零点的存在性及其近似值的求法精品课件
新教材高中数学第三章函数3.2.2零点的存在性及其近似值的求法课件新人教B版必修17
【解析】设f(x)=x3+x2-2x-1， 则f(-2)=-1<0，f(-1)=1>0， f(0)=-1<0，f(1)=-1<0，f(2)=7>0， 所以f(-2)·f(-1)<0，f(-1)·f(0)<0，
f(1)·f(2)<0，所以∃x1∈(-2，-1)，x2∈(-1，0)， x3∈(1，2)，f(x1)=0，f(x2)=0，f(x3)=0. 则f(x)在(-2，-1)，(-1，0)，(1，2)内均有零点，即 ①②③正确. 答案：①②③
【解析】1.选C.对于函数f(x)=x3-2x-1， 因为f(1)=-2<0，f(2)=3>0，f(1.5)=-5 <0，
8
因此∃x0∈(1.5，2)，f(x0)=0. 所以下一个有根区间是(1.5，2).
2.选D.由表格可得，f(1.625)·f(1.75)<0， 那么∃x0∈(1.625，1.75)，f(x0)=0， 所以函数f(x)的零点在(1.625，1.75)之间， 又1.75-1.625=0.125<2×0.1=0.2， 所以方程的零点可以取 1.625 1.75 1.687 5.
2
(2)×.如f(x)=x2在区间(-1，1)上有f(-1)f(1) =1×1=1>0，但是在区间(-1，1)上有零点0. (3)×.函数需满足在区间[a，b]上连续不断且 f(a)·f(b)<0，才能用二分法求零点.
2.下列图像表示的函数中没有零点的是 ( )
【解析】选A.B，C，D的图像均与x轴有交点，故函数 均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点.
2.下列函数的零点不能用二分法求解的是 ( )
A.f(x)=x3-1
4.5.2用二分法求方程的近似解课件(人教版)
B．3，4
• C．5，4
D．4，3
• 解析
图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有
3个，所以可以用二分法求解的个数为3，故选D.
• (2)(多选)下列函数中，能用二分法求函数零点的有 ACD
• A．f(x)＝3x－1
B．f(x)＝x 2 －2x＋1
• C．f(x)＝4x
D．f(x)＝e x －2
• 解析
f(x)＝x 2 －2x＋1＝(x－1) 2 ，f(1)＝0，当x<1时，f(x)>0；当
x>1时，f(x)>0，在零点两侧函数值同号，不能用二分法求零点，
其余选项中函数的零点两侧的函数值异号．故选A、C、D.
•
|通性通法|
•
•
二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的根据是：其图象在零
中点的值
2.5
2.75
2.625
2.5625
2.53125
2.546875
2.5390625
2.53515625
中点函数近似值
–0.084
0.512
0.215
0.066
–0.009
0.029
0.010
0.001
当精确度为0.01时，由于|2.5390625-2.53125| =0.007 812 5＜0.01，所以，
如何求得一般方程的根呢？
二、探究新知
视察图形，怎样求方程lnx+2x-6=0的根？
1．二分法：
对于区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y=f(x)，
通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使
02 教学课件_ 函数的存在性及近似值的求法
典例
例2 已知函数 = 2 + + 1有两个零点，在区间（-1,1）
上是单调的，且在该区间中有且只有一个零点，求实数的
取值范围.
即 2 − + 2 < 0且|| ≥ 2
不管哪种情况：
2
−1 1 < 0且| − | ≥ 1
解得 < −2或 > 2.
典例
例1 求证函数 = 3 − 2 + 2至少有一个零点.
【解析】
∵ 0 = 2 > 0, −2 = −8 + 4 + 2 = −2 < 0
∴ 0 ∙ −2 < 0
∴ ∃0 ∈ −2,0 , 0 = 0
思考：能否通过零点存在定理，缩小零点区间，
得出零点的近似值？
a
1
2
令 bx －ax＝0，得 x＝0 或 x＝ ＝－ .
b
2
3．已知函数y＝f(x)是偶函数，其部分图象如图所示，
则这个函数的零点至少有________个．
4
【解析】 由图象可知，当 x>0 时，函数至少有 2 个零点，因为
偶函数的图象关于 y 轴对称，故此函数的零点至少有 4 个．
跟踪练习
4．证明：方程 4 －4－2＝0在区间[－1,2]内至少有两个实数解．
1、y x 5 x 7 x 4
2、y x 5x 7 x 4
3
如何判断方程没有通用求根
2
4
3
2
公式的函数有无零点呢？
情景与问题
如图，已知A 、 B都是函数y=f(x)图像上的点，
而且函数图像是连接A、B两点的连续不断的
人教B版高中数学必修第一册精品课件 第3章 函数 3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
(2)已知函数y=f(x)在区间[2,3]上的图象是连续的,且f(2)>0,f(3)<0,即在区间
(2,3)内有零点,问如何尽快缩小零点所在区间的范围?
提示:①取区间[2,3]的中点2.5.
②计算f(2.5).
③若f(2.5)>0,则零点必在区间(2.5,3)内,否则在区间(2,2.5)内.
范?
1
提示:因为函数f(x)=x+ 的定义域是{x|x≠0},所以函数f(x)的图象不是连续
不断的,所以即使满足f(-1)f(1)<0,函数f(x)也不一定有零点.
