数学分析21.7n重积分(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分

7 n 重积分

引例：设物体V 1中点的坐标为(x 1,y 1,z 1), V 2中点的坐标为(x 2,y 2,z 2), 它们的密度函数分别为连续函数ρ1(x 1,y 1,z 1)与ρ2(x 2,y 2,z 2), 且 设它们之间的引力系数为1. 在V 1中取质量微元ρ1dx 1dy 1dz 1, 在V 2中取质量微元ρ2dx 2dy 2dz 2. 由万有引力定律知, V 1的微元对V 2的微元的吸引力在x 轴上的投影为

3

2

221112121)(r

dz dy dx dz dy dx x x -ρρ, 其中r=221221221)()()(z z y y x x -+-+-.

将两个物体的所有微元间的吸引力在x 轴上投影的量相加，就 得到物体V 1与V 2间的引力在x 轴上投影的值. 它是一个六重积分， 即F x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰

-V

dz dy dx dz dy dx r

x x z y x z y x 2221113

2122221111)

)(,,(),,(ρρ.这是在由

六维数组(x 1,y 1,z 1,x 2,y 2,z 2)构成六维空间中六维区域V=V 1×V 2上的积分. 吸引力在y 和z 轴上的投影也同样可由六个自变量的积分来表示.

概念：规定n 维长方体区域：V=[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]的体积为 (b 1-a 1)×(b 2-a 2)×…×(b n -a n ). 又存在以下n 维体体积： n 维单纯形：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h. n 维球体：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2.

设n 元函数f(x 1,x 2,…,x n )定义在n 维可求体积的区域V 上. 通过对V 的分割、近似求和、取极限的过程，即得到n 重积分： I=n n V

dx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(.

性质：1、若f(x 1,x 2,…,x n )在n 维有界区域V 上连续，则存在n 重积分. 2、若积分区域为长方体[a 1,b 1]×[a 2,b 2]×…×[a n ,b n ]，则有 I=n n V

dx dx dx x x x f ⋯⋯⋯⎰⎰2121),,,(=⎰⎰⎰⋯⋯n

n

b a n n b a b a dx x x x f dx dx ),,,(212122

11

.

3、当V 由不等式组

a 1≤x 1≤

b 1, a 2(x 1)≤x 2≤b 2(x 1),…, a n (x 1,…,x n-1)≤x n ≤b n (x 1,…,x n-1) 表示时，则有I=⎰⎰⎰--⋯⋯⋯⋯)

,,,()

,,,(21)()(2112112

1

121

2

11

),,,(n n n n

x x x b x

x x a n n x b x a b a dx x x x f dx dx .

4、设变换T ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧⋯=⋯⋯⋯=⋯=)

,,,(),,,(),,,(2121222111n n n n

n x x x x x x ξξξξξξξξξ把n 维ξ1,ξ2,…,ξn 空间区域V ’ 一对一地映射成n 维x 1,x 2,…,x n 空间的区域V ，且在V ’上函数行列式

J=),,,(),,,(2121n n x x x ξξξ⋯∂⋯∂=n n

n n n n x x x x x x x x x ξξξξξξξξξ∂∂⋯

∂∂∂∂⋯

⋯⋯⋯∂∂⋯

∂∂∂∂∂∂⋯

∂∂∂∂2

1

2

221

2

12111

恒不为零,则有n 重积分换元公式：

I= n n n V

dx dx x x f ⋯⋯⎰⋯⎰11),,(个=

n n n n n V

d d J x x f ξξξξξξ⋯⋯⋯⋯⎰⋯⎰1111||)),,(,),,,((个.

例1：求n 维单纯形T n ：x 1≥0,x 2≥0,…,x n ≥0, x 1+x 2+…+x n ≤h 的体积. 解：作变换x 1=h ξ1,x 2=h ξ2,…,x n =h ξn , 则J=h n , 单纯形T n 的体积为

△T n =h n

n n D d d d ξξξ⋯⎰⋯⎰211

个=h n a n . 其中

D 1={(ξ1,ξ2,…,ξn )|ξ1+ξ2+…+ξn ≤1, ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn ≥0}，则

a n =

121110

1

--⋯⎰⋯⎰-⎰n n T n d d d d n ξξξξ个, 其中

T n-1={(ξ1,ξ2,…,ξn-1)|ξ1+ξ2+…+ξn-1≤1-ξn , ξ1≥0, ξ2≥0,…, ξn-1≥0}. 又对积分a n 作变换ξ1=(1-ξn )ζ1,…, ξn-1=(1-ξn )ζn-1, 则J=(1-ξn )n-1,

a n = 1211101

2)1(---⋯⎰⋯⎰-⎰n n D n n n d d d d ζζζξξ个= a n-1⎰--101)1(n n n d ξξ=n

a n 1-, 其中

D 2={(ζ1, ζ2,…, ζn-1)| ζ1+ζ2+…+ζn-1≤1, ζ1≥0, ζ2≥0,…, ζn-1≥0}.

当n=1时，a 1=1, ∴a n =!

1

n , 于是单纯形T n 的体积为△T n =!n h n .

例2：求n 维球体V n ：x 12+x 22+…+x n 2≤R 2的体积.

解法一：作变换x 1=R ξ1,x 2=R ξ2,…,x n =R ξn , 则J=R n , 球体V n 的体积为

△V n =R n

n n d d d n ξξξξξ⋯⎰⋯⎰≤+⋯+211

221 个

=R n b n . 其中

b n =121111

1

2

2121---≤+⋯+-⋯⎰⋯⎰-⎰n n n d d d d n

n ξξξξξξξ 个

=⎰-11n d ξ△V n-1=b n-1⎰---1

1

21

2

)1(n n n d ξξ. 令ξn =cos θ, 则有b n =b n-1⎰-0

1cos sin πθθd n =2b n-1⎰20sin π

θθd n . 又

⎰20sin π

θθd n =⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=-12!)!12(!)!2(22!!2!)!12(m n ，m m m n ，m m π

, 及b 1=2, ∴△V n =R n

b n =⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧+=+=+12!)!12()2(22!122m n ，m R m n ，m R m m m

m ππ.

解法二：作变换x 1=rcos φ1,x 2=rsin φ1cos φ2, x 3=rsin φ1sin φ2cos φ3,…, x n-1=rsin φ1sin φ2…sin φn-2cos φn-1, x n =rsin φ1sin φ2…sin φn-1, 则 J=r n-1sin n-2φ1sin n-3φ2…sin 2φn-3sin φn-2, 积分区域为：