图解微分法与图解积分法简介

图解微分法与图解积分法简介

1、图解微分法

下面以图为例来说明图解微分法的作图步骤,图1-6为某一位移线图, 曲线上任一点的速度可表示为:

αμμμμtan t

S t S dx dy dt ds v ===

图位移线图

其中dy 和dx 为s=s(t)线图中代表微小位移ds 和微小时间dt 的线段, α为曲线s=s(t) 在所研究位置处切线的倾角。

上式表明,曲线在每一位置处的速度v 与曲线在该点处的斜率成正比,即v ∝tg α,为了用线段来表示速度,引入极距K(mm),则

αμαμμαμμμμtan tan tan K K K

dx dy dt ds v v t S t S t S =⋅==== 式中μv 为速度比例尺,μv = μs /μt K ( m/s/mm )。该式说明当K 为直角三角形中α角的相邻直角边时,(Ktg α)为角α的对边。由此可知,在曲线的各个位置, 其速度v 与以K 为底边,斜边平行于s=s(t)曲线在所研究点处的切线的直角三角形的对边高度(Ktg α)成正比。该式正是图解微分法的理论依据,按此便可由位移线图作得速度线图(v-v(t)曲线),作图过程如下:

先建立速度线图的坐标系v=v(t)(图a),其中分别以μv 和μt 作为v 轴和t 轴的比例尺, 然后沿轴向左延长至o 点,o0=K(mm),距离K 称为极距,点o 为极点。过o 点作s=s( t)曲线(图)上各位置切线的平行线o1"、o2"、o3"...等,在纵坐标轴上截得线段01"、02"、03"...等。由前面分析可知,这些线段分别表示曲线在2'、3'、4'... 等位置时的速度,从而很容易画出位移曲线的速度曲线(图a)。

图速度线图

a) 切线作图 b) 弦线作图

上述图解微分法称为切线法。该法要求在曲线的任意位置处很准确地作出曲线的切线，这常常是非常困难的，因此实际上常用“弦线”代替“切线”，即采用所谓弦线法,作图方便且能满足要求,现叙述如下:

依次连接图中s =s(t)曲线上相邻两点,可得弦线1'2'、2'3'、3'4'...等,它们与相应区间位移曲线上某点的切线平行。当区间足够小时,该点可近似认为在该区间(例2,3)中点的垂直线上。因此我们可以这样来作速度曲线:如图b 所示,按上述切线法建立坐标系v=v(t)并取定极距K 及极点o,从o 点作辐射线o1'、o2'、o3'、o4'...等,使分别平行于弦线01'、1'2'、2'3'、3'4'...并交纵坐标轴于1"、2"、3"...等点。然后将对应坐标点投影相交,得到一个个小矩形(例图b 中矩形22"33"),则过各矩形上底中点(例图b 中e,f 点等)的光滑曲线,即为所求位移曲线的速度线图(v=v(t)曲线)。

2、图解积分法

图解积分法为图解微分法的逆过程。

取极距Ｋ（mm ），用图解积分法由力矩Ｍr ―φ曲线求得力矩所做的功Ａr ―φ曲线。

由于 αμαμμμμϕϕϕt a n t a n //K K K

dx dy d dA M M A A =⋅=== 其中 K

A M ϕμμμ= 故取Ａr ―φ曲线纵坐标比例尺M A K μμμϕ=

求Ａr 的理论依据如下：

∑∑∑⎰⎰⎰===∆=∆=∆≈===n i i

i A n i i i M n i i i M M M r r x x K x K y K dx K y K dx y d M A 111202020tan tan αμαμμμμμμμμφϕϕπ

ϕπϕπ