平面向量、算法初步、推理与证明

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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
e1，e2不共线，存在唯一的实数对(λ，μ)，使a
重 要
基本定理
＝λe1＋μe2.若e1，e2为x，y轴上的单位正交向量， (λ，μ)就是向量a的坐标
法 则
一般表示
定 平理
共线条件
a，b(b≠0)共线⇔存在 唯一实数λ，a＝λb
面 向
垂直条件 a⊥b⇔a·b＝0
(2) 第 一 次 循 环 ， s ＝ log23 ， k ＝ 3 ； 第 二 次 循 环 ， s ＝
主干知识
识
π
⇒ 算法
聚 焦
sin2＝1>sin 0＝0 成立，a＝1，T＝T
关键词：程序
＋a＝1，k＝2，2<6，满足判断条件， 框图、循环结构、
π 继续循环；第二次，sin π＝0>sin 2 ＝1 不成立，a＝0，T＝T＋a＝1，k
条件结构、运行结 果，如④.
＝3，3<6，满足判断条件，继续循
环；
究 的方法．
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
小结：一个向量在另一个向量上的投影(也称为射影) 是数量，不是向量；当含有参数的向量之间满足平行、垂 命 直或者数量积相等关系时，要善于利用方程思想解决问题；
题
考 根据平面向量基本定理，平面内任意一个向量都可以使用
向
探 一对不共线的向量表示，将向量坐标化后可以把平面向量 究 问题用解析几何的知识加以解决．
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
归纳推理
由部分具有某种特征推断整体具有某 种特征的推理
合情推理
推 理
类比推理
由一类对象具有的特征推断与之相似 对象的某种特征的推理
推
演绎推理
根据一般性的真命题(或逻辑规则)导出特殊性命 题为真的推理
理 与
数 学
直接证明
综合法 分析法
由已知导向结论的证明方法 由结论反推已知的证明方法
法则
a－b的三角形法则
a－b＝(x1－x2，y1－y2)
运算 分解
＝(xN－xM，yN－
yM)
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
λa为向量，λ>0时λa与a
数
概念
方向相同， λ<0时λa与a方向相反，
λa＝(λx1，λy1)
乘
|λa|＝|λ||a|
运
平
各
算
算律
λ(μa)＝(λμ)a，(λ＋μ)a＝ λa＋μa， λ(a＋b)＝λa＋λb
核 心 知 识 聚 焦
命 题
第2讲
平面向量、算法初步、
考 向
推理与证明
探
究
命 题 立 意 追 溯
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
核 心
体验高考
知
识
1．[2012·广东卷改编] 若向量
聚 焦
B→A＝(2，3)，C→A＝(4，7)，则 B→C①＝
________．
[答案] (－2，－4)
× 35＝3.
向
探
究
图1－2－1
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
方法指导 1.平面向量的基本解题方法
平面向量兼具“几何与代数”的特点，几何的特点是
命 题
可直接使用平面解析几何的知识来解决向量问题，代数的
考 特点是可使用计算和平面解析几何的知识来一起研究向量
向
探 问题．在解决向量问题时要善于根据情况灵活的选用解题
组成，则 D 的面积为________．
[答案] (1)A (2)3
命
题 考 向
[解析] (1)A→B＝(－6，－4)，A→C＝(－2，3)．设A→P＝λ|AA→→BB|
探 究
＋|AA→→CC|＝λ－
313，－
213＋
－2 13，
313＝λ·－
513，
113，所以
|A→P|＝ 2λ＝2，解得 λ＝ 2，所以A→P＝－5 1326， 1236.
究
6≤2x－y≤9，
0≤x－2y≤3，
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
如图所示，此不等式组表示的可行域为平行四边形．因
为 A(3，0)，B(5，1)，所以|AB|＝ （5－3）2＋（1－0）2＝ 5，
点 B(5，1)到直线 x－2y＝0 的距离 d＝ 35，所以其面积 S＝ 5
命 题 考
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核
心
知
3π
识 聚
第三次，sin 2 ＝－1>sin π＝0 不成立，a＝0，T＝
焦
T＋a＝1，k＝4，4<6，满足判断条件，继续循环；第四
3π 次，sin 2π＝0>sin 2 ＝－1 成立，a＝1，T＝T＋a＝2，k
5π ＝5，满足判断条件，继续循环；第五次，sin 2 ＝1>sin 2
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(2)设 P(x，y)，则A→P＝(x－1，y＋1)，A→B＝(2，1)，A→C＝
命 题
(1，2)．因为A→P＝λA→B＋μA→C，所以x－1＝2λ＋μ， y＋1＝λ＋2μ，
考 向
解
得
3λ＝2x－y－3，
又
1≤λ≤2 ， 0≤μ≤1 ， 所 以
探
－3μ＝x－2y－3.
