风险中性世界

13.7 u和d与波动率
源自文库
13.1 单步二叉树与无套利
1.1 引例
假设股票的当前价格是20美元，3个月后，该股
票的价格可能为22美元或者18美元，一个欧式看
涨期权的敲定价格是21美元，确定期权的当前价
格。
A stock price is currently $20，K= 21 In 3 months it will be either $22 or $18
是在风险中性世界里股票上涨的概率；
(13.2) 表明：期权的价格等于风险中性世界里
期权期望价值的无风险贴现
2.1 应用风险中性定价的举例
计算股价上涨的概率 p
方法1：公式(13.3)
方法2：由公式(13.4) ,即
或者
即得 p=0.6523
计算期权价格 f 根据公式(11.2), 由
fu 1，f d 0
13.2 风险中性定价
关于公式(13.2)
假设随机变量 X 表示期权在 T 时刻的价值， 并设
P{X fu } p， P{X f d } 1 p;
期权的当前的价格即是其期望价值的无风险贴 现，即 f e rT EX p: 可解释为股票上涨的概率，
p as a Probability
S0u ƒu
S0 ƒ
S0d ƒd
考虑股票的期望价格：
当股票上涨的概率为 p 时，有
或者
代入13.2中 p的值，即有 （13.4）
风险中性世界：投资者对风险不要求任何补偿
，所有证券的期望收益等于无风险收益。
(13.4)表明：当股票上涨的概率p由(13.3)定义
时，股票的期望收益率等于无风险利率，即p
13.4 看跌期权实例
假设 K = 52, Dt =1yr, u=1.2,d=0.8 r = 5%， p= 0.6282 (由(13.2))
D
60 50 4.1923
A
72 0
48 4 32 20
fuu
fu 1.4147
40
B
E
fd
C F
fud
f dd
9.4636
两步 二叉树
f e r Dt [ pf u (1 p ) f d )] e r Dt d p ud fu e r Dt [ pf uu (1 p ) f ud )] f d e r Dt [ pf ud (1 p ) f dd )] f e r Dt [ pf u (1 p ) f d )] e 2 r Dt [ p 2 f uu 2 p (1 p ) f ud ) (1 p ) 2 f dd )]
第12章 二叉树简介
ex 13.1 13.3 13.5 13.7 13.8 13.12 13.14 13.15 13.16 13.20
内容提纲
13.1 单步二叉树与无套利方法
13.2 风险中性定价及其与无套利的关系
13.3 两步二叉树
13.4~13.5 看跌期权与美式期权
13.6 Delta 对冲
fuu
fu 2.0257 fd
18 0.0
B E C F
fud
f dd
节点 B 的价值 e–0.12*0.25(0.6523*3.2 + 0.3477*0) = 2.0257 节点 A 的价值 e–0.12*0.25(0.6523*2.0257 + 0.3477*0) = 1.2823
13.3 两步二叉树-看涨期权实例
引例
10% p
10% p*p
24.2
K=21, r=12% p=0.6523
22
20
-10% 1-p
-10% p*（1-p） 19.8 10%
18
-10% 16.2 (1-p)*(1-p) 0.5 t
0
0.25
D
22 20 1.2823
A
24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0
期权的价格
由构造组合的成本=组合价值的贴现：
即期权的价格为：
代入 D , 即有：
(13.2)
其中
(13.3)
例 P182 ： 在前例中，有
因此
1.3 股票收益期望与期权价格的无关性
股票上涨或下跌一般有不同的概率；
上述期权的定价与股票上涨或下跌的概率无关 根据股票价格给期权定价时，已经将股价的变 化概率考虑在内。
如果S=18，则 V=18*0.25=4.5
该组合在当前的价格：由无套利原理，组合的价
格为其价值的无风险贴现：
4.5e
0.123/12
4.367
期权的价格：设股票当前的价格为 20，期权的价 格为 f，则 20*0.25 - f = 4.367, 得 f = 0.633
1.2 推广：一般公式 记号如图
在中间(包括起点)的每个节点处，验证提前执
行是否最优，即假设提前执行，比较提前执行 的收益与不提前执行期权的价值。
贴现，即得
0.6523e
0.120.25
0.633
结论：风险中性定价与无套利方法等价
2.2 现实世界与风险中性世界 计算股价上涨的真实概率 p* 设股票在现实世界中的期望收益率为 16%，则
得 计算现实世界期权价格 f 的困难
期权头寸比股票头寸风险要大
不能确定期权在真实世界里的期望收益率，无 法获得贴现利率
3个月股价 = $22 1 当前价格 = $20 3个月股价 = $18 0
建立一个无风险投资组合：即无论股价如何变
化，该组合的价值保持不变
购买Δ股股票； 0.25股股票
卖空一个欧式看涨期权。
如果 22D– 1 = 18 D or D =0.25， 则投资组合无风险。
该组合在到期时的价值
如果S=22，则 V=22*0.25 - 1=4.5
S0 ƒ
期权的价值
涨
S0 u ƒu
跌
S0d ƒd
fu max{S0u K , 0} f d max{S0 d K , 0}
组合的价值
如果股票上涨，则组合的价值为
如果股票下跌, 则组合的价值为
由两种情形组合的价值相同，可计算股票头寸的数
量D (13.1) 此时交易组合是无风险的，其收益率等于无风险利率
13.5
13.6
13.7 13.8
13.9 13.10
由(13.10)可得
方法总结
从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点， 在树的每个节点处计算期权的价值（价格）， 直到树的起点止。
13.5 美式期权
定价方法
从树的末尾出发，以倒推的形式到树的起点，
在树的每个节点处计算期权的价值（价格），
直到树的起点止，由(13.5)计算。