正解:函数f(x)的定义域为{x|x≠0},当x>0时,f(x)>0;当x<0时,f(x)<0.所以函数
f(x)没有零点,故选A.
答案:A
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)若f(a)f(b)>0,则f(x)在区间[a,b]上无零点.( × )
(2)若f(x)在区间[a,b]上连续不断,且为单调函数, f(a)f(b)<0,则f(x)在区间(a,b)
内有且只有一个零点.( √ )
(3)如果函数零点两侧的函数值同号,那么不适合用二分法求此零点近似
[1.25,1.5]
f(x1)>0
[1.25,1.375]
1+1.5
x0= 2 =1.25
1.25+1.5
x1=
=1.375
2
1.375+1.25
|1.375-1.25|<0.2,
=1.312
2
数学人教B必修第一册：3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
故可取[1,2]作为计算的初始区间，列表如下：
零点所在区间 [1,2] [1,1.5]
[1.25,1.5] [1.375,1.5] [1.437 5，1.5] [1.437 5，1.468 75] [1.437 5，1.453 125]
区间中点 1.5 1.25 1.375
1.437 5 1.468 75 1.453 125 1.445 312 5
由表中数据可知，|1.562 5－1.5|＝0.062 5<2×0.06， 所以所求函数的一个正实数零点近似值为1.531 25.
当堂检测
1.函数f(x)＝x3＋5的可能存在区间是
√A.[－2，－1]
B.[－1,0]
C.[0,1]
D.[1,2]
解析 由于f(－2)＝－3<0，f(－1)＝4>0， 故可以取区间[－2，－1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.
跟踪训练2 已知函数f(x)＝x3－x－2，用二分法求它的一个正实数零点.(精确度0.06)
解 由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法 逐步计算，具体如表.
零点所在区间 [1,2] [1.5,2]
[1.5,1.75] [1.5,1.625] [1.5,1.562 5]
第三章 3.2 函数与方程、不等式之间的关系
学习目标
XUEXIMUBIAO
1.理解函数零点存在定理. 2.会用二分法求函数变号零点的近似值，并能对二分法的过程作出程式化的 步骤.
问题导入
（1）
（2） 1.哪组镜头说明小孩的行程一定曾渡过小河?
y f (x) y A
B
x [a,b]
x
第三章 3.2 第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
教材知识探究
如图，已知A，B是函数y＝f(x)图像上的两点且函数图像是连接A，B两点的连续不 断的线：
问题 (1)函数y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点吗？ (2)若函数y＝f(x)在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上有几个零点？ (3)若函数y＝f(x)在[a，b]上只有一个零点，则y＝f(x)在[a，b]上一定具有单调性 吗？ (4)若函数y＝f(x)在[a，b]上有两个零点，则y＝f(x)在[a，b]上具有单调性吗？ 提示 (1)y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点. (2)只有一个零点. (3)y＝f(x)在[a，b]不一定具有单调性. (4)y＝f(x)在[a，b]上不具有单调性.
解析 ∵f(1.5)f(1.25)＜0，
∴方程的根落在区间(1.25，1.5)上.
用二分法来求方程的近似解.
3.二分法求函数近似零点的步骤
在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，
且f(a)f(b)<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1－x0|<ε
的一般步骤如下：
a＋b
第一步 检查|b－a|<2ε是否成立，如果成立，取x1＝ 2 ，计算结束；如果
教材拓展补遗 [微判断] 1.若函数y＝f(x)在[a，b]上图像连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有
零点.( × ) 提示 不正确.如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0. 2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.( × ) 提示 不正确.如(1)中的例子. 3.若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上至多有一个零点.( √ ) 4.二分法可求所有函数的近似零点.( × ) 提示 当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零点.
