大型光学非球面超精密磨削的几何模型研究

3 非轴对称非球面方程与加工的几何模型
3. 1 曲面方程与曲率分析
在前文的超精密加工系统的工件主轴上安装精 确给出旋转角度的码盘 , 工件对中安装在主轴上作 低速回转运动 ; 金刚石砂轮在 x - z 平面内作直线 运动 ,以这种工件与砂轮的相对运动方式实现非轴 对称非球面的加工 。 非轴对称的非球面在其孔径范围内的形状变化 可以用径向与转角两个参数表示 , 即柱面坐标系中 的向量参数方程形式 )} ( 3 . 1) r = { x , y , z } = { rcosθ, r sinθ, z ( r ,θ θ 砂轮的加工轨迹是非球面的一族参数曲线 — — — 线 。砂轮的加工参数应根据非球面的曲率特性来确 定 ,以提高加工精度和加工效率 。因此 ,首先根据微 分几何 [ 7 ] 理论对非球面曲率特性进行分析 。 曲面上任意点的第一类基本量为
光学非球面有矫正像差 、 简化系统 、 提高光学系 统精度的特点 ,因此广泛应用于航天 、 航空 、 国防等 工业 。随着科学技术与国防工业的发展 , 高精度大 型非球面元件的需求正与日俱增 ,然而 ,大型非球面 特别是非轴对称光学元件的制造面临着难度大 、 效 率低 、 成本高 、 加工程序复杂[ 1 ] 等难题 。一种新的 硬脆光学材料的加工方法 — — — 超精密磨削技术 , 可 克服传统研抛加工的生产效率低 ,成本高等缺点 ,在 高刚度超精密机床上 , 用经过精密修整的金刚石砂 轮直接磨削出能达到光学系统要求的光学零 件 [ 2～5 ] ,且具有良好的经济性 。 如何降低成本又能满足加工要求是本文讨论的 中心 。根据轴对称非球面的轴对称性采用加工简便 的二轴联动超精密数控设备 , 并通过对其技术改造 实现非轴对称非球面的加工 , 给出数控磨削加工大 型非球面光学元件的几何模型 。
http://www.cnki.net
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.
第6期
大型光学非球面超精密磨削的几何模型研究
743
除量大 , 为提高效率 , 采用等残留高度 , 变化进给量 的加工方案 , 给定 δ 2 值 , 并由 P1 点的任意性 , 根据 计算模型求出相邻轨迹砂轮圆弧中心位置 。 磨削非球面时 ,根据砂轮圆弧中心的计算模型 , 依据具体的非球面的方程编程计算砂轮圆弧中心的 坐标 ,并将其转化成数控程序传送到加工数控系统 , 以控制砂轮的进给运动来实现非球面的加工 。
( 2 . 10 )
( 2 . 6) 式 、 ( 2 . 9) 式联立 , 将方程 ( 2 . 10) 与 ( 2 . 1) 式 、 消去 x , z , 求得 x 2 , z 2 , 是 x 1 与δ 2 的函数 , 将结果代
入 ( 2 . 6) 式可求得砂轮圆弧中心的坐标 P23 , 亦是 x 1 与δ 由于大型非球面加工面积大 , 相对去 2 的函数 。
摘要 大型光学非球面元件的特殊优越性使其在现代光学系统中是不可替代的 ,实现高效率 、 更经 济的生产以满足对其数量与质量的迫切要求是光学元件的制造面临的一大难题 。二轴联动的超精密数 控机床是用来加工轴对称非球面光学元件的 ,若在工件主轴上安装可以精确给出旋转角度的码盘 ,并使 用金刚石砂轮就可以用来进行非轴对称非球面的超精密磨削加工 。在对轴对称与非轴对称两种不同非 球面的曲率分析基础上 ,给出了两种曲面加工相应的几何模型 。通过计算机仿真验证了该加工方法的 简便与可靠性 。对二轴联动的超精密数控机床的技术改造可以实现三维加工 ,为提高效率 、 降低设备投 入提供了依据 。 关键词 机械制造工艺与设备 ; 大型光学非球面 ; 非轴对称非球面 ; 超精密磨削 ; 几何模型 中图分类号 T G580. 6
是砂轮加工行间形成的误差 。 设 T 点坐标 T ( x , z ) , 则存在 x = x +δ 2 nx ( 2 . 9) z = z +δ 2 nz 式中 , n x 和 n z 为法向量 n 沿 x 轴与 z 轴的分量 。 点
