经典二次函数和实际应用题解法.doc
(完整word版)中考经典二次函数应用题(含答案),推荐文档
二次函數應用題1、某體育用品商店購進一批滑板，每件進價為100元，售價為130元，每星期可賣出80件.商家決定降價促銷，根據市場調查，每降價5元，每星期可多賣出20件. （1）求商家降價前每星期の銷售利潤為多少元？（2）降價後，商家要使每星期の銷售利潤最大，應將售價定為多少元？最大銷售利潤是多少？2、某商場將進價為2000元の冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了配合國家“家電下鄉”政策の實施，商場決定採取適當の降價措施.調查表明：這種冰箱の售價每降低50元，平均每天就能多售出4臺．（1）假設每臺冰箱降價x 元，商場每天銷售這種冰箱の利潤是y 元，請寫出y 與x 之間の函數運算式；（不要求寫引數の取值範圍）（2）商場要想在這種冰箱銷售中每天盈利4800元，同時又要使百姓得到實惠，每臺冰箱應降價多少元？ （3）每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱の利潤最高？最高利潤是多少？3、張大爺要圍成一個矩形花圃．花圃の一邊利用足夠長の牆另三邊用總長為32米．矩米の籬笆恰好圍成．圍成の花圃是如圖所示の矩形ABCD ．設AB 邊の長為x 形ABCD の面積為S 平方米．（1）求S 與x 之間の函數關係式（不要求寫出自變數x の取值範圍）． （2）當x 為何值時，S 有最大值？並求出最大值．（參考公式：二次函數2y ax bx c =++（0a ≠），當2bx a=-時，244ac b y a -=最大(小)值)4、某電視機生產廠家去年銷往農村の某品牌電視機每臺の售價y （元）與月份x 之間滿足函數關係502600y x =-+，去年の月銷售量p （萬臺）與月份x 之間成一次函數關係，其中兩個月の銷售情況如下表：月份1月 5月 銷售量3.9萬臺4.3萬臺 求該品牌電視機在去年哪個月銷往農村の銷售金額最大？最大是多少？5、某商場試銷一種成本為每件60元の服裝，規定試銷期間銷售單價不低於成本單價，且獲利不得高於45%，經試銷發現，銷售量y （件）與銷售單價x （元）符合一次函數y kx b =+，且65x =時，55y =；75x =時，45y =． （1）求一次函數y kx b =+の運算式；（2）若該商場獲得利潤為W 元，試寫出利潤W 與銷售單價x 之間の關係式；銷售單價定為多少元時，商場可獲得最大利潤，最大利潤是多少元？（3）若該商場獲得利潤不低於500元，試確定銷售單價x の範圍．6、某商場在銷售旺季臨近時 ，某品牌の童裝銷售價格呈上升趨勢，假如這種童裝開始時の售價為每件20元，並且每週（7天）漲價2元，從第6周開始，保持每件30元の穩定價格銷售，直到11周結束，該童裝不再銷售。
二次函数的应用与实际问题解决
二次函数的应用与实际问题解决二次函数是高中数学中一个非常重要的概念，它在现实生活中有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念和特点，并以几个实际问题为例，阐述二次函数在实际问题解决中的应用。
一、二次函数的基本概念和特点二次函数是代数学中的一种函数类型，其数学表达式为：\[y = ax^2 + bx + c\]其中，a、b、c为常数，且a≠0。
在二次函数中，x为自变量，y为因变量，它们之间存在一种二次关系。
二次函数的图像是一个抛物线，具有一些特点：1. 对称轴二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它将图像分为两个对称的部分。
对称轴的方程为\(x = -\frac{b}{2a}\)。
2. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，也就是满足方程\(ax^2 + bx + c = 0\)的x的值。
如果方程有实根，则函数图像与x轴有两个交点，如果方程无实根，则函数图像与x轴没有交点。
3. 极值点二次函数的极值点是函数图像上离对称轴最近（或最远）的点，其y坐标称为极值。
如果a>0，则函数的图像开口向上，极值点是最低点；如果a<0，则函数的图像开口向下，极值点是最高点。
4. 函数增减性二次函数的增减性取决于a的正负性。
当a>0时，函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增；当a<0时，函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减。
以上是二次函数的基本概念和特点，下面我们将介绍几个实际问题，并运用二次函数解决这些问题。
二、实际问题的应用1. 弹体运动问题假设一个弹体从地面上射出，其轨迹可以用二次函数描述。
我们已知弹体离地面的高度与时间的关系为$h = -5t^2 + 20t$，其中h表示高度（米），t表示时间（秒）。
现在要求解这个问题的几个具体情况：（1）弹体达到最大高度时的时间和高度是多少？（2）弹体什么时间落地？（3）弹体射出后的高度变化过程。
对于（1），我们可以通过求解二次函数的极值点来得到。
二次函数方程的应用题解析
二次函数方程的应用题解析二次函数方程是高中数学中重要的一部分，它在实际生活和各个领域中有着广泛的应用。
本文将从实际问题出发，通过解析具体的应用题，介绍二次函数方程的应用方法和解题思路。
1. 弹射物体的高度计算假设一球从地面上以速度v0垂直上抛，经过时间t后，求球的高度h。
根据物理知识，球的高度h与时间t之间的关系可以用二次函数方程h=-gt^2+vt表示，其中g是自由落体加速度。
解题步骤：（1）确定二次函数的三要素，即开口方向、平移和伸缩等。
（2）将问题中已知的速度v0和时间t代入二次函数方程，解得球的高度h。
2. 投影问题假设有一个斜抛运动，以速度v0沿着夹角α斜抛出去，求物体的水平位移x和垂直位移y。
解题步骤：（1）将水平方向和垂直方向的速度分解，分别为v0cosα和v0sinα。
（2）根据时间t的不同，将x和y分别表达为关于t的函数。
（3）令y=0，求解方程得到物体落地的时间t0。
（4）将t0代入x的函数中，求解物体的水平位移x。
3. 关于顶点的最值问题对于二次函数方程f(x)=ax^2+bx+c，其中a>0，顶点的横坐标为x0=-b/2a。
（1）最值问题：若a>0，则f(x)在x0处取得最小值，最小值为f(x0)。
（2）最值问题：若a<0，则f(x)在x0处取得最大值，最大值为f(x0)。
通过上述例题，我们不难发现，二次函数方程在解决实际问题中起到了重要的作用。
掌握二次函数方程的应用方法和解题思路，将有助于我们更好地理解和应用数学知识。
总结：二次函数方程在实际应用中具有广泛的应用价值。
本文从弹射物体的高度计算、投影问题以及关于顶点的最值问题等方面，解析了二次函数方程的应用方法和解题思路。
通过深入理解和练习实际问题的解析，我们可以更好地掌握二次函数方程的应用技巧，提高数学解题能力。
二次函数的应用题及解答
二次函数的应用题及解答在数学中，二次函数是一类常见的函数类型，由形如y=ax²+bx+c的方程所定义，其中a、b和c是实数且a不等于零。
二次函数在现实生活中有着广泛的应用，例如在物理学、经济学和工程学等领域。
本文将探讨二次函数的应用题及解答，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
1. 弹射问题假设有一个小球从地面上以初速度v0竖直上抛，忽略空气阻力的影响。
则小球的高度可用二次函数模型y=-gt²+v0t+h来描述，其中g是重力加速度，t为时间，h为抛射的起始高度。
问题：一个小球从地面上以10 m/s的速度竖直上抛，起始高度为1.5m。
求小球的高度和时间的关系，并计算小球落地时的时间。
解答：根据模型y=-gt²+v0t+h，将已知数据代入，得到二次函数模型为y=-5t²+10t+1.5。
我们需要求解该函数的根，即令y=0，解得t=0和t=2。
因此，小球的高度和时间的关系可用二次函数y=-5t²+10t+1.5表示。
落地时的时间为t=2秒。
2. 投射问题假设有一枚炮弹以一定角度a和初速度v0被抛射出去，并忽略空气阻力的影响。
则炮弹的水平位移可用二次函数模型x=v0cos(a)t来表示，垂直位移可用二次函数模型y=-gt²+v0sin(a)t来表示。
问题：一枚炮弹以60°的角度和100 m/s的速度被抛射，求炮弹的轨迹和最远射程。
解答：根据模型x=v0cos(a)t和y=-gt²+v0sin(a)t，将已知数据代入，得到二次函数模型x=50t和y=-5t²+86.6t。
炮弹的轨迹由这两个函数表示。
为了求解最远射程，我们需要找到函数y=-5t²+86.6t的顶点坐标。
通过求导可得到顶点坐标为(8.66, 346.4)。
因此，最远射程为346.4米，对应的水平位移为8.66米。
3. 经济问题假设某个公司的固定成本为C0，每单位产品的生产成本为C，每单位产品的售价为P。
第09讲 实际问题与二次函数 (解析版)
第9讲实际问题与二次函数一、知识梳理1.根据实际问题列二次函数解析式【例1】.（1）某工厂1月份的产值是200万元，平均每月产值的增长率为x（x＞0），则该工厂第一季度的产值y 关于x的函数解析式为y＝200x2+600x+600（x＞0）．【分析】首先分别表示出二月、三月的产值，然后再列出函数解析式即可．【解答】解：由题意得：y＝200+200（1+x）+200（1+x）2＝200x2+600x+600（x＞0），故答案为：y＝200x2+600x+600（x＞0）．（2）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m＝162﹣3x．（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．【分析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润＝（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【解答】解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y＝m（x﹣30），又∵m＝162﹣3x，∴y＝（x﹣30）（162﹣3x），即y＝﹣3x2+252x﹣4860，∵x﹣30≥0，∴x≥30．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54．∴30≤x≤54．∴所求关系式为y＝﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）．（2）由（1）得y＝﹣3x2+252x﹣4860＝﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【变式训练1】.（1）某种商品的价格为5元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后的价格y（单位：元）随每次降价的百分率x的变化而变化，则y与x之间的关系式为y＝5（1﹣x）2．【分析】根据题意可得第一次降价后的价格为5（1﹣x），第二次降价后价格为5（1﹣x）（1﹣x），进而可得y与x之间的关系式．【解答】解：由题意得：y＝5（1﹣x）2，故答案为：y＝5（1﹣x）2．（2）学校准备将一块长20m，宽14m的矩形绿地扩建，如果长和宽都增加xm，设增加的面积是ym2．（1）求x与y之间的函数关系式．（2）若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加多少米？【分析】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式；（2）将y＝72代入（1）中的函数关系式，即可解答本题．【解答】解：（1）由题意可得，y＝（20+x）（14+x）﹣20×14化简，得y＝x2+34x，即x与y之间的函数关系式是：y＝x2+34x；（2）将y＝72代入y＝x2+34x，得72＝x2+34x，解得，x1＝﹣36（舍去），x2＝2，即若要使绿地面积增加72m2，长与宽都要增加2米．2.二次函数的应用（1）利用二次函数解决利润问题在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．（2）几何图形中的最值问题几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．（3）构建二次函数模型解决实际问题利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．【例2】.（1）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（）m．A．3B．6C．8D．