在实数t 使得方程恰有2个不同实数根 ④ 存在实数t 使得方程恰有3个不同实数根 ⑤ 存在实数t 使得方程恰有4个不同实数根 其中正确命题个数是（ B ）A. 4B. 3C. 2D. 1(87)12【考查二次函数值域】已知函数()()33f x x a x a =--+(0)a >在[]1,b -上的值域为[]22,0a --，则b 的取值范围是（ A ）A ．[]0,3B ．[]0,2C ．[]2,3D ．(]1,3-(88)16【外接球与内切球】.如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为 6 cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ．,,,E F G H 为圆O 上的点，,,,ABE BCF CDG ADH △△△△分别是以,,,AB BC CD DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以,,,AB BC CD DA 为折痕折起,,,ABE BCF CDG ADH △△△△，使得,,,E F G H 重合，得到一个四棱锥，当该四棱锥的侧面积是底面积的2倍时，该四棱锥的外接球的体积为 ．16F GA BD CPOQ林老师网络编辑整理解析：如下图，连结OE 交AB 于点I ，设,,,E F G H 重合于点P ．正方形的边长为(0)x x >，则2x OI =，62x IE =-．因为该四棱锥的侧面积是底面积的2倍，所以6222x x-=⋅，解得4x =．设该四棱锥的外接球的球心为Q ，外接球半径为R ，则OC OP ===222)R R =+，解得R =，外接球的体积343V π==．(89)12 【导数法】设函数，则关于函数说法错误的是（ C ） A ．在区间，内均有零点 B ．与的图象有两个交点 C. ，使得在，处的切线互相垂直 D ．恒成立(90)12【极值点偏移】已知函数()xf x e ax =-有两个零点12,x x ，12x x <，则下面说法正确的是（ D ）A ．122x x +<B ．a e <C ．121x x >D ．有极小值点0x ，且1202x x x +<(91)12【均值不等式】.若0,0,1x y x y >>+=，则2222x y x y +++的最小值为( A ) A.14B.D.12(92)12【恒成立－分离参数法】已知函数f (x )=ax +xlnx (a ∈R)的图像在点x =1e处的切线斜率为 1.当k ∈Z 时， 不等式 f (x )−kx +k >0在x ∈(1,+∞)上恒成立，则k 的最大值是（ C ）A. 1B. 2C. 3D. 4(93)12【等和线】在平行四边形ABCD 中，AB=1 AD=2 ∠BAD =π3,动点P 在以点C 为圆心并且与BD 相切的圆上，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则λ+μ 的最大值为 （ D ） A. 1 B. √5 C. 2√2 D. 3 (94)（12）已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（ D ）A ．1eB(95)12【函数综合】定义在实数集R 上的奇函数()f x 满足(+2)=-()f x f x ，且当[1,1]x ∈-时，()f x x =，则下列四个命题：① (2018)0f =； ②函数f(x)的最小正周期为2；()3xf x e x =-()y f x =(0,1)(1,)+∞ln y x =1x R ∀∈2x R ∃∈()y f x =1x x =2x x =()1f x ≥-林老师网络编辑整理② 当x ∈[−2018 , 2018]时，方程1()2f x =有2018个根； ④方程5()log ||f x x =有5个根. 其中真命题的个数为（ C ）A ． 1B ． 2 C. 3 D ．4(96)10【函数性质与数列】已知定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且满足)()23(x f x f =-，2)2(-=-f ，数列{}n a 满足11-=a ，且12+=na n S nn（{}n a S n 为的前项和n ），则=)(5a f （ D ） A ．3- B ．2- C ．3 D ．2(97)12【存在与任意】设函数()2ln 2f x x x x =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[],a b 上的值域为()()2,2k a k b ++⎡⎤⎣⎦，则k 的取值范围是（ C ）A ．92ln 21,4+⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．92ln 21,4+⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 92ln 21,10+⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．92ln 21,10+⎡⎤⎢⎥⎣⎦(98)15【存在与任意】已知函数()sin f x x x =-，若2(2)()f a f a -+≥0，则实数a 的取值范围是．54+ (99)15【存在与任意】若函数3()f x x x =+，若2(2)()f a f a -+≥0，则实数a 的取值范围是54(100)16【存在与任意】已知函数xxx f ln )(=，-=)(x g e ax x +2(e 是自然对数的底数)，对任意的∈1x R ，存在]2,31[2∈x ，有)()(21x g x f ≤，则a 的取值范围为 . ),2[+∞(101)12【导数综合】已知函数x x x x f cos sin )(-=，现有下列结论： ①当],0[π∈x 时，0)(≥x f ；②当πβα<<<0时,αββαsin sin ⋅>⋅；③若m x x n <<sin 对)2,0(π∈∀x 恒成立，则n m -的最小值等于π21-； ④已知]1,0[∈k ，当)2,0(π∈i x 时，满足k x x ii =|sin |的i x 的个数记为n ，则n 的所有可能取 值构成的集合为}.3,2,1,0{ 其中正确的个数为( C )A.1B.2C.3D.4 (102)12对于满足0<b <3a 的任意实数a,b ;函数f (x )=ax 2+bx +c 总有两个不同的零点，则a+b−c a的取值范围（）A. (1 , 74] B. (1 ,2] C. [1 ,+∞) D. (2 ,+∞) (103)15．