2018年湖北省武汉市高中毕业生二月调研测试-理科数学试题及答案

D. y 3x 2
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 .
13.在 1
x
x2
1
7
x 的展开式中，
x 4 的系数为
.
14.已知 Sn 是等比数列 an 的前 n项和， S3 ，S9 ， S6 成等差数列， a2 a5 4，
则 a8
.
15.过圆 T : x2 y 2 4 外一点 P 2,1 作两条互相垂直的直线
理科数学参考答案及评分细则
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B A B B D D C C D A C B
二、填空题 13. 21
14. 2
15. 15
17
16.
8
三、解答题
2 tan B
b
17.解： (1)由
及正弦定理可知：
tan A tan B c
2sin B cos A cosB
x x 2a 3
21.解： (1) 对 f x 求导数得到： f ' x
2 ， x 1.
x1
①1
2a 3
0 时，即 1
a
3
时，
2
1 x 2a 3或 x 0 时， f ' x 0 ， f x 单增 .
2a 3 x 0 时， f ' x 0 ， f x 单减 .
② 2a 3
0 时，即 a
3 时， f ' x
AB 和 CD 分别交
圆 T 于 A 、 B 和 C 、 D 点，则四边形 ABCD 面积的最大值为
16.已知正四面体 P ABC 中，D , E , F 分别在棱 PA, PB, PC 上，若 PE
DE DF 7 ， EF 2 ，则四面体 P DEF 的体积为
.
三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
(1) 求 AB 的值； (2)若 F 为曲线 C 的左焦点，求 FA FB 的值 . 23.[ 选修 4-5] 已知函数 f x x2 2 ， g x x a x 1 ， a R .
(1) 若 a 4 ，求不等式 f x g x 的解集；
(2) 若对任意 x1、 x2 R ，不等式 f x1 g x2 恒成立，求实数 a 的取值范围 .
2 tan B
17. 在 ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a , b , c，且满足
tan A tan B
(1) 求角 A ； (2) 若 a 13 ， b 3 ，求边 c 的长 .
. PF ，
b
.
c
18.如图，在四棱锥 E ABCD 中， 平面 ABE 平面 ABCD ，底面 ABCD 为平 行四边形， DAB BAE 60 ， AEB 90 ， AB 4 ， AD 3. (1) 求 CE 的长； (2) 求二面角 A DE C 的余弦值 .
y0
0 为直线 x
4 上任
2
意一点， PA ， PB 交椭圆 T 于 C ， D 两点，求四边形 ACBD 面积的最大值 .
21.已知函数 f x
ln x 1
ax 2
x
2 ，其中
a 为常数 .
x1
(1) 当 1 a 2 时，讨论 f x 的单调性；
(2) 当 x 0 时，求 g x
1 xln 1
x
1 ln 1 x 的最大值 .
足f x f
x ，则
2
( )A.
6
2
B.
C. 或
3 33
5
D. 或
66
8.将 7 个相同的小球投入甲、乙、丙、丁 4 个不同的小盒中，每个小盒中至少有
3
2
3
1
1 个小球， 那么甲盒中恰好有 3 个小球的概率为 ( )A.
B.
C.
D.
10 5 20 4
9.已知平面向量 a ， b ， e 满足 e 1 ， a e 1， b e 2 ， a b 2 ，则 a b
， C 0, ,
，
22
22
2
EC
2
2
29
33
3
30 ， 所求 EC 之长为 30 .
2
2
(2) 设平面 ADE 的法向量 n1 x1, y1, z1 ，
而 AE
3,1,0 ， AD
333
0, ,
，
22
由 AE n1 0及 AD n1 0可知：
取 x1 1，则 y1
3 ， z1 1，
3x1 y1 0
3 33
()
1
2
3
2
A.
B.
C.
D.
2
2
3
3
6.已知不过原点 O 的直线交抛物线 y2
2 px 于 A ， B 两点， 若 OA ， AB 的斜率
分别为 kOA 2 ， kAB 6，则 OB 的斜率为 ( )
A.3
B.2
C.-2
7.已知函数 f x sin 2x
a cos 2x 0
D.-3 的最大值为 2，且满
2
(3) 依题意 z N , .