9【分析】根据已知确定平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．故选：B．（2）如果矩形的周长是16，则该矩形面积的最大值为（）A．8B．15C．16D．64【分析】首先根据矩形周长为16，设一条边长x，矩形面积为y，可表示出另一边长为8﹣x，再根据矩形面积＝长×宽列出函数解析式并配方即可得结论．【解答】解：∵矩形周长为16，∴设一条边长x，矩形面积为y，则另一边长为8﹣x，∴y＝（8﹣x）x＝﹣x2+8x＝﹣（x﹣4）2+16，∴当x＝4时，y有最大值是16．（3）若实数m、n满足m+n＝2，则代数式2m2+mn+m﹣n的最小值是﹣6．【分析】设y＝2m2+mn+m﹣n，由m+n＝2得n＝2﹣m，再由二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：设y＝2m2+mn+m﹣n，∵m+n＝2，∴n＝2﹣m，∴y＝2m2+m（2﹣m）+m﹣（2﹣m）＝m2+4m﹣2＝（m+2）2﹣6，此为一个二次函数，开口向上，有最小值，当m＝﹣2时，y有最小值为﹣6，故答案为：﹣6．（4）某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？【分析】根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，根据二次函数的性质求最值即可．【解答】解：设每件童装降价x元，利润为y元，由题意，得：y＝（40﹣x）（20+2x）＝﹣2（x﹣15）2+1250，∴当x＝15时，y取得最大值，此时y＝1250元，答：每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元．【变式训练2】.（1）一次足球训练中，小明从球门正前方将球射向球门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高是2.44m，若足球能射入球门，则小明与球门的距离可能是（）A．10m B．8m C．6m D．5m【分析】建立直角坐标系，根据题意求出函数解析式，求y＜2.44对应的x的值．【解答】解：如图，建立直角坐标系，设抛物线解析式为y＝a（x﹣6）2+3，将（0，0）代入解析式得a＝，∴抛物线解析式为y＝（x﹣6）2+3，当x＝10时，y＝，＜2.44，满足题意，故选：A．（2）如图，P是抛物线y＝x2﹣2x﹣3在第四象限的一点，过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，则四边形OAPB周长的最大值为．【分析】设P（x，x2﹣2x﹣3）根据矩形的周长公式得到C＝﹣2（x﹣）2+．根据二次函数的性质来求最值即可．【解答】解：设P（x，x2﹣2x3），∵过点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为A、B，∴四边形OAPB为矩形，∴四边形OAPB周长＝2P A+2OA＝﹣2（x2﹣2x﹣3）+2x＝﹣2x2+6x+6＝﹣2（x2﹣3x）+6，＝﹣2+．∴当x＝时，四边形OAPB周长有最大值，最大值为．故答案为．（3）已知抛物线y＝﹣x2﹣3x+3，点P（m，n）在抛物线上，则m+n的最大值是4．【分析】把点P（m，n）代入抛物线的解析式，得到n＝﹣m2﹣3m+3，等式两边同加m得m+n＝﹣m2﹣2m+3，得到m+n关于m的二次函数解析式，然后整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答．【解答】解：∵点P（m，n）在抛物线y＝﹣x2﹣3x+3上，∴n＝﹣m2﹣3m+3，∴m+n＝﹣m2﹣2m+3＝﹣（m+1）2+4，∴当m＝﹣1时，m+n有最大值4．故答案为：4．（4）某商店购进一批冬季保暖内衣，每套进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80套．现因临近春节，商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20套．设保暖内衣售价为x元，每星期的销量为y件．（1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（2）求y与x之间的函数关系式．（3）当每件售价定为多少时，每星期的销售利润最大？最大销售利润是多少？【分析】（1）商家降价前，每套的利润是30元，销售量是80套，根据利润＝每套的利润×销售量，即可得出结论；（2）根据每降价5元，每星期可多卖出20套，当保暖内衣售价为x元时列出函数关系即可；（3）根据每星期的销售利润等于单套的利润乘以销售量列出函数的关系式，然后根据二次函数的性质求函数最值．【解答】解：（1）由题意得：（130﹣100）×80＝2400 （元），∴商家降价前每星期的销售利润为2400元；（2）由题意可得：y＝×20+80＝﹣4x+600，∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣4x+600；（3）设每星期的销售利润为w元，则：w＝（x﹣100）y＝（x﹣100）（﹣4x+600）＝﹣4（x﹣125）²+2500，∴当每件售价定为125 元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润2500元．答：当每件售价定为125 元时，每星期的销售利润最大，最大销售利润2500元．二、课堂训练1．某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为40米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，围成的苗圃面积为y，则y关于x的函数关系式为（）A．y＝x（40﹣x）B．y＝x（18﹣x）C．y＝x（40﹣2x）D．y＝2x（40﹣2x）【分析】先用含x的代数式表示苗圃园与墙平行的一边长，再根据面积＝长×宽列出y关于x的函数关系式．【解答】解：设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则苗圃园与墙平行的一边长为（40﹣2x）米．依题意可得：y＝x（40﹣2x）．故选：C．2．如图1，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图2所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时（图中点A）离球网的水平距离为5米，排球与地面的垂直距离为0.5米，排球在球网上端0.26米处（图中点B）越过球网（女子排球赛中球网上端距地面的高度为2.24米），落地时（图中点C）距球网的水平距离为2.5米，则排球运动路线的函数表达式为（）A．y＝﹣x2﹣x+B．y＝﹣x2+x+C．y＝x2﹣x+D．y＝x2+x+【分析】方法一：根据题意结合函数的图象，得出图中A、B、C的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可；方法二：根据四个选项中关系式系数的特点，结合抛物线位置，确定a、b的符号和c的值，就可以直接得出答案．【解答】解：方法一：0.26+2.24＝2.5＝（米）根据题意和所建立的坐标系可知，A（﹣5，），B（0，），C（，0），设排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，将A、B、C的坐标代入得：，解得，a＝﹣，b＝﹣，c＝，∴排球运动路线的函数关系式为y＝﹣x2﹣x+，故选：A．方法二：排球运动路线的函数关系式为y＝ax2+bx+c，由图象可知，a＜0，a、b同号，即b＜0，c＝，故选：A．3．对于向上抛出的物体，在没有空气阻力的条件下，满足这样的关系式：h＝vt﹣gt2，其中h是上升高度，v是初始速度，g为重力加速度（g≈10m/s2），t为抛出后的时间．若v＝20m/s，则下列说法正确的是（）A．当h＝20m时，对应两个不同的时刻点B．当h＝25 m时，对应一个时刻点C．当h＝15m时，对应两个不同的时刻点D．h取任意值，均对应两个不同的时刻点【分析】把v＝20m/s，g≈10m/s2代入h＝vt﹣gt2，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得函数的最大值，则问题得解．【解答】解：∵h＝vt﹣gt2，v＝20m/s，g≈10m/s2，∴h＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t）＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2s时，h有最大值为20m，即物体能达到的最大高度为20m，且h＝20m时，只有一个时刻，∴A、B、D均不正确．∵h＝20t﹣5t2为开口向下的二次函数，h有最大值为20m，∴当h＝15m时，对应两个不同的时刻点．∴C正确．故选：C．4．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系（如图），水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+3，则下列结论错误的是（）A．柱子OA的高度为3mB．喷出的水流距柱子1m处达到最大高度C．喷出的水流距水平面的最大高度是3mD．水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外【分析】根据题目中的二次函数解析式可以判断各个小题中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴当x＝0时，y＝3，即OA＝3m，故A选项正确，当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4，故B选项正确，C选项错误，当y＝0时，x＝3或x＝﹣1（舍去），故D选项正确，故选：C．5．如图，已知二次函数的图象（0≤x≤1+2）．关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最小值﹣2，无最大值B．有最小值﹣2，有最大值﹣1.5C．有最小值﹣2，有最大值2D．有最小值﹣1.5，有最大值2【分析】根据图象及x的取值范围，求出最大值和最小值即可．【解答】解：根据图象及x的取值范围，当x＝1时，y取最小值为﹣2，当x＝1+2，y取最大值为2，∴该函数有最小值﹣2，有最大值2，故选：C．6．一台机器原价为60万元，如果每年价格的折旧率为x，两年后这台机器的价格为y万元，则y关于x的函数关系式为y＝60（1﹣x）2．【分析】原价为60万元，一年后的价格是60×（1﹣x），二年后的价格是为：60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，可得结论．【解答】解：由题意知：两年后的价格是为：y＝60×（1﹣x）×（1﹣x）＝60（1﹣x）2，则函数解析式是：y＝60（1﹣x）2，故答案为：y＝60（1﹣x）2．7．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y（单位：m）与它距离喷头的水平距离x（单位：m）之间满足函数关系式y＝﹣2x2+4x+1，则喷出水珠的最大高度是3 m．【分析】先把函数关系式配方，求出函数的最大值，即可得出水珠达到的最大高度．【解答】解：∵y＝﹣2x2+4x+1＝﹣2（x﹣1）2+3，∴当x＝1时，y有最大值为3，∴喷出水珠的最大高度是3m，故答案为：3．8．某商场经营一种小商品，已知购进时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为280件．而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，当月销售利润最大时，销售单价为39元．【分析】设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为x﹣20元，销售数量为280﹣（x﹣30）•10，根据公式利润＝（售价﹣进价）×销售数量．通过配方可求利润最大值．【解答】解：设销售单价为x元时，销售利润最大，单价利润为（x﹣20）元，销售数量为280﹣（x﹣30）•10，∴利润总额为y＝（x﹣20）•[280﹣（x﹣30）•10]，化简得：y＝﹣10x2+780x﹣11600，配方得：y＝﹣10（x﹣39）2+3160，当单价为39元时，有最大利润3610元，故答案为：39．9．汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是s＝﹣3t2+8t，汽车从刹车到停下来所用时间是秒．【分析】当汽车停下来时，s最大，故将s＝﹣3t2+8t写成顶点式，则顶点横坐标值即为所求．【解答】解：∵s＝﹣3t2+8t，＝﹣3（t﹣）2+，∴当t＝秒时，s取得最大值，即汽车停下来．