记{}⎩⎨⎧<≥=ba b b a a b a ,,,max ，设{}82,4max 22+-+-=x y y x M ,，若对一切实数y x ,,林老师网络编辑整理m m M 22-≥ 恒成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．(104)12.记{}min ,,a b c 为,,a b c 中的最小值，若,x y 为任意正实数，则11min 2,,M x y y x ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭的最大值为( D )A. 1+2(105)12【导数+隐含零点】已知函数f (x )=xlnx +12x 2, x 0是函数f(x)的极值点。
2019年高考导数大题
（2019·1卷理科）已知函数()()x x x f +-=1ln sin ，()x f '为()x f 的导数.证明：（1）()x f '在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛-21π，存在唯一极大值点；（2）()x f 有且仅有2个零点.（2019·1卷文科）已知函数()()x x cox x x f --=sin 2，()x f '为()x f 的导数.（1）证明：()x f '在区间()π，0存在唯一零点；（2）若[]π，0∈x 时，()ax x f ≥，求a 的取值范围.（2019·2卷理科）已知函数()11ln -+-=x x x x f .（1）讨论()x f 的单调性，并证明()x f 有且仅有两个零点；（2）设0x 是()x f 的一个零点，证明曲线x y ln =在点()00ln x x ，处的切线也是曲线xe y =的切线.（2019·2卷文科）已知函数f (x )=(x -1)ln x -x -1，证明：（1）f (x )存在唯一的极值点；（2）0)(=x f 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.（2019·3卷理科）已知函数()b ax x x f +-=232.（1）讨论f (x )的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得f (x )在区间[]10，的最小值为1-且最大值为1？若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由.（2019·3卷文科）已知函数()2223+-=ax x x f .（1）讨论f (x )的单调性；（2）当30<<a 时，记)(x f 在区间[]10，的最大值为M ，最小值为m ，求m M -的取值范围.（2019·浙江）已知实数0≠a 设函数()1ln ++=x x a x f ，0>x .（注： 71828.2=e 为自然对数的底数）（1）当43-=a 时，求函数f (x )的单调区间；（2）对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞+∈，21e x 均有a x x f 2)(≤，求a 的取值范围.（2019·天津理科）设函数()x e x f x cos =，()x g 为f (x )的导函数.（1）求函数f (x )的单调区间；（2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈24ππ，x 时，证明()()02≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+x x g x f π；（3）设n x 为函数()()1-=x f x u 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛++2242ππππn n ，内零点，其中N n ∈，证明：002cos sin 22x x e x n n n -<-+-πππ.（2019·天津文科）设函数()()xe x a x xf 1ln --=，其中R a ∈.（1）若0≤a 讨论f (x )的单调性；（2）若ea 10<<，（i ）证明f (x )恰有两个零点；（ii ）设0x 为f (x )的极值点，1x 为f (x )的零点，且01x x >，证明2310>-x x .（2019·北京）已知函数()x x x x f +-=2341.（1）求曲线()x f y =的斜率为1的切线方程；（2）当[]42，-∈x 时，求证：()xx f x ≤≤-6（3）设()()()()R a a x x f x F ∈+-=，记()x F 在区间[]42，-的最大值为()a M ，当()a M 最小时，求a 的值.（2019·江苏）设()()()()c x b x a x x f ---=，a ，b ，R c ∈，()x f '为()x f 的导函数.（1）若c b a ==，()84=f ，求a 的值；（2）若b a ≠，c b =，且()x f 和()x f '的零点均在集合{}313，，-中，求()x f 的极小值；（3）若0=a ，10≤<b ，1=c ，且()x f 的极大值为M ，求证：274≤M .（PS ：上海没有导数大题）。
高考数学压轴题之当导数遇到三角
x)
对任意
x
∈
[0,
+∞)
恒成立，求实数
a
的取值范围.