而
x 22.7， 2 s2 22.41，则
4.73 .
P 22.7 4.73 z 22.7 4.73 0.6826.
1 0.6826
P z 27.43
0.1587 . P z
2
27.43
0.1587.即为所求 .
20.解： (1)依题意 AB 2a 4 ，则 a 2，又 e
x1x2 2 3 x1 x2 12 4 x1 x2 2 3 x1 x2 12
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，则
64 3
x1 x2
17 .
16 11 x1x2
17
AB
2
1 k x1 x2
14
2
64 3 3 17 16 11
40 .
17
17
(2) FA FB x1 2 3, y1 x2 2 3, y2
40 AB 值为 .
17
x1 2 3 x2 2 3 2 x1 4 3 2x2 4 3
h x h 1 0 ， g x 在 0,1 上单增 .
g x g 1 2ln2 ， g x 的最大值为 2 ln 2 .
x 4cos
22.解： (1) 由
( 为参数 )，消去参数
y 2sin
x2
得：
16
y2 1.
4
xt 3
由
消去参数 t 得： y 2x 4 3 .
y 2t 2 3
将 y 2x 4 3 代入 x2 4y2 16 中得： 17x2 64 3x 16 11 0 .
，
y1
z1 0
2
2
n1 1, 3,1 .
设平面 DEB 的法向量 n2 x2 , y2, z2 ，
DC 0,4,0 ， DE
13
3, ,
3，
22
DC n1 0 4 y2 0
由
得
13
，
DE n2 0
3x2 2 y2 2 3 z2 0
设二面角 A DE B 的平面角为 .
可取 n2
3,0,2 .
cos
n1 n2 n1 n2
0 在 0 x 1恒成立，
则实数 a 的取值范围为 ( )A. a 2 B. a 1
1 C. a
2
2 D. a
4
12.已知直线 l 与曲线 y x3 6x2 13x 9 相交，交点依次为 A ， B ， C ，且
AB BC 5 ，则直线 l 的方程为 ( )
A. y 2x 3 B. y 2 x 3
C. y 3x 5
0. f x 在
1,
2
③ 2a 3
0 时，即 a
3
时，
2
上单增 .
1 x 0 或 x 2a 3 时， f ' x 0 ， f x 在 1,0 ， 2a 3,
上单增 .
0 x 2a 3 时， f ' x 0 . f x 在 0,2 a 3 上单减 .
(2) g x x g x 在 0,
1
1
ln 1 x x ln x g ，
4t 2 72 18 t 2 ，
1
42
则 x1
36 2t 2 2 ，于是 y1
18 t
t x1 2
6
12t
2.
18 t
t
y x2
2 由 x2 y2
，得 2
1
42
则 x2
2
2t 2
4 t 2 ，于是
y2
t2 x2 t x2 2
4t 2x 4t2 8
2
4t
t2
，
2
0 ，则 2 x2
4t 2 8 2 t2 ，
2，c
2.
2
x2 y2
椭圆方程为：
1.
42
(2) 设 P 4,t ， (不妨设 t 0 )，则直线 PA 方程： y t x 2 ，直线 PB 方程 6
t
y
x 2 .设 C x1, y1 ， D x2, y2 ，
2
t
y x2
6 由 x2 y 2
得 18 t 2 x 2 4t 2 x 4t 2
72
0 ，则 2 x1
5 5 13
65 13 . 二面角 A DE B 的余弦值为
65
.
13
19.解： (1)根据频数分布表可知，产品尺寸落在
27.5,33.5 内的概率
53
P
0.16 .
50
(2) 样本平均数
x 0.06 14 0.16 17 0.18 20 0.24 23 0.20 26 0.10 29 0.06 32 22.7
x
选考题：共 10 分 .请考生在 22， 23 两题中任选一题作答 .
x 4cos
22.[ 选修 4-4] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为
( 为参数 ) ，
y 2sin
直线 l 的参数方程为
xt
3 ( t 为参数 )，直线 l 与曲线 C 交于 A ， B 两点 .
y 2t 2 3
sin B
，
2cos A
1而 A
0,
，
cosB sin A B sinC
A. 3
(2) 由余弦定理可得：
a2 b2 c2 2bc cos A , 13 9 c2 3c ， c2 3c 4 0 ，
c 4 c 1 0， c 4.
