第一课时 函数的单调性

答案:(1)任意性,即x1,x2是在某一区间上的任意两个值,不能以特殊值代换; (2)有大小,即确定的两个值x1,x2必须区分大小,一般令x1<x2; (3)同属一个单调区间.
思考2:如何证明一个函数的单调性? 答案:证明函数的单调性,主要是利用函数单调性定义,步骤如下:
思考3:函数的单调区间与函数定义域有何关系?当一个函数有多个单调 区间时,如何写函数的单调区间.
[备用例 3] 已知 f(x)= 2x (x≠a). xa
(1)若 a=2,试证 f(x)在(-∞,2)上单调递减;
(1)证明:当 a=2 时,f(x)= 2x (x≠2), x2
设
x1<x2<2,则
f(x1)-f(x2)=
2 x1 x1 2
-
2 x2 x2 2
=
4 x2 x1 x1 2 x2
函数 f(x)的图象,如图所示.
因此函数f(x)的单调递增区间是[-3,-1],[0,1],[3,+∞),单调递减区间 是(-∞,-3],[-1,0],[1,3].
(2)函数f(x)=2x2-3|x|的单调递减区间是
.
解析:(2)函数
f(x)=2x2-3|x|=
2x2
2
x2
3x, 3x,
x x
x1 x2
图 象 描 述
自左向右看图象是 上升的 .
下降的
自左向右看图象是
.
2.函数的单调性及单调区间 如果函数y=f(x)在区间D上是 增函数 或 减函数 ,那么就说函数y=f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y=f(x)的单调区间.
思考1:如何理解函数单调性定义中的x1,x2?
0, 0
的图象如图所示,
f(x)的单调递减区间为(-∞,- 3 ],[0, 3 ].
4
4
(2)若函数f(x)=|2x+a|在[6,+∞)上是增函数,则a的取值范围
是
.
解析:(2)f(x)=
2 x 2
a, x x a,
a, 2
xa 2
所以 .
f(x)的单调递增区间是[-
a 2
,+∞),
又函数 f(x)在[6,+∞)上是增函数,所以- a ≤6,解之得 a≥-12. 2
x2
x2
任取 x1,x2∈(-2,+∞),且 x1<x2.
则 f(x1)-f(x2)=(a+ 1 2a )-(a+ 1 2a )
x1 2
x2 2
= 1 2a - 1 2a = 1 2a x2 x1 . x1 2 x2 2 x1 2 x2 2
[备用例 1] 已知函数 f(x)= ax 1 (a≠ 1 )在(-2,+∞)上是增函数，求
.
因为 x2-x1>0,a>0,
所以要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,所以 a≤1. 即 a 的取值范围为(0,1].
4.函数 y= 5 4x x2 的递增区间是(
)
(A)(-∞,-2) (B)[-5,-2]
(C)[-2,1] (D)[-5,1]
解析:由5-4x-x2≥0, 得函数的定义域为{x|-5≤x≤1}. 因为y=5-4x-x2=-(x2+4x+4)+9=-(x+2)2+9,对称轴方程为x=-2, 抛物线开口向下,
(4)函数单调性定义的变形式:若 x1,x2∈I,且 f x1 f x2 >0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,
x1 x2 则函数 y=f(x)在 I 上是增函数;
若 x1,x2∈I,且 f x1 f x2 <0⇔(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0,则函数 y=f(x)在 I 上是减函数.
f (x) x a a 0
x
(2)求证:函数 f(x)= x 1 在(1,+∞)上是增函数.
[备用例 1] 用定义判断函数 f(x)= ax 1 (a≠ 1 )在(-2,+∞)上的单调性.
x2
2
解:因为函数 f(x)= ax 1 = a x 2 2a 1 =a+ 1 2a ,
x2
（6）y=x2-2mx+1在（1，10）的图像上任意两点连线不平行于x轴，, 则m的取值范围为
[例 4]
（1）已知函数
f(x)=
x 2
a
2ax
3 x
1, x 4a,
x
0, 0.