【解析】（I） a = −1时， F(x) = x2 − 2x + ln x − x = x2 − 3x + ln x.求导，得
F′(x) = 2x − 3 + 1 = 2x2 − 3x + 1 = (2x − 1)(x − 1) .
x
x
x
当 x ∈(0, 1) 时， F′(x) > 0 ， F(x) 单调递增； 2
(I)求曲线
y
=
f
(x)
在点
π (
,
f
π ( ))
处的切线方程；
22
（II）若不等式 f (x) ≥ axcos x 在区间[0, π]上恒成立，求实数 a 的取值范围． 2 （2019 年北京市东城区第二次模拟理科试题）
【解析】（Ⅰ）因为
f
(x)
=
x
+
sin
x
，所以
f
′(x)
=
1+
cos
x
，f
′( π)
a
−
1 + 2 cos x (2 + cos x)2
t = 2 + cos x ∈[1, 3]
，由 ，从而 1+ 2cos x
(2 + cos x)2
=
2t − 3 t2
=
−3 t2
+
2 t
=
−3(1 − 1)2 t3
+1 3
1 ∈[1 ,1] t3
1 + 2 cos x (2 + cos x)2
高考数学真题导数专题及答案
高考数学真题导数专题及答案2019年高考真题-导数专题一、解答题（共12小题）1.已知函数 $f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^{x}-x$。
1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。
2.已知函数 $f(x)=ax^2-ax-x\ln{x}$，且 $f(x)\geq 0$。
1）求 $a$；2）证明：$f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x$，且 $e^{-2}<f(x)<2^{-2}$。
3.已知函数 $f(x)=x^{-1}-a\ln{x}$。
1）若 $f(x)\geq 0$，求 $a$ 的值；2）设 $m$ 为整数，并且对于任意正整数 $n$，$(1+\frac{1}{m})^n\geq 2$，求 $m$ 的最小值。
4.已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$（$a>0,b\in\mathbb{R}$）有极值，且导函数 $f'(x)$ 的极值点是 $f(x)$ 的零点。
1）求 $b$ 关于 $a$ 的函数关系式，并写出定义域；2）证明：$b^2>3a$；3）若 $f(x)$，$f'(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于$-1$，求 $a$ 的取值范围。
5.设函数 $f(x)=(1-x^2)e^x$。
1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）当$x\geq 0$ 时，$f(x)\leq ax+1$，求$a$ 的取值范围。
6.已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$。
1）求 $f(x)$ 的导函数；2）求 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的取值范围。
7.已知函数 $f(x)=x^2+2\cos{x}$，$g(x)=e^x(\cos{x}-\sin{x}+2x^{-2})$，其中 $e\approx 2.\cdots$ 是自然对数的底数。
Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi,f(\pi))$ 处的切线方程；Ⅱ）令 $h(x)=g(x)-af(x)$（$a\in \mathbb{R}$），讨论$h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。
2017-2019年高考真题导数压轴题全集(含详细解析)
2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）1．（2019•全国）已知函数f（x）（x2﹣ax）．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[0，2]的最小值为，求a．2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时，记f（x）在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．4．（2019•浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）＝alnx，x＞0．（Ⅰ）当a时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[，+∞）均有f（x），求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．5．（2019•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝（x﹣1）lnx﹣x﹣1．证明：（1）f（x）存在唯一的极值点；（2）f（x）＝0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．6．（2019•江苏）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M．7．（2019•天津）设函数f（x）＝lnx﹣a（x﹣1）e x，其中a∈R．（Ⅰ）若a≤0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若0＜a＜，（i）证明f（x）恰有两个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点，且x1＞x0，证明3x0﹣x1＞2．8．（2019•天津）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1在区间（2nπ ，2nπ ）内的零点，其中n∈N，证明2nπ x n＜．9．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．10．（2019•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝lnx．（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y＝lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y＝e x的切线．11．（2019•北京）已知函数f（x）x3﹣x2+x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；（Ⅱ）当x∈[﹣2，4]时，求证：x﹣6≤f（x）≤x；（Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[﹣2，4]上的最大值为M （a）．当M（a）最小时，求a的值．12．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2个零点．13．