3.2 第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是 连续不断 的，并且 _f_(a_)_·f_(_b_)<_0_(即在区间两个端点处的函数值_异__号)，则函数 y＝f(x) 在区间 (a，b)中 至少有一个 零点，即∃x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
如此继续下去，得到方程的一个实数根所在的区间，如下表：
(a，b) (a，b)的中点 f(a)
f(b)
fa＋2 b
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0 f(1)>0 f(0.75)<0
(0.75,1) 0.875 f(0.75)<0 f(1)>0 f(0.875)>0
因为|0.75－0.875|＝0.125<0.2，所以方程 2x3－1＝0 的一个近似
第二步 计算区间(a，b)的中点a＋2 b对应的函数值，若 fa＋2 b＝0， 取 x1＝a＋2 b，计算结束；若 fa＋2 b≠0，转到第三步．
第三步 若 f(a)fa＋2 b<0，将a＋2 b的值赋给 b用a＋2 b→b表示，下同，
(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断． (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在 该区间内无零点；若符号为负且函数连续，则在该区间内至少 有一个零点．
2．判断函数存在零点的 2 种方法 (1)方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可 通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数． (2)图像法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一 平面直角坐标系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图像，根据两个图 像交点的个数来判定函数零点的个数．
第三章 3.2 第二课时 零点的存在性及其近似值的求法
第二课时零点的存在性及其近似值的求法课标要求素养要求1.理解函数零点存在定理，会判断零点所在区间.2.了解二分法求函数的近似零点.3.能解决二次函数零点分布问题.1.通过判定零点所在区间及二分法求零点的近似值，培养数学运算素养.2.通过零点个数的判定、二次函数零点分布问题，培养逻辑推理、直观想象素养.教材知识探究如图，已知A，B是函数y＝f(x)图像上的两点且函数图像是连接A，B两点的连续不断的线：问题(1)函数y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点吗？(2)若函数y＝f(x)在[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上有几个零点？(3)若函数y＝f(x)在[a，b]上只有一个零点，则y＝f(x)在[a，b]上一定具有单调性吗？(4)若函数y＝f(x)在[a，b]上有两个零点，则y＝f(x)在[a，b]上具有单调性吗？提示(1)y＝f(x)在[a，b]上一定存在零点.(2)只有一个零点.(3)y＝f(x)在[a，b]不一定具有单调性.(4)y＝f(x)在[a，b]上不具有单调性.1.函数零点存在定理,满足定理两个条件，一定有零点；不满足两个条件，也可能有零点)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，并且f (a )f (b )<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )中至少有一个零点，即∃x 0∈(a ，b )，f (x 0)＝0. 2.二分法的概念对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近为零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.由函数的零点与相应的方程根的关系，可用二分法来求方程的近似解.3.二分法求函数近似零点的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f (x )在区间[a ，b ]上的图像是连续不断的，且f (a )f (b )<0)，给定近似的精度ε，用二分法求零点x 0的近似值x 1，使得|x 1－x 0|<ε的一般步骤如下：第一步 检查|b －a |<2ε是否成立，如果成立，取x 1＝a ＋b2，计算结束；如果不成立，转到第二步.第二步 计算区间(a ，b )的中点a ＋b 2对应的函数值，若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝0，取x 1＝a ＋b 2，计算结束；若f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2≠0，转到第三步. 第三步 若f (a )f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2<0，将a ＋b 2的值赋给b ⎝⎛用a ＋b2→b 表)示，下同，回到第一步；否则必有f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2f (b )<0，将a ＋b 2的值赋给a ，回到第一步.这些步骤可用如图所示的框图表示.教材拓展补遗[微判断]1.若函数y＝f(x)在[a，b]上图像连续，且f(a)f(b)>0，则y＝f(x)在(a，b)内一定没有零点.(×)提示不正确.如函数f(x)＝x2在[－1，1]上有零点为0.2.若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)<0.(×)提示不正确.如(1)中的例子.3.若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[a，b]上至多有一个零点.(√)4.二分法可求所有函数的近似零点.(×)提示当零点左右两侧附近函数值同号时，不能用二分法求函数的近似零点. [微训练]1.函数f(x)＝x3＋x－58的零点所在区间是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(－2，－1)解析∵f(－2)＝(－2)3＋(－2)－58<0，f(－1)＝(－1)3＋(－1)－58<0，f(0)＝－58<0，f(1)＝1＋1－58>0，f(2)＝23＋2－58>0，∴f(0)f(1)<0，又f(x)的图像在[0，1]上是连续不断的，故由函数零点存在定理知f(x)在(0，1)上存在零点.答案 B2.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，ac<0，则函数的零点个数是()A.1个B.2个C.0个D.无法确定解析∵Δ＝b2－4ac，ac<0，∴Δ>0，∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个根，故函数有两个零点.答案 B3.下列图像表示的函数能用二分法求零点的是()解析对于选项A，图像与x轴无交点，不存在零点；对于选项B，图像与x轴有公共点，但零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点；对于选项C，函数零点两边的函数值异号，可用二分法求零点；对于D，零点两边的函数值同号，不能用二分法求零点.故选C.答案 C[微思考]1.有的同学认为，对于函数f(x)＝x＋1x，有f(1)f(－1)<0，则函数f(x)一定有零点.你认为正确吗？提示f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，它在(－1，1)上不是连续的，不能用零点存在定理判定.