常州市2018届高三数学期末试卷及答案

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高三数学Ⅰ试题 2018年1月

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．若集合2{2,0,1},{|1}A B x x =-=>，则集合A B = ▲ ．

2．命题“2[0,1],10x x ∃∈-≥”是 ▲ 命题（选填“真”或“假”）． 3．若复数z 满足2

2i 1(i )z z ⋅=+其中为虚数单位，则z = ▲ ． 4．若一组样本数据2015，2017，x ，2018，2016的平均数为2017，

则该组样本数据的方差为 ▲ ．

5．右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ ． 6．函数1

()ln f x x

=

的定义域记作集合D ．随机地投掷一枚质地均匀的 正方体骰子（骰子的每个面上分别标有点数1,2,,6），记骰子 向上的点数为t ，则事件“t D ∈”的概率为 ▲ ．

7．已知圆锥的高为6，体积为8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为 ▲ ．

8．各项均为正数的等比数列{}n a 中，若234234a a a a a a =++，则3a 的最小值为 ▲ ．

9．在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的两

条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是 ▲ ．

（第5题）

10．已知实数,x y 满足0,220,240,x y x y x y -⎧⎪

+-⎨⎪-+⎩

≤≥≥则x y +的取值范围是 ▲ ．

11．已知函数()ln f x bx x =+，其中b ∈R ．若过原点且斜率为k 的直线与曲线()y f x =相切，

则k b -的值为 ▲ ．

12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数

sin()(0,0π)y x ωϕωϕ=+><<的图象与x 轴的

交点,,A B C 满足2OA OC OB +=，则ϕ= ▲ ．

13．在ABC ∆中，3,7,5===BC AC AB ，P 为ABC ∆内一点（含边界），若满足

)(4

1

R ∈+=

λλBC BA BP ，则BP BA ⋅的取值范围为 ▲ ． 14．已知ABC ∆中，3AB AC ==，ABC ∆所在平面内存在点P 使得22233PB PC PA +==，

则ABC ∆面积的最大值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

已知ABC ∆中，a b c ,

, 分别为三个内角A B C ,, 的对边，3sin cos b C c B c =+． （1）求角B ； （2）若2b ac =，求

11

tan tan A C

+的值． 16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，PC ABCD ⊥平面，PB PD =，点Q 是棱PC 上异于P ，C 的一点． （1）求证：BD AC ⊥；

（2）过点Q 和AD 的平面截四棱锥得到截面ADQF （点F 在棱PB 上），求证：QF BC ∥．

（第16题）

1

-1

（第12题）

17．（本小题满分14分）

已知小明（如图中AB 所示）身高1.8米，路灯OM 高3.6米，AB ，OM 均垂直于水平地面，分别与地面交于点A ，O ．点光源从M 发出，小明在地面上的影子记作AB'．

（1）小明沿着圆心为O ，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB'扫过的图形面积； （2）若3=OA 米，小明从A 出发，以1米/秒的速度沿线段1AA 走到1A ，3

π

1=

∠OAA ，且101=AA 米．t 秒时，小明在地面上的影子长度记为)(t f （单位：米），求)(t f 的表达式与最小值．

18．（本小题满分16分）

如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:22

22>>=+b a b

y

a x C 的右焦点为F ，点A 是

椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准

线交于P 点．已知MN AM ⊥，且2

43

OA OM b ⋅=．

（1）求椭圆C 的离心率e ； （2）若10

3

AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程．

（第17题）

x

y

（第18题）

19．（本小题满分16分）

已知各项均为正数的无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足1a a =（其中a 为常数），

1(1)(1)n n nS n S n n +=+++*

()n ∈N ．数列{}n b

满足n b =(*)n ∈N ．

（1）证明数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式；

（2）若无穷等比数列{}n c 满足：对任意的*

n ∈N ，数列{}n b 中总存在两个不同的项s b ，t b （*

,s t ∈N ），使得s n t b c b ≤≤，求{}n c 的公比q ．

20．（本小题满分16分） 已知函数2

ln ()()

x

f x x a =

+，其中a 为常数． （1）若0a =，求函数()f x 的极值；

（2）若函数()f x 在(0)a -，上单调递增，求实数a 的取值范围；

（3）若1a =-，设函数()f x 在(01)，上的极值点为0x ，求证：0()2f x <-．