（2018•北京）设函数f（x）＝[ax2﹣（4a+1）x+4a+3]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与x轴平行，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．14．（2018•北京）设函数f（x）＝[ax2﹣（3a+1）x+3a+2]e x．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．15．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a＝0，证明：当﹣1＜x＜0时，f（x）＜0；当x＞0时，f（x）＞0；（2）若x＝0是f（x）的极大值点，求a．16．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ae x﹣lnx﹣1．（1）设x＝2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a时，f（x）≥0．17．（2018•新课标Ⅲ）已知函数f（x）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，﹣1）处的切线方程；（2）证明：当a≥1时，f（x）+e≥0．18．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝e x﹣ax2．（1）若a＝1，证明：当x≥0时，f（x）≥1；（2）若f（x）在（0，+∞）只有一个零点，求a．19．（2018•浙江）已知函数f（x）lnx．（Ⅰ）若f（x）在x＝x1，x2（x1≠x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）＞8﹣8ln2；（Ⅱ）若a≤3﹣4ln2，证明：对于任意k＞0，直线y＝kx+a与曲线y＝f（x）有唯一公共点．20．（2018•天津）已知函数f（x）＝a x，g（x）＝log a x，其中a＞1．（Ⅰ）求函数h（x）＝f（x）﹣xlna的单调区间；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）在点（x1，f（x1））处的切线与曲线y＝g（x）在点（x2，g（x2））处的切线平行，证明x1+g（x2）；（Ⅲ）证明当a时，存在直线l，使l是曲线y＝f（x）的切线，也是曲线y＝g（x）的切线．21．（2018•江苏）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）＝g（x0）且f′（x0）＝g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S 点”．（1）证明：函数f（x）＝x与g（x）＝x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）＝ax2﹣1与g（x）＝lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）＝﹣x2+a，g（x）．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．22．（2018•新课标Ⅱ）已知函数f（x）x3﹣a（x2+x+1）．（1）若a＝3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点．23．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）x+alnx．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．24．（2017•全国）已知函数f（x）＝ax3﹣3（a+1）x2+12x．（1）当a＞0时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）当a≤0时，讨论方程f（x）＝0实根的个数．25．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝e x（e x﹣a）﹣a2x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．26．（2017•天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）＝2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求g（x）的单调区间；（Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）＝g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0，2]，满足|x0|．27．（2017•新课标Ⅱ）设函数f（x）＝（1﹣x2）e x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．28．（2017•山东）已知函数f（x）＝x2+2cos x，g（x）＝e x（cos x﹣sin x+2x﹣2），其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程；（Ⅱ）令h（x）＝g（x）﹣af（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．29．（2017•天津）设a，b∈R，|a|≤1．已知函数f（x）＝x3﹣6x2﹣3a（a﹣4）x+b，g（x）＝e x f（x）．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）已知函数y＝g（x）和y＝e x的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x＝x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）≤e x在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围．30．（2017•江苏）已知函数f（x）＝x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：b2＞3a；（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于，求实数a的取值范围．31．（2017•北京）已知函数f（x）＝e x cos x﹣x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．32．（2017•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0．（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2．33．（2017•浙江）已知函数f（x）＝（x）e﹣x（x）．（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围．34．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＜0时，证明f（x）2．35．