与数乘运算有同样的坐 标表示
面种 向运
概念 a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉 a·b＝x1x2＋y1y2
量算
数 量 积
主要 性质
a·a＝|a|2，|a·b|≤|a|·|b|
|a|＝ |x1x2＋y1y2|≤
，Biblioteka Baidu
运
算
a·b＝b·a，(a＋b)·c＝ 与上面的数量积、数乘
算律 a·c＋b·c，(λa)·b＝ 等具有类似的坐标表示
平行 向量 向量 夹角
投影
既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段 的长度叫作该向量的模
长度为0，方向任意的向量，记作0(零向量与任 一非零向量共线)
方向相同或者相反的两个非零向量叫作平行向 量，也叫共线向量
起点放在一点的两向量所成的角，范围是[0， π]．a，b的夹角记为〈a，b〉
〈a，b〉＝θ，|b|cosθ叫作b在a方向上的投影(注 意：投影是数量)
量
加法
法则
平行四边形法则、三 角形法则
坐标表示(a＝(x1，y1)， b＝(x2，y2))
(x1，y1)＝λ(x2， y2)⇔x1y2＝x2y1 x1x2＋y1y2＝0
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
各 种
运算
算律
a＋b＝b＋a，(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c)
与加法运算有同样的坐 标表示
运 算
减法
2.
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核 心
体验高考
知 识
4 ． [2012·江 西 卷 ] 如 图 1 － 2 － 1 所 示 的
聚 程序框图的运行结果④ 是________．
焦
[答案] 3
图1－2－1
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
核
心 知
[解析] 第一次，T＝0，k＝1，
探 究
A.－5
1326，
26 13
B．(－ 2， 2)
C.－4
5
5，2
5
5
D．(－ 3，1)
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
(2)[2013·北京卷] 已知点 A(1，－1)，B(3，0)，C(2，1)．若
平面区域 D 由所有满足A→P＝λA→B＋μA→C(1≤λ≤2，0≤μ≤1)的点 P
π＝0 成立，a＝1，T＝T＋a＝3，k＝6，6<6 不成立，不
满足判断条件，跳出循环，故输出 T 的值为 3.
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核 心
体验高考
主干知识
知 识
5．[2012·陕西卷改编] 观察下
⇒ 合情推理
聚 焦
列不等式：1＋212<32，1＋212＋313<53，
关键词：分析、
1
＋
1 22
＋
1 32
＋
1 42
<
7 4
，
则
观察、归纳、类比、 推理，如⑤.
第五个不等式⑤ 是____________．
[答案] 1＋212＋312＋412＋512＋ 1 11 62< 6
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
—— 基础知识必备 ——
3．平面向量
平重 面要 向概 量念
向量
零向 量
命 题
＝13C→A－16C→B·56C→B－23C→A＝－29|C→A|2－356|C→B|2＋178C→A·C→B＝
考 向 探
－83－53＋73＝－2.
究
图1－2－2
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
► 考向二 程序框图中的数学问题
考向：根据程序框图求解运算结果，根据输出结果填写
判断条件，一般地，程序框图以数列、函数等问题为依托给
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
变式题 (1)已知向量 a＝(3，4)，b＝(2，－1)，如果向
量 a＋xb 与－b 垂直，则实数 x 的值为( )
A．－25
23 B. 5
3 C.23
D．2
命 题
(2)若等边△ABC 的边长为 2 3，平面内一点 M 满足C→M
考 向
＝16C→B＋23C→A，则M→A·M→B＝(
)
探 究
A．－1
B．－2
C．2
D．3
[答案] (1)A (2)B
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
[解析] (1)根据已知，(a＋xb)·(－b)＝0，整理得 a·b＋xb2
＝0，即 2＋5x＝0，解得 x＝－25.