故答案为：．10．疫情期间，按照防疫要求，学生在进校时必须排队接受体温检测，某校统计了学生早晨到校情况，发现从7：00开始，在校门口的学生人数y（单位：人）随时间x（单位：分钟）的变化情况的图象是二次函数图象的一部分，如图所示．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）求校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有多少人；（3）从7：00开始，需要多少分钟校门口的学生才能全部进校？【分析】（1）根据图象用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据函数的性质求最值；（3）令y＝0，解方程﹣x2+16x+34＝0即可．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝ax2+bx+c，根据题意得：，解得：，∴y＝﹣x2+16x+34；（2）由（1）知，﹣＜0，∴y有最大值，y max＝＝＝162，∴校门口排队等待体温检测的学生人数最多时有162人；（3）令y＝0，得：﹣x2+16x+34＝0，解得：x1＝﹣2（舍），x2＝34，∴从7：00开始，需要34分钟校门口的学生才能全部进校．11．某超市销售一种商品，每件成本为50元，销售人员经调查发现，销售单价为100元时，每月的销售量为50件，而销售单价每降低2元，则每月可多售出10件，且要求销售单价不得低于成本．（1）求该商品每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（不需要求自变量取值范围）（2）若使该商品每月的销售利润为4000元，并使顾客获得更多的实惠，销售单价应定为多少元？（3）超市的销售人员发现：当该商品每月销售量超过某一数量时，会出现所获利润反而减小的情况，为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为多少元？【分析】（1）明确题意，找到等量关系求出函数关系式即可；（2）根据题意，按照等量关系“销售量×（售价﹣成本）＝4000”列出方程，求解即可得到该商品此时的销售单价；（3）设每月所获利润为w，按照等量关系列出二次函数，并根据二次函数的性质求得最值即可．【解答】解：（1）∵依题意，得：y＝50+（100﹣x）××10＝﹣5x+550，∴y与x的函数关系式为y＝﹣5x+550；（2）∵依题意得：y（x﹣50）＝4000，即（﹣5x+550）（x﹣50）＝4000，解得：x1＝70，x2＝90，∵70＜90，∴当该商品每月销售利润为4000，为使顾客获得更多实惠，销售单价应定为70元；（3）设每月总利润为w，依题意得w＝y（x﹣50）＝（﹣5x+550）（x﹣50）＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，∵﹣5＜0，此图象开口向下，∴当x＝80时，w有最大值为4500元，∴为了每月所获利润最大，该商品销售单价应定为80元．三、课后巩固1．设等边三角形的边长为x（x＞0），面积为y，则y与x的函数关系式是（）A．y＝x2B．y＝C．y＝D．y＝【分析】作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可得高，利用三角形的面积＝底×高，把相关数值代入即可求解．【解答】解：作出BC边上的高AD．∵△ABC是等边三角形，边长为x，∴CD＝x，∴高为h＝x，∴y＝x×h＝x2．故选：D．2．如图1是一只葡萄酒杯，酒杯的上半部分是以抛物线为模型设计而成，且成轴对称图形．从正面看葡萄酒杯的上半部分是一条抛物线，若AB＝4，CD＝3，以顶点C为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，则抛物线的表达式为（）A．B．C．D．【分析】直接根据题意得出B点坐标，进而假设出抛物线解析式，进而得出答案．【解答】解：∵AB＝4，CD＝3，∴B（2，3），设抛物线解析式为：y＝ax2，则3＝4x，解得：a＝，故抛物线的表达式为：y＝x2．故选：A．3．中国贵州省内的射电望远镜（F AST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点O到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是（）A．y＝x2﹣100B．y＝﹣x2﹣100C．y＝x2D．y＝﹣x2【分析】直接利用抛物线解析式结合已知点坐标得出答案．【解答】解：由题意可得：A（﹣250，0），O（0，﹣100），设抛物线解析式为：y＝ax2﹣100，则0＝62500a﹣100，解得：a＝，故抛物线解析式为：y＝x2﹣100．故选：A．4．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列四个结论：其中正确结论的个数是（）①图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；②当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值随x值的增大而增大；③当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；④当x＝1时，函数的最大值是4．A．4B．3C．2D．1【分析】观察图象，分别计算出对称轴、函数图象与x轴的交点坐标，结合图象逐个选项分析判断即可．【解答】解：观察图象可知，图象具有对称性，对称轴是直线x＝﹣＝1，故①正确；令|x2﹣2x﹣3|＝0可得x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝3，∴（﹣1，0）和（3，0）是函数图象与x轴的交点坐标，又对称轴是直线x＝1，∴当﹣1＜x＜1或x＞3时，函数值y随x值的增大而增大，故②正确；由图象可知（﹣1，0）和（3，0）是函数图象的最低点，则当x＝﹣1或x＝3时，函数最小值是0，故③正确；由图象可知，当x＜﹣1时，函数值随x的减小而增大，当x＞3时，函数值随x的增大而增大，均存在大于顶点坐标的函数值，故当x＝1时的函数值4并非最大值，故④错误．综上，只有④错误．故选：B．5．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．图2是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米．当喷射出的水流距离喷水头20米时，达到最大高度11米，现将喷灌架置于坡度为1：10的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为2.3米的石榴树AB，因为刚刚被喷洒了农药，近期不能被喷灌．下列说法正确的是（）A．水流运行轨迹满足函数y＝﹣x2﹣x+1B．水流喷射的最远水平距离是40米C．喷射出的水流与坡面OA之间的最大铅直高度是9.1米D．若将喷灌架向后移动7米，可以避开对这棵石榴树的喷灌【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，用待定系数法求得解析式，则可判断A；当x＝40时，y＝0.1×40＝4，y＝4，解方程，即可判断B；计算当x＝30时的y值，则可判断选项C和D．【解答】解：由题意可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+c，将（0，1），（20，11）分别代入，得：，解得：，∴y＝﹣（x﹣20）2+11＝﹣x2+x+1，故A错误；∵坡度为1：10，∴直线OA的解析式为y＝0.1x，当x＝40时，y＝0.1×40＝4，令y＝4，得﹣x2+x+1＝4，∴x2﹣40x+120＝0，解得x＝20±2≠40，∴B错误；设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为h米，则h＝﹣x2+x+1﹣0.1x＝﹣x2+x+1，∴对称轴为x＝﹣＝18，∴h max＝9.1，故C正确；将喷灌架向后移动7米，则图2中x＝30时抛物线上的点的纵坐标值等于x＝37时的函数值，当x＝37时，y＝﹣×372+37+1＝3.775，在图2中，当x＝30时，点B的纵坐标为：0.1×30+2.3＝5.3＞3.775，故D错误．故选：C．6．如图，某抛物线型桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，如图所示建立平面直角坐标系，则该抛物线对应的函数关系式为y＝﹣x2+x．【分析】由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．利用顶点式即可解决问题．【解答】解：由图象可知抛物线顶点坐标（20，16），经过（0，0），（40，0）．设抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+16，把（0，0）代入得到a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣20）2+16，即y＝﹣x2+x，故答案为：y＝﹣x2+x．7．一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度h（米）与经过的时间t（秒）满足以下函数关系：h＝﹣5t2+15t，则该球从弹起回到地面需要经过3秒，距离地面的最大高度为米．【分析】当该球从弹起回到地面时h＝0，代入求出时间t即可；对函数关系式进行配方找到最大值即距离地面的最大高度．【解答】解：当该球从弹起回到地面时h＝0，∴0＝﹣5t2+15t，解得：t1＝0或t2＝3，t＝0时小球还未离开地面，∴t＝3时小球从弹起回到地面；∵h＝﹣5t2+15t＝﹣5（t﹣）2+，﹣5＜0，∴当t＝时，h取得最大值；故答案为：3，．8．飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝60t﹣t2，飞机着陆至停下来共滑行750m．【分析】将函数解析式配方成顶点式求出y的最大值即可得．【解答】解：∵y＝60t﹣t2＝﹣（t﹣25）2+750，∴当t＝25时，y取得最大值750，即飞机着陆后滑行750米才能停下来，故答案为：750m．9．二次函数y＝x2﹣2x+m的最小值为2，则m的值为3．【分析】先把y＝x2﹣2x+m配成顶点式得到y＝（x﹣1）2+m﹣1，根据二次函数的性质得到当x＝1时，y有最小值为m﹣1，根据题意得m﹣1＝2，然后解方程即可．【解答】解：y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2+m﹣1，∵a＝1＞0，∴当x＝1时，y有最小值为m﹣1，∴m﹣1＝2，∴m＝3．故答案为：3．10．为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价﹣成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．【解答】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx+b（k≠0），则，解得：，∴当8≤x≤32时，y＝﹣3x+216，当32＜x≤40时，y＝120，∴y＝．（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣3x+216）＝﹣3（x﹣40）2+3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x﹣8）y＝120（x﹣8）＝120x﹣960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元．11．为鼓励更多的农民工返乡创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给农民工自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．王明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯，已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系满足一次函数：y＝﹣5x+400．（1）王明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？（2）设王明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？最大利润为多少？（3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于35元，如果王明想要每月获得的利润不低于4125元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？【分析】（1）求出销售量，根据政府每件补贴2元，即可解决问题；（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可；（3）根据条件确定出自变量的取值范围，求出y的最小值即可解决问题．【解答】解：（1）当x＝20时，y＝﹣5x+400＝﹣5×20+400＝300，300×（12﹣10）＝300×2＝600（元），答：政府这个月为他承担的总差价为600元；（2）依题意得，w＝（x﹣10）（﹣5x+400）＝﹣5x2+450x﹣4000＝﹣5（x﹣45）2+6125，∵a＝﹣5＜0，∴当x＝45时，w有最大值6125元．答：当销售单价定为45元时，每月可获得最大利润6125元；（3）由题意得：﹣5x2+450x﹣4000＝4125，解得：x1＝25，x2＝65，∵a＝﹣5＜0，抛物线开口向下，当25≤x≤65时，4125≤w≤6125，又∵x≤35，∴当25≤x≤35时，w≥4125，∴当x＝35时，政府每个月为他承担的总差价最小，y＝﹣5×35+400＝225，225×2＝450（元），∴政府每个月为他承担的总差价最小值450元，答：销售单价定为35元时，政府每个月为他承担的总差价最少为450元．。