（2017•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．36．（2017•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝x﹣1﹣alnx．（1）若f（x）≥0，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1）（1）…（1）＜m，求m的最小值．37．（2017•山东）已知函数f（x）x3ax2，a∈R，（1）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；（2）设函数g（x）＝f（x）+（x﹣a）cos x﹣sin x，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．38．（2016•山东）设f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（1）令g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；（2）已知f（x）在x＝1处取得极大值，求正实数a的取值范围．39．（2016•天津）设函数f（x）＝x3﹣ax﹣b，x∈R，其中a，b∈R．（1）求f（x）的单调区间；（2）若f（x）存在极值点x0，且f（x1）＝f（x0），其中x1≠x0，求证：x1+2x0＝0；（3）设a＞0，函数g（x）＝|f（x）|，求证：g（x）在区间[﹣1，1]上的最大值不小于．40．（2016•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝lnx﹣x+1．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x∈（1，+∞）时，1＜＜x；（3）设c＞1，证明当x∈（0，1）时，1+（c﹣1）x＞c x．41．（2016•北京）设函数f（x）＝x3+ax2+bx+c．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）设a＝b＝4，若函数f（x）有三个不同零点，求c的取值范围；（3）求证：a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．42．（2016•新课标Ⅲ）设函数f（x）＝a cos2x+（a﹣1）（cos x+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．43．（2016•山东）已知f（x）＝a（x﹣lnx），a∈R．（I）讨论f（x）的单调性；（II）当a＝1时，证明f（x）＞f′（x）对于任意的x∈[1，2]成立．44．（2016•四川）设函数f（x）＝ax2﹣a﹣lnx，g（x），其中a∈R，e＝2.718…为自然对数的底数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．45．（2016•江苏）已知函数f（x）＝a x+b x（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．（1）设a＝2，b．①求方程f（x）＝2的根；②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）＝f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．46．（2016•新课标Ⅱ）已知函数f（x）＝（x+1）lnx﹣a（x﹣1）．（Ⅰ）当a＝4时，求曲线y＝f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若当x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，求a的取值范围．47．（2016•新课标Ⅱ）（Ⅰ）讨论函数f（x）e x的单调性，并证明当x＞0时，（x﹣2）e x+x+2＞0；（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）（x＞0）有最小值．设g（x）的最小值为h（a），求函数h（a）的值域．48．（2016•北京）设函数f（x）＝xe a﹣x+bx，曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y＝（e﹣1）x+4，（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．49．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2有两个零点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＜2．50．（2016•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．2017-2019年高考真题导数压轴题全集（含详细解析）参考答案与试题解析一．解答题（共50小题）1．（2019•全国）已知函数f（x）（x2﹣ax）．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在区间[0，2]的最小值为，求a．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）（x2﹣x），则f'（x）（x≥0），令f'（x）＝0，则x，∴当0＜x＜时，f'（x）＜0；当x＞时，f'（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，，单调递增区间为，；（2）f'（x）（0≤x≤2），令f'（x）＝0，则x，当a≤0时，f'（x）＞0，∴f（x）在[0，2]上单调递增，∴，不符合条件；当＜时，＜，则当0＜x＜时，f'（x）＜0；当＜＜时，f（x）＞0，∴f（x）在，上单调递减，在，上单调递增，∴，∴a，符合条件；当a＞时，＞，则当0＜x＜2时，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，2）上单调递减，∴，∴a，不符合条件．∴f（x）在区间[0，2]的最小值为，a的值为．2．（2019•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+b．（1）讨论f（x）的单调性；（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x）．令f′（x）＝6x（x）＝0，解得x＝0，或．①a＝0时，f′（x）＝6x2≥0，函数f（x）在R上单调递增．②a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减．③a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减．（2）由（1）可得：①a≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递增．则f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝2﹣a+b＝1，解得b＝﹣1，a＝0，满足条件．②a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减．