数学归纳法

数学归纳法

摘 要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径.

关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余

1 引论

1.1 直接证法

众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n ,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法.

其中常用的方法是置n 的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例：

例1 已知）（2;,,2,1≥⋅⋅⋅=∈n n i R x i ,满足

121=+++n x x x ,021=+++n x x x .

证明

n

n x x x n 2121221-≤+++ . 证 由条件121=+++n x x x 知1x ,2x , ,n x 不全为零;

由条件021=+++n x x x 知这n 个实数中既有正数也有负数.记

{}0:1≥=i x i A ,{}0:2<=i x i A .

则1A 和2A 都不是空集,它们互不相交,且1A ⋃2A ={1,2,3, ,n }.

若再记1S =∑∈1A i i x ,2S =∑∈2

A i i x , 就有

1S +2S =0,1S -2S =1.

因此知1S =-2S =2

1.采用所引入的符号,就有 ∑∑∈∈+=+++2

1221A i i A i i n i x i x n x x x . 由1A 和2A 的定义和性质知∑

∈1A i i i x 是若干非负数之和,∑∈2A i i i x 是若干负数之和,因此就有 ∑∑∑∑∑∈∈∈∈=+≤+=2

22111A i i A i i A i i A i i n i i x n x i x i x i x =n S S 21+=n 2121-=n

2121-. 可见命题的结论是成立的. 在这个证明中,我们没有考虑n 究竟是几的问题,只是把精力花费在对命题条件的推敲和剖析上.这种证法就是直接证法．

1.2 数学归纳法

有时,我们也会碰到一些与n 有关的命题,对于它们很难从任意的n 入手,那么我们就只能另辟蹊径,也就是所谓的数学归纳法.如下例：

例2 证明对于每个不小于3的自然数n ,都可以找到一个正整数n a ,使它可以表示为自身的n 个互不相同的正约数之和．

分析 显然,我们很难对任意一个不小于3的自然数n ,直接去找到出相应的n a 来.面对这样的情形,较为稳妥的做法只能是先从3a ,4a , 找起.经过不多的几步探索,就可以发现,有

3216++=.

而且1,2,3恰好是6的3个互不相同的正约数,因此可将3a 取作6.在此基础上,又可发现有

632112+++=.

而且1,2,3,6恰好又是12的4个互不相同的正约数,因此又可取124=a ．循环下去,便知可依次取24,48, ．这也就告诉我们：如果取定了k a ,那么接下去就只要再取k k a a 21=+就行了.

证 当3=n 时, 3216++=.

假设当k n =时成立,即k a 可以表示成自身的k 个互不相同的正约数

k b b b <<< 21

之和,即

k k b b b a +++= 21.

取定k k a a 21=+,则：

k k k a b b b a ++++=+ 211.

若记k k a b =+1,则显然有121+<<<

由上所述,数学归纳法可以处理像例2那样不宜于采用直接证法的问题,也可以处理一些可以通过直接证法来解决的问题.如下例:

例3 证明:对任何自然数n ,数15231n n -+⋅+能被8整除.

若用直接证法,则如下：

证 按照n 的奇偶性,可以将上式表示两种不同的形式.

当n 为奇数时,有

()()15

331n n n -+--.

当n 为偶数时,有 ()()1155331n n n --+--.

于是上述两式中,第一个括号内的指数都是奇数,第二个括号内的指数都是偶数. 而当k 为奇数,则有

))((121---++-+=+k k k k k b b a a b a b a .

当k 为偶数,则12-c 可整除1-k c .

当5=a ,3=b ,3=c ,可根据上式得出两式是8的倍数.从而命题得证.

若用数学归纳法,则如下：

证 当1n =时,152318n n -+⋅+=能被8整除.

假设k n =时,k A 能被8整除.

则当1+=k n 时,我们有

=+1k A 15231k k ++⋅+=-155631k k ⋅+⋅+.

所以就有

)35(411-++=-k k k k A A .

由于对任何自然数k ,数k 5和13-k 都是奇数,所以其和135-+k k 恒为偶数. 从而)35(41-+k k 一定是8的整数.即)35(411-+++=k k k k A A 可被8整除.

由第一类数学归纳法,对任何自然数n ,数n A 都可被8整除.

1.3 初等数论

初等数论是数的规律,特别是整数性质的数学分支,它是数论中的最古老的分支.其它的组合数论、解析数论、代数数论、几何数论、超越数论都是在初等数论的基础发展起来的.

初等数论是一门十分重要的数学基础课,小学阶段就有初等数论的影子.初等数论不仅是师范院校数学专业,大学数学各专业的必修课,也是计算科学,密码学等许多相关专业所需的课程.

2 数学归纳法的原理

2.1 第一类数学归纳法

定理1 设)(n p 是关于自然数n 的命题,如果)(n p 满足:(1))(0n p 成立;(2)假设当k n =时,命题)(k p 成立,可以推出)1(+k p 成立,则命题)(n p 对一切自然数n 都成立.

证 假设命题)(n p 仍不能对一切自然数n ≥0n 成立,那么如果记

{}不成立，)(:01n p n n n A ≥=.

{}成立，)(:02n p n n n A ≥=.

则有Φ≠1A .但因已证)(0n p 成立,知0n ∉1A ,即有20A n ∈.

由于1A 是非空的自然数集合,所以由自然数的最小数原理,1A 有最小数1n . 由于10A n ∉,所以01n n >,即有011n n ≥-.

由于1n 是1A 中最小的数,所以111A n ∉-,从而211A n ∈-.