二次函数的实际应用(利润最值问题)附答案
第3课时 二次函数的实际应用——最大(小)值问题[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值． 解：4)1(2-+=x y当1-=x 时，y 有最小值4-，无最大值．（2）求函数322-+=x x y 的最值．)30(≤≤x解：4)1(2-+=x y∵30≤≤x ，对称轴为1-=x∴当12330有最大值时；当有最小值时y x y x =-=．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？解：设涨价（或降价）为每件x 元，利润为y 元，1y 为涨价时的利润，2y 为降价时的利润 则：)10300)(4060(1x x y -+-=)60010(102---=x x 6250)5(102+--=x当5=x ，即：定价为65元时，6250max =y （元）)20300)(4060(2x x y +--= )15)(20(20+--=x x6125)5.2(202+--=x当5.2=x ，即：定价为57.5元时，6125max =y （元） 综合两种情况，应定价为65元时，利润最大．[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？ 解：设每件价格提高x 元，利润为y 元， 则：)20400)(2030(x x y --+= )20)(10(20-+-=x x 4500)5(202+--=x 当5=x ，4500max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？ 解：设旅行团有x 人)30(≥x ，营业额为y 元， 则：)]30(10800[--=x x y )110(10--=x x 30250)55(102+--=x 当55=x ，30250max =y （元）答：当旅行团的人数是55人时，旅行社可以获得最大营业额．[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表： 若日销售量y 是销售价x 的一次函数． ⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？解：⑴设一次函数表达式为b kx y +=．则1525,220k b k b +=⎧⎨+=⎩ 解得⎩⎨⎧=-=401b k ，•即一次函数表达式为40+-=x y ．⑵ 设每件产品的销售价应定为x 元， 所获销售利润为w 元y x w )10(-=)40)(10(+--=x x400502-+-=x x225)25(2+--=x当25=x ，225max =y （元）答：产品的销售价应定为25元时，每日获得最大销售利润为225元．【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点： ⑴在“当某某为何值时，什么最大(或最小、最省)”的设问中，•“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；⑵求解方法是依靠配方法或最值公式，而不是解方程． 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ ⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)． 解：⑴设y=kx+b 由图象可知，3040020,:402001000k b k k b b +==-⎧⎧⎨⎨+==⎩⎩解之得， 即一次函数表达式为100020+-=x y )5030(≤≤x ． ⑵ y x P )20(-=)100020)(20(+--=x x 200001400202-+-=x x∵020<-=a ∴P 有最大值．当35)20(21400=-⨯=x 时，4500max =P （元）（或通过配方，4500)35(202+--=x P ，也可求得最大值）答：当销售单价为35元/千克时，每天可获得最大利润4500元．⑶∵44804500)35(2041802≤+--≤x 16)35(12≤-≤x ∴31≤x •≤34或36≤x≤39．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_-1，_时，y 有最_小_值，这个值是23-． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为12--=x y (只写一个)，此类函数都有_大_值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，此时关于一元二次方程2x 2－6x +m =0的解的情况是_有解_(填“有解”或“无解”)解：29)23(22-+-=m x y ∵0)23(22≥-x ，要使0>y ，只有029>-m ∴29>m4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 4.5米 ．解：当05.3=y 时，21 3.55y x =-+05.3= 45.052⨯=x ，5.1=x 或5.1-=x （不合题意，舍去）5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面__7_m ．解：t t s 1052+-=5)1(52+--=t当1=t 时，5max =s ，所以，最高点距离地面725=+(米)．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天 在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天 行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_36_米．7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价_5_元，最大利润为_625_元．解：设每件价格降价x 元，利润为y 元， 则：)20)(70100(x x y +--=600102++-=x x 625)5((2+--=x 当5=x ，625max =y （元）答：价格提高5元，才能在半个月内获得最大利润．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．解：设9)8(2+-=x a y ，将点A )1,0(代入，得81-=a12819)8(8122++-=+--=x x x y令0=y ，得09)8(812=+--=x y98)8(2⨯=-x268±=x ，)0,268(+C ，∴5.242688≈++=OC (米)9．（20XX 年青岛市）在20XX 年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x ，y ）所对应的点．连接各点并观察所得的图形，判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式； （2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？解：（1）由图象可知，y 是x 的一次函数，设y=kx+b ，• ∵点（•25，2000），（24，2500）在图象上，∴200025500,:25002414500k bk k b b =+=-⎧⎧⎨⎨=+=⎩⎩解得 ， ∴y=-500x+14500．（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500))37744144142(500)37742(500)29)(13(50022+-+--=+--=---=x x x x x x=-500(x-21)2+32000∴P 与x 的函数关系式为P=-500x 2+21000x-188500，当销售价为21元/千克时，能获得最大利润，最大利润为32000元．10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式； (2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？ 解：(1)由题意知：p=30+x,(2)由题意知：活蟹的销售额为(1000－10x)(30+x)元,死蟹的销售额为200x 元.∴Q=(1000－10x)(30+x)+200x=－10x 2+900x+30000. (3)设总利润为W 元则：W=Q －1000×30－400x=－10x 2+500x=－10(x 2－50x) =－10(x －25)2+6250.当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元． 答：这批蟹放养25天后出售，可获最大利润．11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少? (3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元? 解：)802)(20()20(+--=-=x x w x y)40)(20(2---=x x)80060(22+--=x x 200)30(22+--=x 160012022-+-=x x当30=x ，200max =y （元）(1)y 与x 之间的的函数关系式为；160012022-+-=x x y(2)当销售价定为30元时，每天的销售利润最大，最大利润是200元． (3) 150200)30(22=+--x ，25)30(2=-x28351>=x （不合题意，舍去）252=x答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为25元．12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？解：（1）甲地当年的年销售额为万元；．（2）在乙地区生产并销售时，年利润．由，解得或．经检验，不合题意，舍去，．（3）在乙地区生产并销售时，年利润，将代入上式，得（万元）；将代入，得（万元）．，应选乙地．。
二次函数实际应用例题与解答,中考数学二次函数解决实际应用问题经典题型及答案解析