1，即a≥3时，函数f（x）在[0，1]上单调递减．则f（0）＝b＝1，f（1）＝2﹣a+b ＝﹣1，解得b＝1，a＝4，满足条件．③0＜＜1，即0＜a＜3时，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增．则最小值f（）a b＝﹣1，化为：b＝﹣1．而f（0）＝b，f（1）＝2﹣a+b，∴最大值为b或2﹣a+b．若：b＝﹣1，b＝1，解得a＝3＞3，矛盾，舍去．若：b＝﹣1，2﹣a+b＝1，解得a＝±3，或0，矛盾，舍去．综上可得：存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1．a，b的所有值为：，或．3．（2019•新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+2．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0＜a＜3时，记f（x）在区间[0，1]的最大值为M，最小值为m，求M﹣m的取值范围．【解答】解：（1）f′（x）＝6x2﹣2ax＝2x（3x﹣a），令f′（x）＝0，得x＝0或x．若a＞0，则当x∈（﹣∞，0）∪（，）时，f′（x）＞0；当x∈（0，）时，f′（x）＜0．故f（x）在（﹣∞，0），（，）上单调递增，在（0，）上单调递减；若a＝0，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；若a＜0，则当x∈（﹣∞，）∪（0，+∞）时，f′（x）＞0；当x∈（，0）时，f′（x）＜0．故f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减；（2）当0＜a＜3时，由（1）知，f（x）在（0，）上单调递减，在（，1）上单调递增，∴f（x）在区间[0，1]的最小值为，最大值为f（0）＝2或f（1）＝4﹣a．于是，m2，M，＜＜，＜．∴M﹣m，＜＜，＜．当0＜a＜2时，可知2﹣a单调递减，∴M﹣m的取值范围是（，）；当2≤a＜3时，单调递增，∴M﹣m的取值范围是[，1）．综上，M﹣m的取值范围[，2）．4．（2019•浙江）已知实数a≠0，设函数f（x）＝alnx，x＞0．（Ⅰ）当a时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）对任意x∈[，+∞）均有f（x），求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．【解答】解：（1）当a时，f（x），x＞0，f′（x），∴函数f（x）的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+∞）．（2）由f（1），得0＜a，当0＜a时，f（x），等价于2lnx≥0，令t，则t，。
最新2019高考数学《导数及其应用》专题完整考试题(含答案)(K12教育文档)
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2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级:__________ 考号：__________一、选择题1．32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ )（A)-2 （B)0 （C ）2 （D)4（2006浙江文）二、填空题2． 已知a > 0，方程x 2-2ax —2a ln x =0有唯一解,则a = . 123． 曲线21()cos 3f x x x =-在0x =处的切线的斜率为 ▲ 。
4．若函数f （x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足(1) 2f '=，则(1)f '-= ．5．已知函数x x mx x f 2ln )(2-+=在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 6．若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴，则a =____________。
(2013年高考广东卷（文））7．函数32()15336f x x x x =--+的单调减区间为 . 解析 考查利用导数判断函数的单调性。
2()330333(11)(1)f x x x x x '=--=-+,由(11)(1)0x x -+<得单调减区间为(1,11)-。
精编新版2019高考数学《导数及其应用》专题完整考试题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ） （A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)（2004全国2理）（10）2．已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为（ ）（全国二文）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知函数y =f (x ),y =g (x )的导函数的图象如下图，那么y =f (x ),y =g (x )的图象可能是（ ）(2008福建理)二、填空题 4．曲线12ex y =在点2(4e )，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为5． 函数32()f x x x x a =--+的极小值为52-，则实数a 的值为 ▲ . 6．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则实数a 的取值范围是 ． 7．曲线9y x=在点(3,3)M 处的切线方程为 ． 8． 曲线y=2lnx 在点(e,2)处的切线与y 轴交点的坐标为_________.9．已知3()f x x ax =-在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数a 的最大值是 。
10．已知函数x x x f sin )(=，∈x R ，则)5(πf ，)1(f ，）（3π-f 的大小关系为 ▲11．已知函数2 1()(2) 1ax bx c x f x f x x ⎧++≥-=⎨--<-⎩，其图象在点(1,(1)f )处的切线方程为21y x =+,则它在点(3,(3))f --处的切线方程为 ▲12．已知过点)3,9(P 的直线l 与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于A 、B 两点， 则距离AB 最小值为 。
13．曲线13++=x x y 在点（1，3）处的切线方程是 。
2019各省高考导数压轴
1 x0 1 x0 x0 1
x0 x0
1 1
x0
1 x0
．
1
1
曲线 y=ex 在点 B( ln x0 , x0 ) 处切线的斜率是 x0 ，曲线 y ln x 在点 A(x0 , ln x0 ) 处切
1
线的斜率也是 ，
x0
所以曲线 y ln x 在点 A(x0 , ln x0 ) 处的切线也是曲线 y=ex 的切线．
综上， f (x) 0 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.