事实上，∵f(x)∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，∴f(x)无零点.2.若函数y＝f(x)不满足零点存在定理的两个条件，这个函数可能有零点吗？提示可能有零点，也可能没有零点.题型一函数零点存在定理的应用用定理关键找对区间端点【例1】求证函数f(x)＝x3－3x＋2至少有一个零点.证明法一∵f(x)＝x3－3x＋2＝x3－1－3(x－1)＝(x－1)2(x＋2)，∴f(x)有两个零点为－2，1.故f(x)至少有一个零点.法二由f(x)＝x3－3x＋2，得f(0)＝2，f(－3)＝－16，又∵f(x)图像在[－3，0]上是一条连续曲线，∴由函数零点存在定理，知f(x)在[－3，0]上至少有一个零点. 规律方法 1.若函数的零点易求，可直接求出零点，否则利用函数零点存在定理判断.2.利用函数零点存在定理时，关键在于找准区间，且只能判定在区间上零点的存在性，但需注意，不满足定理的条件，也可能存在零点，另外要判定有几个零点，需结合函数的性质或图像进行判定.【训练1】(1)判断函数f(x)＝6x－x2零点的个数；(2)求证函数f(x)＝x3＋x＋1只有一个零点.解(1)法一∵f(x)＝6x－x2＝6－x3x，∴f(x)只有一个零点36.法二令y1＝6x，y2＝x2，在同一坐标系中作出它们的图像如图.两函数图像只有一个交点，故f(x)只有一个零点.(2)因为x3，x＋1在R上均为增函数，∴f(x)＝x3＋x＋1在R上单调递增且在R 上图像是一条连续曲线.又∵f(－1)＝－1，f(0)＝1，∴f(x)在(－1，0)上有且只有一个零点.故f(x)＝x3＋x＋1只有一个零点.题型二二分法求函数零点的近似值【例2】求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个为正数的零点(精确到0.1).解由于f(1)＝－6＜0，f(2)＝4＞0，可取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：至此可以看出，区间[1.718 75，1.734 375]内的所有值精确到0.1都为1.7，所以1.7就是所求函数零点精确到0.1的实数解，即为函数的一个正数零点.规律方法 1.在选择区间[a，b]时要使其长度尽可能小，以减少运算次数.在没有特别要求的情况下，为了便于计算和操作，可以尝试取相邻的两个整数作为初始值区间的端点.2.切记最后分得的区间两端点共同的近似值才是零点的近似值，若无共同近似值则需继续运算，直到符合要求为止.【训练2】求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点(精确到0.1).解由于f(1)＝1－1－1＝－1＜0，f(1.5)＝3.375－1.5－1＝0.875＞0，∴f(x)在区间[1，1.5]内存在零点，取区间[1，1.5]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：∵区间[1.312 5，1.343 75]内的所有值精确到0.1的近似值都是1.3，所以原函数精确到0.1的近似零点为1.3.题型三二次函数零点的分布【例3】函数f(x)＝2kx2－2x－3k－2的两零点一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围.解由题意知k≠0，当k＞0时，需f(1)<0，解得k>－4，故k>0；当k <0时，需f (1)>0，解得k <－4.综上k 的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).规律方法 1.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的零点分布问题：(1)两零点都大于m ⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，－b2a >m ，f （m ）>0；(2)两零点在(m ，n )内⇔⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，m <－b2a <n ，f （m ）>0，f （n ）>0；(3)一零点比m 大，一零点比m 小⇔f (m )＜0；(4)一零点比m 小，一零点比n 大(m ≤n )⇔f (m )＜0且f (n )＜0；(5)一零点在(m ，n )内，一零点在(p ，q )内(m ＜n ≤p ＜q )⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （n ）＜0，f （p ）＜0，f （m ）＞0，f （q ）＞0.2.二次方程根的分布问题可转化为对应的二次函数的零点分布问题.【训练3】 若函数f (x )＝kx 2－(2k ＋1)x －3在(－1，1)和(1，3)内各有一个零点，求实数k 的取值范围.解 ∵函数f (x )＝kx 2－(2k ＋1)x －3的图像是连续曲线，∴由题意可知f (－1)f (1)<0且f (1)f (3)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧（3k －2）（－k －4）<0，（－k －4）（3k －6）<0，即⎩⎨⎧k >23或k <－4，k >2或k <－4， 解得k <－4或k >2.故所求的实数k的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞).一、素养落地1.通过本课内容，主要训练数学运算和逻辑推理素养.2.判定零点个数，若函数的零点易求，可直接求出零点，否则，一种方法是利用零点存在定理并结合函数性质(如单调性)，另一种方法是把f(x)转化为f1(x)－f2(x)，作出在同一坐标系中f1(x)和f2(x)的图像，观察判断它们交点的个数.3.二分法的实质是通过“取中点”，不断缩小零点所在区间的范围.当区间的两个端点的值按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数的近似零点.二、素养训练1.设用二分法求方程f(x)＝0在x∈(1，2)内的近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的根落在区间()A.(1，1.25)B.(1.25，1.5)C.(1.5，2)D.不能确定解析∵f(1.5)f(1.25)＜0，∴方程的根落在区间(1.25，1.5)上.答案 B2.在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，f(0.68)＜0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为()A.0.68B.0.72C.0.7D.0.6解析已知f(0.64)＜0，f(0.72)＞0，则函数f(x)的零点的初始区间为[0.64，0.72]，又0.68＝(0.64＋0.72)/2，且f(0.68)＜0，所以零点在区间[0.68，0.72]上，且该区间的左、右端点精确到0.1所取的近似值都是0.7，因此0.7就是所求函数的一个正实数零点的近似值.答案 C3.用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________.解析 令f (x )＝x 3－2x －5，f (x )图像在[2，3]上连续不断， ∵f (2)＝－1＜0，f (3)＝16＞0，f (2.5)＝5.625＞0， ∴f (2)f (2.5)＜0，故下一个有根区间是[2，2.5]. 答案 [2，2.5]4.下列函数图像均与x 轴有交点，其中能用二分法求函数零点的是________(填序号).解析 图①②④中所示函数的零点都不是变号零点，因此不能用二分法求解；图③中所示函数的零点是变号零点，能用二分法求解. 答案 ③5.