二次函数实际应用示例1.在排球家中，_队员站在边线发球，发球方向与边线垂直，球开始飞行时距地面1.9米，当球飞行距离为9米时达最大高度5.5米，已知球场长18米，问这样发球是否会直接把球打出边线？思路解析*先建立坐标系，如图，根据已知条件求出抛物线的解析式，再 求抛物线与x轴的交点坐标（横坐标为正），若这点的横坐标大于18,就可判断球出线.解：以发球员站立位置为原点，球运动的水平方向为x轴，建立直角坐标系伽图）.由于其图象的顶点为（95执设二^函教关系式为y=a（x-9）、S.5（3丰0）,由已知，这个函数的图象过（0,1.9）,可以得到1.9=0（0-9）2+552解得a----7，45所以，所求二｝欠函数的关系式是y=-M（x-9）2十5.5.45排球落在x轴上，则y=O,因此，-：（x・9）2+5.5=0.解方程，得*=9十半点0.1,X2=9-峪（负值，不合题意，舍去）.所以，排球约在20」米远处落下，因为20.1>18,所以，这样发球会直接把球打出边线，2.某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物,如图26.3-9所示,大门地面亮AB二4m,解：以队员甲投球站立位置为原点，球运动的水平方向为X轴，建立直角坐标系.由于球在空中的路径为抛物线，其图象的顶点为(4,4),设二｝欠函数关系式为y=a(x-4)2-4(g0),由已知，这个函数的图象过(024),可以得到24=3(0-4)2+4.解得a=-0.1.所以所求二次函数的关系式是y=-0.1(x-4)2+4当x二7时，y=-0.1(x-4)2+4=3.1.因为3.1=3+0.1,0.1在篮球偏离球圈中心10cm以内.答：这个球能投中.综合•应用4.(2010安徽模拟)如图26.3-10,在平面直角坐标系中，二｝欠函数y=ax2十c(a ")的图象过正方形ABO(:的三个顶点A、B、C,则ac的值是.思路解析：图中，正方形和抛物线都关于y轴对称，欲求ac的值，需求抛物线的解析式，点A、B、C都在抛物线上，它们的坐标跟正方形的边长有关,可设正方形的边长为2m「则A(0r2整m)、B(-皿阳7^所)、C(72w r把A、B的坐标值代入y=a*十c中，得a=四，c=2&,所以Imac=—X =2.2ni5.有一种螃蟹，从海上捕获后不放乔，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变.现有一经销商，按市场价收购了这种;SB〔000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元.据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克螯死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元⑴设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售点颔Q元，写出Q关于x的函数关系式；⑶该经销商将这批蟹放弄多少天后出售，可获得最大利润(利润=销售总额-收购成本-费用)？最大利润是多少？思路解析：⑴市场价每天上升1元，则P=30+X；(2)销售总额为活蟹销售和死蟹销售两部分的和，活蟹数量每天减少10千克，死蟹数量跟放养天数成正比；(3)根据利润计算式表达，可没利润为w元，用函数瞄解决.答案：⑴P=30+x.(2)Q=(30+x)(1000-10x)+20-10x=-10x2+900x+30000.⑶设利润为w元，则w=(-10x2+900x+30000)-30-1000-400x=-10(x-Z5)2-»-6250.」.当x=25时，w有最大值，最大值为6250.答；经销商将这批蟹放养25天后出售，可获得最大?IJ润，6.将一条长为20cm的铁丝雪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成f正方形.⑴要使这两个正方形的面积之和等于17cm2,那么这段铁丝磐成两段后的长:度分别是多少？(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm?吗?若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由.思路解析；用方程或函数考虑.设其中一段长为x cm,列出面积和的表达式，构成方程或函数，用它们的性质解决问题.方法一：⑴解：设剪成两段后其中一段为x cm,则另一段为(20-x)cm.由题意得(三沪+(竺1沪=17.4 4解得冶=16,x2=4.当为=16时，20-x=4;当x2=4时，20-x=16.答：这段铁丝雪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：(料牛)5.整理，得x<20x+104=0.•,A=b2-4ac=-16<0,.,此方程无配即不能雪成两段使得面积和为12新.方法二：剪成两段后其中一段为x cm,两个正方形面积的和为yen?.则y=弓尸+=;(x.10)2+12.5(0<x<20)・当y=17时，有上(乂-10)112.5=17.S解方程，得Xi=16,x2=4.当xi=16时,20*4;当X2二4时，20*16.答：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16cm和4cm.(2)不能.理由是：函数y=|(x-10)2+1Z5中，a二;>0,当x=10时，函数有最小值，最小值88为12.5.•.・12v125,所以不能勇成两段使得面积和为12cm2.7.我市英山县某茶厂种植，春蕊牌“绿茶，由历任来市场销售行情知道，从每年的3月25日起的180天内，绿茶市场销售单价y(jt)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图①中的一条折线表示.绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外,其种植的成本单价z齿)与上市时间t庆)的关系可以近似地用如图②的抛物肆图263-11①图26.3-11-②⑴写出图①中表示的市场销售单价y团)与上市时间t庆)(t>0)的函数关系式;(2)求出图②中表示的种梢成本单价z员)与上市时间t庆)(t>0)的函敬关系式;⑶认定市场销售单价减去种植成本单价为纯收益单价，问何时上市的绿茶纯收益单价缺？(说明：市场铠售单价和种植成本单价的单位：元/500克.)思路解析：从图形中得出相关数据，用分段函薮表示市场销售单价，种植成本是一E碰物线，再分别计算各时段的纯收益单价，匕咸得出结论.解：(1)①当0冬X三120时，y=-|x-b160;②当120<xE50时,y=80;2③当150UX式180时，y=±x-+20.5(2)设z=a(x・110)」20,N OC1把X=6O,y=W代入，^=a(60-110)120解得。
二次函数实际问题及解题方法
二次函数实际问题广泛存在于我们的日常生活中，例如物体的自由落体运动、桥梁的拱形设计、以及经济学中的成本收益问题等。
下面，我们将通过具体的例子，探讨二次函数实际问题的解题方法。
例题：一位农民有一块形状为直角三角形的土地，他计划将这块土地用于种植，需要围上篱笆。
已知直角三角形的两条直角边长度分别为a米和b米，假设篱笆的价格是每米p元，那么他需要花费多少元来围这块土地？
解题步骤如下：
根据题目，理解问题的背景和目标。
在这个问题中，我们需要找出农民围土地所需的总花费，这是我们的目标。
定义变量。
这里，直角三角形的两条直角边长度是已知的，分别为a米和b米，篱笆的价格也是已知的，为p元/米。
我们需要找出的是篱笆的总长度，我们设其为L米。
建立数学模型。
我们知道，直角三角形的周长等于其三条边的长度之和。
因此，篱笆的总长度L = a + b + 斜边长度。
而斜边的长度可以通过勾股定理求得，即斜边长度= √(a²+ b²)。
所以，L = a + b + √(a²+ b²)。
然后计算总的花费，即总价= Lp = p(a + b + √(a²+ b²))。
通过数学模型，我们得到了总价是p*(a + b + √(a²+ b²))元。
以上就是一个利用二次函数解决的实际问题。
需要注意的是，在解决这类问题时，首先要明确问题的目标，然后确定已知和未知的变量，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，最后求解数学模型，得出实际问题的答案。
二次函数的应用题及解析
二次函数的应用题及解析二次函数是数学中重要的函数之一，广泛应用于各个领域。
本文将探讨几个常见的二次函数应用题，并进行详细解析。
问题一：某天气预报显示，一天内温度的变化服从二次函数关系。
已知该地点上午8时的温度为15摄氏度，下午2时的温度为25摄氏度，晚上8时的温度为18摄氏度。
问该地点第二天早上6时的温度是多少摄氏度？解析：根据已知条件构建二次函数的关系式。
假设时间为x，温度为y，则可以得出二次函数表达式为：y = ax^2 + bx + c。
根据题目所给的条件，可以列出如下方程组：方程1：64a + 8b + c = 15方程2：256a + 16b + c = 25方程3：576a + 48b + c = 18解上述方程组，得到 a = -0.005, b = 0.16, c = 15.16。
带入x = 22（第二天早上6时的时间），计算二次函数的值，即可得到第二天早上6时的温度为20.62摄氏度。
问题二：某公司销售某款产品，预测未来几个月的销售情况。
已知该产品销售量符合二次函数模型。
已知该产品2月份的销售量为2000件，5月份的销售量为3000件，8月份的销售量为4000件。
预测11月份的销售量是多少件？解析：同样地，假设时间为x，销售量为y，构建二次函数关系式：y = ax^2 + bx + c。
根据已知条件，列出方程组：方程1：4a + 2b + c = 2000方程2：25a + 5b + c = 3000方程3：64a + 8b + c = 4000解方程组得到a = 100, b = -500, c = 2400。
带入x = 14（11月份的时间），计算二次函数的值，可得到预测11月份的销售量为3400件。
通过以上两个实例，我们可以看到二次函数在温度预测和销售预测中的应用。
根据给定的条件，构建二次函数关系式，并解方程组可以得到问题所求的结果。
通过这种方法，我们可以更加准确地评估和预测未来的发展趋势。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：一、二次函数的应用背景1.二次函数在实际问题中的重要性2.常见实际问题与二次函数的关系二、二次函数典型例题解析1.例题一：抛物线与直角三角形的面积问题2.例题二：抛物线与最值问题3.例题三：抛物线与交点问题4.例题四：抛物线与对称性问题三、解决二次函数实际问题的方法与技巧1.利用二次函数的基本性质2.代数法与几何法的结合3.合理运用已知条件四、总结1.二次函数与实际问题的紧密联系2.解决二次函数实际问题的策略与方法正文：二次函数在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解许多现实中的现象，还能为解决实际问题提供有力的工具。
本文将通过解析几道典型的二次函数实际问题例题，来探讨如何巧妙地运用二次函数来解决实际问题。
首先来看一道抛物线与直角三角形的面积问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与x 轴相交于A、B 两点，且AB = 4，点C 到AB 的距离为h。
求抛物线与三角形ABC 的面积。
解析：通过将抛物线与x 轴相交的点A、B 坐标代入解析式，可以求得a、b、c 的值，进一步计算出顶点坐标。
由于已知AB = 4，可以根据顶点到AB 的距离公式求得h，最后利用三角形面积公式计算出结果。
接下来是抛物线与最值问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 在x = 1 处取得最小值，求a、b、c 的值。
解析：根据抛物线的性质，可以知道当a > 0 时，抛物线开口向上，此时可以通过配方法将解析式转化为顶点式，从而求得最小值点的坐标。
当a < 0 时，抛物线开口向下，此时可以通过配方和换元法求得最值。
再来一道抛物线与交点问题。
题目描述：已知抛物线y = ax^2 + bx + c 与直线y = mx + n 相交于不同的两点，求a、b、c、m、n 的关系。
解析：将直线方程代入抛物线方程，消去y 得到一个关于x 的二次方程，通过求解该方程可以得到交点的横坐标，再代入直线方程求得纵坐标，从而得到交点坐标。
二次函数经典例题及解答
定义
一般形式为$y = ax^2 + bx + c$ （$a neq 0$）的函数称为二次函 数。
图像特征
二次函数的图像是一条抛物线， 开口方向由系数$a$决定，当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
对称轴与顶点坐标求解
对称轴
对于一般形式的二次函数$y = ax^2 + bx + c$，其对称轴为 直线$x = -frac{b}{2a}$。
05
当$-2 leq x < 1$时，由$a geq frac{x^2 + 3}{x - 1}$恒 成立，得$a geq (frac{x^2 + 3}{x - 1})_{max}$。
03
当$x = 1$时，不等式恒成立，$a in R$；
06
综合以上情况，可求得$a$的取值范围。
转化思想在恒成立问题中运用
对称轴和顶点坐标公式记忆错误。避免策略
通过多做练习加深记忆，同时理解公式的推导过程。
判别式 $Delta$ 使用不当，导致…
正确理解判别式的含义和使用方法，结合二次函数的图像进行分析。
忽略二次函数图像与性质的综合运用。避免策略
在解题时注重数形结合，充分利用二次函数的图像和性质进行分析和 求解。
拓展延伸：高阶导数在二次函数研究中的应用
第四步
求极限。根据单调性，求出开 区间上的极限值，即为最值。
含参数最值问题处理方法
第一步
确定参数范围。根据题目条件，确定参数的取 值范围。
01
第三步
求导数。对新函数进行求导，得到导 函数。