（2019 高考真题三卷理数）已知函数 f (x) 2x3 ax2 b .
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）是否存在 a, b ，使得 f (x) 在区间[0,1] 的最小值为 1且最大值为 1？若存在，求出 a, b 的所有值；若不存在，说明理由.
（iii）当
0<a<3
时，由（1）知，
f
(x)
在[0，1]的最小值为
f
a 3
a3 27
b ，最大值
为 b 或2ab．
若 a3 b 1 ，b=1，则 a 33 2 ，与 0<a<3 矛盾. 27
若 a3 b 1 ， 2 a b 1，则 a 3 3 或 a 3 3 或 a=0，与 0<a<3 矛盾． 27
由（1）知， f (x) 在 (0, π) 只有一个零点，设为 x0 ，且当 x 0, x0 时， f (x) 0 ； 当 x x0, π 时， f (x) 0 ，所以 f (x) 在 0, x0 单调递增，在 x0, π 单调递减.
又 f (0) 0, f (π) 0 ，所以，当 x [0, π] 时， f (x) 0 .
范围.
精选最新版2019高考数学《导数及其应用》专题完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．曲线y=sin x 1M(,0)sin x cos x 24π-+在点处的切线的斜率为( )（A ）．21-（B ）．21 （C ）．22- （D ）．22（2011湖南文7）2．函数()()mnf x ax x =1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ，n 的值可能是 （A ）1,1m n == (B) 1,2m n == (C) 2,1m n == (D) 3,1m n ==（2011安徽理）B 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.二、填空题3．已知函数f (x )＝e x －ax 在区间(0，1)上有极值，则实数a 的取值范围是 ▲ ．4．已知函数()2()10f x ax a =+>，3()g x x bx =+。
（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1,c 处具有公共切线，求a ，b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(],1-∞-上的最大值。
5．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______，极小值为______．[答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2，令y ′>0得－1<x <1，令y ′<0得x >1或x <－1， ∴当x ＝－1时，取极小值－1，当x ＝1时，取极大值1.xyO(2,0)P ()y f x =()y f x '=1 （第7题图）6．已知函数()y f x =及其导函数()y f x '=的图象如图所示，则曲线()y f x =在点P 处的切线方程是 ▲7．设函数()x x x f ln 2+=，若曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为b ax y +=，则=+b a 。
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2019年高考数学导数压轴题专项训练(一)
1、已知函数().
,22R a x ax e x f x ∈--=(Ⅰ)求函数()x f 的图像恒过的定点的坐标；
(Ⅱ)若()1'--≥ax x f 恒成立，求a 的值；
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，证明：()x f 存在唯一的极小值点0x ，且()4
12-0-<<x f .2、已知函数()x x x g ln sin 1+=
θ
在),1[+∞上为增函数，且），（πθ0∈，()().ln 1R m x x
m mx x f ∈---=(Ⅰ)求θ的值；(Ⅱ)若()()x g x f -在),1[+∞上为单调函数，求m 的取值范围；
(Ⅲ)设()x
e x h 2=
，若在],1[e 上至少存在一个0x ，使得()()()000x h x g x f >-成立，求m 的取值范围.3、已知函数()()R c b c bx x x f ∈++=,2，并设()()x e x f x F =.(Ⅰ)若()x F 图像在0=x 处的切线方程为0=-y x ，求c b ,的值；(Ⅱ)若()x F 是()∞+∞，-上的单调递增函数，则：(ⅰ)当0≥x 时，判断()x f 与()2
c x +的大小关系，并证明；(ⅱ)对于满足题设条件的任意c b ,，不等式()()22Mb b f Mc c f -≤-恒成立，求M 的取值范围.