(2)如图 1－2－2 所示，M→A·M→B＝(C→A－C→M)·(C→B－C→M)
证 明
证 明
间接证明
主要是反证法，反设结论，导出矛盾的证明方 法
数 数学归纳法是以自然数的归纳公理作为它的理论基础的， 学 因此，数学归纳法的适用范围仅限于与自然数有关的命 归 题．分两步：首先证明当n取第一个值n0(例如n0＝1)时结论 纳 正确；然后假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时结论正确，证明 法 当n＝k＋1时结论也正确
命
题 第三次循环，T＝3i－1＝8，S＝S＋T＝15，i＝i＋1＝4，不
考
向 满足条件，再次循环；第四次循环，T＝3i－1＝11，S＝S＋
探 究
T＝26，i＝i＋1＝5，不满足条件，再次循环；第五次循环，
T＝3i－1＝14，S＝S＋T＝40，i＝i＋1＝6，满足条件，输出
S 的值为 40.
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
A．k≤6
B．k≤7
C．k≤8
D．k≤9
命
题
考
向
探
究
[答案] (1)C (1)B
图1－2－4
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
[解析] (1)第一次循环，T＝3i－1＝2，S＝S＋T＝2，i
＝i＋1＝2，不满足条件，再次循环；第二次循环，T＝3i－
1＝5，S＝S＋T＝7，i＝i＋1＝3，不满足条件，再次循环；
投影② 为________．
[答案]
32 2
[解析] A→B＝(2，1)，C→D＝(5，
5) ， A→B 在 C→D 上 的 投 影 为 | A→B | · cos
〈A→B，C→D〉＝A→|BC→·DC→|D＝3
2
2 .
主干知识
⇒ 投影 关键词：方向、 投影，如②.
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
主干知识
⇒ 线性运算、 坐标运算
关键词：坐标 表示、线性运算、 坐标运算，如①.
[解析] B→C＝B→A－C→A＝(－2，－ 4)．
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核 心
体验高考
知 识
2．[2013·湖北卷改编] 已知点
聚 A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，
焦 D(3，4)，则向量A→B在C→D方向上的
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
► 考向一 高考中平面向量的常见问题
考向：平面向量的运算(线性运算、数量积运算)、平面向量的
夹角和模、两向量平行与垂直的条件、平面向量与三角函数，解
析几何等知识综合．
命
例 1 (1)在平面直角坐标系中，已知 A，B，C 三点的坐标分
题 考 向
别为 A(3，1)，B(－3，－3)，C(1，4)，P 是A→B和A→C夹角平分线上 的一点，且|A→P|＝2，则A→P的坐标是( )
a·(λb)＝λ(a·b)
方法
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明 4.算法初步、推理与证明
顺序结构 依次执行
程序框图，是一种
算
逻辑 结构
条件结构
根据条件是否成立有 不同的流向
用程序框、流程线 及文字说明来表示
法
循环结构
按照一定条件反复执 行某些步骤
算法的图形
基本 输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语 语句 句
核 心
体验高考
知
3 ． [2012·新 课 标 全 国 卷 改 编 ]
识 聚
已知向量 a，b 夹角为 45°，且|a|
焦 ＝ 1 ， |2a － b| ＝ 10 ， 则 |b|③ ＝
________．
[答案] 3 2
主干知识
⇒ 数量积运 算
关键词：定义、 模、夹角、运算性 质，如③.
[解析] 由题意得，|2a－b|2＝4a2 －4a·b＋b2＝4|a|2－4|a|·|b|cos 45°＋ |b|2，则 4－2 2|b|＋|b|2＝10⇒|b|＝3
出．
命 题
例 2 (1)按如图 1－2－3 所示的
考
程序框图运行后，输出的 S 应为
向
()
探 究
A．26
B．35
C．40
D．57
图1－2－3
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第2讲 平面向量、算法初步、推理与证明
(2)[2013·重庆卷] 执行如图 1－2－4 所示的程序框图，
如果输出 s＝3，那么判断框内应填入的条件是( )