03
第五步
判断单调性。根据二次函数的开口方向和临 界点的位置，判断新函数在参数范围内的单
利用二次函数解决实际问题
利用二次函数解决实际问题二次函数是数学中重要的一类函数，它具有许多应用于实际问题的能力。
通过解决二次函数相关的实际问题，我们可以更好地理解和应用这一数学工具。
本文将通过几个实际问题的案例，详细介绍如何利用二次函数解决这些问题。
案例一：抛物线的高度与水平距离的关系假设一个小球以一定的初速度从地面上抛出，并以二次函数描述它的高度与水平距离的关系。
首先，我们可以建立抛物线方程：h = ax² + bx + c其中，h为小球的高度，x为水平距离，a、b、c为常数。
当小球达到最高点时，它的速度为零，根据这一条件，可以求得抛物线的顶点坐标为（-b/2a，c-b²/4a）。
通过这一顶点坐标和给定的初速度，可以解得a、b、c的具体值。
有了这些参数，我们就能方便地计算小球在任意水平距离上的高度。
案例二：曲线拟合与数据预测在实际问题中，我们常常需要通过一些已知数据点来拟合出一个曲线，并利用这个曲线对未知数据进行预测。
二次函数是一种常用的曲线模型，因为它能很好地适应一些非线性的数据分布。
具体做法是，通过最小二乘法来求得二次函数的参数，使得拟合曲线与已知数据点之间的误差最小化。
然后，利用这个拟合曲线，我们就可以对未知数据进行预测。
这一方法在经济预测、气象预报等领域有着广泛的应用。
案例三：最优化问题二次函数也可以应用于最优化问题的求解。
以抛物线形式的二次函数为例，假设我们需要在一条直线上选择一个点，使得它到抛物线的距离最小。
这可以被看作是一个最优化问题，即求解抛物线与直线的最短距离。
我们可以通过求解二次函数和直线的交点来解决这个问题。
具体的求解过程利用了二次函数的性质和一些微积分的知识。
总结：通过上述几个案例，可以看出二次函数在实际问题中的广泛应用。
它可以用于描述抛物线的运动、拟合非线性数据以及求解最优化问题等。
通过解决这些实际问题，我们不仅巩固了对二次函数的理解，也提升了数学在实际应用中的能力。
因此，在学习和应用二次函数时，我们应该注重理论知识和实际问题的结合，这样才能更好地掌握和利用二次函数。
二次函数解决实际问题(可用)
利用二次函数解决实际问题类型一：利用二次函数解决面积最值（面积优化问题）1、如图，有长为24 m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10 m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃． (1)如果要围成面积为45 m 2的花圃，AB 的长是多少米？(2)能围成面积比45 m 2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．2、如图，已知正方形ABCD 边长为8，E ，F ，P 分别是AB ，CD ，AD 上的点，(不与正方形顶点重合)，且PE ⊥PF ，PE ＝PF ，问当AE 为多长时，五边形EBCFP 面积最小？最小面积是多少？3、如图，在ABC ∆中，90B∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过几秒，四边形APQC 的面积最小，最小面积为多少？☆类型二、利用二次函数解决利润最值问题（利润优化问题）1、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降低多少元时，商场平均每天盈利最多？利润最多为多少元？2、某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划增加承租x （100≤x ≤150）亩。
预计，原种植的360亩水稻今年每亩可收益440元，新增地今年每亩的收益为（440-2x ）元，试问：该种粮大户今年要增加承租多少亩水稻，才能使收益最大？最大收益是多少？3．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间的关系可近似的看作一次函数：10500y x =-+． （1）设李明每月获得利润为w （元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得2000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（总成本＝进价×销售量）4、某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．已知产销两种产品的有关信息如表：产品每件售价每件售价(万元)每件成本每件成本(万元)每年其他每年其他费用(万元)每年最大产每年最大产销量(件)甲6a20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.甲6a20200乙201040＋0.05x2806a20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.a20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.20200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.200乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.乙201040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5. 201040＋0.05x2801040＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5.80其中a为常数，且3≤a≤5.其中a为常数，且3≤a≤5.(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1，y2与x的函数关系式；(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．☆类型三、利用二次函数优化构建坐标系解决实际问题（车船通行问题）1、一座抛物线拱桥梁在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部3m时，水面宽6m,当水位上升1m时，水面宽为多少？(精确到0.1m)。
二次函数和实际应用题解法.doc
二次函数运用题一：知识点利润问题：总利润 =总售价–总成本总利润 =每件商品的利润×销售数量二：例题讲解1、（2009 年内蒙古包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．2、(2010 年聊城冠县实验中学二模 )某商品原价 289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为 x ，则下面所列方程正确的是________________3、用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成 ,并且在与砖墙相对的一面开 2 米宽的门 (不用篱笆 ),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大最大面积是多少4、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可以多售出 2 件．（ 1）若每件降价 x 元，每天盈利 y 元，求 y 与 x 的关系式．（2 ）若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元（ 3）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多盈利多少元5、某宾馆客房部有60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200 元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值最大值是多少6、某商店经营一批进价每件为 2 元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价 3 元销售，日销售量为 18 件，如果单价每提高 1 元，日销售量就减少 2 件．设销售单价为 x（元），日销售量为 y（件）．（1）写出日销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）设日销售的毛利润（毛利润 =销售总额 -总进价）为 P（元），求出毛利润 P（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（3）在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于 x 的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；（4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高是多少P/ 元6050403020101 2 3 4 5 6 7 8 9101112 x/元7、（08 凉州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场O价格 20 元 / 千克收购了这种野生菌1000 千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310 元，而且这类野生菌在冷库中最多保存 160 元，同时，平均每天有 3 千克的野生菌损坏不能出售．（1）设x到后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与 x 之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出 P 与 x 之间的函数关系式．（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）8、（09 湖南长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80 万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件 40 元，员工每人每月的工资为2500 元，公司每月需支付其它费用15 万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50 元时，为保证公司月利润达到 5 万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人（3）若该公司有80 名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款y（万件）421O 40 60 80 x（元）9、（09 成都）大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30 天的试销售，购进价格为20 元／件．销售结束后，得知日销售量P(件 )与销售时间x(天 )之间有如下关系： P=-2x+80(1 ≤ x≤，30且 x 为整数 )；又知前20 天的销售价格 Q1 (元/ 件 )与销售时间 x(天 )之间有如下关系：Q11x 30(1 ≤ x≤，20且 x 为整数 )，后10 天的销售价格 Q2 (元 / 件 )与销售时间 x(天 ) 2之间有如下关系：Q2=45(21≤x≤，30且x为整数)．(1)试写出该商店前20 天的日销售利润R1(元)和后l0天的日销售利润R 2(元)分别与销售时间x(天 )之间的函数关系式；(2)请问在这30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．10、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40 天内的日销售量 m（件）与时间t（天）的关系如下表：时间 t（天）1361036日销售量 m 9490847624（件）未来 40 天内，前 20 天每天的价格y 1（元 / 件）与时间 t （天）的函数关系式为 y 11 t 25（ 1 t 204且 t 为整数），后 20 天每天的价格 y 2y 2140 （ 21 t 40（元 / 件）与时间 t （天）的函数关系式为t2且 t 为整数）。
二次函数拱桥应用题doc
二次函数拱桥应用题.doc 二次函数拱桥应用题拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。
它不仅能够承载重量，还可以美化环境。
在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。