满足对任意的
x1,x2 都有
f x1 f x2 <0 成立,则实数 a 的取值范围是
.
x1 x2
题型二 求函数的单调区间 [例2] 求函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调区间.
x2
2
a.的范围
题型三 函数单调性的应用
[例3] (1)已知函数y=f(x)是定义在R上的减函数且满足f(2a-1)< f(1),则a的
取值范围是( )
f(2a-1)< f(1-a)
(2)已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数且满足f(2a-1)< f(1-a),则a的 取值范围是( )
(3)已知函数y=f(x)是定义在(0,1)上的减函数且满足f(2a-1)< f(1-a),则a 的取值范围是( )
答案:单调区间必须是函数定义域的子集,单调区间之间不能用“∪”, 而应用“,”将它们隔开或用“和”字连接.
题型一 判断或证明函数单调性 [例 1] (1)求证: 函数 f(x)=x+ 4 在(0,2)上是减函数;
x
一题多变:例 1(1)中的函数 f(x)=x+ 4 在(2,+∞)上的单调性如何?怎样证明? x
（1）y=x2+2mx+1的单增区间为（1，+∞）,则m的值为
（2）y=x2+2mx+1在（1，+∞）上是增函数,则m的取值范围为
（3）y=x2+2mx+1在（1，+∞）上是单调函数,则m的取值范围 为
（4）y=x2+2mx+1在（1，3）上不单调,则m的取值范围为
（5）y=mx2-2x+1在（1，+∞）上是增函数,则m的取值范围为
1.3 函数的基本性质 第一课时 函数的单调性
1.增函数与减函数的相关概念
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某个区间 D上的任意两个自变量的值x1,x2
定义 当x1<x2时,都有 f(x1)<f(x2),那 么就说函数f(x)在区间D上是增 函数
当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2), 那么就说函数f(x)在区间D上 是减函数
单调递减区间为
(-∞,- b ); 2a
a>0 单调递增区间为
(- b ,+∞) 2a
单调递增区间为
(-∞,- b );
2a
a<0
单调递减区间为
(- b ,+∞) 2a
反比例函数 y= k (k≠0)
x
单调递减区间为 k>0
(-∞,0),(0,+∞) 单调递增区间为 k<0 (-∞,0),(0,+∞)
因此函数f(x)的单调递增区间是[-1,1],[3,+∞),单调递减区间是 (-∞,-1],[1,3].
(2)根据例2的方法求函数f(x)=|x2-2|x|-3|的单调区间.
解:(2)设
g(x)=x2-2|x|-3=
x 2
x2
2x 2x
3, 3,
x x
0, 0.
在平面直角坐标系中画出函
数 g(x)的图象,将函数 g(x)的图象在 x 轴下方部分翻折到上方,便可得到
解:因为
f(x)=
x 2
x
2
2x 2x
3, 3,
x x
0, 0.
其图象如图所示,
所以函数 y=f(x)的单调递增区间为(-∞,-1],[0,1],
单调递减区间为[-1,0],[1,+∞).
一题多变:(1)根据例2的方法,求函数f(x)=|x2-2x-3|的单调区间; 解:(1)记g(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4, 在平面直角坐标系中画出函数g(x)的图象, 将函数g(x)在x轴下方部分的图象翻折到上方即可得到函数 f(x)=|g(x)|的图象,如图所示.
(4)已知函数y=f(x)是定义在(-1,1)上的减函数且满足f(x2-2x+2)< f(x),则x 的取值范围是( )
名师点津
(1)几种常见函数的单调区间:
wenku.baidu.com
函数
图象
一次函数 y=kx+b (k≠0)
参数 范围 k>0
k<0
单调区间
单调递增区间 (-∞,+∞)
单调递减区间 (-∞,+∞)
二次函数 y= ax2+bx+c(a≠0)
2
,
因为(x1-2)(x2-2)>0,x2-x1>0,所以 f(x1)>f(x2),
所以 f(x)在(-∞,2)内单调递减.
(2)若a>0且f(x)在(1,+∞)上单调递减,求a的取值范围.
(2)解:设 1<x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=
2 x1 x1 a
-
2 x2 x2 a
=
2a x2 x1 x1 a x2 a
所以函数的递增区间为[-5,-2].故选B.