S 同时在点 P13 与点 P23 所决定的砂轮圆周上 ,即 ( x - x 13 ) 2 + ( z - z 13 ) 2 = R 2 ( x - x 23 ) 2 + ( z - z 23 ) 2 = R 2
作回转运动 ; 砂轮以固定的角度安装在支架上作回 转运动 ,且通过数控系统控制纵向与横向导轨的运 动实现砂轮的 z 、 x 两个方向的进给 ,从而完成二轴 联动的数控加工 。因主轴与导轨均采用液体静压轴 承 ,使得工件主轴的径向跳动可控制在几十个纳米 以内 ,导轨具有良好的直线运动精度 。底座具有良 好的隔振系统 ,封闭的加工系统及恒温调控系统具 有很 好 的 恒 温 效 果 。由 于 工 件 主 轴 可 以 达 到 0101° / s 的超平稳低速回转 ,若在主轴上安装精密给 出旋转角度的码盘 , 该设备可以实现非轴对称非球 面的加工 。
E = rr = 1 + zr
2
其单位向量为
e1 = r r d r1 + rθdθ 1 Ed
2 r1
θ + 2 Fd r1 dθ 1 + Gd 1
2
( 3 . 8)
θ = 0、 由于非球面上两个参数方向上分别有 d dr = 0 , 因此曲面上任一点的两个参数方向的单位向量为 ε 1 =
rr E ;ε 2 = rθ G ( 3 . 9)
( 2 . 7)
由于回转面的经线与纬线即为曲率线 , 非球面上任 一点的两个主曲率半径为
Rc = ( 1 + x 2 ) 3/ 2 | r |3 = | r ר r| | ¨ x | Rm = | x ( 2 . 3) ( 2 . 4)
因此 , 若给定线性化误差值 , 就可确定步长为 2 RmA 2 l = 2δ 1 ( RmA ±R) - δ 1 ( 2 . 8) RmA ±R 当步长 l 求出后 , 可由 A 点的坐标计算 B 点坐标 , 进 而计算出相应的砂轮圆弧中心坐标 。
Fig. 2. 1 Diagram showing rotating curve for t he axisymmetric aspheric surface and pat h interval calculation
下面通过加工轨迹间残留高度的计算 , 求出工 件旋转一周砂轮沿 x 轴进给量 , 即行距 。 如图 2 . 1 , 相邻轨迹上砂轮磨削点的坐标分别为 P1 ( x 1 , z 1 ) 、 P2 ( x 2 , z 2 ) , 对 应 这 两 点 砂 轮 圆 弧 中 心 的 坐 标 为
曲面上任一点的主方向应满足 dr 2 dr ( EM - L F) + ( EN - GL ) + dθ dθ
( FN - GM ) = 0 ( 3 . 6)
将曲面的基本量代入即可求出一个主方向 , 设该方 向的主曲率为 k n1 d r1 = dθ 1
GL - EN + ( EN - GL ) 2 - 4 ( EM - L F) ( FN - GM ) 2 ( EM - L F) ( 3 . 7)
http://www.cnki.net
第 25 卷 兵 工 学 报 742
2 轴对称非球面方程与加工的几何模型
2. 1 非球面方程
r q = { x , 0 , z } + R ・n = { x
3
( z) ,0 , z
3
( z) }
根据欧拉方程 ,两个参数方向的法曲率为 2 2 K1 = k n1 cos φr + k n2 sin φr
K2 = k n1 cos φ θ + k n2 sin φ θ
2 2
( 3 . 10 ) ( 3 . 11 )
其中 ε cosφr = e1 ・ 1
E =
′ 2
d r1 + F dθ 1
2
单位法向量为
rr ×r θ n=± | rr ×r θ| =±
d r1 + G dθ 1
第 2 5 卷第 6 期 兵 工 学 报 Vol. 25 No. 6 2004年11月 ACTA ARMAMEN TARII Nov. 2004
大型光学非球面超精密磨削的几何模型研究
韩成顺 董申 唐余勇
( 哈尔滨工业大学机电学院 ,黑龙江哈尔滨 ,150001)
源自文库
1 + x2 |
加工凹非球面时 ,为防止发生干涉 ,所用磨具曲率半 径应不大于整个曲面上的最小主曲率半径 R ≤
min{ R c , R m} .