4、已知函数()x f 是定义在],0()0,[e e -上的奇函数，当],0(e x ∈时，()x ax x f ln +=(其中R a ∈).
(Ⅰ)求()x f 的解析式；
(Ⅱ)设())0,[,ln e x x x
x g -∈=，求证：当1-=a 时，()()2
1+>x g x f ；(Ⅲ)是否存在实数a ，使得当)0,[e x -∈时，()x f 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；若果不存在，请说明理由.
5、已知()()2211,,,y x B y x A 是函数()⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-≠-=21,121,212x x x x f 的图像上的任意两点(可以重合)，点M 在直线2
1=x 上，且MB AM =.(Ⅰ)求21x x +以及21y y +的值；
(Ⅱ)已知01=S ，当2≥n 时，⎪⎭
⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=n f n f n f S n 321 ，求n S ；(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，设n S n a 2=，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若存在正整数m c ,，使得不等式2
11<--+c T c T m m 成立，求m c ,的值.6、已知函数()()0>+=x x
t x x f ，过点()0,1P 做曲线()x f y =的两条切线PN PM ，，切点分别为N M ,.
(Ⅰ)当2=t 时，求函数()x f 的单调递增区间；(Ⅱ)设()t g MN =，试求函数()t g 的表达式；
(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，若对任意的正整数n ，在区间]64,2[n n +内，总存在1+m 个数121.,,+m a a a ，使得不等式()()()()121+<+++m m a g a g a g a g 成立，求
m 的最大值.
7、已知函数()()1log +=x x f a ，()()t x x g a +=2log 2()R t ∈，其中]15,0[∈x ，0>a ，且1≠a .
(Ⅰ)若1=x 是关于x 的方程()()0=-x g x f 的一个解，求t 的值；(Ⅱ)当10<<a 时，不等式()()x g x f ≥恒成立，求t 的取值范围；(Ⅲ)当]56,26[∈t 时，函数()()()x f x g x F -=2的最小值为()t h ，试求()t h 的解析式.
8、设函数()c bx x x f n n ++=()R c b N n ∈∈+,,.
(Ⅰ)设1,1,2-==≥c b n ，证明：()x f n 在区间)1,2
1(内存在唯一零点；(Ⅱ)设n 为偶数，()()11,11≤≤-f f ，求c b 3+的最小值和最大值；(Ⅲ)设2=n ，若对任意]1,1[,21-∈x x ，有()()421≤-x f x f ，求b 的取值范围.
9、给出定义在),0(+∞上的三个函数：()()()()x a x x h x af x x g x x f -=-==,,ln 2，已知()x g 在1=x 处取得极值.
(Ⅰ)确定函数()x h 的单调性；
(Ⅱ)求证：当21e x <<时，恒有()()
x f x f x -+<22成立；(Ⅲ)把函数()x h 的图像向上平移6个单位得到函数()x h 1的图像，试确定函数()()x h x g y 1-=的零点个数，并说明理由.
10、已知函数()()02≠++=a c bx ax x f 满足()00=f ，且对任意R x ∈都有
()x x f ≥，且⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x f x f 2121，令()()()01>--=λλx x f x g .
(Ⅰ)求函数()x f 的表达式；
(Ⅱ)求函数()x g 的单调区间；
(Ⅲ)研究函数()x g 在区间)1,0(上的零点个数.
11、对于定义在区间D 上的函数()x f 和()x g ，如果对任意D x ∈，都有()()1≤-x g x f 成立，那么称函数()x f 在区间D 上可被函数()x g 替代.
(Ⅰ)若()()x x g x x f ln ,12=-=
，试判断在区间],1[e 上()x f 能否被()x g 替代；(Ⅱ)记()()x x g x x f ln ,==，证明：()x f 在),1(m m ()1>m 上不能被()x g 替代；(Ⅲ)设()()x x x g ax x a x f +-=-=22
1,ln ，若()x f 在区间],1[e 上能被()x g 替代，求实数a 的取值范围.
【参考答案】1、
9、
10、
11、。