其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。
在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。
假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。
首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。
顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。
对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。
假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。
我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。
顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。
将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。
拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。
这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。
在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。
例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。
在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。
如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。
如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。
（完整版）二次函数解决实际问题归纳,推荐文档
（完整版）⼆次函数解决实际问题归纳,推荐⽂档⼆次函数解决实际问题归纳及练习⼀、应⽤⼆次函数解决实际问题的基本思路和步骤：1、基本思路：理解问题→分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系→⽤函数关系式表⽰它们的关系→⽤数学⽅法求解→检验结果的合理性；最⼤（最⼩、最省）”的设问中，“某某”要设为⾃变量，“什么”要设为函数；②问的求解依靠配⽅法或最值公式⽽不是解⽅程。
（1）利⽤⼆次函数解决利润最⼤问题此类问题围绕总利润=单件利润×销售总量，设未知数时，总利润必然是因变量y，⽽⾃变量有两种情况：①⾃变量x是所涨价多少或降价多少；②⾃变量x是最终销售价格。
例：商场销售M型服装时，标价75元/件，按8折销售仍可获利50%，现搞促销活动，每件在8折的基础上再降价x元，已知每天销售数量y（件）与降价x（元）之间的函数关系式为y=20+4x(x﹥0)①求M型服装的进价②求促销期间每天销售M型服装所获得的利润W的最⼤值。
（2）利⽤⼆次函数解决⾯积最值例：已知正⽅形ABCD边长为8，E、F、P分别是AB、CD、AD上的点（不与正⽅形顶点重合），且PE⊥PF，PE=PF问当AE为多长时，五边形EBCFP⾯积最⼩，最⼩⾯积多少？2、⽤⼆次函数解抛物线形问题常见情形具体⽅法抛物线形建筑物问题⼏种常见的抛物线形建筑物有拱形桥洞、涵洞、隧道洞⼝、拱形门窗等（1）建⽴适当的平⾯直⾓坐标系，将抛物线形状的图形放到坐标系之中；（2）从已知和图象中获得求⼆次函数表达式所需条件；（3）利⽤待定系数法求出抛物线的表达式；（4）运⽤已求出抛物线的表达式去解决相关问题。
运动路线（轨迹）问题运动员空中跳跃轨迹、球类飞⾏轨迹、喷头喷出⽔的轨迹等牢记（1）解决这类问题的关键⾸先在于建⽴⼆次函数模型，将实际问题转化为数学问题，其次是充分运⽤已知的条件利⽤待定系数法求出抛物线的表达式；（2）把哪⼀点当作原点建⽴坐标系，将会直接关系到解题的难易程度或是否可解；（3）⼀般把抛物线形的顶点作为坐标系的原点建⽴坐标系，这样得出的⼆次函数的表达式最为简单。
二次函数例题分析与解读
二次函数例题分析与解读在数学学科中，二次函数是一种非常重要且常见的函数形式。
它的一般表达式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为实数且a≠0。
本文将从实际例题出发，分析并解读二次函数的特点、图像、性质以及应用。
例题一：设二次函数f(x)=2x^2+3x-2，求该函数的图像和顶点坐标。
解析：首先，我们可以通过绘制图像来直观理解函数的特性。
为此，我们可以利用平方完成的方法，将f(x)转化为标准形式。
根据平方完成的原则，我们将要计算的式子化简为f(x)=2(x^2+3/2x)-2。
接下来，我们需要利用平方完成的方法，将二次项的系数一半的平方加到式子中。
具体操作如下：f(x)=2[(x+3/4)^2-(3/4)^2]-2=2(x+3/4)^2-2(9/16)-2=2(x+3/4)^2-35/8现在我们可以看出函数f(x)的标准形式为f(x)=2(x+3/4)^2-35/8。
由标准形式可以得知，该二次函数的抛物线图像开口向上（因为a=2>0），顶点坐标为(-3/4, -35/8)。
例题二：已知函数f(x)的图像经过点(1,1)和(-2,8)，求该函数的表达式。
解析：我们可以借助已知的两个点来构建方程，以求得函数f(x)的表达式。
由于已知点(1,1)在f(x)上，可知f(1) = 1。
同样地，已知点(-2,8)在f(x)上，可知f(-2) = 8。
将x分别代入方程，我们可以得到两个方程：f(1) = a(1)^2+b(1)+c = a+b+c = 1f(-2) = a(-2)^2+b(-2)+c = 4a-2b+c = 8进一步整理以上两个方程，我们可以得到一个由a、b、c构成的线性方程组：a+b+c = 14a-2b+c = 8通过解该线性方程组，我们可以得到相应的a、b、c的值，进而确定函数f(x)的表达式。
综上所述，本文通过两个实际例题分析和解读了二次函数的特点、图像、性质以及应用。
通过这些例题的解析，我们可以更好地理解和掌握二次函数的相关知识，进一步提升数学解题能力。
二次函数与实际问题典型例题
二次函数与实际问题典型例题摘要：1.二次函数基础知识回顾2.二次函数在实际问题中的应用3.典型例题解析4.结论与建议正文：一、二次函数基础知识回顾二次函数是数学中的一种重要函数类型，其一般形式为y = ax^2 + bx + c（其中a、b、c为常数，且a ≠ 0）。
在初中和高中数学课程中，二次函数占有重要地位，与实际问题的结合尤为紧密。
二、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中的应用广泛，如几何图形、物理运动、经济学等。
以房间定价问题为例，设房间定价为x元，宾馆利润为y，则y = (x - 20)[50 - (x - 180)/10]（1/10）（x - 20）（680 - x）。
当(x - 20)(680 - x) = 660时，即x = 350时，宾馆利润最大。
三、典型例题解析1.面积问题：已知长为x，宽为（40-2x）/2，求面积最大值。
根据抛物线面积表达式，开口向下，当x = 10时，有最大面积为100cm。
2.最值问题：已知二次函数y = 5000(1/x)^2，求销售量最大值。
根据题意，第二年的销售量比第一年多销售x，第三年比第二年多销售x，于是得出y= 5000(1/x)^2。
通过求导可知，当x = 1时，销售量最大。
四、结论与建议二次函数在实际问题中的应用广泛，掌握其基本知识和解题方法至关重要。
在学习过程中，要关注开口向上向下、最值问题等关键点，同时熟练掌握多种解题方法。
在实际应用中，要善于将二次函数模型与实际问题相结合，灵活运用知识解决实际问题。
以上就是关于二次函数与实际问题的典型例题解析，希望对大家的学习有所帮助。
《二次函数》的应用（附例题分析）
《二次函数》的应用（附例题分析）典型例题分析1：某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，则w=（x﹣20）（﹣10x+500）=﹣10x2+700x﹣10000；（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．∵﹣10＜0，∴函数图象开口向下，w有最大值，当x=35时，w最大=2250，故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；（3）A方案利润高．理由如下：A方案中：20＜x≤30，故当x=30时，w有最大值，此时wA=2000；B方案中：故x的取值范围为：45≤x≤49，∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，∴当x=35时，w有最大值，此时wB=1250，∵wA＞wB，∴A方案利润更高．考点分析：二次函数的应用；一元二次方程的应用．题干分析：（1）根据利润=（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B 方案的最大利润，然后进行比较。
这是一道与二次函数有关的实际应用问题，贴近生活，考生能学习生活知识，同时更帮助学生理解数学知识和生活之间的关系。
研究题目，吃透题型是数学学习最有效，最实际的学习探究行为。
(完整版)二次函数(应用题求最值)(含答案)
二次函数应用题1、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？2.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1-）的抛物线交y 轴于A 点，交x 轴于B ，C 两点（点B 在点C 的左侧）. 已知A 点坐标为（0，3）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B 作线段AB 的垂线交抛物线于点D ， 如果以点C 为圆心的圆与直线BD 相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C 有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P 是抛物线上的一个动点，且位于A ，C 两点之间，问：当点P 运动到什么位置时，PAC ∆的面积最大？并求出此时P 点的坐标和PAC ∆的最大面积.x(第13题)3、张大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米．矩形ABCD 的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）．（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．（参考公式：二次函数2y ax bx c =++（0a ≠），当2bx a=-时，244ac b y a -=最大(小)值)4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y （元）与月份x 之间满足函数关系502600y x =-+，去年的月销售量p （万台）与月份x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月份 1月 5月 销售量 3.9万台 4.3万台（1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（2）由于受国际金融危机的影响，今年1、2月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12月份下降了%m ，且每月的销售量都比去年12月份下降了1.5m%．国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴．受此政策的影响，今年3至5月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2月份增加了1.5万台．若今年3至5月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936万元，求m 的值（保留一位小数）． 34 5.83135 5.91637 6.08338 6.164）5、某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y （件）与销售单价x （元）符合一次函数y kx b =+，且65x =时，55y =；75x =时，45y =． （1）求一次函数y kx b =+的表达式；（2）若该商场获得利润为W 元，试写出利润W 与销售单价x 之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（3）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x 的范围．6、某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。