18.解： (1)过 E 作 OE AB 于垂足 O ， 面 ABE 面 ABCD . EO 面 ABCD .
A. 4,1 3,4
B. 4, 3
1,4
C. 4,1 3,4
D. 4, 3
1,4
3.在等差数列 an 中，前 n 项和 Sn 满足 S7 S2 45 ，则 a5 ( )
A.7
B.9
C.14
D.18
4.根据如下程序框图，运行相应程序，则输出
n的值为 ( )
A.3
B.4
C.5
D.6
5.某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为
武汉市 2018 届二月调研理科数学 2018.2.27
一、选择题：本大题共 12 个小题 ,每小题 5 分 ,共 60 分 .
1.已知复数 z 满足 3 4i z 1 2i ，则 z ( )
12
A.
i
55
12
B.
i
55
12
C.
i
55
12
D.
i
55
2.已知集合 A x | x2 16 0 ， B x | lg x 2 0 ，则 A B ( )
19.从某工厂的一个车间抽取某种产品 50 件，产品尺寸 (单位：
cm)落在各个小组的频数分布如下表：
数据分组 频数 [12.5,15.5) 3
(1) 根据频数分布表，求该产品尺寸落在
27.5，30.5 的概率； [15.5,18.5) 8
(2) 求这 50 件产品尺寸的样本平均数 x .( 同一组中的数据用该
x
x
上最大值等价于在 0,1 上最大值，
g' x
1 1 x2 ln 1 x
11
x
ln x 1
x 1x
1
12
1 x2 ln 1 x
ln x
记为 h x .
x 1x
h' x
2 x3 ln 1 x
2x2 x
2.
x1
由 (1)可知 a 2 时， f x 在 0,1 上单减， f x f 0 ，
h' x 0 ，从而 h x 在 0,1 上单减 .
[18.5,21.5) 9 [21.5,24.5) 12
组区间的中点值作代表 )； (3) 根据频数分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸
[24.5,27.5) 10
[27.5,30.5) 5
z 服 [30.5,33.5) 3
从正态分布 N
, 2 ，其中
近似为样本平均值
x，
2
近
似为样本方差 s2 ，经计算得 s2 22.41.利用该正态分布，求 P z 27.43 .
的最大值为 ( )A.-1
B.-2
5
C.
2
5
D.
4
x y5 0
10.已知实数 x ， y 满足约束条件 y x 0
，若不等式
1 y x20
2
1 a x2 2xy 4 2a y2 0恒成立，则实数 a的最大值为 ( )
7
5
A.
B.
3
3
11.已知函数 f x
C. 5
D. 6
x2 ln x a x2 1 a R ，若 f x
1
1
1
12t
4t
SABCD
S ACB S ADB
AB 2
y1
AB
2
y2
4 2
18 t 2 t 2 2
t3 6t 32 t 4 20t 2 36
t6
32
t
2 36 t t 2 20
32
t6
t
2
.
6
t
8
t
6 设 u t ，则 u 2 6,
t
， SABCD
32 u8
u
gu ，
g u 在 2 6, 递减，故 SABCD max g 2 6 2 6 .
附： (1) wenku.baidu.com随机变量 z 服从正态分布 N
,
2
，则 P
z
0.6826 ，
P 2z
0.9544 ；(2) 22.41 4.73.
x2 y2 20.已知 A 、 B 为椭圆 T ： a 2 b2 1 a b 0 的左、右顶点， AB 4 ，且
离心率为
2 .(1)求椭圆 T 的方程； (2)若点 P x0, y0
过 O 点在平面 ABCD 内作 OF AB 交 AD 于 F ，建立以 O 为坐标交点 . OE 为
x 轴， OB 为 y 轴， OF 为 z 轴的空间直角坐标系 .
DAB EAB 60 ， AEB 90 ，AB 4 ，AD 3， OE OF 3 ，
12 3
933
E 3,0,0 ， B 0,3,0 ， A 0, 1,0 ， D 0, ,