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a ＜0)在区间(0，1)上有零点，求实数a 的取值范围. 解 由于函数f (x )的图像开口向上，对称轴是x ＝－12∉(0，1)，因此有⎩⎪⎨⎪⎧f （0）<0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <0，2＋a >0，所以－2＜a ＜0，即a 的取值范围为(－2，0).基础达标一、选择题1.对于函数f (x )在定义域内用二分法求零点的过程如下：f (2 017)＜0，f (2 018)＜0，f(2 019)＞0，则下列叙述正确的是()A.函数f(x)在(2 017，2 018)内不存在零点B.函数f(x)在(2 018，2 019)内不存在零点C.函数f(x)在(2 018，2 019)内存在零点D.函数f(x)在(2 017，2 018)内可能存在零点解析由于只有满足函数图像在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点，所以在不清楚f(x)的图像是不是连续的情况下，选项C不一定正确.只有选项D正确.答案 D2.用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是()A.[－2，1]B.[－1，0]C.[0，1]D.[1，2]解析由于f(－2)＝－3＜0，f(1)＝6＞0，故可以取区间[－2，1]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算.答案 A3.下列关于函数f(x)，x∈[a，b]的命题中，正确的是()A.若x0∈[a，b]且满足f(x0)＝0，则x0是f(x)的一个零点B.若x0是f(x)在[a，b]上的零点，则可以用二分法求x0的近似值C.函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根，但f(x)＝0的根不一定是函数f(x)的零点D.用二分法求方程的根时，得到的都是近似解解析使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件，B不正确；f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确.答案 A4.二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R，a≠0)的部分对应值如下表：不求a，b() A.(－3，－1)和(2，4) B.(－3，－1)和(－1，1)C.(－1，1)和(1，2)D.(－∞，－3)和(4，＋∞)解析由表格中数据可知f(－3)f(－1)＜0，f(2)f(4)＜0，又二次函数的图像是连续不断的，故选A.答案 A5.若函数f(x)的图像是连续不断的，且f(0)>0，f(1)f(2)·f(4)<0，则下列命题正确的是()A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点B.函数f(x)在区间(1，2)内有零点C.函数f(x)在区间(0，2)内有零点D.函数f(x)在区间(0，4)内有零点解析由f(1)f(2)f(4)<0知，f(1)，f(2)，f(4)中有一个或三个小于0，∴函数f(x)在区间(0，4)内有零点，选D.答案 D二、填空题6.用二分法求函数y＝f(x)在区间(2，4)上的近似零点，验证f(2)f(4)＜0，给定精度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间).解析∵f(2)f(4)＜0，f(2)f(3)＜0，∴f(3)f(4)＞0，故x0∈(2，3).答案(2，3)7.f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x3＋x2解析∵f(1.437 5)＝0.162，f(1.406 25)＝－0.054，∴f(1.437 5)f(1.406 25)＜0，即方程有一个近似解在(1.406 25，1.437 5)内.又(1.406 25，1.437 5)内的所有值精确到0.1都为1.4，所以1.4就是所求方程精确到0.1的近似根.答案 1.48.在26枚崭新的金币中，混入了一枚外表与它们完全相同的假币(重量稍轻)，现在只有一台天平，请问：最多需要称________次就可以发现这枚假币.解析由二分法的原理可得，最多需要4次.答案 4三、解答题9.用二分法求函数y＝x3－3的一个正零点(精确到0.1).解f(1)＝－2＜0，f(2)＝5＞0，因此可取区间[1，2]作为计算的初始区间.用二分法逐步计算，见下表：∵1.437 5与1.445 312 5精确到0.1时，近似值都为1.4，∴函数f (x )＝x 3－3精确到0.1的近似正零点为1.4.10.若函数f (x )＝ax 2－x －1的负零点有且仅有一个，求实数a 的取值范围. 解 当a ＝0时，f (x )＝－x －1，令f (x )＝0，得x ＝－1，符合题意；当a >0时，此函数图像开口向上.又f (0)＝－1<0，结合二次函数图像(略)知符合题意；当a <0时，此函数图像开口向下.又f (0)＝－1<0，从而有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋4a ＝0，－－12a <0，即a ＝－14. 综上可知，实数a 的取值范围为[0，＋∞)∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14. 能力提升11.已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，f (0)＞0，f (1)＞0.(1)证明a ＞0；(2)利用二分法证明方程f (x )＝0在[0，1]内有两个实根.证明 (1)∵f (1)＞0，∴3a ＋2b ＋c ＞0，即3(a ＋b ＋c )－b －2c ＞0.∵a ＋b ＋c ＝0，∴－b －2c ＞0，则－b －c ＞c ，即a ＞c .∵f (0)＞0，∴c ＞0，则a ＞0.(2)在[0，1]内选取二等分点12， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34a ＋b ＋c ＝34a ＋(－a )＝－14a ＜0. ∵f (0)＞0，f (1)＞0，∴f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上至少各有一个零点， 又f (x )最多有两个零点，从而f (x )＝0在[0，1]内有两个实根.12.已知函数f (x )＝|x 2－2x |－a ，求满足下列条件的实数a 的取值范围.(1)函数f (x )没有零点；(2)函数f (x )有两个零点；(3)函数f (x )有三个零点；(4)函数f (x )有四个零点.解 令|x 2－2x |－a ＝0，则|x 2－2x |＝a ，构造函数g (x )＝|x 2－2x |，y ＝a ，作出函数g (x )＝|x 2－2x |的图像(如图所示)，由图像可知：(1)当a ＜0时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像没有交点，即函数f (x )没有零点.(2)当a ＝0或a ＞1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有两个交点，即f (x )有两个零点.(3)当a ＝1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有三个交点，即f (x )有三个零点.(4)当0＜a ＜1时，函数y ＝a 与y ＝g (x )的图像有四个交点，即f (x )有四个零点.。
《函数与方程、不等式之间的关系》函数PPT课件(第2课时)
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并能用函数与方程思想分析问题、 提升数学抽象的学科素养.