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二次函数运用题一：知识点利润问题：总利润 =总售价–总成本总利润 =每件商品的利润×销售数量二：例题讲解1 、（ 2009 年内蒙古包头）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm 2．2 、 (2010 年聊城冠县实验中学二模 )某商品原价 289 元，经连续两次降价后售价为256 元，设平均每次降价的百分率为 x ，则下面所列方程正确的是________________3 、用 48 米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场, 养鸡场一面用砖砌成 ,另三面用竹篱笆围成 ,并且在与砖墙相对的一面开 2 米宽的门 (不用篱笆 ),问养鸡场的边长为多少米时,养鸡场占地面积最大?最大面积是多少 ?4 、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利 40 元，为扩大销售增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取降价措施，经调查发现，若每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可以多售出 2 件．（ 1 ）若每件降价 x 元，每天盈利 y 元，求 y 与 x 的关系式．（ 2 ）若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？（ 3 ）每件衬衫降价多少元时，商场每天盈利最多？盈利多少元？5 、某宾馆客房部有60 个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x 元．求：（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？6 、某商店经营一批进价每件为 2 元的小商品，在市场营销的过程中发现：如果该商品按每件最低价 3 元销售，日销售量为 18 件，如果单价每提高 1 元，日销售量就减少 2 件．设销售单价为 x （元），日销售量为 y（件）．（1）写出日销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（2）设日销售的毛利润（毛利润 =销售总额 - 总进价）为 P（元），求出毛利润 P（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；（3）在下图所示的坐标系中画出Ｐ关于 x 的函数图象的草图，并标出顶点的坐标；（4）观察图象，说出当销售单价为多少元时，日销售的毛利润最高？是多少？P/元6050403020101 2 3 4 5 6 7 8 910 1112 x/元7、（08 凉州）我州有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格20 元 / 千克收购了这种野生菌 1000 千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨 1 元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310 元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160 元，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．（1 ）设 x 到后每千克该野生菌的市场价格为y 元，试写出y 与x之间的函数关系式．（2 ）若存放 x 天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P 元，试写出 P 与x之间的函数关系式．（3 ）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W 元？（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）8、（09 湖南长沙）为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80 万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件 40 元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15 万元．该产品每月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图所示．（1 ）求月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2 ）当销售单价定为50 元时，为保证公司月利润达到 5 万元（利润＝销售额－生产成本－员工工资－其它费用），该公司可安排员工多少人？（3 ）若该公司有80 名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？y（万件）421O 40 60 80 x（元）9 、（ 09 成都）大学毕业生响应国家“自主创业”的号召，投资开办了一个装饰品商店．该店采购进一种今年新上市的饰品进行了30 天的试销售，购进价格为20 元／件．销售结束后，得知日销售量P(件 )与销售时间 x( 天)之间有如下关系：P=- 2x+80(1 ≤ x ≤ 30 ，且x 为整数 )；又知前 20 天的销售价格 Q1 (元/ 件)与销售时间 x(天 )之间有如下关系：Q1 1x 30 (1≤x≤20，且x为整数)，后10 天的销售价格 Q2(元/ 2件)与销售时间 x(天 )之间有如下关系：Q2=45(21≤x≤30，且x为整数)．(1) 试写出该商店前20 天的日销售利润 R 1(元)和后l0天的日销售利润 R 2 (元 )分别与销售时间x(天 )之间的函数关系式；(2) 请问在这 30 天的试销售中，哪一天的日销售利润最大? 并求出这个最大利润．注：销售利润＝销售收入一购进成本．10 、红星公司生产的某种时令商品每件成本为20 元，经过市场调研发现，这种商品在未来40 天内的日销售量 m （件）与时间 t （天）的关系如下表：时间 t （天） 1 3 6 10 36日销售量 m94 90 84 76 24（件）未来 40 天内，前 20 天每天的价格1件）与时间（t 天）的函数关系式为y1125（1 t 20 y （元 / t4且 t 为整数），后 20 天每天的价格 y2（元 / 件）与时间 t（天）的函数关系式为y2 1 t 40（21 t 402且 t 为整数）。
下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：（1 ）认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的 m （件）与 t （天）之间的关系式；（2 ）请预测未来 40 天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？（ 3 ）在实际销售的前20 天中，该公司决定每销售一件商品就捐赠 a 元利润（ a<4 ）给希望工程。
公司通过销售记录发现，前20 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t（天）的增大而增大，求 a 的取值范围。
11 、(2010 年重庆 )今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响， 4 月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：周数 x 1 2 3 4价格 y （元 / 千克） 2 2.2 2.4 2.6进入 5 月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元 / 千克）从 5 月第 1 周的 2.8 元/ 千克下降至第 2 周的 2.4 元/ 千克 , 且 y 与周数 x 的变化情况满足二次函数y 1 x2 bx c ．20（ 1 ）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出 4 月份 y与 x 所满足的函数关系式，并求出 5 月份 y 与 x 所满足的二次函数关系式；（ 2 ）若 4 月份此种蔬菜的进价m （元 / 千克）与周数x 所满足的函数关系为m 1x 1.2 ，5月份的1x 2 ．试问4 4进价 m （元 / 千克）与周数 x 所满足的函数关系为m 月份与 5 月份分别在哪一周销售5此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？（3）若 5 月的第 2 周共销售 100 吨此种蔬菜．从 5 月的第 3 周起，由于受暴雨的影响，此种蔬菜的可销售量将在第 2 周销量的基础上每周减少a% ，政府为稳定蔬菜价格，从外地调运 2 吨此种蔬菜，刚好满足本地市民的需要，且使此种蔬菜的销售价格比第２周仅上涨0.8a% ．若在这一举措下，此种蔬菜在第３周的总销售额与第 2 周刚好持平，请你参考以下数据，通过计算估算出 a 的整数值．（参考数据： 37 2 1369 ， 38 2 1444 ， 39 2 1521 ， 40 2 1600 ， 412 1681）【答案】．解：（1 ） 4 月份 y 与 x 满足的函数关系式为y 0.2x 1.8 .把 x 1, y2.8 和 x 2, y 2.4 分别代入 y1 x2 bx c ，得201b c 2.8,b0.25,20解得1c 3.1.4 2b c 2.420∴五月份 y 与 x 满足的函数关系式为y0.05x 2 0.25 x 3.1.（ 2 ）设 4 月份第 x 周销售此种蔬菜一千克的利润为W 1 元，5 月份第 x 周销售此种蔬菜一千克的利润为W 2 元.W 1 (0.2x1.8) ( 1x 1.2)0.05x0.6.4∵ -0.05 ＜0 ，∴ W 1 随 x 的增大而减小 .∴当 x1时， W 1 最大 =-0.05+0.6=0.55.W 2=( 0.05x 2 0.25x 3.1) (1 x 2) 0.05x2 0.05x 1.1.5∵对称轴为 x 0.05＜ 0 ，0.5,且 -0.052 ( 0.05)∴ x ＞ -0.5 时， y 随 x 的增大而减小 .∴当 x=1 时， W 2 最大 =1.所以 4 月份销售此种蔬菜一千克的利润在第 1 周最大，最大利润为0.55 元； 5 月份销售此种蔬菜一千克的利润在第 1 周最大，最大利润为1 元 .（ 3 ）由题意知： 100 1 a%2 2.41 0.8a% 2.4 100.整理，得 a 2 23 a 250 0 .解得 a231529 .2∵ 392 1521 ， 402 1600 ，而 1529 更接近 1521 ，∴ 1529 39 .∴ a 31（舍去）或 a 8 . 答： a 的整数值为 8.12 、（ 2010 年安徽中考）春节期间某水库养殖场为适应市场需求，连续用以减少捕捞成本的办法，对水库中某种鲜鱼进行捕捞、销售。
20 天时间，采用每天降低水位九（ 1 ）班数学建模兴趣小组根据调查，整理出第x 天（ 1x20 且x 为整数）的捕捞与销售的相关信息如下：⑴在此期间该养殖场每天的捕捞量与前一末的捕捞量相比是如何变化的？⑵假定该养殖场每天捕捞和销售的鲜鱼没有损失，且能在当天全部售出，求第x 天的收入 y （元）与 x（天）之间的函数关系式？（当天收入＝日销售额—日捕捞成本）试说明⑵中的函数y 随 x 的变化情况，并指出在第几天 y 取得最大值，最大值是多少？【关键词】二次函数【答案】解：（ 1 ）解：该养殖场每天的捕捞量与前一天的捕捞量相比每天减少了10kg.（1 ） 解：由题意，得y 20(950 10 x)(5x)(950 10x)2x 2 40 x 142505（3 ）解：∵ 2 0, y2x 2 40x 142502( x 10)2 14450又 1 x20 且 x 为整数，∴当 1 x 10 时， y 随 x 的增大而增大 当 10 x 20 时， y 随 x 的增大而减小当 x=10时，即在第 10 天， y 取得最大值，最大值为 14450 元。