【高等数学 东南大学】1极限习题课

例.
x2 x 1 x 1 lim
x
x2 sin x
练习. 1. 3. 5. 6.
2. 4.
例7
(1)
求f
(
x)
lim
n
1 x 1 x2n
x
(2)求f (x) lim( sint )sint sinx tx sin x
(3)求f (x) lim x(1 1)2tx t t
补充例 设 0 x1 3，xn1 xn (3 xn ) (n 1,2,3, )，证明
解
f (1 0) lim ( x2 1) 0,
x1
又f (-1)=b, f (x)在x=-1左连续, ∴b=0;
f (1 0) lima(a0, arccos x) x1 a ,
而f (-1)=0, f (x)在x=-1右连续, ∴
即a=－.
例 例
例
极限问题
例求
lim ( (x a)(x b) x).
x
解 lim ( ( x a)( x b) x) lim (a b)x ab
x
x ( x a)( x b) x
lim x
a b ab x
(1 a )(1 b ) 1 xx
ab. 2
例
求
lim x [ 1 ].
x0
x
例求
tan x sin x
lim
x0
sin 3 ( e x
1)
.
解 lim tan x sin x lim tan x(1 cos x)
x0 sin3 (ex 1) x0 (ex 1)3
x x2
lim x0
2 x3
1. 2
例
(1 cos x
x2 , tan x
wenku.baidu.comx)
2
(sin(ex 1) ex 1)
)2 )
3 2
,
3 0 xn 2 (n 1).
当n>1时，xn1 xn
xn (3 xn ) xn
(
xn (3 xn ) xn )(
xn (3 xn ) xn )
xn (3 xn ) xn
xn (3 2xn ) 0, xn (3 xn ) xn
∴{xn}单调递增且有上界,故极限存在.
{xn}的极限存在,并求此极限.
解 由0<x1<3 知 x1、3-x1 均为正数,
故
0 x2 x1(3 x1) x1 3 x1
1 (( 2
x1 )2 (
3
x1
)2 )
3 2
设 则 0 xk
0 xk1
3 (k 1)，
x (3 x ) 2 k
1 (( 2
xk )2 (
k
3
xk
不妨令
lim
n
xn
a,
由
xn1
xn (3 xn ),
令n→∞,得
a a(3 a),
解得a=
3 2
，a=0(舍去).
(∵
n>1时,
xn>0且单调增加)
lim n
xn
3. 2
x2 1,
x 1;
例
设
f
(
x)
b,
x 1;
a arccos x, 1 x 1.
试确定a、b之值，使 f(x) 在x =－1处连续.
例
例.
f
x
sin 2x x
,
x2
1 cosx
,
x0 x0
求x=0的左右极限
例.
lim
x0
1 cos 2xarctan 3x e x 1 ln1 2xsin 5x
例.
3sin x x2 cos 1
lim
x0
1
c
os
xln
1
x
x
例. lim 1 cosx x0 x(1 cos x )
例
例 例 例
例
例 解.
例
1
例 求lim(1 sin2 x)lncos x
例
求极限lim sin 2 cos 1 x
x x
x
例
lim 2x 3 x1
x 2x 1
例
lim cos x csc2 3x
x0
例. lim tann ( 2).
x
4n
例.
利用等价无穷小求极限 例
例 例
解 1 1 [ 1 ] 1 ( x 0).
x
xx
x＜0时，1
x
[
1 x
]
1
x,
x＞0时，1
x
x
[
1 x
]
1.
而 lim1 1,lim(1 x) 1.
x0
x0
故由迫敛性得
lim x [ 1 ] 1.
x0
x
例
求 lim(sin n
sin n2 1
... sin n2 2
). n2 n