9双线性函数

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第九章 双线性函数

本章从线性函数入手，推广欧氏空间的若干性质到一般数域F 上向量空间上，即双线性函数的概念，然后介绍正交空间、辛空间的一些基本结论． §1 线性函数

定义1设V 是数域F 上的一个向量空间．σ是V 到F 的映射，如果 1) ,,()()()V αβσαβσασβ∀∈+=+， 2) ,,()()V k F k k ασασα∀∈∀∈=， 则说σ是V 上的一个线性函数，

由定义可以看出线性函数就是V 到F 的线性映射。因而关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立。

线性函数是十分重要的函数类，在数学的多个分支和一些实际问题中都要用到它．下面看几个例子．

例1 给定F 中的n 个元素12,,,n a a a , ∀(12,n n x x F ∈,x ,)，规定

121

12

2(,,

,)n n n f x x x a x a x a x

=+++ 容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此f 是n F 上的一个线性函数．

例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵()ij n n A a ⨯=对应F 中的一个元素1n

ii i a =∑,并且有 ()()()T r A B T r A T r B +

=+，()()Tr kA kTr A = ．

所以矩阵的迹是()n M F 上的一个线性函数．

例3 定积分使每一个连续函数()f x 对应一个实数()b

a f x dx ⎰,并

且满足

(()())()()(())()b b b b b

a

a

a

a

a

f x

g x dx f x dx g x dx kf x dx k f x dx +=+=⎰

⎰⎰⎰⎰，．

所以定积分是[,]C a b 上的一个线性函数．

252 注意，在数学分析中把形如1211(,,,)n g x x x a x =++ n n a x b +的n

元函数g 叫做线性函数．若b ≠0，则g 不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．

我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．

设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基12,,

,n ααα．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F 的一

个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基12,,,n ααα上的作用所决

定．即只要知道12(),(),

,()n f f f ααα，就可以知道V 中任一向量

1

n i i i x βα==∑在f 作用下的象1

()()n i i i f x f βα==∑.

定理1 设V 是F 上一个n 维向量空间，12,,

,n ααα是V 的一个基，

12,,,n b b b 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一的线性函数f ，使

得 ()i i f b α=，1,2,

,i n =

证明 对 1122n n x x x V βααα=++

+∈，12,,

,n b b b F ∈

:f V F →

1122n n x b x b x b β

+++

是一个线性函数，且满足()i i f b α=，1,2,,i n =；

若还有线性函数g ，且满足()i i g b α=，1,2,

,i n =，则V β∀∈，

1

1

1

()()()()n

n

n

i i i i i i i i i g x g x b x f f βααβ=======∑∑∑

§2 双线性函数

定义1 设V 是数域F 上一个向量空间，f 是V V ⨯到F 的一个二元函数，.如果,,,V k F αβγ∀∈∀∈，满足：

1) (,)(,)(,)f f f αβγαβαγ+=+; 2) (,)(,)(,)f f f αβγαγβγ+=+;

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3) (,)(,)(,)f k f k kf αβαβαβ== 则称(,)f αβ为V 上的一个双线性函数.

如果,V αβ∀∈,双线性函数f 还满足 4) (,)(,)f f αββα=

则称(,)f αβ为V 上的一个对称双线性函数。

如果,V αβ∀∈,双线性函数f 还满足 5) (,)(,)f f αββα=-

则称(,)f αβ为V 上的一个反对称双线性函数.。

从定义可以看出，对于V 上双线性函数(,)f αβ，将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数.。

例1 欧氏空间V 的内积是V 上对称双线性函数. 例2 设12(),()f f αα都是向量空间V 上的线性函数，则

12(,)()(),

,f f f V αβαβαβ=∈

是V 上的一个对称双线性函数.

例3 设n F 是数域F 上n 维列向量构成的向量空间. 如果设1212(,,

,),(,,,),,n n n X x x x Y y y y X Y F ''==∈，

1112121

2221

2

n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