图 2. 2 步长的计算
Fig. 2. 2 Step lengt h calculation
图 2. 1 轴对称非球面回转截线及加工的行距简图
1 超精密磨削系统
超精密机床如图 1. 1 ( ( 1) 底座 ; ( 2) 立柱 ; ( 3 ) 砂 轮 ; ( 4) 横向导轨 ; ( 5 ) 纵向导轨 ; ( 6 ) 夹具 ; ( 7 ) 工件 ;
( 8) 主轴) 所示 。 工件通过真空吸盘安装在主轴上 ,
2003 年 9 月收稿 ,2004 年 9 月定稿 。
3 3 P1 ( x 1 , z 1 ) 、 P2 ( x 2 , z 2 ) . 两 个 轮 廓 圆 弧 交 点 为
S ( x , z ) , 过该点的非球面的法向量 S T 的长度δ 2就
2. 2 加工的几何模型 采用连续进给方式进行大型非球面的加工[ 8 ] 。 砂轮沿着 ( 2. 2) 式这条平面曲线进行 x 、 z 两个方向 的数控插补运动 , 由于主轴的运动形成圆周磨削 。 实际加工中 ,砂轮的加工轨迹是非球面上一初始点 在顶点的螺旋线 , 砂轮的表面所形成的包络面即是 加工后的实得非球面 。 回转线上任一点单位法向量 n 为 1 x ( 2 . 5) n = ±{ ,0 , } 2 2 x +1 x +1 其中凸非球面取正号 , 凹非球面取负号 ( 以下相同) 。 加工时砂轮圆弧中心在距回转线为砂轮圆弧半径 R 的法向等距线上 , 其理想方程为
1 1 l 2 RmA
2
a 1 , a 2 , a 3 , …为方程系数 ; 其中 a1 = 2 R 0 , R 0 为曲
面顶点的曲率半径 ; a2 = e - 1 , e 为曲面的偏心率 。 根据微分几何 [ 7 ] 将上式写成向量方程形式 r = { x ( z ) ,0 , z}
= {
2 3 a1 z + a2 z + a 3 z + …, 0 , z } ( 2 . 2)
( 2. 6)
由于回转面可用其经线方程表示 ,设光轴 ,即非 球面的对称轴为 z 轴 , 顶点为坐标原点 O ( 如图 211) ,轴对称非球面可用下面的通式表示 [ 6 ]
x
2
= a1 z + a 2 z + a3 z + …
2
2
3
( 2 . 1)
设非球面回转线上相邻两个插补点为 A 、 B ,由 于两点的曲率不相等 , 图 2 . 2 中所示的曲线不是圆 弧 ,但因步长很小 , 为便于计算 , 可近似看作是曲率 半径等于 A 点沿纬线方向的曲率半径 R m A 的圆弧 。 设步长 l , 则由线性插补所造成的误差为 δ 1 = ( RmA ±R)
F = r r ・r θ =
2 2
′ 2 ′ 2 z r zθ ′ 2
2
G = rθ = r + zθ
2
( 3 . 2)
′ 2 ′ 2 zθ
d r1 E E dθ 1
d r1 +2F + G dθ 1
( 3 . 12 )
ε cosφ θ = e1 ・ 2
F =
D =
EG - F = r ( 1 + z r ) +
图 1. 1 超精密磨削机床示意图
Fig. 1. 1 Structure of t he ultra2precision machine
© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.