解决问题．(重点、难点)
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2．二分法的定义
5
(1)二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上过程：通过不断地把函数 f(x)的零点所在的区间一分
为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方
法，称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，也可以用二分
《零点的存在性及其近似值的求法》PPT课件
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第三章 函 数
个相等的实根，即 x1＝x2＝－m2 ，此时函数 f(x)＝x2＋mx＋n 在 (a，b，f(a) ＞0，f(b)＞0 时，方程 x2＋mx＋n＝0 在(a，b)上有两个不等实 根，即函数 f(x)＝x2＋mx＋n 在(a，b)上有两个零点.
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第三章 函 数
用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计 算得 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈____________， 第二次应计算____________. 答案：(0，0.5) f(0.25)
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第三章 函 数
判断函数零点个数或所在区间
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第三章 函 数
(2)由函数 f(x)＝x3＋x－5 可得 f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8 ＋2－5＝5＞0， 故有 f(1)f(2)＜0， 根据函数零点存在定理可得，函数 f(x)的零点所在区间为(1， 2)，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B
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第三章 函 数
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第三章 函 数
(2)f(x)＝ax2－2x＋1＝0，可得 a＝－x12＋2x＝－1x－12＋1. 若 f(x)在－12，12内有零点，则 f(x)＝0 在区间－12，12内有解， 当－12≤x<0 或 0<x≤12时，可得 a＝－x12＋2x≤0.所以实数 a 的取 值范围为(－∞，0]. 【答案】 (1)(1，＋∞) (2)(－∞，0]
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第三章 函 数
2.用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上的图 像是连续不断的，且 f(a)·f(b)＜0)，给定近似的精确度 ε，用二 分法求零点 x0 的近似值 x1，使得|x1－x0|＜ε 的一般步骤如下： 第一步 检查|b－a|＜2ε 是否成立，如果成立，取 x1＝a＋2 b， 计算结束；如果不成立，转到第二步.
零点的存在性定理 ppt课件
零点-1,0,1.
探究二 正确使用零点存在性定 理
若 函 数 fxx2 2 a x 2 在 区 间 0 ,4 上
至 少 有 一 个 零 点 ， 求 a 的 取 值 范 围
五 课堂小结
判断函数y f x零点的存在性的两个条件
1函数的图像在区间a,b上一条连续不断的
有 两 个 相 等 的 实 数 根 ， 即 =1+4a 0,得 a 1 4
综 上 ， 当 a 0或 - 1 时 ， 函 数 仅 有 一 个 零 点 。 4
选做题答案
1因为f aabac, f bbcba f ccacb,又a b c,所以f a 0, f b 0, f c 0,即函数的两个零点分别在 a,b和b,c内。
分别位于哪两个区间?
能力提升题答案
1因 为 该 函 数 的 图 像 不 是 连 续 不 断 的 ， 不 能 使 用 零 点 存 在 性 定 理 ， 所 以 选 A
2 1 若 a = 0， 则 函 数 f x x 1为 一 次 函 数 ，
易知函数只有一个零点
2 若 a 0， 则 函 数 f x 为 二 次 函 数 ， 则 该 方 程
A . 2, 1 B . 1,0
C
C .0 ,1
D .1,2
二 能力提升题
1函 数 C .2 D .3
2 若 函 数 fx = a x 2 x 1 仅 有 一 个 零 点 ， 求 实 数
a 的 取 值 范 围
三 选做题
1若 a b c, 则 函 数 f x x a x b x b x c x c x a 的 两 个 零 点
yf x在区间a,b内有零 点 ，即存在ca,b
第三章 §3.2 第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法1．(多选)用二分法求如图所示函数f (x )的零点时，能求出的零点是( )A ．x 1B ．x 2C ．x 3D ．x 42．用二分法求函数y ＝f (x )在区间[2,4]上的唯一零点的近似值时，验证f (2)·f (4)<0，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)<0，则此时零点x 0所在的区间是( )A ．(2,4)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．无法确定3．已知连续函数f (x )的部分对应值如下表：x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f (x )148－2273－2－18则函数f (x )在区间[1,9]上的零点至少有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个D ．5个4．(多选)在用二分法求函数f (x )零点的近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( ) A.⎣⎡⎦⎤－2，－12 B ．[－2,1] C.⎣⎡⎦⎤52，4D.⎣⎡⎦⎤－12，1 5．用二分法求方程的近似解，求得f (x )＝x 3＋2x －9的部分函数值数据如表所示：x 1 2 1.5 1.625 1.75 1.875 1.812 5 f (x )－63－2.625－1.459－0.141.341 80.579 3则当精确度为0.1时，方程x 3＋2x －9＝0的近似解可取为( ) A ．1.625 B ．1.75 C ．1.812 5D ．1.8756．用二分法求函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f(1)＝－2，f(1.5)＝0.625，f(1.25)≈－0.984，f(1.375)≈－0.260，关于下一步的说法正确的是()A．已经达到精确度的要求，可以取1.437 5作为近似值B．