2020年九年级中考数学 压轴专题 几何探究题(含答案)

2020中考数学 压轴专题 几何探究题（含答案）

1. 我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．

第1题图

(1)概念理解：请你根据定义举一个“等邻角四边形的”例子；

(2)问题探究：如图①，在等邻角四边形ABCD 中，∠DAB ＝∠ABC ，AD 、BC 的中垂线恰好交于AB 边上一点P ，连接AC 、BD ，试探究AC 与BD 的数量关系，并说明理由．

(3)应用拓展：如图②，在Rt △ABC 与Rt △ABD 中，∠C ＝∠D ＝90°，BC ＝BD ＝3，AB ＝5，将Rt △ABD 绕着点A 顺时针旋转角α(0°)得到Rt △AB ′D ′(如图③)，当凸四边形AD ′BC 为“等邻角四边形”时，求出它的面积．

解：(1)矩形；(答案不唯一)

(2)AC ＝BD ；如解图①所示，连接PD 、PC ， ∵PE 是AD 的垂直平分线，PF 是BC 的垂直平分线， ∴P A ＝PD ，PB ＝PC ，

∴∠P AD ＝∠PDA ，∠PBC ＝∠PCB ，

∴∠DPB ＝180°－∠DP A ＝∠P AD ＋∠PDA ＝2∠P AD ，同理可得∠APC ＝2∠PBC ， ∵∠DAB ＝∠ABC ，即∠P AD ＝∠PBC ，

∴∠APC ＝∠DPB ，在△APC 和△DPB 中，⎩⎪⎨⎪

⎧PA ＝PD ∠APC ＝∠DPB PB ＝PC

，

△APC ≌△DPB (SAS)， ∴ AC ＝BD .

第1题解图①

(3)①当∠AD ′B ＝∠D ′BC 时，如解图②所示，延长AD ′交CB 的延长线于点E ，过点D ′作DF ⊥CE 于点F ， ∠ED ′B ＝∠EBD ′， ∴EB ＝ED ′，

∵∠C ＝∠EFD ′，∠EAC ＝∠ED ′F ， ∴△ED ′F ∽△EAC ， 则

D ′F AC ＝ED ′

AE

， 设EB ＝ED ′＝x ，由勾股定理可知，在Rt △ACB 中，AC ＝AB 2－BC 2＝

52－32＝4，

则AD ′＝4，CE ＝3＋x ，AE ＝4＋x ，

在Rt △ACE 中，AC 2＋CE 2＝AE 2，即42＋(3＋x )2＝(4＋x )2， 整理得：2x －9＝0，解得x ＝92，EB ＝ED ′＝9

2，

∴AE ＝172，∴D ′F 4＝9

2112

，∴D ′F ＝36

17

，

S 四边形AD ′BC ＝S △ACE －S △D ′BE ＝12AC ·CE －12D ′F ·BE ＝12×4×(3＋92)－12×92×3617＝15－8117＝174

17

；

第1题解图②

②当∠D ′BC ＝90°时，如解图③所示，过点D ′作D ′E ⊥AC ，交AC 于点E ， ∴四边形ECBD ′是矩形，

∴ED ′＝BC ＝3，在Rt △AED ′中，根据勾股定理得AE ＝

AD′2－ED′2＝

42－32＝7，

∵S 四边形AD ′BC ＝S △AED ′＋S 矩形ECBD ′＝12AE ·ED ′＋EC ·BC ＝372＋12－37＝12－37

2.

综上所述，当凸四边形AD 为等邻角四边形时，它的面积为17417或12－37

2

.

第1题解图③

2. (1)发现 如图①，点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝a ，AB ＝b .

填空：当点A 位于________时，线段AC 的长取得最大值，且最大值为________(用含有a ，b 的式子表示)； (2)应用 点A 为线段BC 外一动点，且BC ＝3，AB ＝1.如图②所示，分别以AB ，AC 为边作等边三角形ABD 和

等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值；

(3)拓展如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2，0)，点B的坐标为(5，0)，点P为线段AB外一动点，且P A＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

第2题图

(1)解：CB的延长线上，a＋b；

【解法提示】∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b.

(2)解：①DC＝BE，理由如下：

∵△ABD和△ACE均为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°，

∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB，

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴DC＝BE；

②BE长的最大值是4；

【解法提示】∵线段BE长的最大值＝线段CD的最大值，由(1)知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB 的延长线上，∴CD长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4.

(3)解：AM长的最大值是3＋22，点P的坐标是(2－2，2)．

【解法提示】如解图①，构造△BNP≌△MAP，则NB＝AM，P A＝PN，∴∠APN＝90°，由(1)得出当点N在BA

的延长线上时，NB有最大值(如解图②)，可得AN＝22，∴AM＝NB＝3＋22，过点P作PE⊥x轴于点E，PE＝AE＝2，∴点P的坐标是(2－2，2)．

第2题解图

3.如图，△ABC是边长为4 cm的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA＝6 cm.点D从O点出发，沿

OM的方向以1 cm/s的速度运动．当D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△

BCE，连接DE.

(1)求证：△CDE是等边三角形；

(2)当6

(3)当点D在射线OM上运动时，是否存在以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

第3题图

(1)证明：∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，

∴CD＝CE，∠DCE＝60°，

∴△CDE是等边三角形；

(2)解：存在．理由如下：

∵△BCE是由△ACD逆时针旋转60°得到的，

∴AD＝BE，

又∵△CDE是等边三角形，