已经达到精确度的要求，可以取1.375作为近似值C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.437 5)D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f(1.312 5)7．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈____________，第二次应计算____________．8．设f(x)＝x2－3x＋a，若函数f(x)在区间(1,3)内有零点，则实数a的取值范围为________．9．用二分法求方程x2－5＝0的一个正零点近似值．(精确度为0.05)10．已知函数f(x)＝2x3－x2－3x＋1.(1)求证：f(x)在区间(1,2)上存在零点；(2)若f(x)的一个正数零点附近的函数近似值如表格所示，请用二分法计算f(x)＝0的一个近似解(精确到0.1)．x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 1.343 75 f(x)的近似值－11－0.406 250.183 59－0.138 180.015 8111．已知函数f(x)，g(x)的图象在[－1,3]上都是连续不断的．根据下表，能够判断f(x)＝g(x)有实数解的区间是()x －1012 3f(x)－0.677 3.011 5.432 5.9807.651g(x)－0.530 3.451 4.890 5.241 6.892A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)12．用二分法求方程x3－x2－1＝0的一个近似解，现在已经将一个实数根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该实数根所在的区间为________．13．已知图象连续不断的函数y＝f(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.005)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为________．14．设方程2x＋x3＝10的唯一正实根为β，β所在区间为(n，n＋1)，n∈N＋，则n＝________.15．在26枚崭新的金币中，有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点)，现在只有一台天平，则应用二分法的思想，最多称________次就可以发现这枚假币．16．学校请了30名木工制作200把椅子和100张课桌．已知制作一张课桌和一把椅子的工时之比为10∶7，问：30名木工如何分组(一组制作课桌，一组制作椅子)才能使任务完成最快？。
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第三章 函 数
用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 (1)需依据图像估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值 的方法完成). (2)取区间端点的中点 c，计算 f(c)，确定有解区间是(m，c)还是 (c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合 精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值.
(1)已知函数 y＝f(x)的图像是连续不断的一条曲线，有 如下的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －1说法正确的是( )
A.函数 y＝f(x)在区间[1，6]上有 3 个零点
B.函数 y＝f(x)在区间[1，6]上至少有 3 个零点
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第三章 函 数
(3)函数 f(x)有三个零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2－2x|的图像有 三个交点，由图像易知 a＝1. (4)函数 f(x)有四个零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2－2x|的图像有 四个交点，由图像易知 0＜a＜1.
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第三章 函 数
利用二分法求方程的近似解 用二分法求方程 x2－2x－1＝0 的正解的近似值(精确度 为 0.1). 【解】 设 f(x)＝x2－2x－1.因为 f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又 f(x)在(2，3)内递增，所以在区间(2，3)内，方程 x2－2x－1＝0 有唯一实数根，记为 x0. 取区间(2，3)的中点 x1＝2.5，因为 f(2.5)＝0.25＞0，所以 x0∈ (2，2.5).
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第三章 函 数
根据函数零点求参数 (1)已知 a 是实数，函数 f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数 y ＝f(x)有且仅有两个零点，则实数 a 的取值范围是_________. (2)函数 f(x)＝ax2－2x＋1，若 y＝f(x)在区间－12，12内有零点， 则实数 a 的取值范围为_________.
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第三章 函 数
【解析】 (1)函数 f(x)＝2|x－1|＋x－a 有且仅有两个零点，即 函数 y＝2|x－1|＋x 与 y＝a 有且仅有两个交点. 分别作出函数 y＝2|x－1|＋x 与 y＝a 的图像，如图所示.
由图易知，当 a>1 时，两函数的图像有两个不同的交点，故实 数 a 的取值范围是(1，＋∞).
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第三章 函 数
观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是( )
答案：A
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第三章 函 数
函数 f(x)＝x3－3x－3 有零点的区间是( )
A.(－1，0)
B.(0，1)
C.(1，2)
D.(2，3)
解析：选 D.因为 f(－1)＝－1＋3－3＝－1＜0， f(0)＝－3＜0，f(1)＝1－3－3＝－5＜0， f(2)＝8－6－3＝－1<0，f(3)＝27－9－3＝15>0， 所以 f(x)＝x3－3x－3 的零点在区间(2，3)内.
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第三章 函 数
再取区间(2，2.5)的中点 x2＝2.25，因为 f(2.25)＝－0.437 5＜0， 所以 x0∈(2.25，2.5). 同理可得，x0∈(2.375，2.5). 因为|2.375－2.5|＝0.125＜0.2， 故方程 x2－2x－1＝0 的一个精确度为 0.1 的近似正解可取为 2.3752＋2.5＝2.437 5.
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第三章 函 数
用二分法研究函数 f(x)＝x3＋3x－1 的零点时，第一次经计 算得 f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点 x0∈____________， 第二次应计算____________. 答案：(0，0.5) f(0.25)
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第三章 函 数
判断函数零点个数或所在区间
求定理近似解的方法，会用二分 算、逻辑推理
法求一个函数在给定区间内零
点近似值
第三章 函 数
问题导学 预习教材 P115－P118 的内容，思考以下问题： (1)函数零点存在定理的内容是什么？ (2)二分法的概念是什么？ (3)用二分法求函数零点近似值的步骤是什么？
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第三章 函 数
1.函数零点存在定理 如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是_连__续__不__断___的，并且 ___f_(_a_)·_f_(b_)_＜__0___ (即在区间两个端点处的函数值__异___号)，则 函数 y＝f(x)在区间(a，b)中___至__少__有__一__个___零点，即∃x0∈(a， b)，f(x0)＝0. ■名师点拨 定理要求具备两条：①函数在区间[a，b]上的图像是连续不断 的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0.
在区间(a，b)上( )
A.一定有零点
B.一定没有零点
C.可能有两个零点
D.至多有一个零点
解析：选 C.(1)当 Δ＝m2－4n＜0 时，方程 x2＋mx＋n＝0 无实
根，即函数 f(x)＝x2＋mx＋n 在(a，b)上没有零点.(2)当 Δ＝m2
－4n＝0，且 a＜－m2 ＜b，方程 x2＋mx＋n＝0 在(a，b)上有两
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第三章 函 数
2.用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时(即 f(x)在区间[a，b]上的图 像是连续不断的，且 f(a)·f(b)＜0)，给定近似的精确度 ε，用二 分法求零点 x0 的近似值 x1，使得|x1－x0|＜ε 的一般步骤如下： 第一步 检查|b－a|＜2ε 是否成立，如果成立，取 x1＝a＋2 b， 计算结束；如果不成立，转到第二步.
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第三章 函 数
已知函数 f(x)＝2x3－1(x∈R). (1)证明：函数 f(x)在(0.5，1)内有一个零点； (2)求出 f(x)在区间(0.5，1)内零点的近似解.(精确度为 0.1) 解：(1)证明：函数 f(x)＝2x3－1 在区间[0.5，1]上连续. 且 f(1)＝2－1＝1＞0，f(0.5)＝14－1＜0， 所以函数 f(x)在(0.5，1)内有一个零点；
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第三章 函 数
1.在下列区间上，方程 x3＝3x－1 无实数解的是( )
A.(－2，－1)
B.(－1，0)
C.(0，1)
D.(1，2)
解析：选 B.令 f(x)＝x3－3x＋1，
易知 f(x)在 R 上连续，
f(－1)＝－1＋3＋1＝3＞0，
f(－2)＝－8＋6＋1＝－1＜0，
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(1)判断函数零点所在区间的三个步骤 ①代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值. ②判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断. ③结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区 间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一 个零点.
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第三章 函 数
(2)判断函数存在零点的 2 种方法 ①方程法：若方程 f(x)＝0 的解可求或能判断解的个数，可通过 方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数. ②图像法：由 f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得 g(x)＝h(x)，在同一平面 直角坐标系内作出 y1＝g(x)和 y2＝h(x)的图像，根据两个图像交 点的个数来判定函数零点的个数.
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第三章 函 数
已知函数 f(x)＝|x2－2x|－a，求满足下列条件 的 a 的取值范围. (1)函数 f(x)没有零点； (2)函数 f(x)有两个零点； (3)函数 f(x)有三个零点； (4)函数 f(x)有四个零点.
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第三章 函 数
解：函数 g(x)＝|x2－2x|的图像如图所示. (1)函数 f(x)没有零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2 －2x|的图像没有交点，观察图像可知，此时 a＜0. (2)函数 f(x)有两个零点，即直线 y＝a 与 g(x)＝|x2－2x|的图像有 两个交点，观察图像可知此时 a＝0 或 a＞1.
0，将a＋2 b的值赋给 a，回到第一步.
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第三章 函 数
■名师点拨 二分就是将所给区间平均分成两部分，通过不断逼近的方法， 找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间 内的某个数值近似地表示真正的零点.
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第三章 函 数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a)·f(b)＜ 0.( ) (2)所有函数的零点都可以用二分法来求.( ) (3)函数 f(x)＝|x|可以用二分法求其零点.( ) 答案：(1)× (2)× (3)×
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第三章 函 数
根据函数零点个数求参数值(范围)的方法 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解 不等式确定参数的取值范围. (2)分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加 以解决. (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中， 画出函数的图像，然后数形结合求解.
3.2 函数与方程、不等式之间的关系
第2课时 零点的存在性及其近似值的求法
PPT教学课件
第三章 函 数
考点
学习目标
核心素养
会用函数零点存在定理判断函
函数零点 数在某一区间上零点的存在性 数学抽象、数学运
存在定理 及零点个数，会根据函数零点的 算、直观想象
情况求参数
通过具体实例理解二分法的概
二分法
念及其适用条件，了解二分法是 数学抽象、数学运
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第三章 函 数
(2)由函数 f(x)＝x3＋x－5 可得 f(1)＝1＋1－5＝－3＜0，f(2)＝8 ＋2－5＝5＞0， 故有 f(1)f(2)＜0， 根据函数零点存在定理可得，函数 f(x)的零点所在区间为(1， 2)，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B